精品解析：天津市南开区2025-2026学年高二上学期阶段性质量监测（二）数学试题

2025-2026学年度第一学期阶段性质量监测（二） 高二年级 数学学科 本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共100分，考试时间100分钟. 第I卷 一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若数列的前4项依次为20，11，2，，则数列的一个通项公式为（ ） A. B. C. D. 2. 以轴为对称轴，顶点为坐标原点，焦点到准线的距离为4的抛物线方程是（ ） A. B. C. 或 D. 或 3. 在数列中，且，则（ ） A. B. C. D. 4. －＝4表示的曲线方程为（ ） A －＝1(x≤－2) B. －＝1(x≥2) C. －＝1(y≤－2) D. －＝1(y≥2) 5. 圆与圆的位置关系是（ ） A. 外离 B. 相交 C. 外切 D. 内切 6. 已知是各项均为正数的等差数列，且，则的最大值为（ ） A 10 B. 20 C. 25 D. 50 7. 已知数列满足，，其前项积为，则等于（ ） A. 2025 B. C. D. 8. 如图，在三棱锥中，平面，是边长为的正三角形，，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 9. 已知数列的通项公式为，则数列中的最大项为（ ） A B. C. D. 10. 已知双曲线的左、右焦点分别为，点为右支上一点，射线是的外角平分线，其与轴的交点为点的角平分线与直线交于点，若，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共5个小题，每小题3分，共15分，请将答案填在题中横线上. 11. 已知直线：在轴上的截距是轴上截距的2倍，则的值_______. 12. 等差数列的前项和为，若，，则______． 13. 过点(，－)，且与椭圆有相同焦点的椭圆的标准方程为_______． 14. 已知四面体的所有棱长都等于，、分别是的中点，则___________． 15. 已知点是椭圆：上一点，，分别是的左、右焦点，且，点在的平分线上，为原点，，，则的离心率为__________． 三、解答题：（本大题共5个小题，共55分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 曲线上的每一点到定点的距离与到定直线的距离相等． （1）求曲线的方程； （2）过点的直线交抛物线于两点，设直线，的斜率分别为，，为坐标原点，求证：为定值． 17. 已知正项等比数列的前项和为，，；等差数列及正整数（）满足，，且． （1）求数列和的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 18. 已知数列为等差数列，，，数列的前项和为，且满足． （1）求和的通项公式； （2）若，求数列的前项和为． 19. 如图，四棱锥的底面是平行四边形，且底面，点是线段的中点，，，． （1）求证：平面平面； （2）求到平面的距离； （3）求平面与平面夹角的余弦值． 20. 已知椭圆：的左、右顶点分别为，，右焦点为点，点随椭圆上一动点，面积的最大值为，当轴时，． （1）求椭圆方程； （2）若直线被圆截得的弦长为，设直线与椭圆交于，两点坐标原点，求面积的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期阶段性质量监测（二） 高二年级 数学学科 本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共100分，考试时间100分钟. 第I卷 一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若数列的前4项依次为20，11，2，，则数列的一个通项公式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】观察前4项规律，写出通项公式，可判断B，对A，C，D举反例说明. 【详解】对于B，从前四项看，这是一个以20为首项，以为公差的等差数列， 由等差数列的通项公式有，故B正确； 对于A，当时，，这与条件不符，故A错误； 对于C，当时，，这与条件不符，故C错误； 对于D，当时，，这与条件不符，故D错误. 故选：B. 2. 以轴为对称轴，顶点为坐标原点，焦点到准线的距离为4的抛物线方程是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线的概念以及几何性质即可求抛物线的标准方程. 【详解】依题意设抛物线方程为． 因为焦点到准线的距离为4， 所以，所以， 所以抛物线方程为或． 故选：C． 3. 在数列中，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由等比数列的定义知为等比数列，由得的通项公式. 【详解】∵，即： ， ∴为等比数列，公比， ∴ 故选：D. 4. －＝4表示的曲线方程为（ ） A. －＝1(x≤－2) B. －＝1(x≥2) C. －＝1(y≤－2) D. －＝1(y≥2) 【答案】C 【解析】 【分析】根据两点间距离定义及双曲线定义，可判断双曲线的长轴长与焦距，进而求得b，得双曲线方程；结合方程的意义，即可判断出y的取值范围． 【详解】根据两点间距离的定义，表示动点到与的距离之差等于4（且两个定点的距离大于4）的集合. 根据双曲线定义可知， 所以 由焦点在y轴上，所以 ，且到点 的距离比较大 所以 即曲线方程为 故选：C. 5. 圆与圆的位置关系是（ ） A. 外离 B. 相交 C. 外切 D. 内切 【答案】C 【解析】 【分析】利用几何法可判断出两圆的位置关系. 【详解】圆的标准方程为，圆心为，半径为， 圆的标准方程为，圆心为，半径为， 圆心距为， 故圆与圆外切 故选：C. 6. 已知是各项均为正数的等差数列，且，则的最大值为（ ） A. 10 B. 20 C. 25 D. 50 【答案】C 【解析】 【分析】结合等差数列的性质与基本不等式计算即可得. 【详解】由，则有，即， 由基本不等式得，当且时，等号成立， 故的最大值为. 故选：C 7. 已知数列满足，，其前项积为，则等于（ ） A. 2025 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由已知递推公式判断该数列的周期，利用周期性进行求解即可. 【详解】因为，， 所以， ， ， 所以该数列的周期为， 所以 故选：D 8. 如图，在三棱锥中，平面，是边长为的正三角形，，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解法一：可以通过几何法找到异面直线所成角的平面角，结合余弦定理可以求出； 解法二：通过空间向量法，用坐标运算可以求出. 【详解】解法一：设E为BC的中点，连接FE，如图， ∵E是BC的中点， ∴∥，,,; 在中，由余弦定理可知 ∴异面直线BE与AF所成角的余弦值为， 解法二：以A为坐标原点，AC，AM所在直线分别为y，z轴建立空间直角坐标系如图所示， 易知，，， 所以，， 则， ∴异面直线BE与AF所成角的余弦值为. 故选：D 9. 已知数列的通项公式为，则数列中的最大项为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由，当n2时，，当n2时，，从而可得到n＝2时， 最大. 【详解】， 当n2时，，即； 当n＝2时，，即； 当n2时，，即. 所以， ， 所以数列中的最大项为 或 ，且. 故选：A. 【点睛】此题考查数列函数性质：最值问题，属于基础题. 10. 已知双曲线的左、右焦点分别为，点为右支上一点，射线是的外角平分线，其与轴的交点为点的角平分线与直线交于点，若，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过作于点于点于点，利用角平分线的性质，得到，从而可得，再结合条件，可得，即可求解. 【详解】不妨设点在第一象限，由于点为角平分线的交点， 过作于点于点于点， 则，且， 所以， 则， 所以（*），因为，所以， 所以，代入（*）式得. 故选：C. 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共5个小题，每小题3分，共15分，请将答案填在题中横线上. 11. 已知直线：在轴上的截距是轴上截距的2倍，则的值_______. 【答案】或 【解析】 【分析】求出直线与两坐标轴的交点，根据截距的关系，列方程求即可. 【详解】依题意可得， 直线在轴上的截距为，在轴上截距， 则，得或. 故答案：或. 12. 等差数列的前项和为，若，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】利用等差数列的前项和公式计算即可求解. 【详解】设等差数列的公差为，因为，， 则,解得：， 所以, 故答案为： 13. 过点(，－)，且与椭圆有相同焦点的椭圆的标准方程为_______． 【答案】 【解析】 【分析】由题设条件设出椭圆方程，再列出关于a2与b2的方程组即可作答. 【详解】所求椭圆与椭圆的焦点相同，则其焦点在y轴上，半焦距c有c2=25-9=16， 设它的标准方程为 (a＞b＞0)，于是得a2-b2=16， 又点(，－)在所求椭圆上，即， 联立两个方程得，即，解得b2=4，则a2=20， 所以所求椭圆的标准方程为. 故答案为： 14. 已知四面体的所有棱长都等于，、分别是的中点，则___________． 【答案】## 【解析】 【分析】用、、表示，结合空间向量数量积的运算性质可求得的值. 【详解】如下图所示： 由题意可得， 因为、分别为、的中点，所以，， 故， 因此， . 故答案为：. 15. 已知点是椭圆：上的一点，，分别是的左、右焦点，且，点在的平分线上，为原点，，，则的离心率为__________． 【答案】 【解析】 【分析】设，，由题意得出是等腰三角形. 在中由余弦定理得到含a，c的齐次方程即可求解离心率. 【详解】设，，延长ON交于A，如图所示. 由题意知，O为的中点，∴点A为中点. 又，点N在的平分线上， ∴，∴是等腰三角形， ∴， 则，所以. 又，所以. 又在中，由余弦定理得， 即，即， 化简得：. 又，所以，所以，即 故答案为： 三、解答题：（本大题共5个小题，共55分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 曲线上的每一点到定点的距离与到定直线的距离相等． （1）求曲线的方程； （2）过点的直线交抛物线于两点，设直线，的斜率分别为，，为坐标原点，求证：为定值． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意，利用抛物线的定义，即可求解； （2）设直线的方程为，联立方程组，求得，结合斜率公式，即可求解. 【小问1详解】 解：因为曲线上的点到的距离与到的距离相等， 根据抛物线的定义，可得曲线为以为焦点，为准线的抛物线， 则，可得，所以抛物线的方程为． 【小问2详解】 证明：设直线的方程为，且，， 联立方程组，消去可得， 所以，则， 所以为定值． 17. 已知正项等比数列的前项和为，，；等差数列及正整数（）满足，，且． （1）求数列和的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用等比数列前项和列出方程求解即得到数列的通项公式，利用裂项相消即可求解的通项公式； （2）由题可得分和两种情况，结合等差数列的前项和求解即可. 【小问1详解】 因为是等比数列，设首项为，公比为， 由，知，，所以①；② 两式相除得，又，所以， 代入①得，所以． 设数列公差为， 则， 所以，所以． 【小问2详解】 因为，所以 所以当时，数列的前项和； 当时，数列的前项和． 所以. 18. 已知数列为等差数列，，，数列的前项和为，且满足． （1）求和的通项公式； （2）若，求数列的前项和为． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）设等差数列的公差为，列出方程即可求出的通项公式，利用即可求出的通项公式； （2）利用错位相减求和即可. 【小问1详解】 设等差数列的公差为，则 解得，，所以． 由已知，① 当时，，得， 当，时，，② ①-②得，，即，又， 所以数列是以1为首项，3为公比的等比数列． 所以． 【小问2详解】 数列． 则 所以 故 所以． 19. 如图，四棱锥的底面是平行四边形，且底面，点是线段的中点，，，． （1）求证：平面平面； （2）求到平面的距离； （3）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）过点作直线，交直线于点，以点为原点，直线，，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，分别求出平面的一个法向量和平面的一个法向量，利用向量关系证明平面平面； （2）利用点到平面的空间向量法求解即可； （3）利用面面角的空间向量法求解即可. 【小问1详解】 过点作直线，交直线于点， 则，，所以． 以点为原点，直线，，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 则，，． ，，，， 设平面的一个法向量为，则，取，． 设平面的一个法向量为，则，取，得， 因为，所以平面平面． 【小问2详解】 由（1）知，， 所以到平面的距离 【小问3详解】 显然平面的一个法向量为，设平面与平面的夹角为， 则，所以平面与平面夹角的余弦值为． 20. 已知椭圆：的左、右顶点分别为，，右焦点为点，点随椭圆上一动点，面积的最大值为，当轴时，． （1）求椭圆的方程； （2）若直线被圆截得的弦长为，设直线与椭圆交于，两点坐标原点，求面积的最大值． 【答案】（1） （2）2 【解析】 【分析】（1）由题可得，，解方程求解即可； （2）分的斜率存在和不存在两种情况，结合韦达定理，弦长公式讨论即可求解. 【小问1详解】 设椭圆的半焦距为，， 将代入得，所以， 因为点是椭圆上一动点，所以，所以面积， 由解得，，所以椭圆的方程为． 【小问2详解】 直线被圆截得的弦长为， 则圆心到直线的距离满足，解得． 当的斜率不存在时，则：，代入椭圆方程得，则， 当的斜率存在时，设：，，，圆心为原点 则有，所以． 将方程代入椭圆方程中整理得：， 所以，，， 所以， 令,即时，． 所以面积的最大值为2． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $