精品解析：河南郑州市第一中学2025-2026学年上学期期末考试高二数学试题

6学科网列组卷网 2025~2026学年上学期期末考试 27届高二（数学）试题 说明： 1.本试卷分第I卷（选择题)和第Ⅱ卷（非选择题），满分150分. 2.考试时间：120分钟. 3.将第I卷的答案代表字母填（涂）在答题卡上， 第I卷（选择题，共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1.已知数列a,}为等差数列，a,40为方程2-4x+3=0的两根，则4，=（) 3 A. B.2 C.-2 D.2 【答案】B 【解析】 【分析】利用韦达定理和等差中项公式进行求解即可. 【详解】因为0,0为方程-4x+3=0的两根， 所以根据韦达定理得：4，+4。=4 由等差中项公式得： 2as=a6+a0=4ag=2 故选：B 第1页/共24页 6学科网命组卷网 2在空间直角坐标系中，已知0(00,0,42,2列，B(0,22）,则点8到直线01的距离是《) 22 2v3 3W2 3V3 A.3 B.3 C.2 D.2 【答案】A 【解析】 【分析】先求出OB与01的坐标，再根据点到直线距离的向量坐标公式计算即可求解. 【详解1因为0(0,0,0)4(，2,2)，B(0,2,2) 所0B=(0,22).0A=(1,2,2) OB.OA 0×1+2×2+2×28 所以 OA V1+4+4 3, 0B=V4+4=22, 0B.0A 6422 所以点到直线 的距离为 FV8-93 B OA 故选：A 3.已知函数f在R上可导，则②=() Am2-4)-e △x a画+A-f包 △x c画e+A-re-4 -2△x bm@-/e-4 2Ax 【答案】B 【解析】 【分析】由导数的定义进行求解. lim 【详解】对于A,Ar f0-△-fe_-1mf2-△0f0-f2) △x △x-→0 -△x 故A项错误； 第2页/共24页 命学科网命组卷网 lim 对于B,Ax f2+△)-f②=∫(2)，故B项正确： △x 对于C, 1e+afe-.m12+2包.-▣1228-回 -2△x Ar-0 -2△x △r0 2△x 故C项错误； 对于D, lim (2)-(2-A)(2)-/(2+(-A)(2+(-A)-/(2(2) 2△x △r-0 -2(-△x) 2△x0 故D项错误. 故选：B 4.己知抛物线 C:x2=2py(p>0) 的焦点为卫，点M是C上的一点，M到直线'=-2P的距离是M到C MF= 的准线距离的2倍，且 5,则P=() A.8 B.6 C.4 D.2 【答案】C 【解析】 【分行1先设M(),白脑物线的定义可加+号-6 M到直线y=-2p的距离是M到C的准 线距离的2倍，所以w+2p=12 得到P=4 【联解1段M）沛建为=一号. 由掀物线的定义可知点M到准线距离为y“+,上6 M到直线'=-2P的距离是M到C的准线距离的2信，所以w+2=12 g6-号+2p=12 得到p=4 第3页/共24页 学科网命组卷网 故选：C 5.如图，60° .A,B AC,BD 的二面角的棱上有 两点，直线 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直 于A .已知 AB=4,AC=6,BD=8 CD ,则 的长为() A7 B.7 c217 D.9 【答案】C 【解析】 【分折】根据式子CD=CD2=(C+B+BD,即可求出CD的长为27 AC⊥AB,BD⊥AB 【详解】因为 所以CA4B=0,BD.B=0 因为=面角为60，所以4C-BD=A-0s60°=6x8×】-24 ,即CA·BD=-24, 所以CD=CD=(CA+AB+BD =CA+AB+BD+2C4.4B+2CA-BD+24B.BD =C+AE+BD+2C.AB+2CA.BD+2AB.BD=36+16+64+0-48+0=68, 所以C可-2而，即CD的长为27 故选：C 6.若直线y=-x+m与曲线)=关 2四x相切，则的值为<) A.In2 B.n2-3 C.-In2 D.3-n2 第4页/共24页 6学科网命组卷网 【答案】D 【解析】 【分析】先利用导数的几何意义求出切点坐标，再将其代入切线方程中. y=2-nx,x>0 21 y=一 【详解】因为x ，所以 xx, 少21 =-1 x2x,解得x=2或-1（舍)· =2-Inx-1-In2 令x=2,则 将点(2,1-h2)代入y=-x+n中得n=2+1-1h2=3-h2 故选：D 7.已知圆C(x-a+(0y-=16,A(0,2),B(2,0）.若圆C上存在点P,使得PA+P8=I2,则 a的值可能为() A.2 B.1+V2 c.5v2 D.5 【答案】D 【解析】 【分析】分析可知点P的轨迹是以D(1,1为圆心，半径5=2的圆，由盟意可知：圆C与圆D有公共点， 结合圆与圆的位置关系列式求解即可 【详解】圆C(x-a+(0y-)=16的圆心为C(a,l),半径1=4， 设P(x,),因为PA+Pg=12,即2+(0-2}+(x-2}+y=12 整理可得(x-1+(y-1)2=4 可知点P的轨迹是以D(,1)为圆心，半径5=2的圆， 第5页/共24页 学科网命组卷网 由题意可知：圆C与圆D有公共点，则片-5≤CD≤+5. 可得2≤a-l≤6，解得5≤a≤-1或3≤a≤7， 所以实数a的取值范围为一5，-小儿B,],结合选项可知ABC销误，D正确 故选：D x2 y 8已知双南线京广=1a>0,b>0)的无、右焦点分别为R、乃，过5的直线{：x+y+2=0与双 由线的左支交于A、5两点，者∠1SB的角平分线为：x+7y-2=0,与直线交于点D,△4BB的 内切圆圆心为C,则C点坐标为() c(4到 【答案】A 【解析】 【分们设三角形△MGB的肉切题切B于么，切仍于N BE于M,由双曲线的定义以及内切圆的 性质可得：与F重合，则C乐上1B于尸，求出F的坐标，即可求出C5的方程，再与求交点 【详解1设三允形△1B的内切图切心于反，切4仍于义切那于 E(FM O 由|BE-BF=AE-A,得BM+M-BF=AW+NF-MEl. 第6页/共24页 6学科网命组卷网 根据圆的切线长性质有BM=BE,AN=AE,M1=N, 所以BE-BE=AE-AE,即AE-BE=AE-BE 所以E与F重合，则CR14B手5， 又直线4：x+y+2=0过点F,令y=0,可得x=2,所以F(-2,0) 的方程为少=x+2 CF 所以直线 3 x=- 由y=x+2 x+7y-2=0 y=2 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.下列说法正确的是() A.直线2x-y-1=0在x轴上的截距为2 B.若：x+a-Dy3=05:x+2y+3=0相互垂真，侧a=- x2,y2 C对于kER,直线y=k(x-I)与椭圆9+4=引都有交点 D.直线'=k(x-)被圆C:x+y=4截得的弦长最短为23 【答案】ACD 【解析】 【分析】A根据截距的定义计算；B根据垂直的结论计算；C判断直线所过定点与椭圆的位置关系；D当 第7页/共24页 命学科网命组卷网 直线CP与y=k(x-)垂直时弦长最短，利用勾股定理计算 1 【详解】令y=0,则=2，赦A正确： 1 由题意可得，1+2(a-)=0,得a=2,故B错误： 直线y=(x-)恒过点P1,0) 因为9十4<1，所以点P(1,0)在椭圆内部，所以直线与椭圆都有交点，故C正确： 因为直线y=k(-恒过点P(L,0), 所以当直线CP与直线y=(-)垂直时，直线y=k(x-)被圆C:x+广=4截得的弦长最短， 因为CP=1,所以最短弦长为2V4-CP=2N4-1=2V3,故D正确。 故选：ACD 10.数列{a}满足4=l,且对任意的n∈N都有a1=a,+n+l,则() n(n+1) A.43=6 B. 2 1 99 「1 200 C.数列an】 的前100项和为100 D.数列a了的前100项和为101 【答案】ABD 【解析】 n(n+1) 【分析】根据题意，得到a-a。=n+l,结合a=1和叠加法，求得a,= 2，可判定AB,由 第8页/共24页 6学科网列组卷网 利用裂项法求和，可得判定CD,即可求解 【详解】因为O1=a,+n+ ,所以a1an=n+1 又因为4=1，当n≥2时，所以a,=(a。-0)+(a1-a2)++(a,-a)+a =n+(n-l)+(n-2)++2+1=an+D 2, n(n+1) n(n+1) 其中4=1也满足0，= 2,故对任意的n∈N,0。= 所以934 6 ，故A正确，B正确： 1=2 又由an 1 所以数列1a了的前100项和为： -r6…oa】-o 200 101,故C错误，D正确. 故选：ABD 1.如图，在三棱锥M-BCD中，AB=AC=BD=CD=3AD=BC=2M,NBAD,BC 分别是 的 中点，P是CM的中点，e在AB上，且40=30B.则下列命题正确的有() 第9页/共24页 6学科网命组卷网 7 万 A.异面直线AN,CM所成角的余弦值是8 B.三棱锥的体积为3 CW的长为V5 D.P'平面BCD 【答案】ACD 【解析】 【分析】将该三棱链放到长方体中，求得长方体的棱长分别为Q=C=V5,6=V万，递而建立空间直角 坐标系，并依次讨论各选项即可 【详解】因为三棱锥A-BCD中，AB=AC=BD=CD=3,AD=BC=2, 所以，将该三棱锥放到长方体中，如图，设长方体的棱长AD=a,AC=b,M4=c, [a2+c2=4 则a+b=9,解得 b2+c2=9 a=c=√2b=√7 如图，建立空间直角坐标系，则A(0,00),D(V5,0,V2).B(V2,V7,0).C(0,V7,N2) 停9停) 第10页/供24页 6学科网列组卷网 D D -停w停反-鸟》mm四哥子8 7 异面直线AN,CM所成角的余弦值是8，A选项正确： 7i-9ws7i- 对于B,nm=3X2 3 '长体=V2×V7xV2=2√万 所以m=-29m-2ym=27.2525_27 333，故B选项错误： 对于C,=(0,V7,0）,N=V万，即v的长为N7,故c选项正确： e-得要9r-a间-a 设 PO=xBC+yBD 即 〔.3}ia+ai回(i7+训 11 解得X=2y= P0-ac- 4,所 BD,即PO,BC,BD间量共面， 因为P0c平面BCD,所PO∥平面BCD,散D选顶正确 第11页/共24页 6学科网6组卷网 故选：ACD 第Ⅱ卷（非选择题，共2分) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12已知数列a,}是等比数列，满足4=2,4，=4，则46= 2507 【答案】 【解析】 【分析】先求出公比，再利用通项公式求出. 【详解】设数列a,}的公比为9， 则9-品4 2 =a,22,则46=a,924=a,(g)”=2x2%=2 2507 故答案为： 13.已知点P(x,y)满足V(x-1)+y2=x+1,(4,0),则Pg的最小值为 【答案)2v5 【解析】 】根据条件，利用抛物线的定义知点。的轨迹为抛物线，进而可得其方程为，2一4，设P(： 再利用两点间的距离公式，即可求解， 【详解】因为V(x-I+y表示点P(x,y)到点(1,0)的距离；x+1表示点P(x,y)到直线x=-1的距 离， 又V(x-1)+y2=x+1,所以点P(x,y)到点(1,0)的距离等于点P(x,y)到直线x=-1的距离， 由抛物线的定义知，点P的轨迹为抛物线，抛物线方程为广=4x】 第12页/供24页 6学科网6组卷网 efum-任r-。ri6-eaa 当且仅当=22时，等号成立. 故答案为： 2W3 14.如图是瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案.图形的做法是：从一个正三角形开 始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边.反复进行这 一过程，就得到一条“雪花”状的曲线.设原正三角形（图①）的边长为1，把图①、图②、图③、图④中 图形的面积依次记为 SS4,则S4= 1 2 4 943943 【答案】243拼243 【解析】 【分析】根据图形做法，利用三角形的面积公式逐一计算. 详解1由题可知.se3S,=2+3xx)3 4 x43= 3 +12x 94V3 -X 3 427 243 94V3 故答案为：243 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤 15.如图，在四棱锥P-ABCD中，△ADC与△BAC均为等腰直角三角形，且AD=2, 第13页/共24页 6学科网6组卷网 ∠ADC=90°，∠BAC=90° .BC E为的中点 F. A 名 ,G分别为PD,PE的中点，求证： F, (1)若 FGII平面PMB (2)若PA⊥平面ABCD,PA=AC,求直线AB与平面PCD所成角的正弦值. 【答案】(1) “△ACD与△ABC为等腰直角三角形且 ∠ADC=90°，∠BAC=90° 解法1： 所以AD=CD=2,AC=AB=2V2:BC=4 E为BC的中点，·BE=2=AD BC :∠D4C=459,∠ACB=45°，AD11BC.即4D1BE 四边形ADEB为平行四边形，故DE/AB, :FE,G分别为PD,PE的中点.FG1DE,所FGMB 分别为 ,所以 :FGC平面PAB,ABC平面PAB.FG'平面PMB 平面 解法2：取PA的中点N,PB的中点M连接 FN,MN ·△ACD与△ABC ∠ADC=90°，∠BAC=90° 为等腰直角三角形且 AD=CD=2..AC=4B=2 :BC=4 第14页/供24页 6学科网命组卷网 .E,F BC,PD 分别为 的中点， :FN=4D=1GM=BE=1 ,且FNIIAD,GM1IBC. :∠DAC=45°，∠ACB=45°.AD11BC :FN11GM,四边形 为平行四边形，FG/MW FGMN :FGC平面PAB,MNC平面PMB.FG/平面PMB, 平面 (2) 5 3 【解析】 【分析】(1)法一：先由等腰直角三角形得ADIIBE且AD=BE,故DE/AB,再利用“三角形中位 线定理"得FG/IDE,运用平行传递性结合线面平行判定定理即可证FG/平面PAB; 法二：取PA的中点NPB的中点M,连接 FN.MN ，依次求证 FNIIAD,GM IIBC和ADIIBC得到 和 FG//MN .、FGIPAB 即可求证 AB. sAB,n= (2)先建立适当空间直角坐标系，求出平面PCD的法向量为方=(x,y,z)再由 ABH方即 可计算得线面角的正弦值： 【小问1详解】 第15页/供24页 6学科网命组卷网 略 【小问2详解】 ~PA上平面4BCD,以A为原点，AC,1B,所在直线分别为无2轴建立如图所示的空间直角华 标系， 设AD=CD=2,则4A(00,0),B(0,22,0,C(22,0,0,D(2,-2,0,P0,0,22) ∴.AB=(0,22,0,DC=W2,V2,0,CP=（-22,0,22) DC.n=0 设平面pCD的一个法向量为万=(x,z)CPi=0 ,「V2x+V2y=0 -22x+222=0取x=l,y=-1,z=1'i=(l,-,) 设AB与平面PCD所成角为O, 则sn9=osa列 AB月 0x1+22x(-1)+0×12W23 4B 2W2×V2+(-1)2+12 2W2xV53, 5 即AB与平面PCD所成角的正弦值为3· 16已知点(-2,0，B(-5,0),动点P到点8的距离是P到点A的距离的2倍，记动点P的轨迹为曲线 E. (1)求曲线E的方程： (2)求直线：4r+3y+1=0 曲线卫截得的弦长。 【答案】(1)(x+1)2+y2=4 2W91 (2)5 第16页/供24页 6学科网命组卷网 【解析】 【分折】(1)设P(x,),由lP8川=2PA利用两点间的距离公式化简可得答案： (2)求出圆心到直线的距离，再利用勾股定理可得答案 【小问1详解】 由题意得lPB=2P4,所以PB=4PA, 设Px月，因为点A(-2,0),B(-5,0) 所以(x+5列+y=4[x+2+y],化简行x++少=4. 所以曲线B的方程为(x++y=4, 【小问2详解】 由1)知，曲线E是圆心为C(1,0）,半径r=2的圆， d=4+1_3 所以圆心C(-1,0)到直线4x+3y+1=0的距离为： 32+425, 所以所1做m6点米为3=24另-2可 5. 17(1)求函数y=re“ 的导数. ②利a=合小如=，期：osj=-血 )已福数问满起=/得mx-ca,求了闪老x=香的导数 【答案】(1)y=3e(r-x), aa,@-[如经刃仔-jm任--w任小咖 第17页/供24页 学科网 命组卷网 【解析】 【分析】(1)由导数的四则运算和简单复合函数求导法则即可求解： (2)由简单复合函数求导法则即可求解： (3)求出导函数，再令X=4即可求解 【详解】(4)y=(r)e+x(e3)=3xer+x(-3)e3x=3e(x2-x) (2)略 )为f)-mr-ox,所以=f}eosx+snx -子所u目m+m年u1y图-9 18已知首项为1的等差数列a,}满是：4，a,4+1成等比数列. （)求数列a,}的通项公式； （2)若数列私，}满足：46，+a,h++a,h=2”-l,求数b,}的通项公式 (3)记= an n∈N,证明：G+c,+…+c,<2a, 【答案】(1)a。=n 1,n=1 (2)6= 2m-2,n≥2，neN (3) 第18页/供24页 6学科网命组卷网 于是9+g++c.<2(i-0+V2-i++n-n-可) →c+c2+…+cn<2Vn 【解析】 【分析】(1)由等差等比的性质分析可得： (2)令D,=4b,+a,b.++a,么=2”-1，得出D一D。=2,根据等差等比的性质得出所以数列 .}的前n项和，=2 (3)裂项相消计算可得. 【小问1详解】 设等差数列a,}的公差为d,因为4,4,4+l成等比数列， 所以G=a(a+)→(1+d=1+2d+1=d=1,或d=-l, 当d=1时，4=，4=2,4+1=4 显然4,4：4+1 成等比数列， 当d=-1时，4=山4=04+1=0，显然44+17 不能成等比数列， 所以d=1,于是a=1+(n-l=n 【小问2详解】 令D。=a6.+ab1t+…+a.h=2”-1 Du =aba+ab+..+amb =2mM-1 两式相减，得D-D。=abn+(a-4)b.+(4,-4)b,++(a1-a)五=2” 因为等差数列a,}的公差为1，且4=1 第19页/供24页 6学科网命组卷网 所以Dm-D。=b+b+b,++h=2” 设数列b,}的前n项和为T,则TH=2” D=a4=2-1=1→6=1，所以数列b,}的前n项和，=2”， 当e2,neN时，b.=T-Tn=2-2-2=2-2 显然A=1不适合所以么 1,n=1 12-2,n≥2，neN. 【小问3详解】 略 19.中国古典园林洞门、洞窗具有增添园林意境，丰富园林文化内涵的作用，门、窗装饰图案成为园林建 筑中具有文化价值以及文化内涵的装饰如图1所示的一种椭圆洞窗，由椭圆C和圆C组成，F,B是 椭图的两个焦点，圆9以线段F5为直径， B 图1 图2 图3 (1)设计如图所示的洞窗，椭圆的离心率应满足怎样的范围？ (2)经测量椭圆的长轴为4分米，焦距为2分米 ()从1射出的任意一束光线 A照在左侧距椭圆中心4分米的竖直墙壁上，如图2所示建模小组的同 ∠AFB 学用长绳拉出椭圆洞窗的切线AB,B为切点，然后用量角器探究猜测 是定值，请帮他们证明上述猜 想 第20页/共24页 6学科网6组卷网 (建模小组的同学想设计一个如图3的四边形装饰，满足：点P是G上的一个动点，P,Q关于原点 对称，过P和2分别作圆的切线，交于R,S,求四边形装饰 ROS 公面积S的取值范围， 【答案】(1 (2)(i)证明：由测量数据可得2a=4,2c=2, 故C片.F0,墙壁在r 易知直线 斜率存在，设A:y=(x+D.可得4(4-3)， FA 3x2+4y2=12 设切线AB:y+3张=m(x+4:联立y+3张=m(x+4): 则(3+4m2)x2+8m(4m-3k)x+44m-3k}2-12=0 相切可得△=64m(4m-3k-163+4m儿4m-3}-3]=0, 则4m(4m-32-(3+4m2)(4m-3k}+3(3+4m2）=0。 则(4m-32=3+4m2>0 物克云=4m4m-3-4m4m-3=-4 3+4m2 (4m-3k)2 4m-3k, 为-m6-m+(4m-33+4m） 12kam2-16m3+12m+16m3-9k-12km2 3+4m2 3+4m _12m-9k_3(4m-3)=3 3+4m2(4m-3k)24m-3k, 第21页/供24页 6学科网命组卷网 4m B 3 故气4m-3k’4m-3k, -(nn FA=(-3,-3),FB.FA=0, 故FB1EA,则 ∠AEB= 2 (ii) 【解析】 【分析】4)根据>C,即可根据稀圆中 a,b,c 的关系以及离心率公式求解， (2)(i)联立直线与韬圆方程，根据判别式为0可得(4m-3y=3+4>0,进面可得 4m 3 B 4m-3k'4m-3k, 利用向量的坐标运算，即可求证： PROS ()根据法向量可得切线方程，进而根据点到直线的距离公式可得 是平行四边形，结合全等和切 PROS 线长性质可得 是菱形，即可根据三角形相似，结合函数的单调性求解即可. 【小问1详解】 由题意可知椭圆满 hxex0bxcod-0200326<3 故9 2 【小问2详解】 (i)略 ()设动点P(）,则(-，)，不妨设过P(x,)点的两条切线法向量为”=(a,B）, 第22页/共24页 命学科网命组卷网 过(，-%)点的两条切线法向量为乃=(a,b）,均为非零向量， 故切线方程为4(x-)+6(y-%)=0和4(x+)+b,(y+%)=0 la xo +hyol =1 azxo+bayol =1 则满足 va+b2 和 Va+b好 PROS H,G 由此可知两组切线分别对应平行，四边形 是平行四边形，过圆心做一组邻边的垂线，垂足为 P,Q R,S OR=OS,OG⊥PR,OH⊥QS 由于 关于原点对称，故也关于原点对称，又 △ROG=△SOH,PR=PG+RG=PK+KS=PS 故 ,故平行四边形 PROS 是菱形 R G PROS 下面研究菱形 的面积： 过O作PR的垂线GH,则GH=2,由(i)可知 ∠POR= 2,故△POR~△PG0, √dP-1,则°V 段OP则a:吹2R-G解PR三一 其中=+=3+至，d 41 的取值范围是[3,4]， 2t 2 S= Vt-11,1 d2=t √+在[3,4上是单调函数， 故、的取值范围是 3 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：(1)几何法，若题目的条件能明显体现几 第23页/共24页 6学科网命组卷网 何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；(2)代数法，若题目的条件能体现一种明确的函数关系， PROS 则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值，如本题需先将四边形 的面积用表示出来，然后再 利用函数的单调性求解最值. 第24页/共24页 2025～2026学年上学期期末考试 27届 高二（数学）试题 说明： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），满分150分． 2．考试时间：120分钟． 3．将第Ⅰ卷的答案代表字母填（涂）在答题卡上． 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知数列为等差数列，，为方程的两根，则（ ） A. B. 2 C. －2 D. 2. 在空间直角坐标系中，已知，则点到直线的距离是（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数在上可导，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知抛物线的焦点为F，点M是C上的一点，M到直线的距离是M到C的准线距离的2倍，且，则（ ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 5. 如图，的二面角的棱上有两点，直线分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于．已知，则的长为（ ） A. B. 7 C. D. 9 6. 若直线与曲线相切，则n的值为（ ） A. ln2 B. ln2－3 C. －ln2 D. 3－ln2 7. 已知圆，．若圆上存在点，使得，则的值可能为（　　） A. 2 B. C. D. 5 8. 已知双曲线的左、右焦点分别为、，过的直线与双曲线的左支交于A、B两点，若的角平分线为，与直线交于点，的内切圆圆心为，则点坐标为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 直线在x轴上的截距为 B. 若与相互垂直，则 C. 对于，直线与椭圆都有交点 D. 直线被圆截得的弦长最短为 10. 数列满足，且对任意的都有，则（ ） A. B. C. 数列的前100项和为 D. 数列的前100项和为 11. 如图，在三棱锥中，，，分别是的中点，是的中点，在上，且．则下列命题正确的有（ ） A. 异面直线所成角的余弦值是 B. 三棱锥的体积为 C. MN的长为 D. 平面 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知数列是等比数列，满足，则＝______． 13. 已知点满足，，则的最小值为__________ 14. 如图是瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案．图形的做法是：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边．反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线．设原正三角形（图①）的边长为1，把图①、图②、图③、图④中图形的面积依次记为，则＝______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤． 15. 如图，在四棱锥中，与均为等腰直角三角形，且，，E为的中点. （1）若分别为的中点，求证：平面； （2）若平面，，求直线与平面所成角的正弦值. 16. 已知点，动点到点的距离是到点的距离的2倍，记动点的轨迹为曲线． （1）求曲线的方程； （2）求直线被曲线E截得的弦长． 17. （1）求函数的导数． （2）利用，证明：． （3）已知函数满足，求在的导数． 18. 已知首项为1的等差数列满足：成等比数列． （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足：，求数列的通项公式； （3）记，证明：． 19. 中国古典园林洞门、洞窗具有增添园林意境，丰富园林文化内涵的作用，门、窗装饰图案成为园林建筑中具有文化价值以及文化内涵的装饰.如图1所示的一种椭圆洞窗，由椭圆和圆组成，， 是椭圆的两个焦点，圆以线段为直径， （1）设计如图所示的洞窗，椭圆的离心率应满足怎样的范围？ （2）经测量椭圆的长轴为4分米，焦距为2分米. （i）从射出的任意一束光线照在左侧距椭圆中心4分米的竖直墙壁上，如图2所示.建模小组的同学用长绳拉出椭圆洞窗的切线AB，B为切点，然后用量角器探究猜测是定值，请帮他们证明上述猜想. （ii）建模小组的同学想设计一个如图3的四边形装饰，满足：点是上的一个动点，P，Q关于原点对称，过和分别作圆的切线，交于R，S，求四边形装饰面积的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $