专题01 平面向量的概念（思维导图+3大知识点+4大题型）（讲义+精练）-2026年高一数学寒假核心知识精讲与题型强化突破（人教A版2019）

专题01 平面向量的概念 目录 01 题型归纳目录 2 02 思维导图 3 03 知识点梳理 4 知识点一：向量的概念 4 知识点二：向量的表示法 4 知识点三：向量的共线或平行 5 04 题型归纳，举一反三 6 题型一、向量的概念 6 题型二、向量的表示 7 题型三、利用向量相等或共线进行证明 10 题型四、实际应用问题 12 05 强化训练 15 知识点一：向量的概念 1、向量：既有大小又有方向的量叫做向量． 2、数量：只有大小，没有方向的量（如年龄、身高、长度、面积、体积和质量等），称为数量． 知识点诠释： （1）本书所学向量是自由向量，即只有大小和方向，而无特定的位置，这样的向量可以作任意平移． （2）看一个量是否为向量，就要看它是否具备了大小和方向两个要素． （3）向量与数量的区别：数量与数量之间可以比较大小，而向量与向量之间不能比较大小． 3、向量的模：向量的大小叫向量的模（就是用来表示向量的有向线段的长度）． 知识点诠释： （1）向量的模． （2）向量不能比较大小，但是实数，可以比较大小． 4、零向量：长度为零的向量叫零向量．记作，它的方向是任意的． 5、单位向量：长度等于1个单位的向量． 知识点诠释： （1）在画单位向量时，长度1可以根据需要任意设定； （2）将一个向量除以它的模，得到的向量就是一个单位向量，并且它的方向与该向量相同． 6、相等向量：长度相等且方向相同的向量． 知识点诠释： 在平面内，相等的向量有无数多个，它们的方向相同且长度相等． 知识点二：向量的表示法 1、有向线段：具有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度． 2、向量的表示方法： （1）字母表示法：如等． （2）几何表示法：以A为始点，B为终点作有向线段（注意始点一定要写在终点的前面）．如果用一条有向线段表示向量，通常我们就说向量． 知识点诠释： （1）用字母表示向量便于向量运算； （2）用有向线段来表示向量，显示了图形的直观性．应该注意的是有向线段是向量的表示，不是说向量就是有向线段．由于向量只含有大小和方向两个要素，用有向线段表示向量时，与它的始点的位置无关，即同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量． 知识点三：向量的共线或平行 方向相同或相反的非零向量，叫共线向量（共线向量又称为平行向量）． 规定：与任一向量共线． 知识点诠释： 1、零向量的方向是任意的，注意与0的含义与书写区别． 2、平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系． 3、共线向量与相等向量的关系：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等的向量． 题型一、向量的概念 【例题1】下列量中是向量的为（    ） A．功 B．距离 C．拉力 D．质量 【答案】C 【解析】功，距离，质量只有大小没有方向,不是向量；拉力既有大小又有方向，是向量. 故选：C. 【例题2】下列量中是向量的为（   ） A．体积 B．距离 C．拉力 D．质量 【答案】C 【解析】A，B，D只有大小，C既有大小又有方向 故选:C 【变式1】（2025·高一·福建莆田·期中）下列物理量中哪个是向量（    ） A．质量 B．力 C．温度 D．路程 【答案】B 【解析】由向量的定义知向量有大小和方向，其中质量、温度、路程只有大小没有方向，力既有大小又有方向， 故选：B. 【变式2】（2025·高一·黑龙江绥化·月考）关于平面向量，下列说法正确的是（    ） A．向量可以比较大小 B．向量的模可以比较大小 C．速度是向量，位移是数量 D．零向量是没有方向的 【答案】B 【解析】向量不可以比较大小，但向量的模是数量，可以比较大小，A错误，B正确； 速度和位移都有方向和大小，是向量，C错误； 零向量方向任意，D错误. 故选：B 【变式3】（2025·高一·新疆乌鲁木齐·月考）给出下列物理量： ①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功；⑨时间.其中不是向量的有（    ） A．①⑥ B．⑦⑧⑨ C．①⑧⑨ D．①⑥⑦⑧⑨ 【答案】D 【解析】速度、位移、力、加速度既有大小，又有方向，故它们为向量， 余下皆不为向量， 故选：D. 题型二、向量的表示 【例题3】（2025·高一·广西南宁·开学考试）某人从点A出发向东走了5米到达点B，然后改变方向按东北方向走了米到达点.    (1)在图中作出向量；（正方形小方格的边长是1米） (2)求向量的模. 【解析】（1）作出向量，如图： （2）依题意，，向量相当于从点A出发向东走15米，再向正北走10米， 所以（米）. 【例题4】按要求，分别以A、B、C为向量的起点，在图中画出以下向量.（图中每个小正方形的边长均为1） (1)正北方向，且模为2的向量； (2)长度为，方向为北偏西45°的向量； (3)向量的负向量. 【解析】（1）根据平面向量的方向和模长，画出，如下： （2）根据平面向量的方向和模长，画出，如下： （3）根据相反向量的定义，画出，如下： 【变式4】如图，设的边长分别为1和2，其所有的边能构成哪些向量？这些向量的模分别是多少？ 【解析】所有的边可以构成以下向量：、、、、、、、. 它们的模分别为： ， . 【变式5】（2025·高一·福建泉州·期中）已知边长为3的等边三角形，求边上的中线向量的模. 【解析】根据正三角形的性质，求得边上的中线长，即可求解. 如图所示，因为是正三角形，所以边上的中线向量的模就是三角形的高， 即：，所以边上的中线向量的模为. 【变式6】（2025·高一·安徽淮北·月考）在如图的方格纸中，画出下列向量．    (1)，点在点的正西方向； (2)，点在点的北偏西方向； (3)求出的值． 【解析】（1）因为，点在点的正西方向，故向量的图示如下： （2）因为，点在点的北偏西方向，故向量的图示如下： （3）   . 题型三、利用向量相等或共线进行证明 【例题5】（2025·高一·新疆喀什·月考）在四边形中，有，则四边形的形状为 . 【答案】平行四边形 【解析】由得，，且， ∴四边形为平行四边形. 故答案为：平行四边形. 【例题6】设O是正六边形的中心，写出满足条件的向量.    (1)与相等的向量； (2)与相等的向量； (3)与的模相等且平行的向量（除外）. 【解析】（1）相等向量为大小相等方向相同的向量，所以； （2）相等向量为大小相等方向相同的向量，所以 （3）相等向量为大小相等方向相同的向量，所以、、、、、. 【变式7】在平行四边形ABCD中，E、F分别是CD、AB的中点，如图所示． (1)写出与向量平行的向量； (2)求证：． 【解析】（1）与向量平行的向量有，，． （2）在平行四边形ABCD中，，， 因为E，F分别是CD，AB的中点， 所以且， 所以四边形BFDE是平行四边形， 故． 【变式8】设点为正八边形的中心，分别写出与、、、相等的向量.    【解析】依题意可得，，，. 【变式9】已知四边形和都是平行四边形，则与向量相等的向量为 ． 【答案】， 【解析】   四边形和都是平行四边形， ，， 从而，，． 故与向量相等的向量为，． 故答案为：，. 题型四、实际应用问题 【例题7】（2025·高一·贵州黔南·月考）某人在平面上从A点出发向西行走了到达点，然后改变方向，向西偏北方向行走了到达点，最后又改变方向，向东行走了到达点，则 . 【答案】120 【解析】某人从点A出发，经过点，到达点，最后停在点，易知，，又在四边形中，，所以四边形为平行四边形， 所以. 故答案为：120 【例题8】一辆汽车从点出发向西行驶了100km到达点，然后又改变方向向西偏北方向行驶了200km到达点，最后又改变方向，向东行驶了100km到达点，则 km， km． 【答案】 100 200 【解析】如图所示，汽车从点出发，经过点，到达点，最后停在点， 易知，， 又在四边形中，， 所以四边形为平行四边形，所以． 故答案为：100，200 【变式10】某人从A点出发向西走了到达点，然后改变方向向西偏北走了到达点，最后又改变方向，向东走了到达点，则的模= ． 【答案】 【解析】如图示，由题意可得向量共线，且， 则四边形为平行四边形，故， 故答案为： 【变式11】如图，某人从点A出发，向西走了200m后到达点B，然后沿北偏西一定角度的某方向行走了后到达点C，最后向东走了200m后到达点D，发现点D在点B的正北方． (1)作出，，，； (2)求的模． 【解析】（1）根据题意可知，点在坐标系中的坐标为． 因为点在点的正北方，点在点的正西方， 所以，． 又，，所以， 即两点在坐标系中的坐标分别为，． 作出，，，如图所示． （2）由两点间距离公式得， 则． 【变式12】已知飞机从A地按北偏东30°的方向飞行2000km到达B地，再从B地按南偏东30°的方向飞行2000km到达C地，再从C地按西南方向飞行km到达D地． (1)作出向量，，，； (2)问D地在A地的什么方向？D地距A地多远？ 【解析】（1）由题意，作出向量，，，，如图所示． （2）依题意知，为正三角形，所以． 又因为，， 所以为等腰直角三角形，则，， 所以地在地的东南方向，距地． 1．在中，，若的面积为6，则的面积是（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【解析】因为，所以，所以， 所以，又，所以， 所以，所以. 故选：B 2．给出下列命题： ①两个具有共同终点的向量，一定是共线向量； ②若是不共线的四点，则是四边形为平行四边形的充要条件； ③若与同向，且，则>； ④λ，μ为实数，若λ＝μ，则与共线． 其中假命题的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】①不正确．当起点不在同一直线上时，虽然终点相同，但向量不共线； ②正确．∵＝，∴||＝||且； 又∵是不共线的四点，∴四边形是平行四边形． 反之，若四边形是平行四边形， 则且与方向相同，因此＝； ③不正确．两向量不能比较大小． ④不正确．当时，与可以为任意向量， 满足λ＝μ，但与不一定共线． 故选：. 3．如图，等腰梯形中，对角线与交于点，点、分别在两腰、上，过点，且，则下列等式中成立的是（　　）    A． B． C． D． 【答案】D 【解析】在等腰梯形中，、不平行，、不平行，AB均错； 因为，则，则，则， 即，即， ，则，，即为的中点， 所以，，C错，D对. 故选：D. 4．下列说法正确的个数为（    ） ①面积、压强、速度、位移这些物理量都是向量 ②零向量没有方向 ③向量的模一定是正数 ④非零向量的单位向量是唯一的 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【解析】①错误，只有速度，位移是向量． ②错误，零向量有方向，它的方向是任意的． ③错误， ④错误，非零向量的单位向量有两个，一个与同向，一个与反向． 故选：A. 5．如图，在矩形ABCD中，AB＝2AD，M，N分别为AB与CD的中点，则在以A，B，C，D，M，N为起点和终点的所有向量中，相等向量的对数为（    ） A．9 B．11 C．18 D．24 【答案】D 【解析】如图， 由已知可得， ，，，， 有12对相等的向量， 改变其方向，又有12对相等的向量，共24对， 故选：D. 6．下列关于向量的说法中正确的是 A．若且，则 B．若，则 C．向量（）且，则向量与的方向相同或相反 D．与方向相反，则与的方向相同 【答案】C 【解析】首先根据向量的性质，对选项逐一分析，得到其正确性，得到结果.因为当时，与不一定平行，所以A不正确； 因为模相等的两个向量不一定相等，所以B不正确. 因为与的大小不确定，所以D不正确. 因为向量共线时，其方向是同向或反向，所以C正确； 故选C. 7．下列说法正确的是 A．向量与向量是共线向量，则点必在同一条直线上 B．两个有共同终点的向量，一定是共线向量 C．长度相等的向量叫做相等向量 D．两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同 【答案】D 【解析】分析：根据题意，结合向量的定义依次分析四个命题，综合即可得答案．详A，若向向量与向量是共线向量，则，或点在同一条直线上，故A错误； 对于B，共线向量是指方向相同或相反的向量，两个有共同终点的向量，其方向可能既不相同又不相反，故B错误； 对于C，长度相等的向量不一定相等向量，故C错误； 对于D，相等向量是大小相等，方向相同的向量，故两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同，正确； 故选D. 8．（多选题）下列说法不正确的有（   ） A．向量就是所在的直线平行于所在的直线 B．相等向量是长度相等，方向相同的向量 C．零向量与任一向量平行 D．共线向量是在一条直线上的向量 【答案】AD 【解析】对于A：向量与平行，包含所在的直线与所在的直线平行和重合两种情况，故A错误； 对于B：若两个向量长度相等，方向相同，则称两个向量为相等向量，故B正确； 对于C：零向量与任一向量平行，故C正确； 对于D：共线向量可以是在一条直线上的向量，也可以是所在直线互相平行的向量，故D错误. 故选：AD. 9．（多选题）下列说法不正确的是（    ） A．若，则、的长度相等且方向相同或相反 B．若向量，满足，且同向，则＞ C．若，则与可能是共线向量 D．若非零向量与平行，则四点共线 【答案】ABD 【解析】对于A项，只能说明、的长度相等，不能判断它们的方向, 因而选项A错误； 对于B项，向量不能比较大小，因而选项B错误； 对于C项，只能说明、的长度不相等，它们的方向可能相同或相反，故选项C正确； 对于D项，与平行，可能，即四点不一定共线，因而选项D错误． 故选：ABD. 10．（多选题）以下选项中，能使成立的条件有（    ） A． B．或 C． D．与都是单位向量 【答案】BC 【解析】对于A、D：不妨取分别为x、y轴上的单位向量，满足“”，满足“与都是单位向量”，但是不成立.故A、D错误； 对于B：由零向量与任何向量平行，可知或时，.故B正确； 对于C：因为，所以.故C正确. 故选：BC 11．（多选题）下面的命题正确的有（    ） A．方向相反的两个非零向量一定共线 B．单位向量都相等 C．若，满足且与同向，则 D．“若A、B、C、D是不共线的四点，且”“四边形ABCD是平行四边形” 【答案】AD 【解析】对于A，由相反向量的概念可知A正确； 对于B，任意两个单位向量的模相等，其方向未必相同，故B错误； 对于C，向量之间不能比较大小，只能比较向量的模，故C错误； 对于D，若A、B、C、D是不共线的四点，且， 可得，且，故四边形ABCD是平行四边形； 若四边形ABCD是平行四边形，可知，且， 此时A、B、C、D是不共线的四点，且，故D正确. 故选：AD. 12．下列说法正确的是 （写序号）． ①若与共线，则点A、B、C、D共线； ②四边形为平行四边形，则； ③若，则； ④四边形中，，则四边形为正方形． 【答案】③ 【解析】①若与共线，则点，，，共线，不正确，比如平行四边形的对边； ②若四边形为平行四边形，则，不正确； ③若，，则，正确； ④在四边形中，，且，则四边形为正方形或菱形，不正确； 故答案为：③. 13．给出下列命题： ①若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同； ②若，则或； ③若A，B，C，D是不共线的四点，且 ，则ABCD为平行四边形； ④的充要条件是且； ⑤已知，为实数，若，则与共线． 其中真命题的序号是 ． 【答案】③ 【解析】①是错误的，两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等；但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点． ②是错误的，，但方向不确定，所以的方向不一定相等或相反． ③是正确的，因为，所以且；又A，B，C，D是不共线的四点，所以四边形ABCD为平行四边形． ④是错误的，当且方向相反时，即使，也不能得到，所以且不是的充要条件，而是必要不充分条件． ⑤是错误的，当时，与可以为任意向量，满足，但与不一定共线． 故答案为：③ 14．给出下列命题： ①若 ，则； ②若单位向量的起点相同，则终点相同； ③起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量； ④向量与是共线向量，则A，B，C，D四点必在同一直线上． 其中正确命题的序号是 ． 【答案】③ 【解析】①考虑的情况；②根据单位向量的定义判断.③根据相等向量的定义判断.④共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，所在直线可能平行也可能重合.①错误．若，则①不成立； ②错误．起点相同的单位向量，终点未必相同； ③正确．对于一个向量只要不改变其大小和方向，是可以任意移动的； ④错误．共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量与必须在同一直线上． 故答案为：③ 15．若向量，满足，，求的最大值及最小值. 【解析】因为，， 所以，当且仅当向量，方向相同时取得等号； ，当且仅当向量，方向相反时取得等号. 所以的最大值是18，最小值是6. 16．如图所示，4×3的矩形(每个小方格都是单位正方形)，在起点和终点都在小方格的顶点处的向量中，试问： （1）与相等的向量共有几个； （2）与方向相同且模为的向量共有几个； 【解析】由题可知，每个小方格都是单位正方形， 每个小正方形的对角线的长度为且都与平行， 则， （1）由于相等向量是指方向和大小都相等的两个向量， 则与相等的向量共有5个，如图1； （2）与方向相同且模为的向量共有2个，如图2. 17．如图所示，4×3的矩形(每个小方格都是单位正方形)，在起点和终点都在小方格的顶点处的向量中，试问： (1)与相等的向量共有几个； (2)与平行且模为 的向量共有几个？ (3)与方向相同且模为3 的向量共有几个？ 【解析】(1)根据相等向量的概念，可得与向量相等的向量共有5个(不包括本身)． (2) 根据向量的模的概念，可得与向量平行且模为 的向量共有24个． (3) 根据向量的模概念，可得与向量方向相同且模为3的向量共有2个． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 平面向量的概念 目录 01 题型归纳目录 2 02 思维导图 3 03 知识点梳理 4 知识点一：向量的概念 4 知识点二：向量的表示法 4 知识点三：向量的共线或平行 5 04 题型归纳，举一反三 6 题型一、向量的概念 6 题型二、向量的表示 6 题型三、利用向量相等或共线进行证明 8 题型四、实际应用问题 9 05 强化训练 11 知识点一：向量的概念 1、向量：既有大小又有方向的量叫做向量． 2、数量：只有大小，没有方向的量（如年龄、身高、长度、面积、体积和质量等），称为数量． 知识点诠释： （1）本书所学向量是自由向量，即只有大小和方向，而无特定的位置，这样的向量可以作任意平移． （2）看一个量是否为向量，就要看它是否具备了大小和方向两个要素． （3）向量与数量的区别：数量与数量之间可以比较大小，而向量与向量之间不能比较大小． 3、向量的模：向量的大小叫向量的模（就是用来表示向量的有向线段的长度）． 知识点诠释： （1）向量的模． （2）向量不能比较大小，但是实数，可以比较大小． 4、零向量：长度为零的向量叫零向量．记作，它的方向是任意的． 5、单位向量：长度等于1个单位的向量． 知识点诠释： （1）在画单位向量时，长度1可以根据需要任意设定； （2）将一个向量除以它的模，得到的向量就是一个单位向量，并且它的方向与该向量相同． 6、相等向量：长度相等且方向相同的向量． 知识点诠释： 在平面内，相等的向量有无数多个，它们的方向相同且长度相等． 知识点二：向量的表示法 1、有向线段：具有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度． 2、向量的表示方法： （1）字母表示法：如等． （2）几何表示法：以A为始点，B为终点作有向线段（注意始点一定要写在终点的前面）．如果用一条有向线段表示向量，通常我们就说向量． 知识点诠释： （1）用字母表示向量便于向量运算； （2）用有向线段来表示向量，显示了图形的直观性．应该注意的是有向线段是向量的表示，不是说向量就是有向线段．由于向量只含有大小和方向两个要素，用有向线段表示向量时，与它的始点的位置无关，即同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量． 知识点三：向量的共线或平行 方向相同或相反的非零向量，叫共线向量（共线向量又称为平行向量）． 规定：与任一向量共线． 知识点诠释： 1、零向量的方向是任意的，注意与0的含义与书写区别． 2、平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系． 3、共线向量与相等向量的关系：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等的向量． 题型一、向量的概念 【例题1】下列量中是向量的为（    ） A．功 B．距离 C．拉力 D．质量 【例题2】下列量中是向量的为（   ） A．体积 B．距离 C．拉力 D．质量 【变式1】（2025·高一·福建莆田·期中）下列物理量中哪个是向量（    ） A．质量 B．力 C．温度 D．路程 【变式2】（2025·高一·黑龙江绥化·月考）关于平面向量，下列说法正确的是（    ） A．向量可以比较大小 B．向量的模可以比较大小 C．速度是向量，位移是数量 D．零向量是没有方向的 【变式3】（2025·高一·新疆乌鲁木齐·月考）给出下列物理量： ①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功；⑨时间.其中不是向量的有（    ） A．①⑥ B．⑦⑧⑨ C．①⑧⑨ D．①⑥⑦⑧⑨ 题型二、向量的表示 【例题3】（2025·高一·广西南宁·开学考试）某人从点A出发向东走了5米到达点B，然后改变方向按东北方向走了米到达点.    (1)在图中作出向量；（正方形小方格的边长是1米） (2)求向量的模. 【例题4】按要求，分别以A、B、C为向量的起点，在图中画出以下向量.（图中每个小正方形的边长均为1） (1)正北方向，且模为2的向量； (2)长度为，方向为北偏西45°的向量； (3)向量的负向量. 【变式4】如图，设的边长分别为1和2，其所有的边能构成哪些向量？这些向量的模分别是多少？ 【变式5】（2025·高一·福建泉州·期中）已知边长为3的等边三角形，求边上的中线向量的模. 【变式6】（2025·高一·安徽淮北·月考）在如图的方格纸中，画出下列向量．    (1)，点在点的正西方向； (2)，点在点的北偏西方向； (3)求出的值． 题型三、利用向量相等或共线进行证明 【例题5】（2025·高一·新疆喀什·月考）在四边形中，有，则四边形的形状为 . 【例题6】设O是正六边形的中心，写出满足条件的向量.    (1)与相等的向量； (2)与相等的向量； (3)与的模相等且平行的向量（除外）. 【变式7】在平行四边形ABCD中，E、F分别是CD、AB的中点，如图所示． (1)写出与向量平行的向量； (2)求证：． 【变式8】设点为正八边形的中心，分别写出与、、、相等的向量.    【变式9】已知四边形和都是平行四边形，则与向量相等的向量为 ． 题型四、实际应用问题 【例题7】（2025·高一·贵州黔南·月考）某人在平面上从A点出发向西行走了到达点，然后改变方向，向西偏北方向行走了到达点，最后又改变方向，向东行走了到达点，则 . 【例题8】一辆汽车从点出发向西行驶了100km到达点，然后又改变方向向西偏北方向行驶了200km到达点，最后又改变方向，向东行驶了100km到达点，则 km， km． 【变式10】某人从A点出发向西走了到达点，然后改变方向向西偏北走了到达点，最后又改变方向，向东走了到达点，则的模= ． 【变式11】如图，某人从点A出发，向西走了200m后到达点B，然后沿北偏西一定角度的某方向行走了后到达点C，最后向东走了200m后到达点D，发现点D在点B的正北方． (1)作出，，，； (2)求的模． 【变式12】已知飞机从A地按北偏东30°的方向飞行2000km到达B地，再从B地按南偏东30°的方向飞行2000km到达C地，再从C地按西南方向飞行km到达D地． (1)作出向量，，，； (2)问D地在A地的什么方向？D地距A地多远？ 1．在中，，若的面积为6，则的面积是（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 2．给出下列命题： ①两个具有共同终点的向量，一定是共线向量； ②若是不共线的四点，则是四边形为平行四边形的充要条件； ③若与同向，且，则>； ④λ，μ为实数，若λ＝μ，则与共线． 其中假命题的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 3．如图，等腰梯形中，对角线与交于点，点、分别在两腰、上，过点，且，则下列等式中成立的是（　　）    A． B． C． D． 4．下列说法正确的个数为（    ） ①面积、压强、速度、位移这些物理量都是向量 ②零向量没有方向 ③向量的模一定是正数 ④非零向量的单位向量是唯一的 A．0 B．1 C．2 D．3 5．如图，在矩形ABCD中，AB＝2AD，M，N分别为AB与CD的中点，则在以A，B，C，D，M，N为起点和终点的所有向量中，相等向量的对数为（    ） A．9 B．11 C．18 D．24 6．下列关于向量的说法中正确的是 A．若且，则 B．若，则 C．向量（）且，则向量与的方向相同或相反 D．与方向相反，则与的方向相同 7．下列说法正确的是 A．向量与向量是共线向量，则点必在同一条直线上 B．两个有共同终点的向量，一定是共线向量 C．长度相等的向量叫做相等向量 D．两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同 8．（多选题）下列说法不正确的有（   ） A．向量就是所在的直线平行于所在的直线 B．相等向量是长度相等，方向相同的向量 C．零向量与任一向量平行 D．共线向量是在一条直线上的向量 9．（多选题）下列说法不正确的是（    ） A．若，则、的长度相等且方向相同或相反 B．若向量，满足，且同向，则＞ C．若，则与可能是共线向量 D．若非零向量与平行，则四点共线 10．（多选题）以下选项中，能使成立的条件有（    ） A． B．或 C． D．与都是单位向量 11．（多选题）下面的命题正确的有（    ） A．方向相反的两个非零向量一定共线 B．单位向量都相等 C．若，满足且与同向，则 D．“若A、B、C、D是不共线的四点，且”“四边形ABCD是平行四边形” 12．下列说法正确的是 （写序号）． ①若与共线，则点A、B、C、D共线； ②四边形为平行四边形，则； ③若，则； ④四边形中，，则四边形为正方形． 13．给出下列命题： ①若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同； ②若，则或； ③若A，B，C，D是不共线的四点，且 ，则ABCD为平行四边形； ④的充要条件是且； ⑤已知，为实数，若，则与共线． 其中真命题的序号是 ． 14．给出下列命题： ①若 ，则； ②若单位向量的起点相同，则终点相同； ③起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量； ④向量与是共线向量，则A，B，C，D四点必在同一直线上． 其中正确命题的序号是 ． 15．若向量，满足，，求的最大值及最小值. 16．如图所示，4×3的矩形(每个小方格都是单位正方形)，在起点和终点都在小方格的顶点处的向量中，试问： （1）与相等的向量共有几个； （2）与方向相同且模为的向量共有几个； 17．如图所示，4×3的矩形(每个小方格都是单位正方形)，在起点和终点都在小方格的顶点处的向量中，试问： (1)与相等的向量共有几个； (2)与平行且模为 的向量共有几个？ (3)与方向相同且模为3 的向量共有几个？ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $