精品解析：江西省赣州市2024-2025学年高二上学期1月期末考试数学试题

江西省赣州市2024-2025学年高二上学期1月期末考试数学试题 （考试时间120分钟，试卷满分150分） 2025年1月 第I卷（选择题 共58分） 一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在空间直角坐标系中，，则A，B两点间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间两点间距离公式计算即可. 【详解】在空间直角坐标系中，，则A，B两点间的距离为. 故选：C. 2. 对于直线，下列选项正确的是（ ） A. 直线倾斜角为 B. 直线经过第四象限 C. 直线在轴上的截距为 D. 直线的一个方向向量为 【答案】D 【解析】 【分析】由直线的斜率和倾斜角的关系可判断；令，求出直线过点可判断和； 根据直线过两点，可求得两点间的向量，判断所得向量是否与向量共线可判断. 【详解】设直线的倾斜角为， 对于，直线的斜率为，所以，则，故错误； 对于，当时，，即直线过点，且倾斜角为， 所以直线经过第一、二、三象限，不经过第四象限，故错误； 对于，由知，直线在轴上的截距为，故错误； 对于，当时，，即直线过点， 则，所以直线的一个方向向量为，故正确. 故选：. 3. 复数满足，则的共轭复数（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数模的计算以及复数的除法运算求出复数z，根据复数的共轭复数的概念，即得答案. 【详解】由，可得， 故, 则的共轭复数， 故选：C 4. 如图，在四面体OABC中，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用空间向量的线性运算求解即可. 【详解】因为，所以， 所以 . 故选：A. 5. 某工厂有甲，乙车间生产相同的产品，甲车间生产的产品合格率为0.9，乙车间生产的产品合格率为0.85，若将两车间的产品混合堆放在一起且甲、乙车间的产品数量比例为，现从中随机取出一件产品，则取出的产品是合格品的概率为（ ） A. 0.85 B. 0.86 C. 0.87 D. 0.88 【答案】C 【解析】 【分析】利用全概率公式求解. 【详解】设“从甲车间中随机取出一件产品”，“从乙车间中随机取出一件产品”， “从车间中随机取出一件产品是合格品”， 则， 所以， 故选：C 6. 已知动点P到定点的距离比它到直线的距离大1，直线与动点的轨迹交于A， B两点，且线段AB的中点为，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意确定P点的轨迹求出其方程，利用点差法求出直线AB的斜率，即可求得答案. 【详解】由题意动点P到定点的距离比它到直线的距离大1， 则动点P到定点的距离与它到直线的距离相等， 故动点P的轨迹为以F为焦点的抛物线，其方程为， 设，则， 则，则, 由于线段AB的中点为且在抛物线含焦点的一侧区域内，则直线AB的斜率存在，， 故， 故直线的方程为，即， 故选：D 7. 2024年是红军长征出发九十周年，习近平总书记考察江西于都五周年，为弘扬红色文化、促进健康生活方式，江西省体育局、赣州市人民政府共同举办了一场2024于都红色半程马拉松比赛．某单位6名志愿者准备分成三组前往比赛途径的中央红军长征出发地纪念碑、金山大道、于都体育中心这三个站点进行志愿者活动，要求每组至少有1名且最多有3名志愿者，则不同安排的方法数为（ ） A. 540 B. 450 C. 360 D. 180 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，将6名志愿者按和分成3组，再安排三个站点即可. 【详解】将6名志愿者按和分成3组，不同分组方法种数为， 再将每一种分法的3组安排到三个站点有种， 则不同安排的方法数为（种）. 故选：B. 8. 设有一组圆，、，圆上存在点，使得，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设圆上点的坐标为，由结合平面内两点间的距离公式可知点在圆心为半径为的圆上，则圆与圆有公共点，根据圆与圆的位置关系可得出关于的不等式，即可解出正数的取值范围. 【详解】设圆上点的坐标为，且圆的圆心为，半径为， 由，可得， 化简得，， 则点在圆心为半径为的圆上， 因此圆和圆要有公共点，则， 即，解得. 故选：B. 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知离散型随机变量的分布列如下表所示，则下列选项正确的是（ ） 2 4 6 8 10 2a 0.25 0.1 0.25 A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据分布列的性质列方程求，由期望和方差的定义求，再由期望和方差的性质求，由此确定正确选项. 【详解】由分布列的性质可得， 所以，此时， 所以， ， 所以，. 故选：ABD. 10. 已知A，B为双曲线的左、右顶点，分别为双曲线的左、右焦点，离心率为2且焦点到渐近线的距离为为双曲线上不同于顶点的动点，则下列选项正确的是（ ） A. 双曲线的方程为 B. 直线与双曲线有两个交点 C. 直线PA，PB的斜率之积为3 D. 若，则的面积为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据题意，得到焦点到渐近线的距离为，，求出双曲线方程判断A；根据直线与渐近线平行判断B；设，则，表示出，化简判断C；利用双曲线定义，余弦定理，面积公式求出的面积，判断D. 【详解】对于A，焦点坐标为，渐近线方程为，所以焦点到渐近线距离为， 又因为，所以，又因为离心率，所以， 所以双曲线的方程为，故A正确； 对于B，因为双曲线一条渐近线方程为，与直线平行， 所以直线与双曲线有一个交点，故B错误； 对于C，设，则，，， ，故C正确； 对于D，因为，所以， 解得， 所以，故D错误. 故选：AC. 11. 在边长为2的正方体中，为线段AD上的中点，点在线段上运动，则下列选项正确的是（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 点在线段上运动时，的最小值为 C. 存在点，使得平面PQC与平面在ABCD所成夹角为 D. 当为的中点时，过P，Q作平面平面，则平面截正方体的截面面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，利用棱锥的体积公式即可判断；对于B，利用侧面展开图求解最值判断；对于C，找到线面角取到最大值时点Q的位置，求出此时线面角，即可判断；对于D，作出截面，求出面积，即可判断. 【详解】对于A，由于，而P点到平面的距离即为正方体的棱长， 的面积为，故为定值，A正确； 对于B，将平面展开为一个平面， 则的最小值即为，B错误； 对于C，过作，由于平面，平面，则， 平面，则平面，平面， 则,则即为平面PQC与平面在ABCD所成夹角， 当点在线段上运动，显然当与重合时，平面PQC与底面ABCD所成角最大， 在和中，， ∽，则 ， 故存在点，使得平面PQC与平面在ABCD所成角为，选项C正确； 对于D，如图取AB中点，连接，由题可得， 平面ABCD，连接BD， 平面ABCD，则， 又平面，则平面， 又取中点为，则，有四点共面， 则平面即为平面，设平面与交于， 又由两平面平行性质可知，， 又都是中点，故是中点，是中点， 则平面截正方体的截面为正六边形，正方体棱长为2， 则，故截面面积为，D正确. 故选：ACD 【点睛】难点点睛：解答本题的难点在于D的判断，解答时要利用几何体的结构特征，作出截面，从而求解其面积. 第II卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知随机变量，则的值为______. 【答案】0.35## 【解析】 【分析】根据题意，由求解. 【详解】解：因为随机变量， 所以， 故答案为：0.35 13. 经过两点，且圆心在直线上的圆的标准方程为______. 【答案】 【解析】 【分析】设圆心为，半径为，由及圆心C在直线上，建立关于的方程，求解即可得答案. 【详解】设圆心为，半径为，则由可得，即①， 又圆心在直线上，所以②， 联立①②解得，所以半径， 所以圆的标准方程为. 故答案为： 14. 已知分别为椭圆的左、右焦点，为坐标原点，若椭圆上存在一点，使得，点在的平分线上，，且，则椭圆的离心率为______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据椭圆的定义，分析几何关系，建立关于的等量关系，即可求解. 【详解】如图，设，延长OQ交于， 则为的中点，则为中点， ，又点在的平分线上，则， 故是等腰直角三角形， ， 即， 又，即， ，在中，，即， ， 即. 故答案为：. 四、解答题：共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知的展开式中各项的二项式系数之和为128. （1）求展开式中项的系数； （2）求展开式中项的系数最大的项. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据二项式系数和，得出，再应用通项公式计算即可得出系数； （2）根据通项公式列不等式组计算求出，再结合，则最后计算即可. 【小问1详解】 次二项式的展开式中各项的二项式系数和， 由题意，得，即， 由二项式通项公式，得， 即，令，得 展开式中项的系数为. 【小问2详解】 设展开式中第项的系数最大， 则有， 化简得，即为， 解得， ，则， 展开式中项的系数最大的项为. 16. 已知为坐标原点，抛物线经过点，直线经过点且与抛物线相交于A，B两点. （1）证明：为定值； （2）若，求直线的方程. 【答案】（1）证明见解析 （2）或. 【解析】 【分析】（1）将点代入抛物线方程求，设直线的方程为，联立方程组结合根与系数关系求结论； （2）由条件可得，结合（1）解方程求，由此可得直线方程. 【小问1详解】 由题意，得，即，则抛物线的方程为， 设直线的方程为：， 联立方程组得：，且， 由已知为方程的两个根， ， ， ， 【小问2详解】 因为， 由（1）知， ，解得， 直线的方程为或. 17. 如图，四棱锥的底面是矩形，，是等边三角形，平面平面ABCD，O为AD的中点，在线段PC上且满足与BD相交于点. （1）求证：平面PBO； （2）求直线EM与平面PCD所成角的正弦值. 【答案】（1）法一：为正三角形，为AD中点，， 平面平面ABCD，交线为平面PAD， 平面ABCD， 由于EO和OD均在平面ABCD内， ， 四棱锥的底面是矩形，且为AD的中点，为AC的中点，两两垂直， 以为原点，OE，OC，OP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐系， ， ， 设平面POB的法向量为，则，即， 令，得， 可知平面POB，即平面POB 法二：为正三角形，是AD中点， 平面平面ABCD，平面平面平面平面ABCD， 又平面四边形ABCD为矩形，为AD的中点， ，在和中，， ， ， 又PO，BO在平面POB内且相交，故平面PBO. （2） 【解析】 【分析】（1）法一：利用线面垂直的空间向量求法求解；法二：利用线面垂直的判定定理求证； （2）利用线面角的空间向量求法求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， ，设平面PCD法向量为， 则，即，取，得， 设直线EM与平面PCD所成角为， ， 直线EM与平面PCD所成角的正弦值 18. 2024年10月30日神舟十九号载人飞船成功发射，不仅顺利进入了预定轨道，还与已经在太空中的目标飞行器实现了精准对接，完成了“顺利会师”的壮举，此次任务的圆满完成，不仅标志着中国在载人航天领域取得了新的突破，也为中国未来的深空探索奠定了坚实的基础．为进一步宣传中国航空航天伟大成就，培养学生对航空事业的兴趣和爱国情怀，某中学举办了以“探索航空，爱国起航”为主题的知识竞赛，分初赛和决赛两个环节进行．初赛环节规则如下：每位选手从10道题中随机抽取3道题作答，3道题全部答对的选手晋级决赛．决赛环节进行三轮抢答，规则如下：每位选手每轮抢到题目且回答正确得10分，抢到题目但回答错误扣5分，该轮未参与抢答或未抢到题目不得分，每轮抢答情况相互独立，最终按照决赛中三轮抢答的总得分进行排名并表彰. （1）若某选手对于初赛环节中的10道题目，只有4道能回答正确，求他在初赛环节中答对题目数量的分布列和期望； （2）已知甲晋级决赛，甲在决赛中每轮抢到题目的概率为，能回答正确的概率为，求甲在决赛中总得分大于10分的概率. 【答案】（1）分布列见解析， （2） 【解析】 【分析】（1）由条件确定随机变量的可能取值，再求取各值的概率，由此可得其分布列，进而求得数学期望； （2）所求事件可表示为事件得分，得分，得分的和，再求每轮比赛抢到题目答对，抢到题目答错，没抢到题目的概率，结合概率乘法公式概率加法公式求结论. 【小问1详解】 设该选手初赛中答对题目数量为，的所有可能取值为 ，， ，， 的分布列为： 0 1 2 3 该选手初赛中答对题目数量的期望. 【小问2详解】 甲在决赛中总得分大于分的情况有以下三种： 得分（抢到次且答对次，答错次），得分（抢到次且答对次，次没抢到）， 得分（抢到次且答对次）， 设甲每轮抢到题目且答对为事件， 抢到题目且答错的概率为事件，， 没抢到题目为事件， 得分的概率， 得分的概率， 得分的概率， 甲在决赛中总得分大于分的概率. 19. 为坐标原点，为坐标平面上与不重合的点，表示点到轴的距离，表示点到点的距离，若满足（均为常数），则称点的轨迹为曲线.已知曲线是曲线，直线与曲线交于A，B两点（不与曲线的顶点重合）. （1）求曲线的方程； （2）若点在曲线上，直线QA斜率为，直线QB斜率为，且，求证：直线过定点； （3）若直线经过点，点与点关于轴对称，直线AD与轴交于点，求面积的最大值. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据曲线的定义求方程； （2）设，联立方程组，利用韦达定理求直线方程即可得证； （3）设直线的方程为，联立方程组，可得点为定点，从而求面积最值. 【小问1详解】 根据曲线的定义， 设，由，得. 曲线为曲线，即满足，，得， 即为，化简得曲线的方程为， 故曲线的轨迹为对称中心在坐标原点、焦点在轴、长轴长为4、短轴长为2的椭圆． 【小问2详解】 由题意，当直线的斜率不存在， 则轴，A，B关于轴对称，又， 则，不符合题意， 当直线的斜率存在，设， 联立，得 ，即， ， 由， ， ，故或， 当时，，此时过定点； 当时，，此时过顶点，不符合题意，舍去； 综上，直线AC过定点，得证. 【小问3详解】 设直线的方程为， 联立，即， 则， ，则或， 点与点关于轴对称，则，设点， 三点共线，则，即， 即，即， 得， 点为定点， ， 令， 当且仅当时取等号，的面积的最大值为. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为，； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x（或y）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为的形式； （5）代入韦达定理求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江西省赣州市2024-2025学年高二上学期1月期末考试数学试题 （考试时间120分钟，试卷满分150分） 2025年1月 第I卷（选择题 共58分） 一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在空间直角坐标系中，，则A，B两点间的距离为（ ） A. B. C. D. 2. 对于直线，下列选项正确的是（ ） A. 直线倾斜角为 B. 直线经过第四象限 C. 直线在轴上的截距为 D. 直线的一个方向向量为 3. 复数满足，则的共轭复数（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在四面体OABC中，，则（ ） A. B. C. D. 5. 某工厂有甲，乙车间生产相同的产品，甲车间生产的产品合格率为0.9，乙车间生产的产品合格率为0.85，若将两车间的产品混合堆放在一起且甲、乙车间的产品数量比例为，现从中随机取出一件产品，则取出的产品是合格品的概率为（ ） A. 0.85 B. 0.86 C. 0.87 D. 0.88 6. 已知动点P到定点的距离比它到直线的距离大1，直线与动点的轨迹交于A， B两点，且线段AB的中点为，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 7. 2024年是红军长征出发九十周年，习近平总书记考察江西于都五周年，为弘扬红色文化、促进健康生活方式，江西省体育局、赣州市人民政府共同举办了一场2024于都红色半程马拉松比赛．某单位6名志愿者准备分成三组前往比赛途径的中央红军长征出发地纪念碑、金山大道、于都体育中心这三个站点进行志愿者活动，要求每组至少有1名且最多有3名志愿者，则不同安排的方法数为（ ） A. 540 B. 450 C. 360 D. 180 8. 设有一组圆，、，圆上存在点，使得，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知离散型随机变量的分布列如下表所示，则下列选项正确的是（ ） 2 4 6 8 10 2a 0.25 0.1 0.25 A. B. C. D. 10. 已知A，B为双曲线的左、右顶点，分别为双曲线的左、右焦点，离心率为2且焦点到渐近线的距离为为双曲线上不同于顶点的动点，则下列选项正确的是（ ） A. 双曲线的方程为 B. 直线与双曲线有两个交点 C. 直线PA，PB的斜率之积为3 D. 若，则的面积为 11. 在边长为2的正方体中，为线段AD上的中点，点在线段上运动，则下列选项正确的是（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 点在线段上运动时，的最小值为 C. 存在点，使得平面PQC与平面在ABCD所成夹角为 D. 当为的中点时，过P，Q作平面平面，则平面截正方体的截面面积为 第II卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知随机变量，则的值为______. 13. 经过两点，且圆心在直线上的圆的标准方程为______. 14. 已知分别为椭圆的左、右焦点，为坐标原点，若椭圆上存在一点，使得，点在的平分线上，，且，则椭圆的离心率为______． 四、解答题：共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知的展开式中各项的二项式系数之和为128. （1）求展开式中项的系数； （2）求展开式中项的系数最大的项. 16. 已知为坐标原点，抛物线经过点，直线经过点且与抛物线相交于A，B两点. （1）证明：为定值； （2）若，求直线的方程. 17. 如图，四棱锥的底面是矩形，，是等边三角形，平面平面ABCD，O为AD的中点，在线段PC上且满足与BD相交于点. （1）求证：平面PBO； （2）求直线EM与平面PCD所成角的正弦值. 18. 2024年10月30日神舟十九号载人飞船成功发射，不仅顺利进入了预定轨道，还与已经在太空中的目标飞行器实现了精准对接，完成了“顺利会师”的壮举，此次任务的圆满完成，不仅标志着中国在载人航天领域取得了新的突破，也为中国未来的深空探索奠定了坚实的基础．为进一步宣传中国航空航天伟大成就，培养学生对航空事业的兴趣和爱国情怀，某中学举办了以“探索航空，爱国起航”为主题的知识竞赛，分初赛和决赛两个环节进行．初赛环节规则如下：每位选手从10道题中随机抽取3道题作答，3道题全部答对的选手晋级决赛．决赛环节进行三轮抢答，规则如下：每位选手每轮抢到题目且回答正确得10分，抢到题目但回答错误扣5分，该轮未参与抢答或未抢到题目不得分，每轮抢答情况相互独立，最终按照决赛中三轮抢答的总得分进行排名并表彰. （1）若某选手对于初赛环节中的10道题目，只有4道能回答正确，求他在初赛环节中答对题目数量的分布列和期望； （2）已知甲晋级决赛，甲在决赛中每轮抢到题目的概率为，能回答正确的概率为，求甲在决赛中总得分大于10分的概率. 19. 为坐标原点，为坐标平面上与不重合的点，表示点到轴的距离，表示点到点的距离，若满足（均为常数），则称点的轨迹为曲线.已知曲线是曲线，直线与曲线交于A，B两点（不与曲线的顶点重合）. （1）求曲线的方程； （2）若点在曲线上，直线QA斜率为，直线QB斜率为，且，求证：直线过定点； （3）若直线经过点，点与点关于轴对称，直线AD与轴交于点，求面积的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $