第05讲 平面向量加、减及数乘运算的坐标表示（2大知识点+11大典例+变式训练+过关检测）讲义（寒假衔接课堂）-2026年高一数学寒假衔接（人教A版必修第二册）

第05讲 平面向量加、减及数乘运算的坐标表示 （2大知识点+11大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 用坐标表示平面向量 典型例题二 平面向量线性运算的坐标表示 典型例题三 由向量线性运算结果求参数 典型例题四 向量坐标的线性运算解决几何问题 典型例题五 线段的定比分点 典型例题六 由向量线性运算解决最值和范围问题 典型例题七 利用坐标求向量的模 典型例题八 由坐标判断向量是否共线 典型例题九 由向量共线(平行)求参数 典型例题十 由坐标解决三点共线问题 典型例题十一 由坐标解决线段平行和长度问题 知识点一：平面向量的坐标表示 （1）在平面直角坐标系中，分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底.对于平面内的一个向量，有且只有一对实数、，使， 把有序数对叫做向量的坐标，记作，其中叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标.在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示. （2）向量坐标的求法：①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标； ②设、，则，. （3）若是坐标原点，设，则向量的坐标就是终点的坐标，即若，则点坐标为，反之亦成立. （4）特殊向量的坐标：． 注：①在直角坐标平面内，以原点为起点的向量，点A的位置被向量a唯一确定， 此时点A的坐标与向量a的坐标统一为(x，y)． ②平面向量的坐标与该向量的起点、终点坐标有关； 应把向量坐标与点坐标区别开来，只有起点在原点时，向量坐标才与终点坐标相等． ③向量a＝(x，y)中间用等号连接，而点的坐标A(x，y)中间没有等号． 【即时训练】 1．（24-25高一下·四川攀枝花·月考）已知点，，则与向量的方向相反的单位向量是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·新疆·期中）已知，，，若，则 . 知识点二：平面向量的坐标运算 1、已知，则，． 结论：两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差． 2、若，则； 结论：实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标。 3、设非零向量，则，即，或． 知识点诠释： 若，则不能表示成因为分母有可能为0． 4、三点共线的判断方法 判断三点是否共线，先求每两点对应的向量，然后再按两向量共线进行判定，即已知 ，， 若则A，B，C三点共线． 【即时训练】 1．（24-25高一下·四川乐山·期末）已知是不共线的向量，且，则（    ） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 2．（25-26高二上·广东佛山·月考）平面上三点，，共线，则 . 【典型例题一 用坐标表示平面向量】 1．（24-25高一下·广东·月考）已知，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一·湖南·课后作业）在平面直角坐标系xOy中，向量的方向如图所示，且，，，分别计算出它们的坐标． 1．（2025·海南·模拟预测）在平面直角坐标系中，分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量，作为基底，设（其中），则向量对应的坐标位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（24-25高三上·吉林·月考）已知向量满足，点在内，且，设，若，则（    ） A． B．4 C． D． 3．（24-25高一下·江苏南通·月考）已知知两点，，且点P为线段AB的中点.则的坐标为 ． 4．（24-25高一下·全国·课后作业）在直角坐标系中，向量，的方向如图所示，且，，分别求出它们的坐标． 【典型例题二 平面向量线性运算的坐标表示】 1．（2025高三·全国·专题练习）设向量绕点逆时针旋转得向量，且，则向量（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·甘肃兰州·期中）如图，已知． (1)求线段的中点的坐标； (2)若点是线段的一个四等分点，点靠近端，求点的坐标． 1．（2025·重庆沙坪坝·模拟预测）如图所示，在矩形中，为边的中点，为边上靠近点的三等分点，为的中点，记，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·云南昭通·月考）已知点，点在线段AB上，且，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·福建宁德·期末）已知，，点在线段的延长线上，且，则点的坐标为 ． 4．（24-25高一·全国·课后作业）（1）已知＝(－1，2)，＝(1，－1)，＝(3，－2)，且有＝p＋q，试求实数p，q的值； （2）已知＝(2，1)，＝(1，－3)，＝(3，5)，把，作为一组基底，试用，表示. 【典型例题三 由向量线性运算结果求参数】 1．（24-25高一下·山东德州·月考）已知向量（1，1），（﹣1，1），（4，2），若，λ、μ∈R，则λ+μ＝（    ） A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2 2．（24-25高一下·全国·课后作业）已知两点，，点在直线上，且，求点的坐标. 1．（24-25高三·江西·月考）已知向量，满足，，，则（    ） A．－1 B．0 C．1 D．2 2．（2025·江西·模拟预测）在平面四边形ABCD中，，若，则（　　） A． B．2 C． D． 3．（24-25高一下·云南昭通·期中）已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点．已知平面内点，点，把点绕点沿逆时针方向旋转后得到点，则点的坐标为 ． 4．（24-25高一下·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，点，，，. （1）试求实数为何值时，点在第二、四象限的角平分线上； （2）若点在第三象限内，求实数的取值范围. 【典型例题四 向量坐标的线性运算解决几何问题】 1．（24-25高一上·江西南昌·期末）已知M是内一点，，记的面积为，的面积为，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（2025高三·全国·专题练习）如图，AB是圆O的直径，C，D是圆O上的点，∠CBA＝60°，∠ABD＝45°，＝x＋y，求x＋y的值． 1．（2025高一·全国·竞赛）平面直角坐标系中，点为原点，，若，且，则满足条件的点表示的阴影区域为（     ）. A． B． C． D． 2．（24-25高一下·安徽合肥·期中）设O为所在平面内一点，满足，则的面积与的面积的比值为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·陕西咸阳·期末）已知点，，，则以，，为顶点的平行四边形的第四个顶点的一个坐标可以是 . 4．（24-25高一下·全国·课后作业）已知平行四边形三个顶点的坐标为，，，求第四个顶点的坐标． 【典型例题五 线段的定比分点】 1．（24-25高一下·江苏苏州·期末）已知，，点在线段的延长线上，且，则点的坐标为（    ） A． B． C． D．或 2．（24-25高一·湖南·课后作业）如图，已知A（－2，1），B（1，3）． (1)求线段AB的中点M的坐标； (2)若点P是线段AB的一个三等分点，求点P的坐标． 1．（24-25高一下·宁夏石嘴山·月考）已知，，点在线段的延长线上，且，则的坐标是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·陕西西安·期末）直线经过两个定点（其中），则直线的参数方程为（为参数，）.其中点为直线上任意一点，下列说法中不正确的是（    ） A．参数的几何意义是动点分有向线段的数量比 B．可以用表示直线上的任意一点 C．当且时，为外分点 D．当时，点与点重合 3．（24-25高二下·上海嘉定·开学考试）已知，点在线段延长线上，且，则点的坐标为 ． 4．（24-25高二上·上海·课后作业）已知的顶点坐标为，在边上有一点D，其纵坐标为2，在边上求一点E，使的面积是面积的一半. 【典型例题六 由向量线性运算解决最值和范围问题】 1．（24-25高三上·山东临沂·期中）已知向量，若点是直线上的一个动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·湖北荆州·期中）在直角梯形中，，，，，，分别为，的中点，点在以为圆心的圆弧上运动，若，求的取值范围． 1．（24-25高二上·湖北荆门·月考）已知平面向量，是单位向量，，若向量满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2025高二·江苏·专题练习）设，若向量满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·辽宁大连·期末）在平面四边形中，，，，点在边（含端点）上运动，设，则的取值范围是 . 4．（24-25高一下·福建福州·期中）已知点，，为终边与单位圆的交点，与轴交于点，与轴交于点. （1）设，，试用表示与； （2）设，试用表示，并求的最小值. 【典型例题七 利用坐标求向量的模】 1．（24-25高一上·北京西城·期末）向量，在正方形网格中的位置如图所示，若网格中每个小正方形的边长为1，则（   ）    A． B． C．5 D． 2．（24-25高一下·天津南开·月考）中，点． （1）若四边形为平行四边形，求D点坐标． （2）若D在线段上，且，求． 1．（24-25高一下·浙江·期中）在中，为边的中点，对于所在直线上的任意点，均有，则的形状一定是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．钝角三角形 2．（24-25高三下·湖南·月考）已知，平面向量，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·广东揭阳·期末）已知点，，向量，则向量 . 4．（24-25高一下·天津河西·期中）已知向量，且． (1)求向量与的夹角； (2)求的值； (3)若向量与互相垂直，求k的值． 【典型例题八 由坐标判断向量是否共线】 1．（24-25高一下·江苏宿迁·开学考试）下列向量中，与向量共线的一个单位向量是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·广西南宁·月考）已知平面内三点，，. (1)用表示，表示，求，，，. (2)猜想三点的位置关系，并证明猜想. 1．（24-25高一下·天津宝坻·月考）下列向量组中，不能作为平面内所有向量的基底的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025高一·全国·专题练习）下列各组向量中，能作为基底的是（ ） A．， B． C． D． 3．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·月考）在下列各组向量中，①，②，③，④，不可以作为基底的是 . 4．（24-25高一下·安徽宣城·月考）已知，，，且，. （1）求点E，F的坐标； （2）求证：. 【典型例题九 由向量共线(平行)求参数】 1．（25-26高三上·湖南·期中）已知向量与的方向相同，则（    ） A．-3 B．-1 C．1 D．3 2．（24-25高一下·山东潍坊·期中）已知向量，. (1)若向量，求实数的值； (2)若向量满足，求的值. 1．（24-25高二下·浙江嘉兴·月考）已知平面向量，，且，则实数（    ） A． B． C．2 D． 2．（2025·山西忻州·模拟预测）已知向量和向量，若，则实数（    ）． A． B．0 C．1 D．2 3．（25-26高三上·安徽·月考）已知向量，若，则 ． 4．（24-25高一下·湖南·期末）已知：a、b、是同一平面内的三个向量，其中 (1)若 且， 求的坐标; (2)若 且与 的夹角为锐角，求实数的取值范围. 【典型例题十 由坐标解决三点共线问题】 1．（24-25高一下·河南南阳·期中）已知，，，若，则（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 2．（24-25高二上·全国·课堂例题）如果，，三点在同一条直线上，试确定常数的值． 1．（2025高三·安徽·学业考试）若点A(-2，-3)､B(0，y)､C(2，5)共线，则y的值等于(    ) A．-4 B．-1 C．1 D．4 2．（24-25高一下·内蒙古赤峰·月考）已知为不共线向量，，则（    ） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 3．（24-25高二上·上海嘉定·月考）已知，，点在线段延长线上，且，则点P的坐标为 . 4．（24-25高一下·吉林长春·月考）已知. (1)当为何值时，与共线？ (2)若且三点共线，求的值. 【典型例题十一 由坐标解决线段平行和长度问题】 1．（2025·广东佛山·模拟预测）梯形中，，已知，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一·全国·课后作业）已知四边形ABCD的顶点坐标分别为A（1，0），B（4，3），C（2，4），D（0，2），求证：四边形ABCD是梯形． 1．（24-25高一下·广东·期中）已知，下列向量中，与反向的单位向量是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·四川绵阳·模拟预测）已知为坐标原点，，若、，则与共线的单位向量为（    ） A． B．或 C．或 D． 3．（24-25高一下·山东淄博·月考）已知梯形ABCD中，，三个顶点.则顶点的坐标 . 4．（24-25高一下·广西钦州·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，． (1)求点B的坐标； (2)求证：． 1．（2025·陕西西安·二模）已知两个夹角为的单位向量，，若向量满足，则的最大值是（    ） A． B． C．2 D． 2．（24-25高一下·江苏盐城·月考）在平行四边形中，为对角线，若，，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·江苏徐州·月考）在直角中，是直角，的内切圆交于点，点是图中阴影区域内的一点（不包含边界）.若，则的值可以是（    ）    A．1 B．2.5 C．4 D．5.5 4．（24-25高一下·浙江杭州·月考）在下列各组向量中，可以作为基底的是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·安徽滁州·期末）对于数集，定义向量集.若存在至少一对不等向量满足（即两向量平行），则称具有性质.若数集具有性质，则所有可能的值个数为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 6．（2025高一·全国·专题练习）已知平行四边形的三个顶点的坐标分别是．则第四个顶点的坐标为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高一下·福建泉州·期中）在同一平面内，设，动点M满足（c为常数），则下列正确的是（    ） A．若，则存在满足条件的点M使得 B．，点M构成的集合是垂直于线段AB的一条直线 C．若，则点M,A,B可构成一个直角三角形 D．若，则 8．（24-25高一下·山东枣庄·月考）已知，，点P在直线AB上，且，求点P的坐标（    ） A． B． C． D． 9．（24-25高一上·辽宁·期末）下列各组向量中，不能作为基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 10．（24-25高一下·江西赣州·月考）向量，，，若A，B，C三点共线，则k的值可能为（    ） A．2 B．－2 C．11 D．－11 11．（24-25高一下·吉林长春·月考）已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角的得到向量，叫做把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点P.已知平面内点，点，把点绕点沿顺时针方向旋转后得到点P，则点P的坐标为 ； 12．（24-25高一下·江苏无锡·月考）已知是O坐标原点，，若点C满足，则a的值为 ． 13．（2025高一·全国·专题练习）如图，矩形中，，，、分别为线段、上的点，且满足，若，则的最小值为 ．    14．（25-26高三上·北京西城·月考）已知向量，若对任意实数t，都有，则实数的值为 ． 15．（2025高三·全国·专题练习）在中，已知点，，与交于点，则点的坐标为 . 16．（24-25高一下·黑龙江·期末）已知是平面内两个不共线向量，，且三点共线． (1)求实数的值； (2)已知，若，且四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点的坐标． 17．（24-25高一·全国·随堂练习）如图，当点三等分线段时，设，，有．如果点，，…，是的等分点，你能得到什么结论？请证明你的结论．      18．（24-25高一下·上海奉贤·期中）已知，，三点的坐标分别为，，，且点满足. (1)求点的坐标； (2)若点满足，判断向量与向量是否共线，并证明你的结论. 19．（24-25高一下·全国·课后作业）如图，已知直角梯形中，，过点C作于点E，M为的中点. 求证：（1）； （2）D，M，B三点共线. 20．（25-26高一下·全国·课后作业）（1）已知向量，，，求的值． （2）已知，，与共线且方向相同，求x． （3）设向量，，，求当k为何值时，A，B，C三点共线？ 学科网（北京）股份有限公司 $ 第05讲 平面向量加、减及数乘运算的坐标表示 （2大知识点+11大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 用坐标表示平面向量 典型例题二 平面向量线性运算的坐标表示 典型例题三 由向量线性运算结果求参数 典型例题四 向量坐标的线性运算解决几何问题 典型例题五 线段的定比分点 典型例题六 由向量线性运算解决最值和范围问题 典型例题七 利用坐标求向量的模 典型例题八 由坐标判断向量是否共线 典型例题九 由向量共线(平行)求参数 典型例题十 由坐标解决三点共线问题 典型例题十一 由坐标解决线段平行和长度问题 知识点一：平面向量的坐标表示 （1）在平面直角坐标系中，分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底.对于平面内的一个向量，有且只有一对实数、，使， 把有序数对叫做向量的坐标，记作，其中叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标.在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示. （2）向量坐标的求法：①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标； ②设、，则，. （3）若是坐标原点，设，则向量的坐标就是终点的坐标，即若，则点坐标为，反之亦成立. （4）特殊向量的坐标：． 注：①在直角坐标平面内，以原点为起点的向量，点A的位置被向量a唯一确定， 此时点A的坐标与向量a的坐标统一为(x，y)． ②平面向量的坐标与该向量的起点、终点坐标有关； 应把向量坐标与点坐标区别开来，只有起点在原点时，向量坐标才与终点坐标相等． ③向量a＝(x，y)中间用等号连接，而点的坐标A(x，y)中间没有等号． 【即时训练】 1．（24-25高一下·四川攀枝花·月考）已知点，，则与向量的方向相反的单位向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用向量坐标运算可得和，由此可知所求向量为. 【详解】，， 与向量的方向相反的单位向量为. 故选：A. 2．（25-26高三上·新疆·期中）已知，，，若，则 . 【答案】0 【分析】根据平面向量坐标运算计算即可求解. 【详解】因为，，，若， 则， 即，解得， 所以. 故答案为：0 知识点二：平面向量的坐标运算 1、已知，则，． 结论：两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差． 2、若，则； 结论：实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标。 3、设非零向量，则，即，或． 知识点诠释： 若，则不能表示成因为分母有可能为0． 4、三点共线的判断方法 判断三点是否共线，先求每两点对应的向量，然后再按两向量共线进行判定，即已知 ，， 若则A，B，C三点共线． 【即时训练】 1．（24-25高一下·四川乐山·期末）已知是不共线的向量，且，则（    ） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 【答案】B 【分析】根据题意，结合向量的共线的坐标表示，列出方程组，即可求解. 【详解】因为向量是不共线的向量，且， 对于A中，设，即， 可得，此时方程组无解，所以三点不共线，所以A不正确； 对于B中，设，且，可得， 可得，解得 ，所以三点共线，所以B正确； 对于C中，设，且，可得， 可得，此时方程组无解 ，所以三点不共线，所以C不正确； 对于D中，设，可得， 可得，此时方程组无解 ，所以三点不共线，所以D不正确. 故选：B. 2．（25-26高二上·广东佛山·月考）平面上三点，，共线，则 . 【答案】 【分析】转换为向量共线，列方程即可求解. 【详解】由题意，平面上三点，，共线， 所以，解得. 故答案为：. 【典型例题一 用坐标表示平面向量】 1．（24-25高一下·广东·月考）已知，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量的坐标表示列方程求点的坐标. 【详解】设点，则向量， 所以，即，对应的点B坐标为． 故选：C 2．（24-25高一·湖南·课后作业）在平面直角坐标系xOy中，向量的方向如图所示，且，，，分别计算出它们的坐标． 【答案】，，． 【分析】根据向量坐标的定义，以及向量的模和三角函数，即可求解向量的坐标. 【详解】设，，， 则，， ，， ，， 因此，，． 1．（2025·海南·模拟预测）在平面直角坐标系中，分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量，作为基底，设（其中），则向量对应的坐标位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】写出向量对应的坐标，通过判断坐标的正负得出答案. 【详解】向量对应的坐标为， ，， 所以向量对应的坐标位于第二象限. 故选：B. 2．（24-25高三上·吉林·月考）已知向量满足，点在内，且，设，若，则（    ） A． B．4 C． D． 【答案】C 【分析】根据题意由得，建立如图所示的直角坐标系，由，不妨设 ，，则，再利用正切的定义结合建立关于的等式，即可解出的值。 【详解】 由得，建立如图所示的直角坐标系， ，不妨设，， 由得 ， 故选：C 【点睛】本题主要考查了平面向量的坐标表示以及平面向量的坐标运算，属于基础题。 3．（24-25高一下·江苏南通·月考）已知知两点，，且点P为线段AB的中点.则的坐标为 ． 【答案】 【分析】由中点坐标以及向量坐标，可得答案. 【详解】点P为线段AB的中点，所以，则， 故答案为：. 4．（24-25高一下·全国·课后作业）在直角坐标系中，向量，的方向如图所示，且，，分别求出它们的坐标． 【答案】． 【解析】根据题意，结合图形，利用直角坐标系中向量，的大小与方向，分别求出它们的坐标． 【详解】解：设点， ∵，且， ∴，． 又， ∴，． 故，． 【典型例题二 平面向量线性运算的坐标表示】 1．（2025高三·全国·专题练习）设向量绕点逆时针旋转得向量，且，则向量（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，求出，求出，求出和即可求解. 【详解】设，则， 所以， 即，解得， 因此，，． 故选：B． 2．（24-25高一下·甘肃兰州·期中）如图，已知． (1)求线段的中点的坐标； (2)若点是线段的一个四等分点，点靠近端，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由向量的分解式的坐标运算即可求解； （2）由向量的分解式的坐标运算即可求解. 【详解】（1） ， 因为的坐标是，所以线段的中点的坐标是； （2）若点是线段的一个四等分点，点靠近端， 则点是的中点， 类比第一问解析可得， 即点的坐标是. 1．（2025·重庆沙坪坝·模拟预测）如图所示，在矩形中，为边的中点，为边上靠近点的三等分点，为的中点，记，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量线性运算可得，计算即可求解. 【详解】由题意可得，， 因为为的中点， 所以， 则，所以. 故选：A 2．（24-25高一下·云南昭通·月考）已知点，点在线段AB上，且，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设点坐标为，根据得，解方程组即得点的坐标. 【详解】由点在线段上，且知， 设点坐标为，则， 即解得：，即点坐标为， 故选：B. 3．（24-25高一下·福建宁德·期末）已知，，点在线段的延长线上，且，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】设点的坐标为，依题意可得，即可得到方程组，解得即可； 【详解】点，，点在线段的延长线上，且， 设点的坐标为，则，，且， 即，解得， 所以点为． 故答案为：． 4．（24-25高一·全国·课后作业）（1）已知＝(－1，2)，＝(1，－1)，＝(3，－2)，且有＝p＋q，试求实数p，q的值； （2）已知＝(2，1)，＝(1，－3)，＝(3，5)，把，作为一组基底，试用，表示. 【答案】（1）p，q的值分别为1，4；（2）＝2－. 【分析】（1）用坐标表示出p＋q，由向量相等可求得； （2）设＝m＋n，用坐标表示后，再由向量相等可得，从而得结论． 【详解】解　因为＝(－1，2)，＝(1，－1)，＝(3，－2)， 所以p＋q＝p(－1，2)＋q(1，－1)＝(－p＋q，2p－q)． 又因为＝p＋q， 所以解得 故所求p，q的值分别为1，4. （2）设＝m＋n，m，n∈R. 因为m＋n＝m(2，1)＋n(1，－3)＝(2m＋n，m－3n)， 且＝m＋n＝(3，5)， 所以解得 故＝2－ 【典型例题三 由向量线性运算结果求参数】 1．（24-25高一下·山东德州·月考）已知向量（1，1），（﹣1，1），（4，2），若，λ、μ∈R，则λ+μ＝（    ） A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2 【答案】D 【分析】由题意，根据平面向量加法的坐标表示，可列方程，可得答案. 【详解】由，则，即，解得， 故， 故选：D. 2．（24-25高一下·全国·课后作业）已知两点，，点在直线上，且，求点的坐标. 【答案】或 【分析】分点在线段上和点在线段上讨论，并结合向量坐标运算即可得到方程，解出即可. 【详解】设点的坐标为， ①若点在线段上，则， ， 即， 解得，，. ②若点在线段的延长线上，则， . 即，解得，，. 综上可得，点的坐标为或. 1．（24-25高三·江西·月考）已知向量，满足，，，则（    ） A．－1 B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】设出向量，的坐标，根据条件列出坐标方程，即可解出坐标，即可进一步列出含参数的坐标方程，从而解出参数 【详解】设，，所以，且，解得，，即，.所以，则，解得，故. 故选：B 2．（2025·江西·模拟预测）在平面四边形ABCD中，，若，则（　　） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】建立坐标系，利用平面向量的坐标法求解. 【详解】以AC所在直线为x轴，AC的垂直平分线为y轴， 建立平面直角坐标系（点D在x轴上方）， 设，则， ， 因为，所以 所以，解得，所以. 故选：A. 3．（24-25高一下·云南昭通·期中）已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点．已知平面内点，点，把点绕点沿逆时针方向旋转后得到点，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】设，利用向量旋转公式求出向量，再结合平面向量的坐标运算即可求得点坐标. 【详解】由题意可知，把点绕点逆时针方向旋转，得到点， 设，则， 所以，解得， 所以点的坐标为, 故答案为： 4．（24-25高一下·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，点，，，. （1）试求实数为何值时，点在第二、四象限的角平分线上； （2）若点在第三象限内，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）根据向量线性运算和坐标运算可求得，由此得到点坐标，由点位置可知，进而求得结果； （2）根据第三象限点的坐标的特点可构造不等式组求得结果. 【详解】（1）由题意得：， 在第二、四象限的角平分线上    ，解得： （2）由（1）知： 在第三象限内    ，解得： 的取值范围为 【典型例题四 向量坐标的线性运算解决几何问题】 1．（24-25高一上·江西南昌·期末）已知M是内一点，，记的面积为，的面积为，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【解析】利用平行四边形法则结合图象，得出点的具体位置，进而可得面积之比． 【详解】， 分别取的中点，如图所示 则，，所以 即三点共线，且，则 因为是中点，所以，，即 故选：D 2．（2025高三·全国·专题练习）如图，AB是圆O的直径，C，D是圆O上的点，∠CBA＝60°，∠ABD＝45°，＝x＋y，求x＋y的值． 【答案】. 【分析】建立坐标系，用坐标表示出和x＋y，即可建立方程组求出. 【详解】不妨设⊙O的半径为1，以圆心O为坐标原点，以OB，OD为x，y轴的正方向，建立如图所示的直角坐标系， 则A(－1，0)，B(1，0)，D(0，1)，， 所以，. 又＝x＋y， 所以， 所以，解得， 所以. 1．（2025高一·全国·竞赛）平面直角坐标系中，点为原点，，若，且，则满足条件的点表示的阴影区域为（     ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得点表示以为一组邻边的正方形过原点的对角线的下方，又，则取不到边，即可得出答案. 【详解】因为，且， ，则， 所以点表示以为一组邻边的正方形过原点的对角线的下方， 又，则取不到边，故A,C,D不正确. 故选：B. 2．（24-25高一下·安徽合肥·期中）设O为所在平面内一点，满足，则的面积与的面积的比值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】以点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，设点、、、，根据已知条件求出点的坐标，利用三角形的面积公式可求得结果. 【详解】以点为坐标原点，所在直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系， 设点、、， 则，，， 由可得，解得，， 所以，，，因此，. 故选：D. 3．（24-25高一下·陕西咸阳·期末）已知点，，，则以，，为顶点的平行四边形的第四个顶点的一个坐标可以是 . 【答案】或或（写出一个即可） 【分析】分三种情况①；②；③，利用平行四边形一组对边平行且相等借助向量相等即可求解. 【详解】设点，以为顶点的平行四边形可以有三种情况： ①若四边形为时， 因为，可得， 由，可得，解得，即； ②若四边为， 因为，可得， 由，可得，解得，即； ③若四边形为时， 因为，可得， 由，可得，解得，即. 综上可得，点的坐标为或或. 故答案为：（答案不唯一） 4．（24-25高一下·全国·课后作业）已知平行四边形三个顶点的坐标为，，，求第四个顶点的坐标． 【答案】或或 【解析】设，根据平行四边形的对边表示的向量相等列出方程解出，． 【详解】解：设． ①若平行四边形为，则． ∵，，∴由，得解得∴． ②若平行四边形为，则． ∵，，∴解得∴． ③若平行四边形为，则． ∵，，∴解得∴． 综上所述，平行四边形第四个顶点的坐标为或或． 【典型例题五 线段的定比分点】 1．（24-25高一下·江苏苏州·期末）已知，，点在线段的延长线上，且，则点的坐标为（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】根据已知条件及中点坐标公式即可求解. 【详解】由题意得，点为中点，设点，则 ，解得， 所以点的坐标为. 故选:B． 2．（24-25高一·湖南·课后作业）如图，已知A（－2，1），B（1，3）． (1)求线段AB的中点M的坐标； (2)若点P是线段AB的一个三等分点，求点P的坐标． 【答案】(1)； (2)或. 【分析】（1）根据中点坐标公式进行求解即可； （2）根据平面共线向量的性质进行求解即可. 【详解】（1）设， 因为A（－2，1），B（1，3）， 所以，即； （2）设， 当时，有； 当时，有. 1．（24-25高一下·宁夏石嘴山·月考）已知，，点在线段的延长线上，且，则的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题可得，可得，即求． 【详解】点在线段的延长线上，且， ，即, 所以． 所以点P的坐标为. 故选：D. 2．（24-25高二下·陕西西安·期末）直线经过两个定点（其中），则直线的参数方程为（为参数，）.其中点为直线上任意一点，下列说法中不正确的是（    ） A．参数的几何意义是动点分有向线段的数量比 B．可以用表示直线上的任意一点 C．当且时，为外分点 D．当时，点与点重合 【答案】B 【分析】A选项，由已知只需证明即可； B选项，由进行判断； CD选项，根据的范围可以确定和的关系进行判断. 【详解】A选项，由，可知， ，， 时，， 此时，A选项正确； B选项，由于，，不能表示横坐标为的点，B选项错误； C选项，由于，当且时，， 不妨设，故，，为外分点，C选项正确； D选项，当时，，此时会与重合，D选项正确. 故选：B 3．（24-25高二下·上海嘉定·开学考试）已知，点在线段延长线上，且，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】根据已知条件及中点坐标公式即可求解. 【详解】因为点在线段的延长线上，且，所以点为中点， 设点，则，解得，所以点的坐标为. 故答案为：. 4．（24-25高二上·上海·课后作业）已知的顶点坐标为，在边上有一点D，其纵坐标为2，在边上求一点E，使的面积是面积的一半. 【答案】 【分析】先根据向量中定比分点公式求解，再根据可得，进而设结合求解即可. 【详解】设，则，即，由，，设点E的坐标为，则，， 点E的坐标为 【典型例题六 由向量线性运算解决最值和范围问题】 1．（24-25高三上·山东临沂·期中）已知向量，若点是直线上的一个动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，再根据向量的坐标运算，结合二次函数的最值求解即可. 【详解】设，则，，则.故当时，取最小值. 故选：C 2．（24-25高一下·湖北荆州·期中）在直角梯形中，，，，，，分别为，的中点，点在以为圆心的圆弧上运动，若，求的取值范围． 【答案】 【分析】设，根据得出，最后由正弦函数的性质得出的取值范围 【详解】设， 则 因为，所以 即，解得， 所以 因为，所以 即 1．（24-25高二上·湖北荆门·月考）已知平面向量，是单位向量，，若向量满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意画出图形，得到的几何意义为以原点为起点的情况下，的终点到的终点的距离为1，由此可求解的取值范围. 【详解】如图所示，由，可得， 根据向量减法及模的几何意义，则再以原点为起点的情况下，的终点到的终点的距离为1， 所以的取值范围是. 故选：B. 2．（2025高二·江苏·专题练习）设，若向量满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，，，先证明点P在线段AB上．设，可知：表示点M到线段AB上的点的距离d．再根据点与直线的位置关系可得出的取值范围． 【详解】设，，． 而向量满足， 点P在线段AB上． 设， 则表示点M到线段AB上的点的距离d． 线段AB所在的直线方程为 当时， 而，． 的取值范围是 故选：D． 3．（24-25高一上·辽宁大连·期末）在平面四边形中，，，，点在边（含端点）上运动，设，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】以为原点，以所在直线为轴建立平面直角坐标系，然后列出的坐标，进而根据已知条件列出方程组，从而求得结果. 【详解】以为原点，以所在直线为轴建立平面直角坐标系， 设，则. 则，因为， 所以，设， 则. 所以，所以. 因为，所以，即的取值范围是. 故答案为：.    4．（24-25高一下·福建福州·期中）已知点，，为终边与单位圆的交点，与轴交于点，与轴交于点. （1）设，，试用表示与； （2）设，试用表示，并求的最小值. 【答案】（1），（2）， 【分析】（1）由题意知点的坐标为，利用坐标表示，，得出、的表达式； （2）由，利用、、三点共线得出，、、三点共线得出；联立方程组求得的解析式；由的解析式，利用三角函数的性质求出的最小值. 【详解】（1）由题意知点为倾斜角为的直线与单位圆在第一象限的交点 所以，； 又因为与轴交于点，与轴交于点 由，，且， 所以； 同理，； 所以，； （2）又因为 由于共线，所以，即① 同理，由于共线，所以 即② 将①②得 从而 当时，取得最小值. 【典型例题七 利用坐标求向量的模】 1．（24-25高一上·北京西城·期末）向量，在正方形网格中的位置如图所示，若网格中每个小正方形的边长为1，则（   ）    A． B． C．5 D． 【答案】B 【分析】根据题意，建立直角坐标系，再计算模长即可． 【详解】如图，以的起点为原点建立直角坐标系，    则，， ， ． 故选：B． 2．（24-25高一下·天津南开·月考）中，点． （1）若四边形为平行四边形，求D点坐标． （2）若D在线段上，且，求． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）设出点，然后由，列出方程组即可求解； （2）根据得到，进而根据平面向量的运算法则，得到，结合点的坐标表示出，然后根据模长的坐标运算公式即可求解. 【详解】（1）设，所以， 由可得，即， 解得，故； （2）因为，所以，则， 又由， 所以. 1．（24-25高一下·浙江·期中）在中，为边的中点，对于所在直线上的任意点，均有，则的形状一定是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．钝角三角形 【答案】B 【分析】以为原点，直线为轴，建立平面直角坐标系，设，通过坐标运算即可求解. 【详解】以为原点，直线为轴，建立如图平面直角坐标系， 设， 则， 上式为开口向上的二次函数，当时， ， 因为， 又因为， 所以， 解得，即，故， 所以两点的横坐标相同，故, 所以为直角三角形. 故选：B.    2．（24-25高三下·湖南·月考）已知，平面向量，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用平面向量的坐标运算结合二次函数性质求解即可. 【详解】易知 ,故 ，当时，最小， 此时由二次函数性质得，故， 故的最小值为，故A正确. 故选：A 3．（24-25高一下·广东揭阳·期末）已知点，，向量，则向量 . 【答案】 【解析】根据向量的坐标运算即可求出． 【详解】因为，，所以， ， . 故答案为：. 【点睛】本题考查了向量的坐标运算，向量模的坐标公式，属于基础题目. 4．（24-25高一下·天津河西·期中）已知向量，且． (1)求向量与的夹角； (2)求的值； (3)若向量与互相垂直，求k的值． 【答案】(1) (2)4 (3)或 【分析】（1）由向量模的坐标运算得出，再根据向量数量积的定义及运算律求解即可； （2）由及已知条件，代入计算即可； （3）由已知得，根据向量数量积的运算律及已知条件代入求解即可． 【详解】（1）由得，，设向量与的夹角为， ，解得， 所以向量与的夹角． （2）． （3）由向量与互相垂直得，， 所以，即，解得或． 【典型例题八 由坐标判断向量是否共线】 1．（24-25高一下·江苏宿迁·开学考试）下列向量中，与向量共线的一个单位向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由共线向量的坐标关系逐个判断即可； 【详解】对于A：，不共线； 对于B：，共线且为单位向量； 对于C：，不共线； 对于D：，不共线， 故选：B 2．（24-25高一下·广西南宁·月考）已知平面内三点，，. (1)用表示，表示，求，，，. (2)猜想三点的位置关系，并证明猜想. 【答案】(1)，，， (2)猜想三点共线，理由见解析 【分析】（1）利用向量的坐标运算求解即可； （2）由（1）可得，可得结论. 【详解】（1）因为平面内三点，，， 所以，， 所以，. （2）猜想三点共线，理由如下： 因为。，所以，所以是共线向量，且有公共点, 所以三点共线. 1．（24-25高一下·天津宝坻·月考）下列向量组中，不能作为平面内所有向量的基底的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】判断两个平面向量能否构成平面的基底，只需判断它们是否共线即可，不共线才能作为平面的基底. 【详解】能作为平面内的基底，须使两向量与不平行， 若，则， 故只需判断选项中的两向量的坐标是否满足即得. 对于A选项，因，∴与不平行，故A项正确； 对于B选项，，∴与不平行，故B项正确； 对于C选项，，∴与不平行，故C项正确； 对于D选项，，∴，故D项错误. 故选：D. 2．（2025高一·全国·专题练习）下列各组向量中，能作为基底的是（ ） A．， B． C． D． 【答案】C 【分析】根据基底的概念及辨析、由坐标判断向量是否共线. 【详解】A选项：，与共线，A错误； 对于B，由，B错误； 对于C，两向量不存在倍数关系，所以C正确， 对于D，，与共线，D错误； 故选：C. 3．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·月考）在下列各组向量中，①，②，③，④，不可以作为基底的是 . 【答案】①③④ 【分析】借助基底的定义，判断两向量是否共线即可得. 【详解】对①：由可得为零向量，故，故①不能作为基底； 对②：由，，故两向量不共线，故②可以作为基底； 对③：由，故③不能作为基底； 对④：由，故④不能作为基底. 故答案为：①③④. 4．（24-25高一下·安徽宣城·月考）已知，，，且，. （1）求点E，F的坐标； （2）求证：. 【答案】（1），；（2）证明见解析. 【分析】（1）设点，由向量的坐标表示表示出后可得点坐标，同理可得点坐标； （2）计算出向量和，根据共线定理可证． 【详解】（1）解：设点， ∵，即， ∴解得故． 设点， ∵，即， ∴解得故． （2）证明：，，故，∴． 【典型例题九 由向量共线(平行)求参数】 1．（25-26高三上·湖南·期中）已知向量与的方向相同，则（    ） A．-3 B．-1 C．1 D．3 【答案】D 【分析】由向量平行坐标表示结合题意验证可得答案. 【详解】因向量与的方向相同，则， 则或. 若，，，满足题意； 若，，，不满足题意. 故选：D 2．（24-25高一下·山东潍坊·期中）已知向量，. (1)若向量，求实数的值； (2)若向量满足，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量平行的坐标表示，列出关于的等量关系，求解即可； （2）根据题意，列出满足的方程组，求解即可. 【详解】（1）由，， 得，， 因为， 所以，解得. （2）由，，， 则， 由，则， 解得，即，则. 1．（24-25高二下·浙江嘉兴·月考）已知平面向量，，且，则实数（    ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用向量共线的坐标表示列式计算. 【详解】向量，，由，得，所以. 故选：D 2．（2025·山西忻州·模拟预测）已知向量和向量，若，则实数（    ）． A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【分析】根据向量共线的坐标表示得到方程，解得即可. 【详解】因为，所以，即，所以． 故选：D． 3．（25-26高三上·安徽·月考）已知向量，若，则 ． 【答案】0 【分析】求出的坐标，再利用向量平行公式求解即可. 【详解】因为， 所以， 因为，所以，即． 故答案为：0. 4．（24-25高一下·湖南·期末）已知：a、b、是同一平面内的三个向量，其中 (1)若 且， 求的坐标; (2)若 且与 的夹角为锐角，求实数的取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）设，由，可得，解方程求得值． （2）求出，由与的夹角为锐角可得，解得的范围，而当与共线且方向相同时，求出对应的的值，从而得到的取值范围． 【详解】（1），， 故可设，由，可得， 解得， 或． （2），， ， 与的夹角为锐角， ， ，． 而当与共线且方向相同时，，， 解得， 故的取值范围为． 【典型例题十 由坐标解决三点共线问题】 1．（24-25高一下·河南南阳·期中）已知，，，若，则（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】D 【分析】代入向量共线的坐标表示，即可求解． 【详解】，，， 则，， ， 则，解得． 故选：D 2．（24-25高二上·全国·课堂例题）如果，，三点在同一条直线上，试确定常数的值． 【答案】或． 【分析】三点在同一条直线上，所以，然后由向量共线的坐标表示求解即可. 【详解】因为，，，所以，， 由于点在同一条直线上，所以， 所以， 即， 解得，． 的值是或． 1．（2025高三·安徽·学业考试）若点A(-2，-3)､B(0，y)､C(2，5)共线，则y的值等于(    ) A．-4 B．-1 C．1 D．4 【答案】C 【分析】首先根据已知条件，首先求出，的坐标表示，然后利用三点共线的向量表示即可求解. 【详解】由题意可知，，， 因为 A(-2，-3)､B(0，y)､C(2，5)共线， 故，即， 解得，，. 故选：C. 2．（24-25高一下·内蒙古赤峰·月考）已知为不共线向量，，则（    ） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 【答案】A 【分析】由已知得，依次判断各项对应点所得向量是否共线，即可判断. 【详解】由题设， ，，，与有公共端点，所以三点共线，A对； ，，不存在，使， 所以与不共线，即三点不共线，B错； ，，不存在，使， 所以与不共线，即三点不共线，C错； ，，不存在，使， 所以与不共线，即三点不共线，D错； 故选：A 3．（24-25高二上·上海嘉定·月考）已知，，点在线段延长线上，且，则点P的坐标为 . 【答案】 【分析】根据向量共线以及向量的线性运算求得点的坐标. 【详解】设是坐标原点， 由于在线段延长线上，且， 所以，则， 所以， 所以点的坐标是. 故答案为：    4．（24-25高一下·吉林长春·月考）已知. (1)当为何值时，与共线？ (2)若且三点共线，求的值. 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）由平行的坐标运算计算； （2）由向量共线求解． 【详解】（1）由已知，， 与共线，则，； （2）由已知， 三点共线，则共线，而不共线， 所以，解得． 【典型例题十一 由坐标解决线段平行和长度问题】 1．（2025·广东佛山·模拟预测）梯形中，，已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可知，代入求解即可. 【详解】在梯形中，，所以， 所以. 故选：C 2．（24-25高一·全国·课后作业）已知四边形ABCD的顶点坐标分别为A（1，0），B（4，3），C（2，4），D（0，2），求证：四边形ABCD是梯形． 【答案】证明见解析 【分析】根据题意，求得坐标，即可得，且，即可得证 【详解】证明：由题意得， 所以，即， 又，即， 所以四边形ABCD是梯形. 1．（24-25高一下·广东·期中）已知，下列向量中，与反向的单位向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】判断标准有两个，一是反向，二是模为1. 【详解】因为与反向，所以舍去A,C,D 因为的模为1， 故选：B. 【点睛】与共线的向量为，当时，为同向；当时，为反向；与共线的单位向量为；与垂直的向量为. 2．（2025·四川绵阳·模拟预测）已知为坐标原点，，若、，则与共线的单位向量为（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】C 【分析】求出的坐标，除以，再考虑方向可得． 【详解】由得，即，， ， ， ， 与同向的单位向量为，反向的单位向量为． 故选：C． 3．（24-25高一下·山东淄博·月考）已知梯形ABCD中，，三个顶点.则顶点的坐标 . 【答案】 【分析】在梯形中，，．得到，设点D的坐标为，根据向量相等得到方程组，可得答案. 【详解】解：∵在梯形中，，，，，． ∴．设点D的坐标为． 则，． ∴，即， ∴解得故点的坐标为． 故答案为：． 4．（24-25高一下·广西钦州·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，． (1)求点B的坐标； (2)求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据结合，根据直角三角形中的关系结合求解即可； （2）先求得，再根据向量平行的性质证明即可 【详解】（1）由题意，因为，，故，故，即点B的坐标为 （2）由题意，，又，故，且不共线，故 1．（2025·陕西西安·二模）已知两个夹角为的单位向量，，若向量满足，则的最大值是（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】设，为符合题意的两个向量，得到，再根据表示以的坐标为圆心，1为半径的圆求解. 【详解】如图所示： 设，为符合题意的两个向量， 则，即， 而，则的终点在以为圆心，1为半径的圆上， 从而当的终点在点处时，最大，且， 故选：B. 【点睛】本题主要考查平面向量的坐标运算以及向量模的几何意义的应用，还考查了数形结合的思想方法和运算求解的能力，属于中档题. 2．（24-25高一下·江苏盐城·月考）在平行四边形中，为对角线，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】，由此求出，再求结论. 【详解】因为四边形是平行四边形， 所以， 所以， 所以. 故选：A. 3．（24-25高一下·江苏徐州·月考）在直角中，是直角，的内切圆交于点，点是图中阴影区域内的一点（不包含边界）.若，则的值可以是（    ）    A．1 B．2.5 C．4 D．5.5 【答案】B 【分析】先由内切圆性质求出半径，再利用坐标法得到的几何意义，数形结合可解. 【详解】在中，，则， 设内切圆半径为r， 则，可得， 以C为坐标原点建立如图所示的直角坐标系，则，.    可得， 令，则点P在直线上， 因为点P是图中阴影区域内的一点(不包含边界)，即直线与阴影区域(不包含边界)有公共点. 由图可知，当且时，才满足题意，故ACD错误，B正确. 故选：B. 4．（24-25高一下·浙江杭州·月考）在下列各组向量中，可以作为基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平面向量的一组基底为两个不共线的非零向量，结合的坐标，逐项判断可得答案. 【详解】A.为零向量，不能作为基底，A错误. B.由得，，故，不能作为一组基底，B错误. C.由得为不共线的非零向量，可以作为基底，C正确. D.由得，，故，不能作为一组基底，D错误. 故选：C. 5．（24-25高一下·安徽滁州·期末）对于数集，定义向量集.若存在至少一对不等向量满足（即两向量平行），则称具有性质.若数集具有性质，则所有可能的值个数为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【分析】若数集，则对应的向量集为，分15种情况讨论即可求解. 【详解】若数集，则对应的向量集为， 若，则，但这不可能，所以不平行， 若平行，则， 若平行，则，解得， 若平行，则， 若平行，则，解得， 若平行，则，解得， 若平行，则， 若平行，则，解得， 若平行，则， 若平行，则，解得， 若平行，则，解得， 若平行，则，解得， 若平行，则，解得， 若平行，则，解得， 若平行，则，解得， 由集合中元素的互异性可知，， 综上所述，所有可能的值为：，共7个. 故选：D. 6．（2025高一·全国·专题练习）已知平行四边形的三个顶点的坐标分别是．则第四个顶点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【解析】设平行四边形的四个顶点分别是，分类讨论点在平行四边形的位置有：，，，将向量用坐标表示，即可求解. 【详解】第四个顶点为， 当时，， 解得，此时第四个顶点的坐标为； 当时，， 解得，此时第四个顶点的坐标为； 当时，， 解得，此时第四个顶点的坐标为． ∴第四个顶点的坐标为或或． 故选:ABC. 【点睛】本题考查利用向量关系求平行四边形顶点坐标，考查分类讨论思想，属于中档题. 7．（24-25高一下·福建泉州·期中）在同一平面内，设，动点M满足（c为常数），则下列正确的是（    ） A．若，则存在满足条件的点M使得 B．，点M构成的集合是垂直于线段AB的一条直线 C．若，则点M,A,B可构成一个直角三角形 D．若，则 【答案】ABD 【分析】建立平面直角坐标系写出点A，B，M的坐标，由，得到，再利用数形结合分别判断即可． 【详解】以所在的直线为x轴，的中垂线为y轴，建立如图平面直角坐标系， ∵，则，，设， 由，得，∴，∴， A：若，则，当时， ，，则，∴A正确， B：直线与线段垂直，∴B正确， C：若，则M在直线上运动， 当M与B重合时，三点M，A，B不能构成直角三角形，∴C错误， D：若，则M在直线上运动，∴，∴D正确， 故选：ABD． 8．（24-25高一下·山东枣庄·月考）已知，，点P在直线AB上，且，求点P的坐标（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】由向量的坐标表示分类讨论后计算即可. 【详解】设，因为，，且点P在直线AB上，故由可得以下两种情况： ，此时有，解得； 或，此时有，解得； 故选：AB 9．（24-25高一上·辽宁·期末）下列各组向量中，不能作为基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】ABC 【分析】根据平面向量基底的定义来判断向量组能否作为基底. 【详解】对于A选项,已知，，因为零向量与任意向量共线，所以与共线，不能作为基底. 对于B选项，对于，，计算，根据两向量共线的充要条件可知与共线，不能作为基底. 对于C选项,已知，，计算，所以与共线，不能作为基底. 对于D选项，对于，，计算，所以与不共线，可以作为基底. 故选：ABC. 10．（24-25高一下·江西赣州·月考）向量，，，若A，B，C三点共线，则k的值可能为（    ） A．2 B．－2 C．11 D．－11 【答案】BC 【分析】由已知求出的坐标，根据向量共线的坐标运算，列出方程求解，即可得出答案. 【详解】由已知可得， ． 因为A，B，C三点共线，所以， 所以，整理得， 解得k＝－2或11． 故选：BC． 11．（24-25高一下·吉林长春·月考）已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角的得到向量，叫做把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点P.已知平面内点，点，把点绕点沿顺时针方向旋转后得到点P，则点P的坐标为 ； 【答案】 【分析】求得，把点绕点沿顺时针方向旋转（即按逆时针方向旋转）后得到点，由定义求得，进而可求得点的坐标. 【详解】由题意得，把点绕点沿顺时针方向旋转（即按逆时针方向旋转）后得到点， 则，又，设， 则，解得，，即点的坐标为. 故答案为：. 12．（24-25高一下·江苏无锡·月考）已知是O坐标原点，，若点C满足，则a的值为 ． 【答案】 【分析】根据题意结合向量的坐标运算可得，进而列式求解即可. 【详解】因为，则， 则， 可得， 则， 可得，解得. 故答案为：. 13．（2025高一·全国·专题练习）如图，矩形中，，，、分别为线段、上的点，且满足，若，则的最小值为 ．    【答案】 【分析】建立直角坐标系，确定向量坐标，根据得到，，根据得到，变换，计算得到答案. 【详解】由题意，易知不为，建立如图所示坐标系，    设点，，，， ，，， ，，即， ，， ，， 故，即， 设， 当三点共线时，在直线的异侧，故，则， 则，即， 故，即， 解得或（舍去）； 故答案为：． 14．（25-26高三上·北京西城·月考）已知向量，若对任意实数t，都有，则实数的值为 ． 【答案】 【分析】先求出，的坐标，再由向量共线的坐标表示列出方程，整理得，由题意，即可求解． 【详解】根据题意，，， ， ， 整理得，因， 故，解得． 故答案为：． 15．（2025高三·全国·专题练习）在中，已知点，，与交于点，则点的坐标为 . 【答案】 【分析】将相交条件转化为向量共线建立点坐标满足的方程组，求解即可. 【详解】因为点，， 所以，. 设，则，而， 因为三点共线，所以与共线， 所以，即. 而， ， 因为三点共线，所以与共线， 所以，即. 由，得， 所以点M的坐标为. 故答案为：. 16．（24-25高一下·黑龙江·期末）已知是平面内两个不共线向量，，且三点共线． (1)求实数的值； (2)已知，若，且四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求得，结合以及向量共线定理即可求解； （2）设，则，计算得，结合即可列方程求解. 【详解】（1）， 因为三点共线，所以存在使得， 即， 因为是平面内两个不共线向量，所以，解得． （2）当时，， 设，则， 因为四点按逆时针顺序构成平行四边形， 所以，即，解得 所以． 17．（24-25高一·全国·随堂练习）如图，当点三等分线段时，设，，有．如果点，，…，是的等分点，你能得到什么结论？请证明你的结论．      【答案】，证明见解析. 【分析】根据向量的线性运算可得，，从而可得，同理可得，…，即可得结论. 【详解】解：结论． 证明如下： 证明：不妨设上述点从靠近点A处开始排列，因为， 所以， 同理可得， 所以， 又，， 所以， … 综上所述，． 18．（24-25高一下·上海奉贤·期中）已知，，三点的坐标分别为，，，且点满足. (1)求点的坐标； (2)若点满足，判断向量与向量是否共线，并证明你的结论. 【答案】(1) (2)共线，证明见解析 【分析】（1）设出点的坐标，再利用向量的坐标运算即可求解； （2）利用向量共线定理即可证明. 【详解】（1）设，因为，，则，， 因为，所以，即， 解得，所以； （2）向量与向量共线，证明如下： 设，因为，， 所以，，因为， 则， 即，解得，所以， 所以，，所以，故与共线. 19．（24-25高一下·全国·课后作业）如图，已知直角梯形中，，过点C作于点E，M为的中点. 求证：（1）； （2）D，M，B三点共线. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）建立平面直角坐标系，证明四边形为正方形，分别写出各点的坐标，然后利用向量共线证明即可； （2）用向量证明，结合与有公共点，即可求证 【详解】以E为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如图. 令，则，因为，， 所以四边形为正方形，所以各点坐标分别为 . （1）因为，， 所以，即. （2）因为M为的中点，所以， 所以，， 所以，所以. 又与有公共点，所以D，M，B三点共线. 20．（25-26高一下·全国·课后作业）（1）已知向量，，，求的值． （2）已知，，与共线且方向相同，求x． （3）设向量，，，求当k为何值时，A，B，C三点共线？ 【答案】（1）  （2）  （3）或 【解析】（1）根据向量的坐标运算法则，计算出，的坐标，再根据平面向量共线定理得到方程，解得； （2）根据平面向量共线定理得到方程，解得，再代入检验； （3）A，B，C三点共线，即，共线，存在实数，使得．得到方程组，解得. 【详解】解：（1），， 由，可得，解得． （2）∵，，，∴，解得，． 当时，，，与共线且方向相同； 当时，，，与共线且方向相反． ∴． （3）方法一  ∵A，B，C三点共线，即，共线，∴存在实数，使得． ∵，， ∴，即解得或． 方法二  由题意知，共线．∵，，∴， ∴，解得或． 【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，平面向量共线定理的应用，属于中档题. 学科网（北京）股份有限公司 $