河南郑州市第一中学2025-2026学年上学期期末考试高二数学试题

2025～2026学年上学期期末考试 27届 高二（数学）试题 说明： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），满分150分． 2．考试时间：120分钟． 3．将第Ⅰ卷的答案代表字母填（涂）在答题卡上． 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知数列为等差数列，，为方程的两根，则（ ） A. B. 2 C. －2 D. 2. 在空间直角坐标系中，已知，则点到直线的距离是（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数在上可导，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知抛物线的焦点为F，点M是C上的一点，M到直线的距离是M到C的准线距离的2倍，且，则（ ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 5. 如图，的二面角的棱上有两点，直线分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于．已知，则的长为（ ） A. B. 7 C. D. 9 6. 若直线与曲线相切，则n的值为（ ） A. ln2 B. ln2－3 C. －ln2 D. 3－ln2 7. 已知圆，．若圆上存在点，使得，则的值可能为（　　） A. 2 B. C. D. 5 8. 已知双曲线的左、右焦点分别为、，过的直线与双曲线的左支交于A、B两点，若的角平分线为，与直线交于点，的内切圆圆心为，则点坐标为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 直线在x轴上的截距为 B. 若与相互垂直，则 C. 对于，直线与椭圆都有交点 D. 直线被圆截得的弦长最短为 10. 数列满足，且对任意的都有，则（ ） A. B. C. 数列的前100项和为 D. 数列的前100项和为 11. 如图，在三棱锥中，，，分别是的中点，是的中点，在上，且．则下列命题正确的有（ ） A. 异面直线所成角的余弦值是 B. 三棱锥的体积为 C. MN的长为 D. 平面 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知数列是等比数列，满足，则＝______． 13. 已知点满足，，则的最小值为__________ 14. 如图是瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案．图形的做法是：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边．反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线．设原正三角形（图①）的边长为1，把图①、图②、图③、图④中图形的面积依次记为，则＝______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤． 15. 如图，在四棱锥中，与均为等腰直角三角形，且，，E为的中点. （1）若分别为的中点，求证：平面； （2）若平面，，求直线与平面所成角的正弦值. 16. 已知点，动点到点的距离是到点的距离的2倍，记动点的轨迹为曲线． （1）求曲线的方程； （2）求直线被曲线E截得的弦长． 17. （1）求函数的导数． （2）利用，证明：． （3）已知函数满足，求在的导数． 18. 已知首项为1的等差数列满足：成等比数列． （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足：，求数列的通项公式； （3）记，证明：． 19. 中国古典园林洞门、洞窗具有增添园林意境，丰富园林文化内涵的作用，门、窗装饰图案成为园林建筑中具有文化价值以及文化内涵的装饰.如图1所示的一种椭圆洞窗，由椭圆和圆组成，， 是椭圆的两个焦点，圆以线段为直径， （1）设计如图所示的洞窗，椭圆的离心率应满足怎样的范围？ （2）经测量椭圆的长轴为4分米，焦距为2分米. （i）从射出的任意一束光线照在左侧距椭圆中心4分米的竖直墙壁上，如图2所示.建模小组的同学用长绳拉出椭圆洞窗的切线AB，B为切点，然后用量角器探究猜测是定值，请帮他们证明上述猜想. （ii）建模小组的同学想设计一个如图3的四边形装饰，满足：点是上的一个动点，P，Q关于原点对称，过和分别做圆的切线，交于R，S，求四边形装饰面积的取值范围. 2025～2026学年上学期期末考试 27届 高二（数学）试题 说明： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），满分150分． 2．考试时间：120分钟． 3．将第Ⅰ卷的答案代表字母填（涂）在答题卡上． 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】A 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】C 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】D 【7题答案】 【答案】D 【8题答案】 【答案】A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 【9题答案】 【答案】ACD 【10题答案】 【答案】ABD 【11题答案】 【答案】ACD 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】## 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤． 【15题答案】 【答案】（1）证明见解析 （2） 【16题答案】 【答案】（1） （2） 【17题答案】 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3） 【18题答案】 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【19题答案】 【答案】（1） （2）（i）证明见解析；（ii） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $