安徽省2026年中考数学一轮复习第16课时　等腰三角形

第16课时　等腰三角形 基础练限时:　　分钟 1.(2025扬州)在如图K16-1的房屋人字梁架中,AB=AC,点D在BC上,下列条件不能说明AD⊥BC的是 (　　) 图K16-1 A.∠ADB=∠ADC B.∠B=∠C C.BD=CD D.AD平分∠BAC 2.已知等腰三角形ABC,∠A的相邻外角是130°,则这个三角形的顶角为 (　　) A.65°或80° B.80° C.50°或80° D.50° 3.已知AF是等腰三角形ABC底边BC上的高,若点F到直线AB的距离为3,则点F到直线AC的距离为 (　　) A. B.2 C.3 D. 4.(2025合肥庐阳区一模)如图K16-2,在△ABC中,点D在BC边上,2∠B=∠DAC,CE⊥AD,若AE=DE=2,AC=6,则BC的长为 (　　) 图K16-2 A.10 B.5 C.8 D.8 5.如图K16-3,△ABC中,∠BAC=55°,将△ABC绕点A逆时针旋转α(0°<α<55°),得到△ADE,DE交AC于点F.当α=40°时,点D恰好落在BC上,此时∠AFE等于(　　) 图K16-3 A.80° B.85° C.90° D.95° 6.(2025连云港)如图K16-4,在△ABC中,BC=7,AB的垂直平分线分别交AB,BC于点D,E,AC的垂直平分线分别交AC,BC于点F,G,则△AEG的周长为 (　　) 图K16-4 A.5 B.6 C.7 D.8 7.如图K16-5,在△ABC中,∠ACB=90°,BE平分∠ABC,ED⊥AB于点D.如果BC=6,AB=10,那么S△BCE∶S△BAE的值为 (　　) 图K16-5 A.3∶4 B.3∶5 C.4∶5 D.4∶3 8.如图K16-6,已知等边三角形ABC中,点D,E分别在边AB,BC上,把△BDE沿直线DE翻折,使点B落在点B'处,DB',EB'分别交边AC于点F,G,若∠ADF=80°,则∠EGC的度数为　　　　.  图K16-6 9.如图K16-7,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD平分∠ABC交AC于点D.若BC=2,则AD的长度为　　　　.  图K16-7 10.如图K16-8,在△ABC中,∠DCE=40°,AE=AC,BC=BD,则∠ACB的度数为　　　　.  图K16-8 11.(2025广西)如图K16-9,点A,D在BC同侧,AB=BC=CA=2,BD=CD=,则AD=　　　　.  图K16-9 12.(2025福建)如图K16-10,△ABC是等边三角形,D是AB的中点,CE⊥BC,垂足为C,EF是由CD沿CE方向平移得到的.已知EF过点A,BE交CD于点G. (1)求∠DCE的大小; (2)求证:△CEG是等边三角形. 图K16-10 提升练 13.如图K16-11,∠ABC=∠ACB,BD,CD分别平分△ABC的内角∠ABC,外角∠ACF,连接AD.有以下结论:①AD∥BC;②∠ACB=2∠ADB;③∠ADB+∠ACD=90°;④△ABD和△ACD都是等腰三角形.其中正确的结论有 (　　) 图K16-11 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 14.(2025芜湖三模)如图K16-12,△ABC的内角∠ABC与∠ACB的平分线相交于点I. 图K16-12 (1)设∠A=α,则∠BIC=　　　　;(用含α的式子表示)  (2)过点I的直线分别交AB,AC于D,E两点,△ADE,△ABC的面积分别记为S△ADE,S△ABC.若,△ABC的周长为8,则AD+AE的值为　　　　.  15.(2025黑龙江龙东地区)如图K16-13,△ABC中,AB=AC,设∠BAC=α,D是直线BC上一动点,连接AD,将线段AD绕点A顺时针旋转α至AE,连接DE,BE,过点E作EF⊥BC,交直线BC于点F.探究如下: (1)若α=60°, ①如图(a),点D在CB延长线上时,求证:BF=DF+BC; ②如图(b),点D在BC延长线上时,试探究线段BF,DF,BC之间存在怎样的数量关系,请写出结论,并说明理由. (2)若α=120°,点D在CB延长线上时,如图(c),猜想线段BF,DF,BC之间又有怎样的数量关系,请直接写出结论,不需要证明. 图K16-13 教师详解详析 1.B 2.C　[解析]∵∠A的相邻外角是130°,∴∠A=180°-130°=50°.①∠A是顶角时,顶角为50°,②∠A是底角时,顶角为180°-50°×2=80°.∴这个三角形的顶角为50°或80°. 3.C 4.A 5.B　[解析]由旋转性质可得∠BAC=∠DAE=55°,AB=AD,又∵α=40°,∴∠DAF=15°,∠B=∠ADB=∠ADE=70°.∴∠AFE=∠DAF+∠ADE=85°. 6.C　[解析]∵AB的垂直平分线分别交AB,BC于点D,E,AC的垂直平分线分别交AC,BC于点F,G, ∴EA=EB,GA=GC, ∴△AEG的周长=EA+EG+GA=EB+EG+GC=BC=7. 7.B　8.80°　9.2　10.100°　 11.-1　[解析]延长AD交BC于点E,如图. ∵AB=CA,BD=CD, ∴AE⊥BC,BE=CE. ∵AB=BC=CA=2,∴BE=CE=1, ∴AE=,DE==1,∴AD=AE-DE=-1. 12.解:(1)∵△ABC是等边三角形, ∴∠ACB=60°. ∵D是AB的中点, ∴∠DCB=∠DCA=∠ACB=×60°=30°. ∵CE⊥BC, ∴∠BCE=90°, ∴∠DCE=∠BCE-∠DCB=60°. (2)证明:由平移可知CD∥EF, ∴∠EAC=∠DCA=30°. 又∵∠ECA=∠BCE-∠ACB=30°, ∴∠EAC=∠ECA,∠AEC=120°, ∴AE=CE. 又∵AB=CB, ∴BE垂直平分AC, ∴∠GEC=∠AEC=×120°=60°. 由(1)知∠GCE=60°, ∴∠EGC=60°, ∴∠GEC=∠GCE=∠EGC, ∴△CEG是等边三角形. 13.D　[解析]①过点D作DM⊥AB于点M,DP⊥AC于点P,DN⊥BC于点N. ∵BD,CD分别平分△ABC的内角∠ABC,外角∠ACF, ∴DM=DN,DP=DN, ∴DM=DP, ∴AD平分∠EAC, ∴∠EAD=∠CAD. ∵∠EAC=∠ABC+∠ACB,∠ACB=∠ABC, ∴∠EAD=∠ABC,∴AD∥BC,故①正确. ②∵AD∥BC, ∴∠ADB=∠DBC. ∵BD平分∠ABC,∠ABC=∠ACB, ∴∠ABC=∠ACB=2∠DBC=2∠ADB,即∠ACB=2∠ADB,故②正确. ③∵CD平分∠ACF,∴∠ACF=2∠ACD. 又∠ACF+∠ACB=180°,∠ACB=2∠ADB, ∴2∠ACD+2∠ADB=180°, ∴∠ADB+∠ACD=90°,故③正确. ④∵BD平分∠ABC,AD∥BC, ∴∠ABD=∠ADB, ∴△ABD是等腰三角形. ∵CD平分∠ACF,AD∥BC,∴∠ACD=∠ADC, ∴△ACD是等腰三角形.故④正确. 故正确的结论有4个. 14.(1)90°+α　(2) [解析](1)由条件可知∠ABC+∠ACB=180°-α. ∵∠ABC与∠ACB的平分线相交于点I, ∴∠IBC=∠ABC,∠ICB=∠ACB, ∴∠BIC=180°-∠IBC-∠ICB =180°-∠ABC-∠ACB =180°-(180°-α) =90°+α. 故答案为90°+α. (2)如图,连接AI,过点I作IF⊥AB于点F,IG⊥BC于点G,IH⊥AC于点H. 由条件可知IF=IG=IH, ∴S△ABC=S△AIB+S△AIC+S△BIC=IG(AB+BC+AC), S△ADE=(AD·IF+AE·IH)=IG(AD+AE). ∵,∴AD+AE=. 故答案为. 15.解:(1)①证明:∵AB=AC,∠BAC=α=60°, ∴△ABC是等边三角形, ∴∠ABC=∠BCA=∠BAC=60°. ∵∠BAC=∠EAD=α=60°, ∴∠BAC+∠BAD=∠EAD+∠BAD, 即∠BAE=∠CAD. 在△ABE和△ACD中, ∵ ∴△ABE≌△ACD, ∴BE=CD,∠ABE=∠ACD=60°, ∴∠EBF=180°-∠ABE-∠ABC=180°-60°-60°=60°. ∵EF⊥BC, ∴在Rt△BEF中,BE==2BF. ∵CD=BD+BC=BF+DF+BC,CD=BE=2BF, ∴2BF=BF+DF+BC, ∴BF=DF+BC. ②BF=DF-BC.理由如下: ∵AB=AC,∠BAC=α=60°, ∴△ABC是等边三角形, ∴∠ABC=∠BCA=60°, ∴∠ACD=180°-∠BCA=120°. ∵∠BAC=∠EAD=α=60°, ∴∠BAC-∠EAC=∠EAD-∠EAC, 即∠BAE=∠CAD. 在△ABE和△ACD中, ∵ ∴△ABE≌△ACD, ∴BE=CD,∠ABE=∠ACD=120°, ∴∠EBF=∠ABE-∠ABC=120°-60°=60°. ∵EF⊥BC, ∴在Rt△BEF中,BE==2BF. ∵CD=BD-BC=BF+DF-BC,CD=BE=2BF, ∴2BF=BF+DF-BC,∴BF=DF-BC. (2)∵AB=AC,∠BAC=α=120°, ∴∠ABC=∠BCA=(180°-∠BAC)=30°. ∵∠BAC=∠EAD=α=120°, ∴∠BAC+∠BAD=∠EAD+∠BAD, 即∠DAC=∠EAB. 在△ABE和△ACD中,∵ ∴△ABE≌△ACD, ∴BE=CD,∠ABE=∠ACD=30°, ∴∠EBC=∠EBA+∠ABC=30°+30°=60°. ∵EF⊥BC, ∴在Rt△BEF中,BE==2BF. ∵CD=BC+BD=DF-BF+BC,CD=BE=2BF, ∴2BF=DF+BC-BF,∴3BF=DF+BC. 学科网（北京）股份有限公司 $