2026年中考数学第一轮复习专题讲练第15讲 等腰三角形基础巩固专项训练

2026年中考数学第一轮复习专题讲练 第四单元 图形的性质 《第15讲 等腰三角形》基础巩固专项训练答案解析 一、单选题 1．（2025·湖南郴州·二模）如图，，，，则的周长是（   ） A．18 B．20 C．26 D．28 【答案】A 【难度】0.94 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，线段和差的计算，确定是关键． 根据，得，则，由此即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴的周长是， 故选：A ． 2．（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，在中，，平分，若，则（   ） A．5 B．6 C．10 D．13 【答案】C 【难度】0.94 【分析】本题主要考查了三线合一定理，根据三线合一定理可得，据此可得答案． 【详解】解：∵在中，，平分， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 3．（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）如图，在中，，为的中点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【分析】本题考查了直角三角形的斜边中线定理，等腰三角形的判定与性质，解题的关键是掌握直角三角形的斜边中线定理．根据直角三角形的斜边中线等于斜边的一半得到，进而得到，即可求解． 【详解】解：在中，，为的中点， ， ， 故选：B． 4．（2025·西藏·中考真题）如图，为等腰三角形，，点D是延长线上的一点，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形内角和定理，三角形外角的性质，根据等腰三角形的定义可得，再利用三角形外角的性质可得即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 由三角形的外角性质，得：， ∴． 故选：C． 5．（2025·湖北·模拟预测）如图，中，，，点在内部，且，则的度数是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【分析】本题考查了等边对等角，三角形内角和性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先结合，，得出，再结合三角形内角和性质，以及，得出，又因为，则，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴， ，且， ， 而， ， 故选：D． 6．（2025·福建福州·模拟预测）小明用两个全等的三角形设计了一个“燕尾”的平面图案，如图， ，连接并延长，的延长线与交于点，则下列推断错误的是（　　　） A．平分 B． C．是的中点 D． 【答案】D 【难度】0.85 【分析】此题重点考查全等三角形的性质、等角的补角相等、等腰三角形的“三线合一”等知识，推导出，且是解题的关键． 由全等三角形的性质得，，则，可判断A不符合题意；由，平分，得，，则，D是的中点，可判断B不符合题意，C不符合题意；假设成立，则是等边三角形，则，推导出，与已知条件不符，可知不成立，可判断D符合题意，于是得到问题的答案． 【详解】解：， ，， ， ， 平分， 故A不符合题意； ，平分， ，， ，D是的中点， 故B不符合题意，C不符合题意； 假设成立，则， ， ， ，与已知条件不符， 不成立， 故D符合题意． 故选：D． 7．（2025·湖南长沙·一模）如图，直线，等边的顶点分别在上．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【分析】本题考查等边三角形的性质，平行线的性质，过A作，得到，推出，，由等边三角形的性质推出，求出，即可得到． 【详解】解：过A作，如图， ∵， ∴， ∴，， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 8．（2025·辽宁·模拟预测）如图，在中，点D在边上，连接，，于点E，若，，则的长为（   ） A．8 B．6 C．10 D．8 【答案】A 【难度】0.65 【分析】根据，得到垂直平分，继而得到，得到，结合，，得到，于是，进而求得． 【详解】解：∵，， ∴垂直平分，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，又， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的外角性质，线段的和差等，关键是熟练掌握线段的垂直平分线的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形外角性质． 9．（2025·贵州黔东南·二模）已知，是等腰三角形的两边长，且，满足，则此等腰三角形的周长为（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】C 【难度】0.65 【分析】本题考查了算术平方根和平方的非负性，三角形三边之间的关系，解二元一次方程组，等腰三角形的定义，由，得，解得，然后分为腰长时，为腰长时两种情况分析即可，熟练掌握相关性质以及运用分类讨论的思想方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，解得：， 当为腰长时，该等腰三角形三边为、、， ∵， ∴不能构成三角形； 当为腰长时，该等腰三角形三边为、、， ∵， ∴该等腰三角形存在， ∴此等腰三角形的周长， 综上：此等腰三角形的周长为， 故选：． 10．（2025·辽宁铁岭·模拟预测）如图， 在中， 为角平分线， 若， ， 则的长度为 （    ） A．1 B． C．2 D．4 【答案】C 【难度】0.65 【分析】本题考查了等边三角形的判定及三线合一，熟练掌握该知识点是关键．根据等边三角形的判定解答即可． 【详解】解：， 是等边三角形， ， ， 为角平分线，， ． 故选：C． 11．（2025·江苏盐城·中考真题）七巧板具有深厚的文化底蕴，由正方形、平行四边形和大小不一的等腰直角三角形组成，小明用七巧板拼成的丹顶鹤如图所示，且过点作直线，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【分析】此题重点考查等腰直角三角形的性质、平行线的性质等知识，推导出是解题的关键． 由等腰直角三角形的性质得，由，得，而，则，所以，于是得到问题的答案． 【详解】解：如图， 和都是等腰直角三角形，， ，， ， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 12．（2025·吉林长春·三模）如图，在中，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交边于点．分别以点为圆心，大于长为半径画弧，交内部于点，连结，连结并延长交于点，添加下列条件，不能使成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识，熟练掌握等腰三角形的判定和性质是关键．根据全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质进行逐项判断即可． 【详解】解：A.∵， ∴是等腰三角形， 由题意可知，是的角平分线， ∴垂直平分， ∴，故选项不符合题意； B. 由题意可知，是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，故选项不符合题意； C. ∵， ∴， 无法证明，故选项符合题意； D. 由题意可知，是的角平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∴垂直平分， ∴，故选项不符合题意． 故选：C． 13．（2025·河北沧州·模拟预测）如图，在中，D，E分别是边，的中点．将沿折叠，使点A落在平面上的处．下列不一定正确的是（   ） A． B． C． D．是等腰三角形 【答案】A 【难度】0.65 【分析】根据等腰三角形的性质可得当时，，再根据轴对称的性质可得垂直平分，即可判断选项B；由三角形中位线定理判断选项C；再由折叠的性质和平行线的性质得，最后根据等腰三角形的判定即可判断． 【详解】解：选项A：如图，当时，∵D是边的中点， ∴，故符合题意， 选项B：由题意得，点A、关于对称， ∴垂直平分， ∴，故不符合题意； 选项C：∵D，E分别是边，的中点， ∴是的中位线， ∴，故不符合题意； 选项D：∵D，E分别是边，的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴，， 由折叠的性质得，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形，故不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定与性质、折叠的性质、轴对称的性质、三角形中位线定理、平行线的性质，熟练掌握相关定理是解题的关键． 二、填空题 14．（2025·浙江金华·模拟预测）等腰三角形的一个角是，则它的底角度数是 ． 【答案】40 【难度】0.85 【分析】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；在解决与等腰三角形有关的问题时，由于等腰三角形所具有的特殊性质，很多题目在已知不明确的情况下，要进行分类讨论，才能正确解题，因此，解决和等腰三角形有关的边角问题时，要仔细认真，避免出错. 等腰三角形的一个角为，但已知没有明确此角是顶角还是底角，所以应分两种情况进行讨论． 【详解】解：当为顶角时，其他两底角为． 当为底角时， ∵等腰三角形的两底角相等， ∴两底角的和为， ∴底角不能为． 综上，底角度数为． 故答案为：40． 15．（2025·湖北黄石·一模）等腰三角形的两边长分别为和，这个等腰三角形的周长为 ． 【答案】15 【难度】0.85 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形存在问题，正确分类计算是解题的关键．根据等腰三角形的定义，三角形存在性解答即可． 【详解】解：∵等腰三角形的两边长分别为和， ∴等腰三角形的三边长为3，3，6或6，6，3， 当三边为3，3，6时，，三角形不存在； 当三边为6，6，3时，，三角形存在， 故周长为：； 故答案为：15． 16．（2025·湖南·模拟预测）如图，在中，，平分交于点D，，，则的面积为 ． 【答案】15 【难度】0.85 【分析】根据等腰三角形三线合一的性质可得，，再根据三角形面积公式求解即可． 本题主要考查了等腰三角形三线合一的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】解：在中，，平分交于点， ，， ， ， 即的面积为， 故答案为：． 17．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，四边形中，，对角线平分，且，则四边形面积最大值为 ． 【答案】 【难度】0.65 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，三角形的中线与面积关系，等腰三角形的判定与性质，如图，延长交的延长线于，过作于，证明，可得，证明，可得，进一步可得，从而可得答案． 【详解】解：如图，延长交的延长线于，过作于， ∵平分，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形面积最大值为， 故答案为： 18．（2025·山西太原·模拟预测）如图，在中，，，，平分交于点，则点到的距离是 ． 【答案】2 【难度】0.65 【分析】本题考查了直角三角形两锐角互余，等角对等边，角所对的直角边等于斜边的一半，过点作于，由可得，由平分可得，即可得，进而得到，再根据角所对的直角边等于斜边的一半可解． 【详解】解：如图，过点作于，则， ， ， ∵平分， ， ， ， ， ∴点到的距离是 2 ， 故答案为：2． 19．（2025·浙江杭州·模拟预测）如图，已知，点，， ，，在射线上，点、、， ，在射线上，、、、…均为等边三角形，若，则的面积为 ． 【答案】 【难度】0.65 【分析】此题主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，首先根据等边三角形的性质得，进而得，再根据等腰三角形的性质得，故得的边长为，同理得的边长为， 的边长为，以此规律可得，的边长，再根据等边三角形边长求出面积.熟练掌握等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质是解决问题的关键． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴， ∴，又， ∴， ∴， ∴， ∴的边长为， 同理：的边长为， 的边长为，以此规律可得，的边长为， ∴的边长为， ∴的面积， 故答案为：． 三、解答题 20．（2025·广东韶关·二模）如图，在中，，点是的中点，点在上，求证：是等腰三角形． 【答案】证明见解析 【难度】0.85 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和全等三角形的判定，解答本题的关键是证明，利用三线合一的性质进行证明．根据等腰三角形的三线合一，从而得出，根据证明，再得出，即可得证． 【详解】证明：∵，是的中点， ∴． 在和中， ， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 21．（2025·福建福州·三模）如图，是等边三角形，是上的点，点在外，且，．求证：． 【答案】见解析 【难度】0.85 【分析】此题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定，解题的关键是掌握以上知识点． 首先由等边三角形得到，然后证明出，进而证明出． 【详解】证明：为等边三角形， ， ， ， 在和中， ． 22．（2025·浙江杭州·三模）如图，在中，，于点E，于点D，，相交于点P． (1)证明：． (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【难度】0.85 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的两个锐角互余，等腰三角形的性质，确定全等条件是解题的关键． （1）先证明，再证即可； （2）根据直角三角形的两个锐角互余求得，再根据等边对等角求得，即可根据即可求解． 【详解】（1）证明：于点E，于点D， ， 在和中， ， ． （2）解：， ， ， ， ， 的度数是． 23．（2025·辽宁营口·模拟预测）如图，在等腰和等腰中，，，且、、三点共线，作于．若，，求． 【答案】7 【难度】0.65 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理是本题的关键． 由“”可证 ，可得，由等腰三角形的性质可得，可得出答案． 【详解】解：， ， ， 在和中， ， ， 又， ， ，，， ， ． 24．（2025·贵州遵义·模拟预测）如图，在中，，于D，上有一点F，满足． (1)求证； (2)，点E为的中点，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)2 【难度】0.85 【分析】（1）证明是等腰直角三角形，求得，再利用证明即可推出； （2）先求得，利用直角三角形的性质求得，再利用斜边中线的性质求解即可． 【详解】（1）证明：于D， ， ， 是等腰直角三角形， ， 在和中，， ， ； （2）解：， ， ， ， ， 点E为的中点， ． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质．掌握上述性质是解题的关键． 25．（2025·江苏徐州·模拟预测）如图，在正方形的内部作等边，连接，，． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【难度】0.65 【分析】本题考查了正方形的性质、等边三角形的性质、三角形全等的判定与性质、等腰三角形的性质，熟练掌握正方形的性质是解题关键． （1）先根据等边三角形的性质可得，，根据正方形的性质可得，，则可得，再证出，根据全等三角形的性质即可得证； （2）先求出，再根据等腰三角形的性质可得，然后根据角的和差求解即可得． 【详解】（1）证明：∵为等边三角形， ∴，， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴． （2）解：∵为等边三角形， ∴，， ∵四边形为正方形， ∴，，， ∴，， ∴， ∴． 26．（2025·广东汕头·模拟预测）如图，是正三角形内的一点，且．若将绕点A逆时针旋转后，得到． (1)求点与点之间的距离； (2)求的度数． 【答案】(1)6 (2) 【难度】0.65 【分析】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理的逆定理等知识．解题的关键是熟练掌握旋转的性质． （1）连接，根据旋转的性质，证明是等边三角形，进而可得点P与点之间的距离； （2）根据勾股定理的逆定理可判断是直角三角形，且，根据计算求解即可． 【详解】（1）解：如图，连接， 由旋转的性质得，，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴点P与点之间的距离为6； （2）解：在中， ∵， ∴是直角三角形，且， ∴， ∴的度数为． 27．（2025·江西赣州·一模）【课本再现】分别以，为边作等边和等边，连接和，则与之间具有一定的数量关系． (1)如图1，当B，C，E三点在同一直线上时，与的数量关系是_________； (2)如图2，当B，C，E三点不在同一直线上时，与还具有上述数量关系吗？请说明理由； (3)如图3，四边形中，，，，，，连接，求的长． 【答案】(1) (2)仍然具有的数量关系，理由见详解 (3)的长为 【难度】0.65 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，勾股定理．熟练掌握全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，勾股定理是解题的关键． （1）根据等边三角形的性质，利用 “”证明即可； （2）根据等边三角形的性质，利用 “”证明即可； （3）根据等边三角形的性质，利用 “”证明，得到，然后证明是直角三角形，利用勾股定理求出即可． 【详解】（1）解： 和均为等边三角形， ，，， ，即， 在和中， ， ， ． （2）解： 和均为等边三角形， ，，， ，即， 在和中， ， ， ． （3）解：以为边作等边，连接， ，， ，， 是等边三角形， ，， ，即， 在和中， ， ， ． ，， ， 是直角三角形， 在中，根据勾股定理， ， ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考数学第一轮复习专题讲练 第四单元 图形的性质 《第15讲 等腰三角形》基础巩固专项训练 一、单选题 1．（2025·湖南郴州·二模）如图，，，，则的周长是（   ） A．18 B．20 C．26 D．28 2．（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，在中，，平分，若，则（   ） A．5 B．6 C．10 D．13 3．（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）如图，在中，，为的中点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·西藏·中考真题）如图，为等腰三角形，，点D是延长线上的一点，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．（2025·湖北·模拟预测）如图，中，，，点在内部，且，则的度数是（ ） A． B． C． D． 6．（2025·福建福州·模拟预测）小明用两个全等的三角形设计了一个“燕尾”的平面图案，如图， ，连接并延长，的延长线与交于点，则下列推断错误的是（　　　） A．平分 B． C．是的中点 D． 7．（2025·湖南长沙·一模）如图，直线，等边的顶点分别在上．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 8．（2025·辽宁·模拟预测）如图，在中，点D在边上，连接，，于点E，若，，则的长为（   ） A．8 B．6 C．10 D．8 9．（2025·贵州黔东南·二模）已知，是等腰三角形的两边长，且，满足，则此等腰三角形的周长为（   ） A． B．或 C． D．或 10．（2025·辽宁铁岭·模拟预测）如图， 在中， 为角平分线， 若， ， 则的长度为 （    ） A．1 B． C．2 D．4 11．（2025·江苏盐城·中考真题）七巧板具有深厚的文化底蕴，由正方形、平行四边形和大小不一的等腰直角三角形组成，小明用七巧板拼成的丹顶鹤如图所示，且过点作直线，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 12．（2025·吉林长春·三模）如图，在中，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交边于点．分别以点为圆心，大于长为半径画弧，交内部于点，连结，连结并延长交于点，添加下列条件，不能使成立的是（    ） A． B． C． D． 13．（2025·河北沧州·模拟预测）如图，在中，D，E分别是边，的中点．将沿折叠，使点A落在平面上的处．下列不一定正确的是（   ） A． B． C． D．是等腰三角形 二、填空题 14．（2025·浙江金华·模拟预测）等腰三角形的一个角是，则它的底角度数是 ． 15．（2025·湖北黄石·一模）等腰三角形的两边长分别为和，这个等腰三角形的周长为 ． 16．（2025·湖南·模拟预测）如图，在中，，平分交于点D，，，则的面积为 ． 17．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，四边形中，，对角线平分，且，则四边形面积最大值为 ． 18．（2025·山西太原·模拟预测）如图，在中，，，，平分交于点，则点到的距离是 ． 19．（2025·浙江杭州·模拟预测）如图，已知，点，， ，，在射线上，点、、， ，在射线上，、、、…均为等边三角形，若，则的面积为 ． 三、解答题 20．（2025·广东韶关·二模）如图，在中，，点是的中点，点在上，求证：是等腰三角形． 21．（2025·福建福州·三模）如图，是等边三角形，是上的点，点在外，且，．求证：． 22．（2025·浙江杭州·三模）如图，在中，，于点E，于点D，，相交于点P． (1)证明：． (2)若，求的度数． 23．（2025·辽宁营口·模拟预测）如图，在等腰和等腰中，，，且、、三点共线，作于．若，，求． 24．（2025·贵州遵义·模拟预测）如图，在中，，于D，上有一点F，满足． (1)求证； (2)，点E为的中点，，求的长． 25．（2025·江苏徐州·模拟预测）如图，在正方形的内部作等边，连接，，． (1)求证：； (2)求的度数． 26．（2025·广东汕头·模拟预测）如图，是正三角形内的一点，且．若将绕点A逆时针旋转后，得到． (1)求点与点之间的距离； (2)求的度数． 27．（2025·江西赣州·一模）【课本再现】分别以，为边作等边和等边，连接和，则与之间具有一定的数量关系． (1)如图1，当B，C，E三点在同一直线上时，与的数量关系是_________； (2)如图2，当B，C，E三点不在同一直线上时，与还具有上述数量关系吗？请说明理由； (3)如图3，四边形中，，，，，，连接，求的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $