精品解析：江西省赣州市2025-2026学年高二上学期期末数学试题

赣州市2025~2026学年度第一学期期末考试 高二数学试卷 2026年2月 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分，考试时长120分钟． 第I卷（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 点到直线的距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用点到直线的距离公式计算即得. 【详解】点到直线的距离为. 故选：B. 2. 已知，，，则实数的值为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标表示得到方程，解得即可. 【详解】因为，所以，即，解得， 故选：A 3. 椭圆的焦距为（ ） A. 6 B. 12 C. 16 D. 20 【答案】B 【解析】 【分析】直接由求椭圆焦距. 【详解】因为椭圆，所以，则， 所以椭圆的焦距为. 故选：B 4. 若圆：与圆：外切，则（ ） A. 1 B. 2 C. 9 D. 1或9 【答案】A 【解析】 【分析】利用两圆外切的性质列方程求解即得. 【详解】圆：的圆心为，半径为， 而圆：的圆心为，半径为， 因两圆外切，则，解得. 故选：A. 5. 已知，，为三条不同的直线，，，为三个不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 【答案】D 【解析】 【分析】由线在面内时的反例可排除ABC，由面面垂直的性质作辅助线可证明D正确. 【详解】A选项，当时，不成立，故A错误； B选项，当时，可以符合，而不符合，故B错误； C选项，当时，不成立，故C错误； D选项，设，； 在内过上一点P作直线， 又因为，且， 则，又因为，所以； 再作直线，同理可得； 由于与相交于，，故D正确； 故选：D 6. 经过点且在两坐标轴上截距相等的直线是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】由题意分截距为0与截距不为0两种情况求解即得. 【详解】当直线经过原点时，此时直线方程可设为， 代入点，解得，所以直线方程为即； 当直线不经过原点时，设所求直线的截距式方程为， 代入点，解得，所以直线方程为. 综上，经过点且在两坐标轴上截距相等的直线是或. 故选：C. 7. 从中任取2个数字，从中任取2个数字，一共可以组成没有重复数字四位数有（ ） A. 216个 B. 162个 C. 108个 D. 180个 【答案】D 【解析】 【分析】对首位数字分类讨论并结合组合数的性质求解即可. 【详解】当选的数字包括时，共有种数字组合， 而不能放在首位，则每个组合的情况数为个， 可得总情况数共有个， 当选的数字不包括时，共有种数字组合， 此时每个组合的情况数为个， 可得总情况数共有个， 即一共可以组成没有重复数字四位数有个，故D正确. 故选：D 8. 方程可以表示数轴上的点，平面直角坐标系中，方程（、不同时为0）可以表示平面内的直线，空间直角坐标系中，方程（、、不同时为0）可以表示空间内的平面．过点且一个法向量为的平面的方程可表示为．阅读上面材料，解决下面问题：已知平面的方程为，直线是两平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由条件信息分别求得直线的方向向量和平面的法向量，再由夹角公式即可求解. 【详解】因为平面的方程为，所以平面的一个法向量为， 由题意可得，平面的一个法向量为， 平面的一个法向量为， 设直线的方向向量为， 因为直线是两平面与的交线， 所以，， 则有， 取，则，，故， 记直线与平面的夹角为， ． 故选：D 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法中不正确的是（ ） A. 平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线 B. 平面内与两个定点和的距离之和等于2的点的轨迹是椭圆 C. 平面内与两个定点和的距离之差等于的点的轨迹是双曲线 D. 平面内与两个定点和的距离之比等于2的点的轨迹是圆 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A,举反例，定点在直线上判断即可；对于B，根据判断即可；对于C，根据双曲线的定义判断即可；对于D，设所求点为，再根据条件化简判断即可. 【详解】对于A，当定点在直线上时，轨迹为过且与垂直的直线，故A错误； 对于B，平面内与两个定点和的距离之和等于2的点的轨迹是线段，故B错误； 对于C，平面内与两个定点和的距离之差等于的点的轨迹是双曲线的一支，不是双曲线，故C错误； 对于D，设所求点为，则，即， 则，化简可得，轨迹是圆，故D正确. 故选：ABC 10. 下列结论正确的有（ ） A. 若随机变量，则 B. 离散型随机变量服从两点分布，且，则 C. 随机变量，若，则 D. 已知随机变量，满足，若，则， 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据二项分布，两点分布和正态分布的相关性质计算判断即可. 【详解】对于A，，，故A错误； 对于B，因服从两点分布，则， 又，联立解得，故B正确； 对于C，因，且 ，则， 故，故C正确； 对于D，由可得， 因为，则，故，，故D正确. 故选：BCD. 11. 如图，是椭圆：与双曲线：在第一象限的交点，，，共焦点，，的离心率分别为，，则下列结论正确的是（ ） A. ， B. 若，则的最小值为2 C. 若，则 D. 【答案】AD 【解析】 【分析】A根据椭圆和双曲线的定义可得；B利用勾股定理和基本不等式求解；C在中由余弦定理可得；D在中利用两次余弦定理，即分别在椭圆和双曲线中应用可得. 【详解】对于A，由题意可知，，， 得，，故A正确； 对于B，设椭圆和双曲线的半焦距为， 若，则， 化简得，即， ， 当且仅当，即时，等号成立， 这与矛盾，所以，故B错误； 对于C，在中由余弦定理， 可得， 整理为， ，故C错误； 对于D，在椭圆中，， 整理为， 在双曲线中，，， 整理为，所以， 即， 而，则，故D正确． 故选：AD． 第II卷（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在的展开式中，项的系数为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二项式定理相关知识直接计算即可. 【详解】展开式的通项公式为， 当时，， 即展开式中的系数为. 故答案为： 13. 经过，两点，且圆心在直线上，则圆的方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】先确定圆心的位置，求出圆心坐标，再求出半径，进而得到圆的方程. 【详解】因为圆经过，两点，所以圆心在线段的垂直平分线上， 又线段的中点坐标为，即 所以线段的垂直平分线为直线， 联立，解得， 所以， 又半径为， 所以圆的方程为， 故答案为： 14. 赣南脐橙是江西赣南的特色农产品，某学习小组结合赣南脐橙的等级区分设计了如下概率问题进行研究：甲、乙两个筐中各装有5个大小均匀的赣南脐橙，其中甲筐中有3个特级脐橙、2个一级脐橙，乙筐中有4个特级脐橙、1个一级脐橙．掷一枚质地均匀的骰子，如果点数小于等于4，从甲筐中随机抽出1个脐橙；如果点数大于等于5，从乙筐中随机抽出1个脐橙，则抽到的是特级脐橙的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，运用全概率公式计算即可. 【详解】设事件：抽到的是特级脐橙，事件：掷骰子点数小于等于4（从甲筐中抽）；事件：掷骰子点数大于等于5（从乙筐中抽）， 则，甲筐中特级脐橙的概率为，乙筐中特级脐橙的概率为. 所以，. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在的展开式中，第4项为常数项． （1）求的值和该常数项的值； （2）求展开式中所有项的系数之和． 【答案】（1）， （2）16 【解析】 【分析】（1）根据题意，利用二项展开式的通项赋值计算即可； （2）对于该二项式只需取计算即得展开式中所有项的系数之和. 【小问1详解】 因为的通项为， 由题知时，，解得，所以常数项为． 【小问2详解】 由（1）知，令，得到， 则展开式中所有项的系数之和为16． 16. 已知离心率为的椭圆：的顶点所构成的四边形的面积为，过右焦点且斜率为1的直线交于，两点． （1）求的方程； （2）求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，列出关于的方程组，求解即得椭圆的方程； （2）依题意写出过点，的直线方程，与椭圆方程联立求出两点的横坐标，利用弦长公式计算即可. 【小问1详解】 由题意，可得，解得 椭圆的标准方程为． 【小问2详解】 由（1）知椭圆的右焦点坐标为， 点，所在直线方程为． 联立，消去并整理得． 设，，则，， ． 17. 如图，则棱锥中，四边形是矩形，平面，，是的中点，是的中点． （1）证明：平面； （2）若，求平面与平面夹角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用线面平行判定定理证明即可； （2）建系，利用面面角的空间向量计算公式计算即可. 【小问1详解】 取中点，连接，， ，分别为，的中点， ，， 因为四边形是矩形，是的中点， 所以且， 故且， 则四边形为平行四边形， ， 又平面，平面， 所以平面． 【小问2详解】 因为，， 所以是等腰直角三角形， 又平面，故以中点为原点， 过点和平行的直线为轴，为轴，为轴， 建立如图的空间直角坐标系， 则，，，， 则，，， 设是面的一个法向量，则有， 取，则，，故， 设是面的一个法向量，则有， 取，则，，故，记平面与平面的夹角为， 则， ，所以平面与平面夹角的正弦值为． 18. 某学校举办数学知识竞赛，每位参赛者要答3道题，第一题分值为40分，第二、三题分值均为20分，若答对，则获得题目对应分值，若答错，则得0分，参赛者累计得分不低于60分即可获奖．已知甲答对第一、二、三题的概率分别为，，，乙答对第一、二、三题的概率均为，且甲、乙每次答对与否互不影响． （1）求甲获奖的概率； （2）求乙的累计得分的分布列和期望； （3）在甲、乙两人均获奖的条件下，求甲的累计得分比乙高的概率． 【答案】（1） （2）分布列见解析，40 （3） 【解析】 【分析】（1）根据相互对立事件和互斥事件的概率公式进行计算； （2）分析乙得分的可能取值，分别计算每个取值的概率，列出分布列，再根据期望公式进行计算； （3）先求出甲、乙两人均获奖的概率，再求出甲累计得分比乙高且两人均获奖的概率，根据条件概率公式进行求解. 【小问1详解】 甲得60分的概率为， 甲得80分的概率为，甲获奖的概率为． 【小问2详解】 由题意知：乙累计得分的可能取值有0，20，40，60，80， 所以， ，， ，， 的分布列为： 0 20 40 60 80 ． 【小问3详解】 根据题意得，得分不低于60分即可获奖， 由（1）知，甲获奖的概率为， 由（2）乙获奖的概率为， 乙只得60分的概率为， 所以甲、乙两人同时获奖的概率为， 甲、乙均获奖且甲累计得分比乙高的概率为， 所以，在甲、乙两人均获奖的条件下，甲累计得分比乙高的概率为． 19. 在平面直角坐标系中，抛物线：上一点的横坐标为，且点到焦点的距离为2． （1）求抛物线的方程； （2）是不在坐标轴上的一个动点，过可作抛物线的两条切线，两切点连线与垂直．设直线与，轴的交点分别为，． ①证明：是一个定点； ②求的最小值． 【答案】（1） （2） ①设点的坐标为，记两切点，的坐标为，， 则，的方程分别为，， 将点代入，得， 故点，满足方程， 所以直线的方程为， ，，由知，，， 所以直线的方程为， 故直线与轴的交点是定点． ② 【解析】 【分析】（1）应用焦半径公式计算求得进而得出抛物线方程； （2）①设点的坐标及，的方程，再转化未知量得出直线的方程为，最后结合得出定点；②方法一：应用垂直得出再应用基本不等式得出最小值；方法二：设直线方程联立得出点的坐标，再应用两点间距离公式计算结合基本不等式得出最小值； 【小问1详解】 因为点到焦点的距离为2，所以点到抛物线准线的距离为2， 抛物线的准线方程为，点的横坐标为， ，解得，抛物线的方程为． 【小问2详解】 ①略 ②方法一：由①知，直线的斜率，直线的斜率， 设，则为锐角， 且， 当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为． 方法二：由①，直线的方程为，直线的方程为， 联立，解得，所以点的坐标为， 由①，，， 为点到直线的距离，直线的方程为， ， 又， 得， 当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 赣州市2025~2026学年度第一学期期末考试 高二数学试卷 2026年2月 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分，考试时长120分钟． 第I卷（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 点到直线的距离是（ ） A. B. C. D. 2. 已知，，，则实数的值为（ ） A. B. 2 C. D. 3. 椭圆的焦距为（ ） A. 6 B. 12 C. 16 D. 20 4. 若圆：与圆：外切，则（ ） A. 1 B. 2 C. 9 D. 1或9 5. 已知，，为三条不同的直线，，，为三个不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 6. 经过点且在两坐标轴上截距相等的直线是（ ） A. B. C. 或 D. 或 7. 从中任取2个数字，从中任取2个数字，一共可以组成没有重复数字四位数有（ ） A. 216个 B. 162个 C. 108个 D. 180个 8. 方程可以表示数轴上的点，平面直角坐标系中，方程（、不同时为0）可以表示平面内的直线，空间直角坐标系中，方程（、、不同时为0）可以表示空间内的平面．过点且一个法向量为的平面的方程可表示为．阅读上面材料，解决下面问题：已知平面的方程为，直线是两平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法中不正确的是（ ） A. 平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线 B. 平面内与两个定点和的距离之和等于2的点的轨迹是椭圆 C. 平面内与两个定点和的距离之差等于的点的轨迹是双曲线 D. 平面内与两个定点和的距离之比等于2的点的轨迹是圆 10. 下列结论正确的有（ ） A. 若随机变量，则 B. 离散型随机变量服从两点分布，且，则 C. 随机变量，若，则 D. 已知随机变量，满足，若，则， 11. 如图，是椭圆：与双曲线：在第一象限的交点，，，共焦点，，的离心率分别为，，则下列结论正确的是（ ） A. ， B. 若，则的最小值为2 C. 若，则 D. 第II卷（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在的展开式中，项的系数为________． 13. 经过，两点，且圆心在直线上，则圆的方程为______． 14. 赣南脐橙是江西赣南的特色农产品，某学习小组结合赣南脐橙的等级区分设计了如下概率问题进行研究：甲、乙两个筐中各装有5个大小均匀的赣南脐橙，其中甲筐中有3个特级脐橙、2个一级脐橙，乙筐中有4个特级脐橙、1个一级脐橙．掷一枚质地均匀的骰子，如果点数小于等于4，从甲筐中随机抽出1个脐橙；如果点数大于等于5，从乙筐中随机抽出1个脐橙，则抽到的是特级脐橙的概率是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在的展开式中，第4项为常数项． （1）求的值和该常数项的值； （2）求展开式中所有项的系数之和． 16. 已知离心率为的椭圆：的顶点所构成的四边形的面积为，过右焦点且斜率为1的直线交于，两点． （1）求的方程； （2）求． 17. 如图，则棱锥中，四边形是矩形，平面，，是的中点，是的中点． （1）证明：平面； （2）若，求平面与平面夹角的正弦值． 18. 某学校举办数学知识竞赛，每位参赛者要答3道题，第一题分值为40分，第二、三题分值均为20分，若答对，则获得题目对应分值，若答错，则得0分，参赛者累计得分不低于60分即可获奖．已知甲答对第一、二、三题的概率分别为，，，乙答对第一、二、三题的概率均为，且甲、乙每次答对与否互不影响． （1）求甲获奖的概率； （2）求乙的累计得分的分布列和期望； （3）在甲、乙两人均获奖的条件下，求甲的累计得分比乙高的概率． 19. 在平面直角坐标系中，抛物线：上一点的横坐标为，且点到焦点的距离为2． （1）求抛物线的方程； （2）是不在坐标轴上的一个动点，过可作抛物线的两条切线，两切点连线与垂直．设直线与，轴的交点分别为，． ①证明：是一个定点； ②求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $