专题03：平面向量的基本定理及坐标表示【7个基础题型+4个能力提升题型+3个拓展】【寒假预习讲义】-2025-2026学年高一数学人教A版必修第二册

2026年寒假高一数学下学期常考题型归纳 【专题03：平面向量的基本定理及坐标表示】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【A·基础达标题型】 【题型1：基底的概念辨析】 【练方法】 核心知识点 平面向量基本定理：如果是同一平面内两个不共线的向量，那么对这一平面内任意向量，有且只有一对实数，使 基底的定义：不共线的两个向量叫做这一平面内所有向量的一组基底 基底的性质：基底不唯一，只要不共线即可；零向量不能作为基底 解题思路 1.判断两个向量是否共线：若（为实数），则共线，不能作为基底 2.验证基底的条件：不共线、非零向量 3.辨析基底相关概念：如“唯一表示”“不共线”等关键词，避免混淆 易错辨析 零向量与任意向量共线，不能作为基底 基底不唯一，只要满足不共线即可，不是只有一组 （2026高三·全国·专题练习）设是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，不能作为基底的是（   ）经典例题1例题 A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】根据平面内不共线的两个向量可以作为一组基底，逐项判断即可. 【详解】是平面内所有向量的一组基底，所以与不共线. 对于A，假设与共线，则存在实数，使，所以，所以假设不成立. 所以与不共线，所以能作为基底，所以A错误； 对于B， 假设与共线，则存在实数，使，所以，所以假设不成立. 所以与不共线，所以能作为基底，所以B错误； 对于C，因为，所以与共线，不能作为基底，所以C正确； 对于D，假设与共线，则存在实数，使，所以，所以假设不成立. 与不共线，所以能作为基底，所以D错误. 故选：C. （2025高三·全国·专题练习）设为平面内的一个基底，则下面四组向量中不能作为基底的是（    ）经典例题2例题 A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【分析】根据基底的定义，结合共线向量的性质判断即可. 【详解】平面向量的基底由两个不共线的非零向量组成， C选项中，，即和为共线向量， 所以它们不能作为基底． 其他选项中的两个向量都不共线，所以可以作为基底． 故选：C （2025高三·全国·专题练习）（多选）若是平面内的一个基底，则下面的四组向量中能作为一个基底的是（ ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据平面向量基底的定义可逐一判断. 【详解】因为是平面内的一个基底，所以不共线， 对于A，因不共线，故与不共线，即可以作为基底； 对于B，因，所以与共线，不能作为基底； 对于C，因不共线，故与不共线，即可以作为基底； 对于D，因不共线，与不共线，所以可以作为基底.. 故选：ACD （23-24高一下·山东菏泽·月考）已知，是不共线的非零向量，则以下向量可以作为基底的是（    ）小试牛刀2 A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】由不共线的两个非零向量才可以作为基底，结合共线定理对各项逐一判断. 【详解】对于A，因为，所以与共线，不能作为基底； 对于B，设，则，解得，所以与共线，不能作为基底； 对于C，设，则，即：，此时无解，所以与不共线，可以作为基底； 对于D，设，则，即：，解得，所以与共线，不能作为基底； 故选：C. 【多选题】（24-25高二下·浙江·期末）设，是平面内两个不共线的向量，则以下，可作为该平面内一组基的是（    ）小试牛刀3 A．， B．， C．， D．， 【答案】ACD 【分析】根据基底的知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】由为不共线向量，可知与，与，与必不共线，故不共线，所以A，C，D符合； 对于B，，故共线，所以B不符合； 故选：ACD. 【题型2：用基底表示向量】 【练方法】 核心知识点 平面向量基本定理：任意向量可由一组基底唯一线性表示 向量的线性运算：加法、减法、数乘运算的法则 向量分解：将目标向量通过平行四边形法则或三角形法则分解为基底的线性组合 解题思路 1.选定一组不共线的基底 2.利用向量的线性运算（加法、减法、数乘）将目标向量转化为基底的线性组合 3.设，通过已知条件列方程求解 易错辨析 线性表示的系数是唯一的，不可重复或遗漏 向量分解时要注意方向，避免符号错误 （2026·河北·模拟预测）在平行四边形ABCD中，和DF交于点，若，则（ ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平行四边形的性质，结合平面向量的线性运算性质、平面向量基本定理进行求解即可. 【详解】设的中点为，连接， 因为，所以是的中点，所以，且， 因为四边形ABCD是平行四边形， 所以，且， 所以 又因为， 所以，因为， 所以，所以， 因为， 所以， 所以 . 故选：B （25-26高一上·辽宁辽阳·期末）如图，在平行四边形中，F为的中点，，则（   ）经典例题2例题    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合图形，根据平面向量基本定理用将向量表示出来即可. 【详解】因为在平行四边形中，F为的中点，， 所以. 故选：B. （25-26高三上·四川巴中·月考）如图，在中，，，则下列说法正确的是（    ）小试牛刀1    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，通过向量的基本定理，用已知向量表示未知向量，即可求解. 【详解】由题意可得，，，所以，， 所以，因为， 所以, 所以 故选： （24-25高三上·江西抚州·月考）在中，点，分别为，边上的中点，点满足，则（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用向量加法及数乘向量运算求解即得. 【详解】因为点，分别为，边上的中点，所以， 又，则， 所以. 故选：B （24-25高一下·黑龙江双鸭山·期中）如图，已知，，，，则（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平面向量线性运算法则计算可得. 【详解】因为，， 所以，， 所以, 又，， 所以. 故选：A. 【题型3：平面向量基本定理证明共线与平行】 【练方法】 核心知识点 向量共线定理：向量与共线，当且仅当存在唯一实数，使 平面向量基本定理：若，，则当且仅当 解题思路 1.用基底表示两个向量 2.若（为实数），则两向量共线 3.或通过基底表示的系数关系判断共线 易错辨析 共线向量不一定同向，也可能反向 零向量与任意向量共线，需注意特殊情况 （25-26高一上·云南昆明·期末）如图，在中，是的中点，，设．经典例题1例题 (1)用向量与表示向量； (2)若，求证：三点共线． 【答案】(1)，； (2)证明过程见解析 【分析】（1）由向量基本定理可得，； （2）由向量基本定理可得，故，，而有公共点，所以三点共线. 【详解】（1），是的中点， 故， ，故； （2） ， 即，， 所以，， 故，而有公共点，所以三点共线. 如图，在中，是的中点，是线段上靠近点的三等分点，设，.经典例题2例题 (1)用向量与表示向量，； (2)若，求证：，，三点共线. 【答案】(1)， (2)证明见解析 【分析】（1）根据平面向量基本定理即可写出答案； （2）由，即可写出，结合，可知，由此即可说明，，三点共线. 【详解】（1）因为是的中点，是线段上靠近点的三等分点， 所以，， 因为，， 所以， （2）证明：因为， 所以， 由（1）知，， 所以 所以与平行， 又与有公共点，所以，，三点共线. （22-23高一下·河北保定·期中）已知，如图，在中，点满足，是线段上一点，，点为的中点，且三点共线．小试牛刀1    (1)求的最小值． (2)若点满足，证明：． 【答案】(1)4 (2)证明见解析 【分析】（1）根据向量的线性运算可得，根据三点共线可得，利用“1”的代换可求的最小值. （2）根据向量的线性运算可得，故可证. 【详解】（1）由题可知， 因为点为的中点，所以 ， 因为三点共线，所以， ， 当且仅当时，等号成立． 所以的最小值为4. （2）    由，则，即， ， 所以，又三点不共线，所以． （2023高一·全国·课后作业）设D、E、F分别是的三边BC、CA、AB上的点，且，，，则（    ）小试牛刀2 A．与反向平行 B．与同向平行 C．与反向平行 D．与不共线 【答案】A 【分析】将、、用和表示，再根据平面向量的线性运算以及平行的概念判断可得答案. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 因为，所以， ， ， ， 所以 ， 所以与反向平行，故A正确，B错误； ， 所以与同向平行，故CD错误. 故选：A （25-26高一上·北京顺义·期末）如图，在平行四边形中，是的中点，是上一点，且．设，．小试牛刀3 (1)用基底分别表示向量； (2)若，用平面向量证明三点共线． 【答案】(1)； (2)证明见解析 【分析】（1）利用向量的线性运算即可求解； （2）利用两向量的数乘关系来证明向量共线，即可证明三点共线. 【详解】（1）由向量的减法可得：， 由向量的加法可得：， 因为在平行四边形中，是的中点，所以， 同理：； （2）由， 则，所以，即三点共线. 【题型4：平面向量线性运算的坐标表示】 【练方法】 核心知识点 坐标表示：若，，则，， 向量坐标与点坐标的关系：若，，则 解题思路 1.明确向量的坐标或点的坐标 2.代入线性运算的坐标公式进行计算 3.注意运算顺序和符号，避免计算错误 易错辨析 向量坐标是终点坐标减起点坐标，不可颠倒 数乘运算时，系数要分别乘以横、纵坐标 （25-26高一上·浙江台州·期末）已知，，则的坐标为（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平面向量的坐标运算即可求解． 【详解】依题意，则． 故选：D． （25-26高二上·河北·期中）已知平行四边形满足，，，则点的坐标为（   ）经典例题2例题 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设点的坐标为，求出,再根据向量相等的坐标表示列出方程,即可求解. 【详解】设点的坐标为， 因为，. 因为是平行四边形，所以， 即，解得，所以点的坐标为. 故选：A （2025·广东肇庆·一模）已知点，向量，，点P是线段AB靠近点A的三等分点，则点P的坐标为（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量线性运算得，然后根据向量的坐标运算列式求解即可. 【详解】由题意得，所以，即， 设，则，所以. 故选：B （25-26高二上·湖南长沙·期中）已知O为坐标原点，，若，则与共线的单位向量为 ．小试牛刀2 【答案】或. 【分析】由，化简得到，得到，结合共线的单位向量的求法，即可求解. 【详解】因为，所以， 由，可得，即，所以， 可得，所以， 则， 所以与向量同向的单位向量为，与向量反向的单位向量为， 所以向量共线的单位向量为或. 故答案为：或. （24-25高一下·云南昆明·期中）如果用，分别表示x轴和y轴正方向上的单位向量，且，，若，则（   ）小试牛刀3 A． B．1 C．2 D．0 【答案】D 【分析】根据向量的坐标运算结合已知条件列式计算求解. 【详解】用，分别表示x轴和y轴正方向上的单位向量，则，且，， 若， 则，则. 故选：D. 【题型5：平面向量数量积的坐标运算】 【练方法】 核心知识点 数量积的坐标公式：若，，则 数量积的运算律：交换律、分配律、数乘结合律 解题思路 1.确定两个向量的坐标 2.代入数量积的坐标公式计算 3.结合运算律简化计算，避免复杂运算 易错辨析 数量积的坐标运算中，是对应坐标相乘再相加，不是向量的模长相乘 注意符号，避免正负号错误 （25-26高三上·广东潮州·期末）已知向量，则向量在向量上的投影向量为（   ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】应用投影向量公式及数量积坐标公式及模长公式计算求解. 【详解】因为向量， 则向量在向量上的投影向量为. 故选：A. （25-26高二上·云南昭通·期末）已知向量，，则（    ）经典例题2例题 A．2 B．4 C． D． 【答案】A 【分析】利用平面向量数量积的坐标运算即可求解. 【详解】因为，， 所以. 故选：A． （25-26高三上·广西崇左·期末）设向量，，则的最大值为（   ）小试牛刀1 A．13 B．5 C．8 D．10 【答案】C 【分析】根据向量的数量积及二倍角公式、辅助角公式化简计算即可. 【详解】 ，其中. 因为，所以，故. 故选：C. （25-26高二上·云南玉溪·期末）已知，，则（   ）小试牛刀2 A．5 B．6 C．12 D．16 【答案】D 【分析】根据向量的加减以及数量积的坐标表示求解，即可得出答案. 【详解】由已知可得，， 所以. 故选：D. （25-26高二上·广东汕头·期末）已知向量，，若，则（   ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用平面向量数量积的坐标公式得，利用同角三角函数的平方关系，及二倍角公式计算即可. 【详解】易知，所以， 则，即 . 故选：D 【题型6：坐标运算中的平行与垂直】 【练方法】 核心知识点 平行的坐标条件：（，） 垂直的坐标条件： 解题思路 1.写出两个向量的坐标 2.代入平行或垂直的坐标条件列方程 3.解方程求解参数或判断位置关系 易错辨析 平行的坐标条件是，不是（避免分母为零的情况） 垂直的条件是数量积为零，需注意零向量的情况 （湖南岳阳市2026届高三年级教学质量监测（一）数学试题）已知向量，若，则（    ）经典例题1例题 A．-2 B．0 C．2 D．4 【答案】D 【分析】根据向量垂直的坐标运算求解. 【详解】因为，所以， 若，则，解得， 故选：D. （25-26高一上·北京海淀·期末）在平面直角坐标系中，，设．经典例题2例题 (1)若，求的值； (2)若向量满足，且，求向量的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）求出的坐标，再根据向量的坐标运算求出，最后根据可得； （2）设，根据模长以及向量平行的坐标运算列出方程组求解. 【详解】（1）由题意得，， 则， 又，所以，得； （2）设，则，即， 因为，，所以，即， 故或， 故向量的坐标为或. （25-26高二上·黑龙江齐齐哈尔·开学考试），，小试牛刀1 (1)若，求值； (2)若，且三点一线.，求的值； (3)若，求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据向量的线性坐标运算求出，然后利用向量共线的坐标公式列方程求解即可； （2）根据向量的线性坐标运算求出，的坐标，然后利用向量共线的坐标公式列方程求解即可； （3）根据向量的线性坐标运算求出，然后利用向量垂直的坐标公式列方程求解即可． 【详解】（1）因为，，所以， 又，且，所以，解得； （2）因为，，所以，， 又三点共线，所以，所以，解得； （3）因为，，所以， 又，且，所以，解得. （24-25高一下·福建三明·期末）已知平面向量.小试牛刀2 (1)求向量在向量方向的投影向量的坐标； (2)若，求实数k的值； (3)若与所成的角为锐角，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据投影向量的定义即可求解； （2）利用向量垂直的坐标运算即可求解； （3）根据题意由向量的数量积和共线向量的坐标运算即可求解. 【详解】（1）因为， 所以，， 所以在方向的投影向量为. （2）由题意知：，， 因为，所以 即，解得. （3）， 因为与所成的角为锐角， 所以，且与不共线， 由，解得， 当与共线时，由，解得， 因为与不共线，所以， 综上所述：实数的取值范围为. （24-25高一下·山东菏泽·期末）已知点，向量，，．小试牛刀3 (1)若，求的值； (2)若点在线段的延长线上，且，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先求得的坐标，根据数量积为0列方程求解即可； （2）设，由题意，由此即可列方程求解. 【详解】（1）， 因为，所以， 得； （2）设，因为点在线段的延长线上且， 所以， 所以，解得：， 所以点的坐标为. 【题型7：数量积坐标运算求模长与夹角】 【练方法】 核心知识点 模长的坐标公式：（） 夹角的坐标公式： 解题思路 1.计算数量积、模长、 2.代入模长或夹角的坐标公式 3.结合确定夹角的大小 易错辨析 模长计算后要开平方，避免直接用平方结果 夹角的余弦值为负时，夹角为钝角，需结合范围判断 （25-26高三上·内蒙古乌兰察布·月考）若向量，，记，则（   ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出，利用向量夹角的余弦公式求得，结合二倍角公式即可求解. 【详解】由题意得，所以，所以. 故选：D. （25-26高三上·安徽·月考）已知向量，若与的夹角的余弦值为，则 .经典例题2例题 【答案】 【分析】由向量夹角公式的坐标表示即可求解 【详解】设与的夹角为， 由夹角公式得，解得. 故答案为： （25-26高三上·江西鹰潭·月考）已知向量，，则（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由坐标计算向量夹角的余弦可得. 【详解】由，得，， 所以 . 故选：A （24-25高一下·甘肃天水·月考）已知向量，，向量在方向上的投影为2．小试牛刀2 (1)求实数的值； (2)若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用向量投影的定义列式求解； （2）由题可得且与不共线，列式运算得解. 【详解】（1）由题可得，解得. （2）由向量与的夹角为锐角，可得且与不共线， ，所以， 又，即，此时可得 所以实数的取值范围为. （2025·江西景德镇·模拟预测）已知向量，且与的夹角是，则 .小试牛刀3 【答案】－4 【分析】由向量夹角的公式计算可得. 【详解】，所以. 故答案为：－4. 【B·能力提升题型】 【题型1：平面向量基本定理求参数】 【练方法】 核心知识点 平面向量基本定理：向量的线性表示唯一，系数唯一 向量相等的条件：若，则，（不共线） 解题思路 1.用基底表示两个相等的向量 2.根据向量相等的条件列方程组 3.解方程组求出参数的值 易错辨析 基底必须不共线，否则系数不唯一 列方程时要注意对应系数相等，避免错位 （25-26高一上·辽宁沈阳·期末）如图：在平行四边形中，、分别为边、上的点，且，，连接，交于点，若，则 .经典例题1例题    【答案】 【分析】设，利用基底表示，利用算两次思想以及平面向量基本定理可得. 【详解】由题意可得，， 因为三点共线，所以设， 则， 则， 由平面向量基本定理可得，，得. 故答案为： （25-26高一上·内蒙古呼和浩特·期末）如图，在中，点在上，过点的直线分别交直线、于不同的两点、，设，．经典例题2例题 (1)若是上靠近的三等分点，用和表示； (2)若是中点，设，，求的值． 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）根据图形，利用向量的加法法则计算可得； （2）利用向量的四边形法则结合共线的基本定理可得. 【详解】（1）因为是上靠近的三等分点，所以， 则由空间向量的加法法则得， 由空间向量的减法法则得 ，故. （2）若是中点，设，， 则， 因为三点共线，所以. （25-26高三上·江西南昌·期中）在平行四边形中，点是边上的点，，点是线段的中点，若，则（    ）小试牛刀1 A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】以向量为一组基底，利用向量的加法和数乘运算表示出即可. 【详解】由题可得，向量不共线，则以向量为一组基底， 所以，则. 故选：D. （25-26高三上·天津南开·月考）如图，在中，，分别在线段，上，且，，，交于点，若，则 .小试牛刀2 【答案】2 【分析】由已知可得向量与向量共线，设，根据向量线性运算法则可得，，由此可得，根据平面向量基本定理可得，，由此可得结论. 【详解】由已知向量与向量共线，故可设， 所以， 因为，所以， 故， 所以， 又， ，不共线， 由平面向量基本定理可得，，， 所以， 故答案为： （2025高三·全国·专题练习）如图，在中，的中点为的中点为的中点为，若，则（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用向量加减、数乘的几何意义用表示出，即可得参数值，进而求目标式的值. 【详解】由题意，，， 又， 解得，所以，，则. 故选：D 【题型2：利用平面向量基本定理求数量积】 【练方法】 核心知识点 平面向量基本定理：将向量用基底表示 数量积的运算律：分配律、数乘结合律 基底的数量积：已知基底的模长和夹角，可计算 解题思路 1.选择合适的基底 2.将目标向量用基底表示，如， 3.展开，代入基底的数量积计算 易错辨析 展开数量积时要注意分配律的应用，避免漏项 基底的夹角和模长要准确，避免计算错误 （25-26高一上·广东广州·期末）如图所示，已知中，点依次是边上的三个四等分点，若，则（   ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】以的中点为核心，通过将所求向量均用及相关的有向线段表示，并利用向量乘积的分配律与平方差公式进行化简，已知结合的长度得到的值，再对向量分解，借助中点性质最终将所求化为的数值计算. 【详解】 ，又为中点，， . 故选：B （25-26高一上·浙江杭州·期末）如图，在中，角的对边分别为．已知，为CD上一点，且满足．经典例题2例题 (1)求的值； (2)求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平面向量基本定理，以及向量的线性运算，用基底表示向量，求出参数值； （2）根据向量模长与向量数量积的关系，以及基本不等式，求出最小值即可. 【详解】（1）设，因为，所以， 可知， 当时，解得，即，所以. （2）由得， 在中，，所以， 所以， 可知，当且仅当时，即时取等号， 可得，即，所以的最小值为. 【多选题】（25-26高一上·江苏盐城·期中）在所在的平面内有两点P，Q，满足，，且与交于点M，，则下列说法正确的是（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】依题意，画出图形，再结合选项依次判断即可． 【详解】由，及，得如图所示：    则，得，故A项正确； 由，则，故B项正确； 由与是同向共线的，故，故C项错误； ，故D项正确． 故选：ABD （25-26高二上·辽宁·开学考试）如图，在中，分别为边上的点，且，与交于点，记，，，．小试牛刀2    (1)求和的值，并用表示； (2)若，，，求与夹角的余弦值． 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）利用基底表示，结合以及平面向量基本定理求出即可表示； （2）利用第一问求出，，再利用数量积的运算律以及向量夹角公式即可. 【详解】（1）因为，，， 则，， 所以，， 所以，， 因为 ， 所以，解得， 所以， ； （2）因为，，， 所以，，， 因为，， 所以． ， ． 因为， 所以与夹角的余弦值为． （24-25高一下·江苏连云港·月考）如图，在梯形中，，且，设，．小试牛刀3 (1)试用和表示； (2)若点满足，且，，三点共线，求实数的值． (3)若，，，且点E是线段AC上的动点，求的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用向量三角形法则可得：，，，化简整理即可得出； （2），，三点共线，可得存在实数使得，又，，可得，又，可得，再利用向量基本定理即可得出． （3）由向量的线性运算得，，然后结合数量积的运算律得 ，利用二次函数性质即可求解最值. 【详解】（1）因为，，， 所以，化简为． （2）因为，，三点共线，所以， 因为，，所以， 又 ， 所以， 所以解得． （3）因为点E是线段AC上的动点，设，因为， 所以， 所以，， 所以 ， 故当时，取到最小值． 【题型3：向量坐标线性运算求参数】 【练方法】 核心知识点 向量线性运算的坐标公式（或基底表示） 向量相等的条件：对应坐标（或系数）相等 共线向量的条件： 解题思路 1.进行向量的线性运算（加法、减法、数乘） 2.根据向量相等或共线的条件列方程 3.解方程求出参数的值 易错辨析 线性运算时要注意符号和系数，避免计算错误 共线向量的参数要唯一，避免多解或漏解 （23-24高一下·江苏苏州·期中）在平行四边形中，，分别在边，上，，，与相交于点，记，，则（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】法1：设，根据平面向量的线性运算和平面向量基本定理可得，进而可得结果；法2：建系，设，结合向量的坐标运算分析求解；法3：做辅助线，根据几何知识分析可知，进而可得结果. 【详解】法1：因为， 设，则， 因为，，三点共线，则，解得， 即，所以； 法2：坐标法（特殊化平行四边形建系） 不妨设平行四边形为矩形，建立如图所示平面直角坐标系， 设，，则， 所以直线，直线， 联立方程，解得， 可得，，， 设， 则，解得， 所以； 法3：如图，延长，，交于点， 因为为中点，所以， 又，则，可得， 可知，所以； 故选：C. 已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点．已知平面内点，把点绕点沿顺时针方向旋转后得到点，则点的坐标为（    ）经典例题2例题 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，设，由条件可得的坐标，然后列出方程，即可得到结果. 【详解】设，则，将点绕点沿顺时针方向旋转， 即将点绕点沿逆时针方向旋转， 可得， 化简可得，， 又因为， 所以，解得，所以. 故选：D （2023·江西·模拟预测）在平面四边形中，，若，则（    ）小试牛刀1 A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】设，建立以所在直线为轴，的垂直平分线为轴的平面直角坐标系，利用平面向量的坐标法即可得答案. 【详解】设， 如图，以所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系， 则 ，， 因为，所以， 所以, 解得，所以. 故选：B 已知在中，，，设是的内心，若，则（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以的中点为坐标原点，建立如下图所示的坐标系，由内切圆的性质得出，再由得出. 【详解】以的中点为坐标原点，建立如下图所示的坐标系：      设的内切圆的半径为，则，解得 故，则 因为，所以，即，解得，故. 故选：C 如图，在矩形中，，，点在以点为圆心且与相切的圆上，.若，则的值为（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出圆的半径，然后以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立平面直角坐标系，写出各点的坐标，利用平面向量的坐标运算求出、的值，即可得解. 【详解】设圆的半径为，则， 以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系， 则、、、， ，，， 由，得， 所以，，解得，因此，. 故选：B. 【题型4：数量积坐标运算求最值与范围】 【练方法】 核心知识点 数量积的坐标公式： 函数最值：将数量积表示为单变量函数，利用配方法、判别式法或三角函数有界性求最值 向量的模长范围：（三角不等式） 解题思路 1.将数量积表示为关于参数的函数 2.利用函数性质（如二次函数的顶点、三角函数的最值）求的最值 3.结合参数的取值范围确定最值或范围 易错辨析 注意参数的取值范围，避免超出范围导致最值错误 三角函数的最值要结合的范围，避免多解 （25-26高三上·安徽·月考）在等腰梯形 中， ，， 是线段 上的动点，则 的最小值为（     ）经典例题1例题 A． B． C． D．0 【答案】B 【分析】方法一：建立平面直角坐标系，设 ，写出对应点坐标，根据平面向量数量积坐标运算建立等式计算即可求解；方法二：由极化恒等式列式计算即可. 【详解】方法一：以 为原点，射线 为 轴正半轴建立直角坐标系，如图所示：    ，则 ， 设 ，其中 ，则 ， ， 当 时， 取得最小值为 . 方法二：极化恒等式 设 的中点为 ，则 ， 当 为 中点时， 取得最小值为 . 故选：B. （25-26高三上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在梯形中，，，，若是线段上的动点，且，则的最小值为（    ）经典例题2例题    A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】C 【分析】以点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，设，由平面向量数量积的坐标表示求得数量积，再结合二次函数知识得取值范围． 【详解】以点为坐标原点，所在直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系，   ，， 设，则（其中）， ， ， 所以，当时，取得最小值11. 故选：C （25-26高三上·重庆·月考）如图，在梯形ABCD中，，，，若M，N是线段BC上的动点，且，则的最小值为（    ）小试牛刀1 A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】B 【分析】以点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，设，由平面向量数量积的坐标表示求得数量积，再结合二次函数知识得取值范围． 【详解】以点为坐标原点，所在直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系， ，， 设，则（其中）， ， ， 所以，当时，取得最小值11. 故选：B． （2025高一下·江苏南京·专题练习）窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图是一个正八边形窗花隔断，图是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．如图，若正八边形的边长为，是正八边形八条边上的动点，则的最小值为（ ）小试牛刀2 A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】设夹角为，分析可得，当，则，当时，以为原点，、分别为轴建系，根据正八边形性质，可得各点坐标，分别计算在线段（除）上、在线段上运动和在线段（除）上运动时，的表达式，求出其范围，综合考虑即得答案. 【详解】设的夹角为， 当与重合时，； 当在线段（除）、线段、线段，线段，线段（除）点上运动时， ，所以， 当与重合时，，所以， 以为原点，、分别为轴建立平面直角坐标系， 根据正八边形的性质可知，G到AF的距离为， 则， 直线的方程为，直线的方程为，直线的方程为， 当在线段（除）上运动时，设， 所以， 当在线段上运动时，设， 所以， 当在线段（除）上运动时，设， 所以. 综上所述，的最小值为. 故选：C （25-26高三上·天津南开·月考）如图，在直角梯形中，．若、分别是、上的动点，满足，其中，则的最大值为 ．小试牛刀3 【答案】 【分析】建立直角坐标系，由题意可得：，由题意可得，，结合平面向量数量积的坐标运算得到关于的二次函数，即可求解． 【详解】建立如图所示的直角坐标系，由题意可得：， 设，即，据此可得：， 故，同理可得， 据此可得：， 则 ， 由于，所以当时，取得最大值，为． 故答案为： 【C·拓展培优题型】 【题型1：数量积坐标运算与三角函数结合】 【练方法】 核心知识点 数量积的坐标公式： 三角恒等变换：如，，等 三角函数的有界性： 解题思路 1.用三角函数表示向量的坐标（如，） 2.计算数量积，利用三角恒等变换化简 3.结合三角函数的有界性求最值或范围 易错辨析 三角恒等变换要准确，避免公式记错 注意角度的范围，避免三角函数值超出 （2025高一上·江苏南通·专题练习）在平面直角坐标系xOy中，已知向量，，经典例题1例题 (1)若，求的值； (2)若，，求的值域． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平行关系得到方程，结合三角恒等变换得到，由整体法诱导公式得到的值； （2）由向量数量积公式和三角恒等变换得到，，得，求出最值，得到的值域为. 【详解】（1）由 ，得 ， 由 ，得 ， 即， 化简得，所以 ， 所以 . （2）依题意， ， ，得， 则当 ，即时，； 当，即时，． 所以的值域为. （25-26高三上·福建泉州·期中）已知向量其中，函数，且最小正周期为．经典例题2例题 (1)求的对称中心及其在区间上的最大值与最小值； (2)将函数的图象先向右平移个单位，再向上平移个单位，得到函数的图象，若直线与函数图象在轴右侧从左到右的30个交点的横坐标依次为，求的值． 【答案】(1)的对称中心为；， (2) 【分析】（1）利用向量的数量积的坐标运算和三角恒等变换化简得，由条件求得，即得，结合正弦函数的对称性和单调性即可求得答案； （2）根据图象的平移伸缩变换求出，利用函数与方程的思想，先求出方程在一个周期上的解，再根据题意判断30个交点包含的周期数，利用正弦函数的对称性，即可求得答案. 【详解】（1） ， 依题，，解得，则， 由，可得，即得函数的对称中心为； 因，则，当时，即时，，当时，即时，. （2）将函数的图象先向右平移个单位，再向上平移个单位，得到函数， 由可得（*）， 根据正弦函数的图象可得或，，解得或， 因的周期为，当时，方程（*）的解为， 则直线与函数图象在轴右侧从左到右的30个交点中包含15个周期， 且，，， 则 . （25-26高三上·上海·期中）已知向量，，记函数.小试牛刀1 (1)若为偶函数，求的最小值； (2)把图象向右平移个单位长度，得到函数图象.若函数在区间内恰有20个零点，求的最小值. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）应用数量积坐标公式计算化简，再应用函数是偶函数得出即可得出最小值； （2）应用平移得出，再应用零点得出，进而应用个数得出的最小值. 【详解】（1） ， 因为为偶函数， 所以，， 因此当时，. （2）把图象向右平移个单位长度， 得到函数，， 令，则. 所以，或，， 解得，或，. 函数的每个周期内有2个零点， 函数在一个周期内有两个零点，20个零点即10对， 为使区间长度最小，该区间应从第1个零点延续到第20个零点， 所以的最小值为. （25-26高一上·浙江宁波·期末）已知等边三角形的边长为2，以顶点为圆心，2为半径作圆弧，设是弧上的动点（包括端点）.小试牛刀2 (1)求阴影部分的面积； (2)求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据扇形及三角形的面积公式分别求出及，然后两式相减即可得解； （2）以为原点，建立平面直角坐标系，设，则，进而得到的解析式，再利用三角函数求出其值域即可得解. 【详解】（1）设阴影部分的面积为， 则； （2） 以为原点，为轴，过作垂直于的直线为轴， 建立如图所示的平面直角坐标系，则， 设，则. 所以 所以， 所以 . 当时，，， 所以，. 所以的取值范围为. （24-25高一下·广西柳州·期末）定义向量的“伴随函数”为；函数的“伴随向量”为.小试牛刀3 (1)写出的“伴随函数”，并直接写出的最大值； (2)已知向量，，函数，求函数的“伴随向量”的坐标； (3)已知，的“伴随函数”为，的“伴随函数”为，设（，），且的伴随函数为，其最大值为p. ①若，求p的取值范围； ②求证：向量的充要条件是. 【答案】(1)，最大值为2. (2) (3)①，②证明见详解 【分析】（1）根据新定义可得得表达式，由辅助角公式化简即可求解； （2）根据向量数量积坐标运算结合三角恒等变换化简，根据“伴随向量”的定义求解； （3）设，，①由新定义结合三角恒等变换化简求得的取值范围；②由题得，则，先证明充分性，再证明必要性. 【详解】（1）由，得， ， 当且仅当，即时，取得最大值2. （2）由题，可得， 所以函数的“伴随向量”. （3）由题，设，， ①因为，所以， ， 所以 ， 因为，所以的取值范围为. ②因为， 所以 ， 故， 先证明充分性：由，得， 即， 所以，故， 所以； 必要性：当时，可得， . 综上，向量的充要条件是. 【题型2：线性运算/数量积坐标运算中的最值与范围】 【练方法】 核心知识点 向量线性运算的坐标公式 数量积的坐标公式 函数最值：配方法、判别式法、导数法（或三角函数有界性） 几何意义：向量的模长、夹角的几何意义 解题思路 1.将目标表达式（如模长、数量积）表示为单变量函数 2.利用函数性质或几何意义求最值 3.验证等号成立的条件，确保最值可取 （23-24高一下·福建泉州·月考）在中，，．为所在平面内的动点，且，若，则的取值范围是 ．经典例题1例题 【答案】 【分析】建立坐标系，设，然后利用坐标运算以及辅助角公式变形，通过三角函数的性质求解范围. 【详解】如图建立平面直角坐标系，设，则， 则，， 因为，所以，即 所以，， 所以的取值范围是. 故答案为：. 在矩形ABCD中，，，动点P在以点A为圆心的单位圆上．若，则的最大值为（    ）经典例题2例题 A．3 B． C． D．2 【答案】C 【分析】构建直角坐标系，令，，根据向量线性关系的坐标表示列方程组得，结合辅助角公式、正弦函数性质求最值. 【详解】构建如下直角坐标系：，令，， 由可得：， 则且， 所以当时，的最大值为. 故选：C 在直角梯形中，，，，，，分别为，的中点，点在以为圆心的圆弧上运动，若，求的取值范围．小试牛刀1 【答案】 【分析】设，根据得出，最后由正弦函数的性质得出的取值范围 【详解】设， 则 因为，所以 即，解得， 所以 因为，所以 即 直角梯形中，是边长为2的正三角形，是平面的动点，，设，则的值可以为（    ）小试牛刀2 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】BC 【分析】先建立坐标系，再通过向量的相等求出，最后求出即可作出判断. 【详解】 以为原点，为轴，所在直线为轴，建立直角坐标系， , 可设取, 因为， 所以， ，， 因为，所以， 因此可得， 所以， 可知1和2在此区间内. 故选：BC. 【点睛】关键点睛：解决本题的关键一是建立坐标系，通过向量的相等得到参数的表达式，二是通过辅助角公式统一函数名称进一步求出范围. 矩形ABCD中，AB＝，BC＝，P为矩形内一点，且AP＝，若(λ，μ∈R)，则λ＋μ的最大值为 .小试牛刀3 【答案】 【分析】建立坐标系，设P(x，y)，由AP＝，得x2＋y2＝，根据，得，可求出答案. 【详解】以为原点，为轴建立如图所示的平面直角坐标系， 设P(x，y)，B( 0)，C(，)，D(0，). ∵AP＝，∴x2＋y2＝ 点P满足的约束条件为 ∵(λ，μ∈R)， ∴(x，y)＝λ(，0)＋μ(0，)， ∴ ∵ 当且仅当x＝y时取等号， ∴λ＋μ的最大值为. 故答案为： 【点睛】本题考查向量的坐标运算，考查求代数式的最值，考查均值不等式求最值，属于中档题. 【题型3：向量坐标运算的综合题型】 【多选题】（25-26高三上·黑龙江·期末）如图，建立如下斜坐标系：设，是平面内相交成 角的两条数轴，，分别是与轴、轴正方向同向的单位向量，若，则把有序实数对叫做向量在斜坐标系中的坐标，记作，则在斜坐标系中，下列说法正确的是（    ）经典例题1例题 A．点的坐标为，则线段的长度为 B．点满足，则的轨迹与轴，轴正半轴围成的区域面积小于 C．点满足，则的最大值为 D．定义点与点坐标距离为，平面上一点，若动点（，）满足：①；②，则点运动所形成的轨迹长为2 【答案】ACD 【分析】设，分别为轴，轴正向的单位向量，对于A，将表示为，，再直接求平方即可；对于B，将表示为，，平方后研究OM的长度，分析其取值范围，再结合圆的面积公式即可判断；对于C，将表示为，，再直接求平方，后续法一：将平方式转化为齐次式，令，将表达式转化为t的函数求最值即可，法二：令，，结合三角函数求表达式最值即可，法三：令（为凑形式所设参数），其中，再通过基本不等式对放缩，并得到的第二个等式，联立求解出并结合放缩结果即可得到表达式最值；对于D，设点，根据所给的两个等式可以得到，，，最后结合斜坐标系的特性求解即可． 【详解】设，分别为轴，轴正向的单位向量，， 对于A，，，故A正确； 对于B，，， ，，故B错误； 对于C，法一：，令， ， 法二：令，， ， 法三： ， 令，则， 结合，解得，所以，故C正确； 对于D，设点， ， 当且仅当，时取等号， 由得，可得， 则其轨迹如图所示，为， 由于，且，易得为等边三角形， ，故轨迹长度为2，故D正确． 故选：ACD． 【多选题】．（25-26高三上·重庆·月考）已知非零向量，其中向量夹角为θ，定义运算：，若，则下列说法正确的是（    ）经典例题2例题 A． B．若，，则 C． D．若，则的最小值为4 【答案】CD 【分析】对于A，举反例均为单位向量，且两两夹角为，结合运算的定义即可；对于B、C求出，即可得出，再结合运算的定义即可；对于D，结合运算的定义求出， ，最后利用基本不等式即可求出. 【详解】对于A，若均为单位向量，且两两夹角为，则与反向， 则， ，， 此时不满足，故A错误； 对于B，若，，则， 因，则， 则，故B错误； 对于C，若，则， 因，则， 则， 故C正确； 对于D，因， 则， 因，则，则， 则， 等号成立时， 则的最小值为，故D正确. 故选：CD 【多选题】（24-25高一下·四川绵阳·期末）在菱形中，，，，，点M在线段上，且，若点N为线段上一个动点，则下列说法正确的有（    ）小试牛刀1 A． B． C．向量在方向上的投影向量为 D．的最小值为 【答案】ABD 【分析】取平面向量的基底，利用共线向量定理的推论判断A；利用数量积的运算律计算判断BD；求出投影向量判断C. 【详解】在菱形中，，， 对于A，由，得，解得， 则， 而点M在线段上，于是，解得，A正确； 对于B，，，B正确； 对于C，，，向量在方向上的投影向量 为，C错误； 对于D，由点N为线段上，设， ， ， ，当且仅当时取等号，D正确. 故选：ABD 【多选题】（24-25高一下·新疆乌鲁木齐·期末）延长正方形的边至点，使，动点从点出发沿正方形的边按逆时针方向运动一周后回到点，若，则下列正确的是（    ）小试牛刀2 A．若，则点与点重合 B．若点与点重合，则， C．满足的点有2个 D．满足的点有且只有1个 【答案】AC 【分析】对于选项A和选项B，直接将选项中的条件代入，结合向量的加法法则判断，对于选项C和选项D，建立平面直角坐标系，再根据点的坐标和选项中的条件表示出点，依次分析点在四条边上的情况即可判断. 【详解】选项A：已知，，即， 若，则， 故点与点重合，选项A正确； 选项B：若点与点重合，则， 故，，选项B错误； 选项C：以为原点，为轴建立平面直角坐标系， ，，，若，则，， ，当在上时，，解得，为点， 当在上时，，解得，，为点， 当在上时，，解得，，不符合题意， 当在上时，，解得，， 综上，满足的点有2个，一个是点，一个是，选项C正确； 选项D：若，则，， ，当在上时，，解得，，不符合题意， 当在上时，，解得，， 当在上时，，解得，，不符合题意， 当在上时，，解得，，综 上，满足的点有2个，一个是，一个是，选项D错误. 故选：AC. 【多选题】（24-25高一下·浙江·月考）已知平面向量，满足为单位向量，，则（    ）小试牛刀3 A． B．的最小值为 C．在方向上的投影长度的范围为 D．若，则的最大值为 【答案】ACD 【分析】先由题设求出，设，，，则，进而判断选项A，设，中点为，利用数量积进行求解判断B，利用投影定义结合坐标法求解判断选项C；先由题设转化得，接着平方并令得，再利用判别式求解的范围可判断选项D. 【详解】由，为单位向量，，得， 故，则，又，故， 设，，，则， 则点在以为圆心且为半径的圆上，故，故A正确； 设，中点为， 则， 由题意可得，， 因为，故最小值为，故最小值为，故B错误； 在的投影长度为， 点在以为圆心为半径的圆上， 设，，则， 则， 故在的投影范围，故C正确； 由和得， 所以， 令，则即， 则，故， 故最大值为，故D正确． 故选:ACD． 期末真题检测 一、单选题 1．（25-26高三上·河南周口·期末）已知向量，，若，则（   ） A． B． C．4 D．5 【答案】A 【分析】利用已知条件和向量的垂直关系求出未知量即可求得，进而得. 【详解】由，，得， 由，则，解得， 则，所以. 故选：A 2．（25-26高三上·湖北黄石·期末）已知向量，若，则（    ） A． B．2 C．5 D． 【答案】A 【分析】先通过数量积的坐标运算求得的值，再由模的计算公式即得答案. 【详解】∵， ∴，解得. ∴， 故选：A. 3．（25-26高三上·山东东营·期末）已知向量，若向量在方向上的投影的数量为，则（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】首先求出，再由向量在方向上的投影的数量为计算可得. 【详解】由向量，可得， 因为向量在方向上的投影的数量为， 由题意可得，解得. 故选：B 4．（25-26高三上·北京顺义·期末）已知向量，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据数量积的定义计算，再根据计算即可. 【详解】由题意可得，， 则， 故. 故选：D 5．（25-26高三上·北京昌平·期末）已知正方形的边长为1，为线段的中点，为边上的动点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立平面直角坐标系，根据平面向量数量积坐标运算即可求解. 【详解】以为坐标原点，为轴，为轴建立如图所示的平面直角坐标系，    则，，，设， ，， 则. 故选：C 6．（25-26高二上·北京西城·期末）下列各组空间向量中不平行的为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据共线向量定理及共线向量的坐标关系判断. 【详解】对于A：因为，所以，A错误； 对于B：因为，所以，B错误； 对于C：因为，所以与不平行，C正确； 对于D：因为，所以，D错误. 故选：C. 7．（25-26高一上·江苏南通·期末）如图，直角梯形，，，，分别为的中点，满足，则为（    ）    A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】以为原点建立平面直角坐标系，利用平面向量数量积的坐标运算求. 【详解】以为原点建立平面直角坐标系，如图：    设（），则，所以，， 所以，， 由 ，又，所以. 所以 . 故选：B 二、多选题 8．（25-26高一上·云南昆明·期末）已知向量，则下列结论中正确的是（   ） A．与可以作为所在平面的一组基底 B． C． D． 【答案】AC 【分析】A选项，判断出与不平行，所以与可以作为所在平面的一组基底，A正确；B选项，，由模长公式进行求解；C选项，计算出，；D选项，由夹角余弦公式进行求解. 【详解】A选项，，， 故与不平行，所以与可以作为所在平面的一组基底，A正确； B选项，，故，B错误； C选项，， 所以，故，C正确； D选项，，D错误. 故选：AC 9．（25-26高三上·辽宁·期末）在 中，点 在边 所在的直线上，且 ，若 ，则 的值可能为（ ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】分两种情况，分别画出图形，利用平面向量基本定理求解即可. 【详解】由题意，当点位于如图所示的位置时，， 此时，那么. 由题意，当点位于如图所示的位置时，， 此时，那么. 故选：BC. 10．（25-26高二上·湖南常德·期末）已知向量，则（    ） A． B．当时， C．当 时， D．的最大值为7 【答案】ACD 【分析】根据向量的模的公式判断A；根据判断B；根据向量平行的坐标运算判断C；根据三角不等式判断D. 【详解】因为，所以，故A正确； 当时，，即， 因为，得，B错误； 当 时，满足，即，C正确； ，故的最大值为7，D正确. 故选：ACD. 11．（25-26高三上·山西运城·期末）如图，在中，，BM交CN于点E，且，则（    ） A． B． C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】ABD 【分析】取CN的中点H，连接MH，易得，，从而，再逐项判断. 【详解】如图， 取CN的中点H，连接MH，则，且，所以，且，所以，所以，即． 对于A，，故A选项正确； 对于B，，故B选项正确； 由，可得， 即， 即，所以， 当且仅当，即时， 取得最小值为，故C选项错误，D选项正确． 故选:ABD 12．（25-26高三上·广东汕头·期末）设是平面内相交的两条数轴，分别是与轴､轴正方向同向的单位向量，且它们的夹角为.若向量，则把有序实数对叫做在坐标系中的坐标，即.设，则（    ） A． B． C．在上的投影向量的坐标为 D． 【答案】ACD 【分析】对于A，由向量模的计算公式可得答案；对于B，由数量积的运算律计算可得答案；对于C，由向量投影向量计算公式可得答案；对于D，由向量减法坐标计算公式可得答案. 【详解】由题可得，，，， 对于A， ，故A正确； 对于B， ，故B错误； 对于C，在上的投影向量为，由B分析可得， 又， 则，故C正确； 对于D，，故D正确. 故选：ACD 三、填空题 13．（25-26高一上·山西忻州·期末）设向量，若，则实数 ． 【答案】 【分析】根据“若，则”，解出的值； 【详解】，， 则实数， 解得， 故答案为：. 14．（25-26高一上·北京延庆·期末）在平行四边形ABCD中，点N在线段BD上，，点M为AB的中点．若M，N，C三点共线，则此时 ． 【答案】 【分析】根据向量的线性运算，结合共线定理即可求解. 【详解】, , 由于M，N，C三点共线，故, 因此，解得. 故答案为： 15．（25-26高三上·天津蓟州·期末）在中，，，，为与的交点，记，，则用，表示 ；向量在上的投影向量的模的最小值为 . 【答案】 【分析】设，利用三点共线，三点共线，得到，最后求出投影向量，利用基本不等式即可求解. 【详解】设 如图，因为三点共线，三点共线，所以，解得， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 向量在上的投影向量的模的最小值为 故答案为：，. 16．（25-26高三上·天津河西·期末）在中，，，，，且与交于点F，则 （用表示），若，则的最大值为 ． 【答案】 ； . 【分析】①先设，再由向量的线性运算及三点共线可得，从而可得；②再由，由向量的数量积为零可得关于的余弦值，再用基本不等式可得角的最大值. 【详解】如图：    设，则，且，所以. 又因为，所以，. 因为三点共线，设，则，即， 因为不共线，由平面向量基本定理得，解得 所以，. 若，设，则，即， ，，， 又因为，且在上单调递减， 所以，故的最大值为. 故答案为：；. 四、解答题 17．（25-26高一上·山东日照·期末）已知平面内三个向量，，. (1)若，求实数，的值； (2)若，求实数的值； (3)已知，求的最小值. 【答案】(1) (2) (3). 【分析】（1）根据平面向量线性运算的坐标表示得到方程组，解得即可； （2）求出、的坐标，根据向量共线的坐标表示得到方程，解得即可； （3）表示出，利用坐标法计算，结合二次函数的性质计算可得. 【详解】（1），又，，， 即， ，解得. （2）因为，， 又， ，即，解得. （3）因为， 所以， 所以当时，取最小值. 18．（25-26高一上·浙江金华·期末）如图，在中，点是中点，点、分别在边、上，，.设，. (1)用向量、表示； (2)若，，，求向量、夹角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用平面向量的减法可得出关于、的表达式； （2）解法一：利用平面向量数量积的运算性质可求得向量、夹角的余弦值； 解法二：推导出为等腰直角三角形，然后以为原点，的方向为轴的正方向，的方向为轴的正方向建立平面直角坐标系，利用平面向量数量积的坐标表示可求得结果； 解法三：推导出为等腰直角三角形，然后以为原点，的方向为轴的正方向建立平面直角坐标系，利用平面向量数量积的坐标运算可求得结果. 【详解】（1）由题意可得. （2）解法一：由（1）得 ， 因为为的中点，所以， 从而， ， 所以， 故向量、夹角的余弦值为； 解法二：因为， 又因为，所以， 所以为等腰直角三角形， 如图，以为原点，的方向为轴的正方向，的方向为轴的正方向，建立平面直角坐标系. 可得、、、、， 则，， 所以， 故向量、夹角的余弦值为； 解法三：因为， 又因为，所以， 所以为等腰直角三角形， 如图，以为原点，的方向为轴的正方向，建立平面直角坐标系. 可得、、、、、 ， 从而，， 所以， 故向量、夹角的余弦值为. 19．（25-26高三上·黑龙江·期末）已知向量 ，，且的最小正周期为 (1)求的值； (2)若，解方程； (3)在中，为原点，，，且为锐角，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据已知条件并结合三角恒等变换求出的表达式，再根据的最小正周期为即可求出． （2）根据求出的范围，结合已知条件即可确定的值． （3）求出向量，及，根据是锐角，得到且向量，不共线，进而得到关于的不等式，求出的取值范围． 【详解】（1）， 因为的最小正周期为，，所以，解得． （2）由得，，即， 所以，或，， 所以，或，， 又，所以. （3）因为，，所以， 因为为锐角，所以，解得. 若向量，共线，则，即，解得. 所以向量，不共线时，. 综上，m的取值范围为. 20．（24-25高一下·云南楚雄·月考）如图，在中，为线段上靠近点的三等分点，是线段上一点，过点的直线与边分别交于点，设. (1)以为基底表示. (2)若，求的值； (3)若点为线段的中点，求的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）结合图形，利用向量的线性运算用基底表示即可； （2）利用平面向量基本定理，由三点共线得到，再由是线段上一点，得到，与（1）的结论对照即可求得的值； （3）由三点共线得到，结合点为线段的中点可得，与（1）的结论对照，列出方程组，消去，得到，利用基本不等式“1”的妙用即可求得的最小值. 【详解】（1）由图，. （2）因三点共线，则存在，使得， 又是线段上一点，则存在，使得， 由（1）已得，故有，解得：，即. （3）因，且三点共线， 则存在，使得， 又因点为线段的中点，则有， 与对照可得：，消去即得，即， 故， 当且仅当时，即当时，取得最小值为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $2026年寒假高一数学下学期常考题型归纳 【专题03：平面向量的基本定理及坐标表示】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【A·基础达标题型】 【题型1：基底的概念辨析】 【练方法】 核心知识点 平面向量基本定理：如果是同一平面内两个不共线的向量，那么对这一平面内任意向量，有且只有一对实数，使 基底的定义：不共线的两个向量叫做这一平面内所有向量的一组基底 基底的性质：基底不唯一，只要不共线即可；零向量不能作为基底 解题思路 1.判断两个向量是否共线：若（为实数），则共线，不能作为基底 2.验证基底的条件：不共线、非零向量 3.辨析基底相关概念：如“唯一表示”“不共线”等关键词，避免混淆 易错辨析 零向量与任意向量共线，不能作为基底 基底不唯一，只要满足不共线即可，不是只有一组 （2026高三·全国·专题练习）设是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，不能作为基底的是（   ）经典例题1例题 A．与 B．与 C．与 D．与 （2025高三·全国·专题练习）设为平面内的一个基底，则下面四组向量中不能作为基底的是（    ）经典例题2例题 A．和 B．和 C．和 D．和 （2025高三·全国·专题练习）（多选）若是平面内的一个基底，则下面的四组向量中能作为一个基底的是（ ）小试牛刀1 A． B． C． D． （23-24高一下·山东菏泽·月考）已知，是不共线的非零向量，则以下向量可以作为基底的是（    ）小试牛刀2 A．， B．， C．， D．， 【多选题】（24-25高二下·浙江·期末）设，是平面内两个不共线的向量，则以下，可作为该平面内一组基的是（    ）小试牛刀3 A．， B．， C．， D．， 【题型2：用基底表示向量】 【练方法】 核心知识点 平面向量基本定理：任意向量可由一组基底唯一线性表示 向量的线性运算：加法、减法、数乘运算的法则 向量分解：将目标向量通过平行四边形法则或三角形法则分解为基底的线性组合 解题思路 1.选定一组不共线的基底 2.利用向量的线性运算（加法、减法、数乘）将目标向量转化为基底的线性组合 3.设，通过已知条件列方程求解 易错辨析 线性表示的系数是唯一的，不可重复或遗漏 向量分解时要注意方向，避免符号错误 （2026·河北·模拟预测）在平行四边形ABCD中，和DF交于点，若，则（ ）经典例题1例题 A． B． C． D． （25-26高一上·辽宁辽阳·期末）如图，在平行四边形中，F为的中点，，则（   ）经典例题2例题    A． B． C． D． （25-26高三上·四川巴中·月考）如图，在中，，，则下列说法正确的是（    ）小试牛刀1    A． B． C． D． （24-25高三上·江西抚州·月考）在中，点，分别为，边上的中点，点满足，则（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． （24-25高一下·黑龙江双鸭山·期中）如图，已知，，，，则（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型3：平面向量基本定理证明共线与平行】 【练方法】 核心知识点 向量共线定理：向量与共线，当且仅当存在唯一实数，使 平面向量基本定理：若，，则当且仅当 解题思路 1.用基底表示两个向量 2.若（为实数），则两向量共线 3.或通过基底表示的系数关系判断共线 易错辨析 共线向量不一定同向，也可能反向 零向量与任意向量共线，需注意特殊情况 （25-26高一上·云南昆明·期末）如图，在中，是的中点，，设．经典例题1例题 (1)用向量与表示向量； (2)若，求证：三点共线． 如图，在中，是的中点，是线段上靠近点的三等分点，设，.经典例题2例题 (1)用向量与表示向量，； (2)若，求证：，，三点共线. （22-23高一下·河北保定·期中）已知，如图，在中，点满足，是线段上一点，，点为的中点，且三点共线．小试牛刀1    (1)求的最小值． (2)若点满足，证明：． （2023高一·全国·课后作业）设D、E、F分别是的三边BC、CA、AB上的点，且，，，则（    ）小试牛刀2 A．与反向平行 B．与同向平行 C．与反向平行 D．与不共线 （25-26高一上·北京顺义·期末）如图，在平行四边形中，是的中点，是上一点，且．设，．小试牛刀3 (1)用基底分别表示向量； (2)若，用平面向量证明三点共线． 【题型4：平面向量线性运算的坐标表示】 【练方法】 核心知识点 坐标表示：若，，则，， 向量坐标与点坐标的关系：若，，则 解题思路 1.明确向量的坐标或点的坐标 2.代入线性运算的坐标公式进行计算 3.注意运算顺序和符号，避免计算错误 易错辨析 向量坐标是终点坐标减起点坐标，不可颠倒 数乘运算时，系数要分别乘以横、纵坐标 （25-26高一上·浙江台州·期末）已知，，则的坐标为（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． （25-26高二上·河北·期中）已知平行四边形满足，，，则点的坐标为（   ）经典例题2例题 A． B． C． D． （2025·广东肇庆·一模）已知点，向量，，点P是线段AB靠近点A的三等分点，则点P的坐标为（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． （25-26高二上·湖南长沙·期中）已知O为坐标原点，，若，则与共线的单位向量为 ．小试牛刀2 （24-25高一下·云南昆明·期中）如果用，分别表示x轴和y轴正方向上的单位向量，且，，若，则（   ）小试牛刀3 A． B．1 C．2 D．0 【题型5：平面向量数量积的坐标运算】 【练方法】 核心知识点 数量积的坐标公式：若，，则 数量积的运算律：交换律、分配律、数乘结合律 解题思路 1.确定两个向量的坐标 2.代入数量积的坐标公式计算 3.结合运算律简化计算，避免复杂运算 易错辨析 数量积的坐标运算中，是对应坐标相乘再相加，不是向量的模长相乘 注意符号，避免正负号错误 （25-26高三上·广东潮州·期末）已知向量，则向量在向量上的投影向量为（   ）经典例题1例题 A． B． C． D． （25-26高二上·云南昭通·期末）已知向量，，则（    ）经典例题2例题 A．2 B．4 C． D． （25-26高三上·广西崇左·期末）设向量，，则的最大值为（   ）小试牛刀1 A．13 B．5 C．8 D．10 （25-26高二上·云南玉溪·期末）已知，，则（   ）小试牛刀2 A．5 B．6 C．12 D．16 （25-26高二上·广东汕头·期末）已知向量，，若，则（   ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型6：坐标运算中的平行与垂直】 【练方法】 核心知识点 平行的坐标条件：（，） 垂直的坐标条件： 解题思路 1.写出两个向量的坐标 2.代入平行或垂直的坐标条件列方程 3.解方程求解参数或判断位置关系 易错辨析 平行的坐标条件是，不是（避免分母为零的情况） 垂直的条件是数量积为零，需注意零向量的情况 （湖南岳阳市2026届高三年级教学质量监测（一）数学试题）已知向量，若，则（    ）经典例题1例题 A．-2 B．0 C．2 D．4 （25-26高一上·北京海淀·期末）在平面直角坐标系中，，设．经典例题2例题 (1)若，求的值； (2)若向量满足，且，求向量的坐标． （25-26高二上·黑龙江齐齐哈尔·开学考试），，小试牛刀1 (1)若，求值； (2)若，且三点一线.，求的值； (3)若，求的值. （24-25高一下·福建三明·期末）已知平面向量.小试牛刀2 (1)求向量在向量方向的投影向量的坐标； (2)若，求实数k的值； (3)若与所成的角为锐角，求实数的取值范围. （24-25高一下·山东菏泽·期末）已知点，向量，，．小试牛刀3 (1)若，求的值； (2)若点在线段的延长线上，且，求点的坐标． 【题型7：数量积坐标运算求模长与夹角】 【练方法】 核心知识点 模长的坐标公式：（） 夹角的坐标公式： 解题思路 1.计算数量积、模长、 2.代入模长或夹角的坐标公式 3.结合确定夹角的大小 易错辨析 模长计算后要开平方，避免直接用平方结果 夹角的余弦值为负时，夹角为钝角，需结合范围判断 （25-26高三上·内蒙古乌兰察布·月考）若向量，，记，则（   ）经典例题1例题 A． B． C． D． （25-26高三上·安徽·月考）已知向量，若与的夹角的余弦值为，则 .经典例题2例题 （25-26高三上·江西鹰潭·月考）已知向量，，则（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． （24-25高一下·甘肃天水·月考）已知向量，，向量在方向上的投影为2．小试牛刀2 (1)求实数的值； (2)若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围． （2025·江西景德镇·模拟预测）已知向量，且与的夹角是，则 .小试牛刀3 【B·能力提升题型】 【题型1：平面向量基本定理求参数】 【练方法】 核心知识点 平面向量基本定理：向量的线性表示唯一，系数唯一 向量相等的条件：若，则，（不共线） 解题思路 1.用基底表示两个相等的向量 2.根据向量相等的条件列方程组 3.解方程组求出参数的值 易错辨析 基底必须不共线，否则系数不唯一 列方程时要注意对应系数相等，避免错位 （25-26高一上·辽宁沈阳·期末）如图：在平行四边形中，、分别为边、上的点，且，，连接，交于点，若，则 .经典例题1例题    （25-26高一上·内蒙古呼和浩特·期末）如图，在中，点在上，过点的直线分别交直线、于不同的两点、，设，．经典例题2例题 (1)若是上靠近的三等分点，用和表示； (2)若是中点，设，，求的值． （25-26高三上·江西南昌·期中）在平行四边形中，点是边上的点，，点是线段的中点，若，则（    ）小试牛刀1 A． B．1 C． D． （25-26高三上·天津南开·月考）如图，在中，，分别在线段，上，且，，，交于点，若，则 .小试牛刀2 （2025高三·全国·专题练习）如图，在中，的中点为的中点为的中点为，若，则（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型2：利用平面向量基本定理求数量积】 【练方法】 核心知识点 平面向量基本定理：将向量用基底表示 数量积的运算律：分配律、数乘结合律 基底的数量积：已知基底的模长和夹角，可计算 解题思路 1.选择合适的基底 2.将目标向量用基底表示，如， 3.展开，代入基底的数量积计算 易错辨析 展开数量积时要注意分配律的应用，避免漏项 基底的夹角和模长要准确，避免计算错误 （25-26高一上·广东广州·期末）如图所示，已知中，点依次是边上的三个四等分点，若，则（   ）经典例题1例题 A． B． C． D． （25-26高一上·浙江杭州·期末）如图，在中，角的对边分别为．已知，为CD上一点，且满足．经典例题2例题 (1)求的值； (2)求的最小值． 【多选题】（25-26高一上·江苏盐城·期中）在所在的平面内有两点P，Q，满足，，且与交于点M，，则下列说法正确的是（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． （25-26高二上·辽宁·开学考试）如图，在中，分别为边上的点，且，与交于点，记，，，．小试牛刀2    (1)求和的值，并用表示； (2)若，，，求与夹角的余弦值． （24-25高一下·江苏连云港·月考）如图，在梯形中，，且，设，．小试牛刀3 (1)试用和表示； (2)若点满足，且，，三点共线，求实数的值． (3)若，，，且点E是线段AC上的动点，求的最小值. 【题型3：向量坐标线性运算求参数】 【练方法】 核心知识点 向量线性运算的坐标公式（或基底表示） 向量相等的条件：对应坐标（或系数）相等 共线向量的条件： 解题思路 1.进行向量的线性运算（加法、减法、数乘） 2.根据向量相等或共线的条件列方程 3.解方程求出参数的值 易错辨析 线性运算时要注意符号和系数，避免计算错误 共线向量的参数要唯一，避免多解或漏解 （23-24高一下·江苏苏州·期中）在平行四边形中，，分别在边，上，，，与相交于点，记，，则（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． 已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点．已知平面内点，把点绕点沿顺时针方向旋转后得到点，则点的坐标为（    ）经典例题2例题 A． B． C． D． （2023·江西·模拟预测）在平面四边形中，，若，则（    ）小试牛刀1 A． B． C． D．2 已知在中，，，设是的内心，若，则（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． 如图，在矩形中，，，点在以点为圆心且与相切的圆上，.若，则的值为（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型4：数量积坐标运算求最值与范围】 【练方法】 核心知识点 数量积的坐标公式： 函数最值：将数量积表示为单变量函数，利用配方法、判别式法或三角函数有界性求最值 向量的模长范围：（三角不等式） 解题思路 1.将数量积表示为关于参数的函数 2.利用函数性质（如二次函数的顶点、三角函数的最值）求的最值 3.结合参数的取值范围确定最值或范围 易错辨析 注意参数的取值范围，避免超出范围导致最值错误 三角函数的最值要结合的范围，避免多解 （25-26高三上·安徽·月考）在等腰梯形 中， ，， 是线段 上的动点，则 的最小值为（     ）经典例题1例题 A． B． C． D．0 （25-26高三上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在梯形中，，，，若是线段上的动点，且，则的最小值为（    ）经典例题2例题    A．9 B．10 C．11 D．12 （25-26高三上·重庆·月考）如图，在梯形ABCD中，，，，若M，N是线段BC上的动点，且，则的最小值为（    ）小试牛刀1 A．10 B．11 C．12 D．13 （2025高一下·江苏南京·专题练习）窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图是一个正八边形窗花隔断，图是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．如图，若正八边形的边长为，是正八边形八条边上的动点，则的最小值为（ ）小试牛刀2 A． B．2 C． D． （25-26高三上·天津南开·月考）如图，在直角梯形中，．若、分别是、上的动点，满足，其中，则的最大值为 ．小试牛刀3 【C·拓展培优题型】 【题型1：数量积坐标运算与三角函数结合】 【练方法】 核心知识点 数量积的坐标公式： 三角恒等变换：如，，等 三角函数的有界性： 解题思路 1.用三角函数表示向量的坐标（如，） 2.计算数量积，利用三角恒等变换化简 3.结合三角函数的有界性求最值或范围 易错辨析 三角恒等变换要准确，避免公式记错 注意角度的范围，避免三角函数值超出 （2025高一上·江苏南通·专题练习）在平面直角坐标系xOy中，已知向量，，经典例题1例题 (1)若，求的值； (2)若，，求的值域． （25-26高三上·福建泉州·期中）已知向量其中，函数，且最小正周期为．经典例题2例题 (1)求的对称中心及其在区间上的最大值与最小值； (2)将函数的图象先向右平移个单位，再向上平移个单位，得到函数的图象，若直线与函数图象在轴右侧从左到右的30个交点的横坐标依次为，求的值． （25-26高三上·上海·期中）已知向量，，记函数.小试牛刀1 (1)若为偶函数，求的最小值； (2)把图象向右平移个单位长度，得到函数图象.若函数在区间内恰有20个零点，求的最小值. （25-26高一上·浙江宁波·期末）已知等边三角形的边长为2，以顶点为圆心，2为半径作圆弧，设是弧上的动点（包括端点）.小试牛刀2 (1)求阴影部分的面积； (2)求的取值范围. （24-25高一下·广西柳州·期末）定义向量的“伴随函数”为；函数的“伴随向量”为.小试牛刀3 (1)写出的“伴随函数”，并直接写出的最大值； (2)已知向量，，函数，求函数的“伴随向量”的坐标； (3)已知，的“伴随函数”为，的“伴随函数”为，设（，），且的伴随函数为，其最大值为p. ①若，求p的取值范围； ②求证：向量的充要条件是. 【题型2：线性运算/数量积坐标运算中的最值与范围】 【练方法】 核心知识点 向量线性运算的坐标公式 数量积的坐标公式 函数最值：配方法、判别式法、导数法（或三角函数有界性） 几何意义：向量的模长、夹角的几何意义 解题思路 1.将目标表达式（如模长、数量积）表示为单变量函数 2.利用函数性质或几何意义求最值 3.验证等号成立的条件，确保最值可取 （23-24高一下·福建泉州·月考）在中，，．为所在平面内的动点，且，若，则的取值范围是 ．经典例题1例题 在矩形ABCD中，，，动点P在以点A为圆心的单位圆上．若，则的最大值为（    ）经典例题2例题 A．3 B． C． D．2 在直角梯形中，，，，，，分别为，的中点，点在以为圆心的圆弧上运动，若，求的取值范围．小试牛刀1 直角梯形中，是边长为2的正三角形，是平面的动点，，设，则的值可以为（    ）小试牛刀2 A．0 B．1 C．2 D．3 矩形ABCD中，AB＝，BC＝，P为矩形内一点，且AP＝，若(λ，μ∈R)，则λ＋μ的最大值为 .小试牛刀3 【题型3：向量坐标运算的综合题型】 【多选题】（25-26高三上·黑龙江·期末）如图，建立如下斜坐标系：设，是平面内相交成 角的两条数轴，，分别是与轴、轴正方向同向的单位向量，若，则把有序实数对叫做向量在斜坐标系中的坐标，记作，则在斜坐标系中，下列说法正确的是（    ）经典例题1例题 A．点的坐标为，则线段的长度为 B．点满足，则的轨迹与轴，轴正半轴围成的区域面积小于 C．点满足，则的最大值为 D．定义点与点坐标距离为，平面上一点，若动点（，）满足：①；②，则点运动所形成的轨迹长为2 【多选题】．（25-26高三上·重庆·月考）已知非零向量，其中向量夹角为θ，定义运算：，若，则下列说法正确的是（    ）经典例题2例题 A． B．若，，则 C． D．若，则的最小值为4 【多选题】（24-25高一下·四川绵阳·期末）在菱形中，，，，，点M在线段上，且，若点N为线段上一个动点，则下列说法正确的有（    ）小试牛刀1 A． B． C．向量在方向上的投影向量为 D．的最小值为 【多选题】（24-25高一下·新疆乌鲁木齐·期末）延长正方形的边至点，使，动点从点出发沿正方形的边按逆时针方向运动一周后回到点，若，则下列正确的是（    ）小试牛刀2 A．若，则点与点重合 B．若点与点重合，则， C．满足的点有2个 D．满足的点有且只有1个 【多选题】（24-25高一下·浙江·月考）已知平面向量，满足为单位向量，，则（    ）小试牛刀3 A． B．的最小值为 C．在方向上的投影长度的范围为 D．若，则的最大值为 期末真题检测 一、单选题 1．（25-26高三上·河南周口·期末）已知向量，，若，则（   ） A． B． C．4 D．5 2．（25-26高三上·湖北黄石·期末）已知向量，若，则（    ） A． B．2 C．5 D． 3．（25-26高三上·山东东营·期末）已知向量，若向量在方向上的投影的数量为，则（   ） A． B． C．1 D．2 4．（25-26高三上·北京顺义·期末）已知向量，，，则（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高三上·北京昌平·期末）已知正方形的边长为1，为线段的中点，为边上的动点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·北京西城·期末）下列各组空间向量中不平行的为（    ） A．， B．， C．， D．， 7．（25-26高一上·江苏南通·期末）如图，直角梯形，，，，分别为的中点，满足，则为（    ）    A．2 B．4 C．6 D．8 二、多选题 8．（25-26高一上·云南昆明·期末）已知向量，则下列结论中正确的是（   ） A．与可以作为所在平面的一组基底 B． C． D． 9．（25-26高三上·辽宁·期末）在 中，点 在边 所在的直线上，且 ，若 ，则 的值可能为（ ） A． B． C． D． 10．（25-26高二上·湖南常德·期末）已知向量，则（    ） A． B．当时， C．当 时， D．的最大值为7 11．（25-26高三上·山西运城·期末）如图，在中，，BM交CN于点E，且，则（    ） A． B． C．的最大值为 D．的最小值为 12．（25-26高三上·广东汕头·期末）设是平面内相交的两条数轴，分别是与轴､轴正方向同向的单位向量，且它们的夹角为.若向量，则把有序实数对叫做在坐标系中的坐标，即.设，则（    ） A． B． C．在上的投影向量的坐标为 D． 三、填空题 13．（25-26高一上·山西忻州·期末）设向量，若，则实数 ． 14．（25-26高一上·北京延庆·期末）在平行四边形ABCD中，点N在线段BD上，，点M为AB的中点．若M，N，C三点共线，则此时 ． 15．（25-26高三上·天津蓟州·期末）在中，，，，为与的交点，记，，则用，表示 ；向量在上的投影向量的模的最小值为 . 16．（25-26高三上·天津河西·期末）在中，，，，，且与交于点F，则 （用表示），若，则的最大值为 ． 四、解答题 17．（25-26高一上·山东日照·期末）已知平面内三个向量，，. (1)若，求实数，的值； (2)若，求实数的值； (3)已知，求的最小值. 18．（25-26高一上·浙江金华·期末）如图，在中，点是中点，点、分别在边、上，，.设，. (1)用向量、表示； (2)若，，，求向量、夹角的余弦值. 19．（25-26高三上·黑龙江·期末）已知向量 ，，且的最小正周期为 (1)求的值； (2)若，解方程； (3)在中，为原点，，，且为锐角，求实数m的取值范围． 20．（24-25高一下·云南楚雄·月考）如图，在中，为线段上靠近点的三等分点，是线段上一点，过点的直线与边分别交于点，设. (1)以为基底表示. (2)若，求的值； (3)若点为线段的中点，求的最小值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $