2026年中考数学第一轮复习专题讲练第14讲 三角形与全等三角形基础巩固专项训练

2026年中考数学第一轮复习专题讲练 第四单元 图形的性质 《第14讲 三角形与全等三角形》基础巩固专项训练答案解析 一、单选题 1．（2025·江苏常州·模拟预测）如图，利用三角支架可以固定平板电脑的位置，这样做的数学原理是（    ） A．三角形的内角和为 B．两点之间，线段最短 C．三角形具有稳定性 D．垂线段最短 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的稳定性，根据利用三角支架可以固定平板电脑的位置，得出这样做的数学原理是三角形具有稳定性，即可作答． 【详解】解：利用三角支架可以固定平板电脑的位置的数学原理是三角形具有稳定性， 故选：C． 2．（25-26八年级上·湖南长沙·月考）下列长度的各组线段中，能组成三角形的是 （       ） A．1，2，3 B．4、6、7 C．5，5， D．6，9，2 【答案】B 【分析】本题考查了构成三角形的条件：任意两边之和大于第三边，任意两边只差小于第三边，据此即可判断； 【详解】解：A：，故不能构成三角形； B： 4、6、7满足三角形的三边关系，能构成三角形； C：，故不能构成三角形； D：，故不能构成三角形； 故选：B 3．（2025·河北唐山·三模）嘉嘉同学用三角板作的边上的高，下列三角板摆放位置正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的高，理解“从三角形一个顶点向它的对边所在直线画垂线，顶点和垂足间的线段叫作三角形的高．”是解题的关键． 【详解】 解：三角板摆放位置正确， 故选：D． 4．（2025·云南昭通·一模）如图，，分别是的高线和中线．若的面积为，，则的长为（   ） A．2 B．3 C． D．9 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形的中线性质，掌握三角形的中线性质是解题关键． 根据三角形的中线平分三角形的面积求得，再利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：是的中线， ， ，， ． 故选：C． 5．（2025·贵州遵义·模拟预测）已知，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形对应角相等，三角形内角和定理，掌握相关知识是解题关键．根据全等三角形对应角相等可得，，然后利用三角形内角和定理计算出的度数可得答案． 【详解】解：, ，， , 故选：C． 6．（2025·四川达州·中考真题）如图，在中，，线段的垂直平分线交于点E，交于点D，则的周长为（   ）    A．21 B．14 C．13 D．9 【答案】C 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线的性质可得，据此根据三角形周长计算公式求解即可． 【详解】解：∵线段的垂直平分线交于点E，交于点D， ∴， ∴的周长， 故选：C． 7．（2025·贵州铜仁·二模）如图，在与中，若，则，这个结论的理由是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定的应用，注意判定两三角形的全等方法有，，，，，选用适当的方法证明两三角形全等是解题的关键． 利用证明，即可求解． 【详解】解：在与中， ∵， ∴． 故选：C 8．（24-25八年级上·河南商丘·期中）如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是（    ） A．带①去 B．带②去 C．带③去 D．带①和②去 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握知识点是解题的关键．根据题意配制的三角形与原三角形应该全等，故带去的碎块必须要保留原三角形的三个完整条件，通过观察即可发现：第三块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据ASA来配一块一样的玻璃． 【详解】解：A、带①去，仅保留了原三角形的一个角和部分边，不能得到与原来一样的三角形，故A选项错误； B、带②去，仅保留了原三角形的一部分边，也是不能得到与原来一样的三角形，故B选项错误； C、带③去，不但保留了原三角形的两个角还保留了其中一条边，符合ASA判定，故C选项正确； D、带①和②去，仅保留了原三角形的一个角和部分边，同样不能得到与原来一样的三角形，故D选项错误． 故选：C． 9．（2025·浙江台州·二模）如图，在的正方形网格中，线段，的端点均在格点上，则和的数量关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】证出可得，再用邻补角定义求解即可．本题考查了全等三角形的判定和性质，熟记全等三角形的判定定理与性质定理是解题的关键． 【详解】解：如图， 在和中，， ， ， ， ， 故选：A． 10．（2025·云南丽江·一模）如图，是的边的垂直平分线．若，，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 先利用线段垂直平分线的性质可得，然后进行计算即可解答． 【详解】解：是的边的垂直平分线，， ， ， ， 故选：C． 11．（2025·甘肃酒泉·二模）如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质与三角形外角的性质，涉及的知识点是 “两直线平行，同位角相等” 及 “三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和”．解题方法是利用直尺的对边平行，得到同位角相等，再结合三角形外角性质建立角度关系；解题关键是准确识别平行线对应的同位角，以及三角形外角与内角的关系．易错点是混淆三角形内角与外角的关系，或错误识别平行线的同位角．解题思路为：先根据直尺对边平行，得出与 相等的同位角，再利用三角形外角性质，用该同位角减去，得到 的度数． 【详解】解：如图， ， ， 又， ． 故选：C． 12．（2025·湖北·模拟预测）将一个含角的三角板和一把直尺按如图所示的方式放置，若，则图中等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角板中角度的计算，三角形的外角性质．根据题意，，，再利用三角形的外角性质即可求解． 【详解】解：如图所示，， 根据题意，， ∴， 故选：B． 13．（2025·山东德州·模拟预测）如图，，，分别是的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的高、中线、角平分线，熟练掌握三角形的高、中线、角平分线的定义是解题的关键．根据三角形的高、中线、角平分线的定义，逐项分析即可判断． 【详解】解：∵，，分别是的高、角平分线、中线， ∴，，，故A，B，D正确； 根据现有条件无法证明，故C错误． 故选：C． 14．（2025·福建·模拟预测）如图，在中，，的垂直平分线l交于点M，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，解题关键在于作辅助线．首先连接，由的垂直平分线l交于点M，可得，又由，，证得，得出，，设，则， ，根据，求出，继而求得答案． 【详解】解：如图，连接， ∵的垂直平分线l交于点M， ∴， ∵，， ∴， ∴，， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 15．（2025·云南丽江·模拟预测）如图，直线 ，，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，熟练掌握这两个性质是解题的关键．先根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出的度数，再根据两直线平行，同位角相等即可求出的度数． 【详解】解：是的一个外角， ， ，， ， ， ， 故选：D． 16．（2025·贵州黔西南·模拟预测）如图，，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定定理，根据全等三角形的判定方法，逐项判断即可求解． 【详解】解：根据题意得：，， A．若添加，满足边角边，能判定，故该选项不符合题意； B．若添加，满足斜边直角边对应相等，能判定，故该选项不符合题意； C．若添加，满足边边角，不能判定，故该选项符合题意； D．若添加，满足边边边，能判定，故该选项不符合题意； 故选：C． 17．（2025·山东德州·中考真题）如图，在中，．分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线，与交于点D，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质，熟练掌握等腰三角形两底角相等以及线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键． 先根据等腰三角形的性质求出和的度数，再根据线段垂直平分线的性质得出，进而求出的度数，最后通过求出的度数． 【详解】解：∵ ，， ∴ ， 由作图可知，是线段的垂直平分线， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 故选：． 18．（2025·山东菏泽·模拟预测）如图，的外角，的平分线，相交于点，于，于，下列结论：①；②点P在的平分线上；③．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 【答案】B 【分析】本题考查的知识点是角平分线的性质和判定、全等三角形的性质与判定，解题关键是熟练掌握角平分线的性质和判定． 作可通过角平分线的性质判断①；根据角平分线的判定判断②；利用和推得，，再根据即可判断③，综上即可得解． 【详解】解：作于点， 、分别平分、， 且、、， ，， ， 正确； 且、， 在的平分线上， 正确； 四边形中，，， ， 在和中， ， ， ， 同理可得， ， ， ， ， 错误； 综上，正确． 故答案为：2． 19．（2025·河北邯郸·三模）如图，，，交于点E，M为斜边的中点，若，．对于和之间的数量关系，三位同学给出了不同的猜测：甲：，乙：，丙：，其中正确的是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．甲和丙都有可能 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边中线的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 根据题意可得，，再由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，可证，继而证明，解得，最后根据三角形内角和定理，分别解得和的关系，整理即可解题． 【详解】解：， ， M为斜边的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故甲正确，乙丙都不正确， 故选A． 20．（2025·贵州毕节·三模）在中，，将沿图中虚线剪开，剪下的两个三角形不一定全等的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，三角形外角的性质，A、B两个选项都可以利用证明全等，C选项中，先证明，再利用即可证明两个三角形全等，D选项中，根据现有条件不能证明两个三角形全等． 【详解】解：A、如图所示，∵， ∴，故A不符合题意； B、如图所示，∵， ∴，故B不符合题意； C、如图所示，∵，， ∴， 又∵， ∴，故C不符合题意； D、如图所示，同理可得，但是不是对应边，故不能证明两个三角形全等，故D符合题意； 故选：D． 二、填空题 21．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）如图，北盘江大桥获得过中国建筑工程鲁班奖，是世界上最高的大桥，从桥面到谷底的垂直高度达到565米．北盘江大桥是一座斜拉索桥，造型美观，结构稳固，其蕴含的数学道理是 ． 【答案】三角形的稳定性 【分析】本题主要考查三角形的稳定性，熟练掌握三角形的稳定性是解题的关键；根据三角形的稳定性进行求解即可． 【详解】解：由题意可知：其蕴含的数学道理是三角形的稳定性； 故答案为：三角形的稳定性． 22．（2025·福建福州·一模）如图，在中，，若沿图中虚线剪去，则 ．      【答案】/250度 【分析】本题考查了三角形及四边形的内角和．熟记相关结论即可求解． 【详解】解：∵， ∴ ∵沿图中虚线剪去后的图形为四边形，且四边形的内角和度数为 ∴ 故答案为： 23．（23-24八年级上·福建福州·期中）如图，，点在线段上，若，，则的长为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了全等三角形的性质，线段的和差计算，掌握全等三角形的性质是解题的关键． 根据全等三角形的性质可得，再根据即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：2 ． 24．（2025·江苏泰州·二模）在等腰中，，，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，构成三角形的条件，分为腰和为腰两种情况，根据构成三角形的条件讨论求解即可． 【详解】解：当为腰时，则的三边长分别为4，4，2， ∵， ∴此时能构成三角形，符合题意， ∴； 当为腰时，则的三边长分别为4，2，2， ∵， ∴此时不能构成三角形，不符合题意， 综上所述，； 故答案为：4． 25．（2025·贵州黔东南·模拟预测）如图，是的外角，则的值为 ． 【答案】360 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，三角形内角和定理，三角形一个外角的度数等于与其不相邻的两个内角的度数之和，则， ，进而可得． 【详解】解：由三角形外角的性质可得， ， ∴， 故答案为：． 26．（2025·山东济南·模拟预测）将一副直角三角板如图放置，已知，，则 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，三角形的外角定理，平行线的性质等知识点． 由直角三角形的性质得出，由平行线的性质得出，再由三角形外角性质即可求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 27．（2025·甘肃·一模）如图，的边的垂直平分线交于点D，连接．若，，则 ． 【答案】8 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，解题关键是掌握线段垂直平分线的性质并能运用求解． 根据题意得到，得到，即可得到答案． 【详解】解：∵的边的垂直平分线交于点D， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即的长为8， 故答案为：8． 28．（2025·黑龙江佳木斯·模拟预测）如图，已知，添加一个条件 ，使得． 【答案】或或 【分析】本题考查添加条件使两个三角形全等，熟记两个三角形全等的判定定理是解决问题的关键． 结合题中，，根据两个三角形全等的判定定理添加条件即可得到答案． 【详解】解： ，， 当时， 在和中， ， ； 当时， 在和中， ， ； 当时， 在和中， ， ； 综上所述，添加或或，使得， 故答案为：或或． 29．（2025·辽宁锦州·模拟预测）如图，平分，，点D是上的动点，若，则长度的最小值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了角平分线上的点到角两边的距离相等的性质，垂线段最短的性质，确定出最小时的位置是解题的关键． 根据垂线段最短可知，当时最短，再根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得，进而求解． 【详解】解：如下图所示：过点P作，垂足为点, ∵平分，，， ∴， ∵， ∴， 即当点D运动到点的位置时，长度最短，最小值为． 故答案为：． 30．（2025·重庆·模拟预测）如图，在中，平分，D是的中点， ，则的长度为 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的定义、全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理，解题的关键是通过延长线段构造全等三角形，将已知边的长度关系转化为新线段的长度，再利用中点条件确定中位线，进而求出目标线段长度． 延长、相交于点F，利用平分得到，结合得出，再根据公共边，通过判定定理证明；由全等三角形的性质可得、，结合已知、，计算出；因为D是的中点且，所以符合三角形中位线的定义，即是的中位线，最后根据三角形中位线定理“三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半”，求出． 【详解】解：延长，相交于点F， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵D是的中点，， ∴是的中位线， ， 故答案为：． 31．（2025·浙江宁波·模拟预测）如图，在凸四边形中，，，平分，，则 ． 【答案】/度 【分析】本题考查等腰三角形的性质、三角形全等的判定与性质及角平分线的概念，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键．在上截取，通过证明，得到，，再利用邻补角的定义证得，根据四边形内角和为即可得答案． 【详解】解：如图，在上截取， 平分， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵，四边形内角和为， ∴． 故答案为： 32．（2025·江苏常州·二模）如图，是的中位线，点F在上，．连接并延长，与的延长线交于点G．若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形中位线定理、全等三角形的判定与性质，由三角形中位线定理可得，，由平行线的性质可得，再证明，得出，即可得解，熟练掌握三角形中位线定理是解此题的关键． 【详解】解：∵是的中位线， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题 33．（2025·陕西西安·三模）如图，是的中线，，分别是和延长线上的点，且．求证：． 【答案】见解析． 【分析】本题考查了三角形全等的判定、平行线的性质、三角形的中线，熟练掌握三角形全等的判定是解题关键． 先根据三角形的中线可得，再根据平行线的性质可得，可证，即得． 【详解】证明：∵是的中线， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴． ∴． 34．（2025·浙江杭州·三模）如图，在中，，于点E，于点D，，相交于点P． (1)证明：． (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的两个锐角互余，等腰三角形的性质，确定全等条件是解题的关键． （1）先证明，再证即可； （2）根据直角三角形的两个锐角互余求得，再根据等边对等角求得，即可根据即可求解． 【详解】（1）证明：于点E，于点D， ， 在和中， ， ． （2）解：， ， ， ， ， 的度数是． 35．（2025·浙江宁波·三模）已知：如图，是的一条对角线．延长至点，反向延长至点，使得． (1)求证：． (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． （1）用证明即可； （2）根据，得出，根据三角形外角性质求出结果即可． 【详解】（1）证明：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∴， 即， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴． 36．（2025·浙江丽水·二模）如图，在中，是的平分线，点D在上（不与点A，B重合），连接CD交于点O． (1)若是边上的中线，，的周长为，求的周长． (2)若于点D，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了三角形的中线、高、角平分线、外角等知识点，熟练掌握相关概念是解题的关键． （1）由三角形中线的概念可得，由的周长为得，再根据三角形的周长公式进行计算，即可得出答案； （2）由三角形的高的概念可得，由三角形角平分线的定义可得，由三角形外角的性质可得，于是得解． 【详解】（1）解：是的中线， ， ∵的周长为， 的周长， ∴， ∵， ∴， ∴的周长 ； （2）解：， ， 是的角平分线，， ， ． 37．（23-24八年级上·湖南长沙·期末）如图，点在外部，点在边上，交于点，若，，求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理的推论、全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． （1）通过角的等量代换，结合三角形内角和定理的推论，推导得出． （2）先证明角相等，再结合已知边相等，利用全等三角形判定定理证明三角形全等，进而得出． 【详解】（1）证明：，，， （2）证明： ，即 又， （） ． 38．（2025·江苏镇江·二模）如图，，点D在边上， 和相交于点O． (1)若，求的度数； (2)若，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查三角形内角和定理，全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． （1）根据，可得； （2）由（1）可知：，结合，等量代换可得，进而可证，进而可证明． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）证明：由（1）可知：， ∵， ∴， ∴， ∴，                                     在和中， ， ∴． 39．（2025·浙江湖州·模拟预测）（1）如图射线在这个角的内部，点分别在的边上，且于点于点求证：． （2）如图，点分别在的边上，点都在内部的射线上，分别是的外角．已知，且求证：． （3）如图，在中，，点在边上，，点在线段上，若的面积为，求与的面积之和． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）5 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质是解题的关键． （1）求出，，根据证两三角形全等即可； （2）根据已知和三角形外角性质求出，，根据证两三角形全等即可； （3）求出的面积，根据得出与的面积之和等于的面积，即可得出答案． 【详解】解：（1）， ， ， ， ， ； （2）， ， 同理：， ， ； （3）过点作，如图， ， ， ， ， 由（2）知，， ， ， 与的面积之和为 40．（2025·山东青岛·模拟预测）【问题探究一】 （1）已知：如图1，在中，，，分别平分和，的度数是_____． （2）问题提出：三角形的一个内角与另两个内角的平分线所夹的钝角之间有何种关系？ 结合图1猜想：与的数量关系是______． 【问题探究二】 （3）已知：如图2，与分别是的两个外角，且，则______． （4）问题提出：我们知道，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，那么三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在何种数量关系呢？ 结合图2猜想：与的数量关系是______． 【拓展与应用】 （5）如图3，四边形中，为四边形的的平分线及外角的平分线所在的直线构成的锐角，若设，，则_____．（用含，的式子表示） （6）如图4，平分，平分，把折叠，使点与点重合，若，则_____． 【答案】（1）；（2）；证明见解析；（3）；（4）；（5）；（6） 【分析】本题考查的是角平分线的定义，三角形的内角和定理，四边形的内角和定理的应用，轴对称的性质； （1）在中， ，结合角平分线的含义可得，再进一步利用三角形的内角和定理可得答案； （2）在中，，求解，再进一步利用三角形的内角和定理可得答案； （3）求解，再进一步利用内角和定理可得答案； （4）证明，可得； （5）延长，交于点，由（4）可得：，证明，，结合外角的性质可得，，可得，进一步求解即可； （6）求解，，可得，由（2）得：． 【详解】解：（1）在中，， ∴， ∵，分别平分和， ∴，， ∴， ∴； （2）猜想：，理由如下： 在中，， ∵，分别平分和， ∴，， ∴， ∴； （3）∵与分别是的两个外角，且， ∴， ∴； （4），理由如下： ∵与分别是的两个外角， ∴， ∴； （5）延长，交于点， ∵，， 由（4）可得：， ∵为四边形的的平分线及外角的平分线所在的直线构成的锐角， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴； （6）∵，结合折叠， ∴，， ∴， ∵平分，平分， 由（2）得：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考数学第一轮复习专题讲练 第四单元 图形的性质 《第14讲 三角形与全等三角形》基础巩固专项训练 一、单选题 1．（2025·江苏常州·模拟预测）如图，利用三角支架可以固定平板电脑的位置，这样做的数学原理是（    ） A．三角形的内角和为 B．两点之间，线段最短 C．三角形具有稳定性 D．垂线段最短 2．（25-26八年级上·湖南长沙·月考）下列长度的各组线段中，能组成三角形的是 （       ） A．1，2，3 B．4、6、7 C．5，5， D．6，9，2 3．（2025·河北唐山·三模）嘉嘉同学用三角板作的边上的高，下列三角板摆放位置正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·云南昭通·一模）如图，，分别是的高线和中线．若的面积为，，则的长为（   ） A．2 B．3 C． D．9 5．（2025·贵州遵义·模拟预测）已知，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 6．（2025·四川达州·中考真题）如图，在中，，线段的垂直平分线交于点E，交于点D，则的周长为（   ）    A．21 B．14 C．13 D．9 7．（2025·贵州铜仁·二模）如图，在与中，若，则，这个结论的理由是（　　） A． B． C． D． 8．（24-25八年级上·河南商丘·期中）如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是（    ） A．带①去 B．带②去 C．带③去 D．带①和②去 9．（2025·浙江台州·二模）如图，在的正方形网格中，线段，的端点均在格点上，则和的数量关系是（    ） A． B． C． D． 10．（2025·云南丽江·一模）如图，是的边的垂直平分线．若，，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 11．（2025·甘肃酒泉·二模）如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 12．（2025·湖北·模拟预测）将一个含角的三角板和一把直尺按如图所示的方式放置，若，则图中等于（    ） A． B． C． D． 13．（2025·山东德州·模拟预测）如图，，，分别是的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（    ） A． B． C． D． 14．（2025·福建·模拟预测）如图，在中，，的垂直平分线l交于点M，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 15．（2025·云南丽江·模拟预测）如图，直线 ，，，则等于（   ） A． B． C． D． 16．（2025·贵州黔西南·模拟预测）如图，，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（   ） A． B． C． D． 17．（2025·山东德州·中考真题）如图，在中，．分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线，与交于点D，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 18．（2025·山东菏泽·模拟预测）如图，的外角，的平分线，相交于点，于，于，下列结论：①；②点P在的平分线上；③．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 19．（2025·河北邯郸·三模）如图，，，交于点E，M为斜边的中点，若，．对于和之间的数量关系，三位同学给出了不同的猜测：甲：，乙：，丙：，其中正确的是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．甲和丙都有可能 20．（2025·贵州毕节·三模）在中，，将沿图中虚线剪开，剪下的两个三角形不一定全等的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 21．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）如图，北盘江大桥获得过中国建筑工程鲁班奖，是世界上最高的大桥，从桥面到谷底的垂直高度达到565米．北盘江大桥是一座斜拉索桥，造型美观，结构稳固，其蕴含的数学道理是 ． 22．（2025·福建福州·一模）如图，在中，，若沿图中虚线剪去，则 ．      23．（23-24八年级上·福建福州·期中）如图，，点在线段上，若，，则的长为 ． 24．（2025·江苏泰州·二模）在等腰中，，，则 ． 25．（2025·贵州黔东南·模拟预测）如图，是的外角，则的值为 ． 26．（2025·山东济南·模拟预测）将一副直角三角板如图放置，已知，，则 27．（2025·甘肃·一模）如图，的边的垂直平分线交于点D，连接．若，，则 ． 28．（2025·黑龙江佳木斯·模拟预测）如图，已知，添加一个条件 ，使得． 29．（2025·辽宁锦州·模拟预测）如图，平分，，点D是上的动点，若，则长度的最小值为 ． 30．（2025·重庆·模拟预测）如图，在中，平分，D是的中点， ，则的长度为 ． 31．（2025·浙江宁波·模拟预测）如图，在凸四边形中，，，平分，，则 ． 32．（2025·江苏常州·二模）如图，是的中位线，点F在上，．连接并延长，与的延长线交于点G．若，则 ． 三、解答题 33．（2025·陕西西安·三模）如图，是的中线，，分别是和延长线上的点，且．求证：． 34．（2025·浙江杭州·三模）如图，在中，，于点E，于点D，，相交于点P． (1)证明：． (2)若，求的度数． 35．（2025·浙江宁波·三模）已知：如图，是的一条对角线．延长至点，反向延长至点，使得． (1)求证：． (2)若，，求的度数． 36．（2025·浙江丽水·二模）如图，在中，是的平分线，点D在上（不与点A，B重合），连接CD交于点O． (1)若是边上的中线，，的周长为，求的周长． (2)若于点D，，求的度数． 37．（23-24八年级上·湖南长沙·期末）如图，点在外部，点在边上，交于点，若，，求证： (1)； (2)． 38．（2025·江苏镇江·二模）如图，，点D在边上， 和相交于点O． (1)若，求的度数； (2)若，求证：． 39．（2025·浙江湖州·模拟预测）（1）如图射线在这个角的内部，点分别在的边上，且于点于点求证：． （2）如图，点分别在的边上，点都在内部的射线上，分别是的外角．已知，且求证：． （3）如图，在中，，点在边上，，点在线段上，若的面积为，求与的面积之和． 40．（2025·山东青岛·模拟预测）【问题探究一】 （1）已知：如图1，在中，，，分别平分和，的度数是_____． （2）问题提出：三角形的一个内角与另两个内角的平分线所夹的钝角之间有何种关系？ 结合图1猜想：与的数量关系是______． 【问题探究二】 （3）已知：如图2，与分别是的两个外角，且，则______． （4）问题提出：我们知道，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，那么三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在何种数量关系呢？ 结合图2猜想：与的数量关系是______． 【拓展与应用】 （5）如图3，四边形中，为四边形的的平分线及外角的平分线所在的直线构成的锐角，若设，，则_____．（用含，的式子表示） （6）如图4，平分，平分，把折叠，使点与点重合，若，则_____． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $