单调性与极值作业十三-云南宣威市第七中学2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

函数单调性与极值答案 一、单选题 1.A【解析】利用导数，结合单调性，即可判断选项. 由题意得，，当时，，在单调递减； 当时，，在单调递增， 所以有极小值，且极小值点为1． 故选：A． 2.D【解析】结合导数的几何意义及函数的增长趋势判断即可． 由图可知，单调递增，且增长趋势越来越慢， 表示函数在处切线的斜率，表示函数在处切线的斜率， 表示点与两点连线的斜率， 由图可知 故选：D． 3.A【解析】求出函数的导函数，依题意在上恒成立，即可得到在上恒成立，从而求出的范围. 因为，所以， 因为函数在区间上是减函数， 所以在上恒成立，即在上恒成立， 所以在上恒成立，因为时，，所以， 所以的最大值是. 故选：A. 4.C【解析】根据的图象，可得的正负情况，得的单调性，结合极值点的概念判断各个选项. 根据的图象，当时，，则， 当时，，则， 当时，，则，仅， 所以在上单调递减，在上单调递增， 对A，左右两侧导函数符号不变，故A错误； 对B，在内有增有减，故B错误； 对C，的单调递减区间是，故C正确； 对D，当时，，故D错误. 故选：C. 二、多选题 5.ACD【解析】求出函数的导数，得到极值点，即可判断A；利用函数的单调性可判断B；根据函数在上的值域即可判断C；直接作差可判断D. 对A，因为函数的定义域为R，而， 易知当时，，当或时， 函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，故是函数的极小值点，正确； 对B，当时，，所以， 而由上可知，函数在上单调递增，所以，错误； 对C，当时，，而由上可知，函数在上单调递减， 所以，即，正确； 对D，当时，， 所以，正确； 故选：ACD. 三、填空题 6.【解析】由题意可将问题转化为在上有变号零点，通过求导判断函数在上的单调性和极值情况，作出其图象，即可求得参数a的范围. 由可得， 依题意，函数在上不单调，则在上有变号零点， 即方程在上有变号的根，也即在上有变号的根， 设，则， 当时，，当时，， 故函数在上单调递增，在上单调递减， 函数在时取得极大值，又， 作出函数在上的图象. 由图可得，故实数a的取值范围为. 故答案为：. 7.【解析】根据题意，构造新函数，分析新函数的单调性，从而得到不等式的解集. 令，，则. 因为对都有，所以，所以函数在上单调递增. 因为，所以不等式，即的解集为. 故不等式的解集为. 故答案为：. 四、解答题 8.(1)； (2)递增区间是，递减区间是. 【解析】（1）由给定函数值，代入求出m的值. （2）由（1）求出及导数，再解导数值大于0、小于0的不等式即得单调区间. （1）函数，由，得， 所以. （2）由（1）得，其定义域为， 求导得， 由，得或；由，得， 因此函数在上单调递增，在上单调递减， 所以函数的递增区间是，递减区间是. 9.(1) (2)答案见解析 【解析】（1）求导，结合代入求解即可； （2）整理可得，分类讨论二次项系数和两根大小，利用导数分析原函数单调性. （1）因为，则， 可得，解得. （2）由（1）可知， （i）当时，则， 令，解得；令，解得； 所以在上单调递增，在上单调递减； （ⅱ）当时，令，解得或， ①当，即时， 令，解得；令，解得或； 所以在上单调递增，在和上单调递减； ②当，即时，则，可知在上单调递减； ③当，即时，令，解得；令，解得或； 所以在上单调递增，在和上单调递减； 综上所述，当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增，在上单调递减. 10.(1) (2)的递增区间为、，递减区间为 【解析】（1）求导，根据两直线垂直得到切线斜率，由导数几何意义得到方程，求出； （2）求定义域，求导，得到不等式，求出单调区间. （1）， 则， 由题意可得， 解得. （2）由，故，定义域， 则，， 由0得到，1. 故当时，，当时，，当时，， 故的递增区间为、，的递减区间为. 11.(1)当时，在上为单调递增函数；当时，在上是单调递增函数，在上是单调递减函数. (2)； (3)证明见解析. 【解析】（1）求，讨论和这两种情况，解出的解为的单调递增区间，解出的解为的单调递减区间； （2）由（1）可知：当时，利用的单调性及特殊值可得不成立；当时，由的单调区间得到的最大值为，只需即可，解出这个不等式就是的取值范围； （3）由（1）及零点存在性定理由存在两零点可得，且，故可转化为证明，构造，利用导数法证明，由此证明. （1）定义域，； 当时，的解为，则在上为单调递增函数； ，的解为，的解为， 则在上是单调递增函数，在上是单调递减函数. 综上可知，当时，在上为单调递增函数； 当时，在上是单调递增函数，在上是单调递减函数. （2）由（1）可知：当时，在上为单调递增函数，， 不满足，故不成立； 当时，在上是单调递增函数，在上是单调递减函数. 则当时，取最大值为，令，解得， 故对于恒成立的的取值范围为. （3）由（1）知，要使函数存在两个零点，则，且其最大值必须大于0， 的最大值为， 令，解得， 则存在两零点，可得， 设，为函数的两个零点，则，， 解得①，②， ①减去②得到， 解得，要证明，只需证明， 设， ， 则在上是单调递增函数，故， 设，，，， ，， ，，，. 第1页 共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 作业十三 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________ 一、单选题 1.（5分）已知函数，则（ ） A.有极小值，且极小值点为1 B.有极大值，且极大值点为1 C.有极小值，且极小值点为 D.有极大值，且极大值点为 2.（5分）若函数部分图象如图所示，则下列不等式正确的是（ ） A.      B. C.      D. 3.（5分）设函数在区间上单调递减，则的最大值是（ ） A.      B.      C.    D.3 4.（5分）已知函数的定义域为R，且的图象是一条连续不断的曲线，的导函数为，若函数的图象如图所示，则（ ） A.2是的极值点 B.的单调递增区间是， C.的单调递减区间是 D.当时， 二、多选题 5.（6分）设函数，则（ ） A.是的极小值点      B.当时， C.当时，      D.当时， 三、填空题 6.（5分）若函数在上不单调，则实数a的取值范围为<                  . 7.（5分）已知定义在上的函数的导函数为，且对都有，则不等式的解集为<                  . 四、解答题 8.（15分）已知函数，且. (1)求实数m的值； (2)求函数在定义域上的单调区间. 9.（15分）已知函数，且． (1)求的值； (2)讨论的单调性． 10.（15分）已知函数在点处的切线与直线垂直. (1)求实数的值； (2)求的单调区间. 11.（15分）已知 (1)讨论的单调性 (2)对于恒成立；求的取值范围 (3)设，为函数的两个零点；证明． 第1页 共1页 学科网（北京）股份有限公司 $