函数与导数：含参单调性讨论问题、恒成立求参数问题、能成立求参数问题专项训练-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性第二册

函数与导数：含参单调性讨论问题、恒成立求参数问题、能成立求参数问题专项训练 函数与导数：含参单调性讨论问题、恒成立求参数问题、能成立求参数问题专项训练 考点目录 含参单调性讨论问题 恒成立求参数问题 能成立求参数问题 考点一 含参单调性讨论问题 例1．（2026·四川绵阳·二模）已知函数（，a为常数） (1)若，求的单调区间； (2)若是的极大值点，求a的取值范围 【答案】(1)单减区间为，单增区间为. (2) 【详解】（1）， 因为，，所以， 当时，，当时，， 所以的单减区间为，单增区间为. （2）， 当时，由（1）知是的极小值点，不符合题意； 当时，，在上单调递减，没有极值点，不合题意； 当时，，当时，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递增， 所以是的极小值点，不合题意； 当时，，当时，当，则在上单调递增， 当时，，则在上单调递减. 所以是的极大值点，符合题意， 综上知的取值范围为. 例2．（25-26高二上·福建厦门·期末）已知函数． (1)当时，讨论的单调性； (2)若函数的图象上总存在两点关于对称，求的取值范围． 【答案】(1)分类讨论，答案见解析； (2). 【详解】（1）函数的定义域为，求导得， 令，， （ⅰ）当，即时，，即恒成立，在上单调递减； （ⅱ）当时，由，，， 得方程在有两解，且， 当时，，即；当时，，即， 函数在上单调递减，在上单调递增； 综上可知当时，的减区间为，无增区间； 当时，的减区间为，增区间为. （2）与函数图象关于对称的图象对应函数为， 若函数的图象上总存在两点关于对称，根据对称性可知只需函数与函数在上有交点即可， 亦即方程在上有解，则函数在上有零点， 而， 令，当时，，令， 依题意，函数在上有零点，求导得， 函数在上单调递减，若在上有零点，而当从大于0的方向趋近于0时，， 则有，解得，此时在上存在唯一零点， 在上也存在唯一零点，从而在上存在唯一零点， 所以实数的取值范围是. 例3．（25-26高二上·河北沧州·期末）已知函数. (1)若有两个极值点，且一个大于0，一个小于0，求的取值范围； (2)若函数，讨论的单调性. 【答案】(1) (2)答案见解析 【详解】（1）由题意得. 由题意知方程有一个正根和一个负根， 所以，解得，即的取值范围为. （2）因为， 所以. 令，则或， ①当时，即时，恒成立，所以在上单调递增； ②当时，即时，则有当或时，，单调递增， 当时，，单调递减， ③当时，即时，则有当或时，，单调递增， 当时，，单调递减， ④当时，即时，则有当时，，单调递减， 当时，，单调递增. 综上：当时，函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 当时，函数在上单调递增， 当时，函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. 变式1．（25-26高二上·安徽六安·期末）已知函数． (1)若，求在处的切线方程； (2)讨论的单调性． 【答案】(1)； (2)答案见解析. 【详解】（1）若，则，，所以，， 故在处的切线方程为，即． （2）因为，且， 当时，时，时， 所以，在上单调递减，在上单调递增； 当时，时，时，时， 所以，在、上分别单调递增，在上单调递减； 当时，时恒成立，故在上单调递增； 当时，时，时，时， 所以，在、上分别单调递增，在上单调递减． 综上，当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在、上分别单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在、上分别单调递增，在上单调递减． 变式2．（25-26高二上·湖南常德·期末）已知函数，． (1)当时，求函数在点处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)若有极大值，且极大值小于0，求的取值范围． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【详解】（1）当时，，则，， 所以， 所以函数在点处的切线方程为， 即； （2）函数的定义域为， 又， 当时，恒成立，在上单调递增. 当时，由，解得， 由，解得， 所以在上单调递增，在上单调递减. 综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减. （3）由（2）当时恒成立，在上单调递增，无极值. 当时，在处取得极大值，极大值为. 令，解得， 所以的取值范围为. 变式3．（25-26高三上·江西吉安·期末）已知函数，. (1)若，求函数在点处的切线方程； (2)若，设函数的导函数为，讨论的单调性. 【答案】(1) (2)答案见解析 【详解】（1）当时，，， 所以，， 故切线方程为， 即. （2）易知， 所以， ①若，则，，此时在上单调递增； ②若，则， 当时，，此时在上单调递减； 当时，，此时在上单调递增； 综上，当时，函数在上单调递增； 当时，函数的单调增区间为，减区间为. 考点二 恒成立求参数问题 例1．（2026·陕西宝鸡·一模）已知函数， (1)讨论的单调性． (2)若对任意都有恒成立，求a的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【详解】（1）由题意可得，， 当时，在恒成立，所以函数在单调递增； 当时，时，时，故函数在单调递减,在单调递增， 综上所述，当，函数在单调递增； 当时，函数在单调递减,在单调递增. （2）因为对任意都有，所以，即， 令，，则， 当时，，单调递增；当时，，单调递减， 所以，故 . 例2．（25-26高三上·天津河北·期末）已知函数（）. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)当时，恒成立，求a的取值范围； (3)求证：. 【答案】(1)； (2)满足题意的实数a的取值范围为； (3)证明见解析. 【详解】（1）由题（）， 当时，. 所以，切线斜率为， 所以曲线在处的切线方程为，即； （2）因为当时，恒成立，所以当时，， 由题（）， 解方程或， 所以当即时，若有， 所以函数在上单调递增，所以函数，满足题意； 当即时，若有，若有， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以. ， 则，所以在上单调递减， 所以，与矛盾，不符合. 综上，满足题意的实数a的取值范围为. （3）证明：由（2）可得当时，即恒成立， 令，则即，即， 所以， 所以：. 所以. 例3．（25-26高二上·江苏宿迁·期末）已知函数. (1)求不等式的解集； (2)当时，不等式恒成立，求实数的取值范围； (3)若方程有两个实数根，证明. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【详解】（1）函数的定义域为． 所以不等式可化为． 所以原不等式解集为． （2）解法一： 因为， 所以不等式可化为． 设，． 设，则． 所以在上单调递减，则，则． 所以在上单调递减，则． 所以． 解法二： 设函数（），则恒成立． ，设，则． ①当时，，则在上递增，所以． 所以在递增，则，不合题意，舍去； ②当时，由=0可得， （i）若，即，当时（不恒为零），则在上递减， 则即在上恒成立， 所以在上递减，则，符合题意； （ii）若，即， 当时，当时． 则在上单调递增，而， 即时，则在上递增， 则不合题意，舍去； 综上所述，a的取值范围是． （3），得 因为在上单调递增且， 所以，． 所以在上单调递减，在上单调递增． 故，而当，，当时，， 结合有两个不同的解可得. 下证两个不等式：（1）；（2）. 证明：①因为，故，而，故. ②设， 则，，， 而在上为增函数，故存在， 使得时，，时，， 故在为减函数，在上为增函数，而， 故即成立. 因为两个不同的解为且， 则，故， 故，所以. 变式1．（25-26高二上·江苏连云港·期末）已知函数，. (1)讨论函数的单调性； (2)若不等式对一切正数恒成立，求的取值范围； (3)若，函数，证明：当时，. 【答案】(1)答案见解析 (2) (3)证明见解析 【详解】（1）由题可得， 当时，，则在R上单调递增 当时，，得， 在时，，则单调递减， 在时，，则单调递增， 所以当时，在上单调递增， 当时，的单调递增区间为，递减区间为. （2）因为在上恒成立，所以，即， 令，所以， 当时，，在单调递减， 当时，，在单调递增， 所以当时取到最小值，所以，所以的取值范围为. （3）由题意知， 则，所以在上单调递增， 所以，， 故存在，使得，即， 所以当时，，当时， 又，所以， ， 结合函数的单调性与端点值，可知，函数在区间内的上界为2，故. 综上：. 变式2．（25-26高三上·贵州贵阳·月考）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程. (2)当时，求的极值点与极值. (3)若不等式恒成立，求a的取值范围. 【答案】(1) (2)极小值点为，极小值为1，无极大值点 (3) 【详解】（1）当时，，定义域为. ，，， 所以曲线在点处的切线方程为，即. （2）令，定义域为. 当时，. . 令，即，解得. 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 所以在处取得极小值，此时. 所以的极小值点为，极小值为1，无极大值点. （3），定义域为，， 等价于. 令，则上述不等式等价于. 因为，所以单调递增， 所以上述不等式又等价于，即. 令，定义域为，则. 又在上，，单调递增；在上，，单调递减； 所以，所以，即. 故a的取值范围为. 变式3．（25-26高三上·北京朝阳·月考）已知函数． (1)若曲线在处的切线方程为，求的值； (2)若恒成立，求的取值范围； (3)已知，且函数存在极值，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）函数的定义域为，， 因为曲线在处的切线方程为，故切点为， 因为，故切点在曲线上， 因为，所以，解得， 故的值为； （2）由题可知恒成立， 因为，所以不等式整理得恒成立， 当时，不等式恒成立，此时取任意实数. 当时，，令， 求导，令，求导， 当时，在上单调递增，且，因此， 即在上单调递增，当时，，所以， 在上的下确界为，要使恒成立，故. 当时，，令， 求导，令，求导， 当时，在上单调递减，且，因此， 即在上单调递增，当时，，所以， 要使恒成立，故. 综上所述，. （3）已知，且函数存在极值， 求导，令，求导， 令，解得. 因为时，时，， 所以在上单调递减，上单调递增， 所以在处有最小值， 因为， 所以当时，，故函数存在极值， 当时，，故函数不存在极值； 当，，故函数不存在极值； 综上，若函数存在极值，求的取值范围为． 考点三 能成立求参数问题 例1．（25-26高二上·浙江衢州·期末）设函数. (1)当时，求的单调区间； (2)已知的导函数为，若有两个零点，求实数的取值范围； (3)若有解，求实数的取值范围. 【答案】(1)在上单调递增，无减区间 (2) (3) 【详解】（1）当时，，其定义域为，求导得， 令，求导得，由，得；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增，则， 所以在上单调递增，无减区间. （2）依题意，， 由（1）得在上单调递减，在上单调递增，， 当，时，，则当有两个零点时，，解得， 所以实数的取值范围是. （3）不等式有解， 即有解，令， 求导得， 由，得；由，得 函数在上单调递增，在上单调递减，则， 因此，解得， 所以实数的取值范围是. 例2．（25-26高三上·河南信阳·期末）已知函数. (1)若函数在上不单调，求实数a的取值范围； (2)求函数在上的最大值； (3)若，关于x的不等式在上有解，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2)当时，；当时， (3) 【详解】（1）因为，所以. 因为恒成立，所以的符号与一致. 当时，，在上单调递增，不符合题意； 当时，令得，因为，所以，所以在上单调递增，不符合题意； 当时，因为函数在上不单调，所以，解得， 所以实数a的取值范围是. （2）由（1）知： 当时，在上单调递增，. 当时，在上单调递增，. 当时，若，即，在上恒成立，函数在上单调递增，； 若，即，在上，，单调递增，在上，，单调递减，所以. 因为时，最大值2也满足， 所以当时，；当时，. （3）因为，，所以， ，即，不等式两边均为正数， 不等式两边同时取自然对数得，即. 令，则问题转化为在上有解， ，因为，，所以， 所以在上单调递增，所以， 又在上有解，所以，即，解得. 所以实数a的取值范围是. 例3．（23-24高二下·四川眉山·期末）已知函数． (1)当时，讨论的单调性； (2)若存在，使，求的取值范围． 【答案】(1)在上单调递增，在上单调递减 (2) 【详解】（1）易知函数定义域为，因为 ， 令 ，得 令 ，得，令 ，得， 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减. （2）由 ，得 ， 因为，所以，， 当时，，符合题意； 设， 当时，则，所以在上单调递增， 所以，不符合题意； 当时，令，得 ， 令，得 ，所以 ， 则存在，使，满足题意， 综上，的取值范围是. 变式1．（24-25高二下·广东肇庆·月考）已知函数（为常数） (1)讨论函数的单调性； (2)不等式在上有解，求实数的取值范围． 【答案】(1)当时，在上单调递增，当时，在上单调递增，在上单调递减 (2) 【详解】（1）的定义域为， ， 当时，，，所以在上单调递增， 当时，令，解得， 若，则，所以在上单调递增， 若，则，所以在上单调递减， 综上，当时，在上单调递增， 当时，在上单调递增，在上单调递减 （2）在上有解， 在上有解， 在上有解， 令，则， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 且， 所以，所以， 故实数的取值范围是. 变式2．（24-25高二下·河南·月考）设函数 (1)当时，求的单调区间； (2)若关于x的不等式在上有解，求实数a的取值范围． 【答案】(1)单调递减区间为单调递增区间为 (2) 【详解】（1）当时，其定义域为 当时，当时， 所以的单调递减区间为单调递增区间为 （2）不等式在上有解等价于在上有解， 令则 令易知在上单调递减，且 所以当时，即当时，即 所以在上单调递增，在上单调递减． 所以所以即实数的取值范围为 变式3．（24-25高三下·江苏连云港·月考）已知函数在时取得极值． (1)求实数的值； (2)存在，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）易知， 依题意，解得， 此时， 当或时，；当时，， 即函数在，上单调递增，在上单调递减， 因此函数在时取得极值， 所以． （2）由（1）得函数在上单调递减，在上单调递增； 因为，所以 由题意可得，解得， 所以的取值范围为． 2 学科网（北京）股份有限公司 $函数与导数：含参单调性讨论问题、恒成立求参数问题、能成立求参数问题专项训练 函数与导数：含参单调性讨论问题、恒成立求参数问题、能成立求参数问题专项训练 考点目录 含参单调性讨论问题 恒成立求参数问题 能成立求参数问题 考点一 含参单调性讨论问题 2026:四川绵阳三模)已知函数f八x=ar+2+1-2anx(>0,a为 (1)若a≥0，求f(x)的单调区间； (2)若x=2是f(x)的极大值点，求a的取值范围 例2.(25-26高二上·福建厦门期末)已知函数f(x)=lnx+ax+(a∈R). (1)当a<0时，讨论f(x)的单调性； (2)若函数∫(x)的图象上总存在两点关于(L,0)对称，求a的取值范围. 函数与导数：含参单调性讨论问题、恒成立求参数问题、能成立求参数问题专项训练 例3.(25-26高二上河北沧州期末)已知函数f(x)=x3+x2+(a-2)x+1 (1)若(x)有两个极值点，且一个大于0，一个小于0，求a的取值范围； (2)若函数gx=-alx-x3+f(x,讨论gx的单调性. 变式1.2526商二上安微六安期未)已知西数=2anx+号a+2斗xaeR。 (1)若a=0,求f(x)在x=1处的切线方程； (2)讨论f(x)的单调性. 函数与导数：含参单调性讨论问题、恒成立求参数问题、能成立求参数问题专项训练 变式2.(25-26高二上湖南常德期末)己知函数fx)=ax+lnx-1,a∈R, (1)当a=3时，求函数f(x在点(1，∫(1处的切线方程； (2)讨论f(x的单调性； (3)若(x)有极大值，且极大值小于0，求a的取值范围. 变式3.(25-26高三上江西吉安期末)己知函数fx=2+axln1+x-2x,(a∈R). (1)若a=0,求函数f(x)在点1，f(1)处的切线方程； (2)若a>0,设函数f(x的导函数为gx,讨论gx)的单调性 函数与导数：含参单调性讨论问题、恒成立求参数问题、能成立求参数问题专项训练 考点二 恒成立求参数问题 例1.(2026：陕西宝鸡一模)已知函数f(x)=lnr+a-2,aeR (I)讨论f(x的单调性. (2)若对任意x∈(0，+o)都有f(x)≥0恒成立，求a的取值范围. 例2.(2526高三上~天津河北期末)已知函数f)=x-2nx+21-+4-2（a>0) (1)当a=2时，求曲线y=f(x)在(2，f(2)处的切线方程； (2)当x∈[1，+o)时，f(x)≥0恒成立，求a的取值范围； 球证1时甘2+eN 2n-12 2n+1 函数与导数：含参单调性讨论问题、恒成立求参数问题、能成立求参数问题专项训练 例3.(25-26高二上江苏宿迁·期末)已知函数f(x)=2xlnx,g(x)=ax2-1(aeR) (1)求不等式2x+f(x)<0的解集； (2)当x≥1时，不等式f(x)≤g(x)恒成立，求实数a的取值范围； （③)若方程)=b有两个实数银，名<小，证明6->+1 变式1.(25-26高二上江苏连云港·期末)已知函数f(x)=e-2ax,aeR. (I)讨论函数f(x的单调性： (2)若不等式f(x)>0对一切正数x恒成立，求a的取值范围； 同若a日，函数创=-。-cor+1,证明：当(}时， π2-4 ”2Vπ2 <h(x<2. 5 函数与导数：含参单调性讨论问题、恒成立求参数问题、能成立求参数问题专项训练 变式2.(25-26高三上贵州贵阳月考)已知函数f(x)=ae-lnx+lna. (1)当a=e时，求曲线y=f(x)在点(L,f①)处的切线方程. (2)当a=e时，求f(x)+lnx-er的极值点与极值 (3)若不等式f(x)≥1恒成立，求a的取值范围. 变式3.(25-26高三上北京朝阳月考)已知函数fx)=x2-xlnx. (I)若曲线y=f(x在x=1处的切线方程为y=x,求a的值； (2)若∫(x≥x恒成立，求a的取值范围； (3)已知a>0,且函数f(x)存在极值，求a的取值范围. 6 函数与导数：含参单调性讨论问题、恒成立求参数问题、能成立求参数问题专项训练 考点三 能成立求参数问题 例1.(25-26高二上·浙江衢州·期末)设函数f(x)=x2-2xlnx+(2-2a)x (1)当a=1时，求f(x)的单调区间； (2)已知f(x的导函数为g(x),若gx)有两个零点，求实数a的取值范围： (3)若∫(x+3≤0有解，求实数a的取值范围. 例2.(25-26高三上·河南信阳期末)己知函数f(x=x·e“ (1)若函数f(x)在[0,2上不单调，求实数a的取值范围； (2)求函数f(x)在[0,2上的最大值： (3)若a>0,关于x的不等式xf(x≤e在[a,+o)上有解，求实数a的取值范围 函数与导数：含参单调性讨论问题、恒成立求参数问题、能成立求参数问题专项训练 例3.(23-24高二下.四川眉山期末)己知函数f(x=-ax2+Inx(aeR). (1)当a=1时，讨论f(x)的单调性； (2)若存在x∈(1，+0)，使∫(x)>-a,求a的取值范围. 变式1.(24-25高二下广东肇庆月考)已知函数f(x)=lnr+口(a为常数) (I)讨论函数∫(x的单调性： ②不等式121在x[]小上有解，求奖数<的取值范国。 函数与导数：含参单调性讨论问题、恒成立求参数问题、能成立求参数问题专项训练 变式2.(24-25高二下·河南月考)设函数f(x)=ax2-x-lnx (1)当a=1时，求f(x)的单调区间： (2)若关于x的不等式f(x)≤0在[e,e2]上有解，求实数a的取值范围. 变式3.2425商三下-江苏连云港月考)已知函数/-写-2x++n在：=1时取行极值 (1)求实数m的值； (2)存在x∈[2,4]，使得f(x)>n2成立，求实数的取值范围. 9