专题04 圆与方程导学案-2026年高二数学寒假（人教A版选择性必修第一册+第二册）

专题04 圆与方程 高二数学寒假强化训练导学案 专题04圆与方程 内容导航 一、知识回顾 二、考点聚焦 三、达标检测 一、知识回顾 1.圆的标准方程： 设圆心坐标为，半径为，则圆的标准方程为： 特别地，当圆心在坐标原点时，圆的标准方程为：. 8.圆的一般方程： 当时，方程叫做圆的一般方程， 圆心为,半径为. 2.点圆位置关系： 点与：或（）， 设到圆心的距离为，即，则： （1）则点在外； （2）则点在上； （3）则点在内. 3.直线与圆的位置关系： 设圆的半径为，圆心到直线的距离为，则 （1）直线与圆相交； （2）直线与圆相切； （3）直线与圆相离 4.圆与圆位置关系： 设两圆圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2，，则 （1）; （2）; （3）; （4）; （5）. 5.一般地过圆：与圆：的交点的圆的方程可设为 6.若圆：与圆：相交，则两圆公共弦所在直线的方程为.（两圆方程相减） 7.直线与圆相交所得弦长：(d为圆心到直线的距离) 二、考点聚焦 地 城 考点01 圆的标准方程及其应用 【经典例题】 1．(25-26高二上·广西来宾·期中)圆心在轴上，且经过点的圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设该圆的标准方程为，将代入方程，可得，解得，得到圆的标准方程为，故C正确.故选：C 2．(25-26高二上·河北邢台宁晋县联考·月考)圆的圆心坐标和半径分别是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由可知圆的圆心坐标为，半径为2.故选：B 3．小明家附近有一座圆拱桥，当水面跨度是40米时，拱顶离水面5米．当水面上涨4米后，桥在水面的跨度为 米． 【答案】 【详解】设圆的半径为，则，解得，，，所以当水面上涨4米后，桥在水面的跨度为米．故答案为：． 【变式训练】 1．以点(2，－1)为圆心，以为半径的圆的标准方程是（    ） A．(x＋2)2＋(y－1)2＝ B．(x＋2)2＋(y－1)2＝2 C．(x－2)2＋(y＋1)2＝2 D．(x－2)2＋(y＋1)2＝ 【答案】C 【详解】由题意圆标准方程是．故选：C． 2．(25-26高二上·广西柳州第一中学·期中)已知为圆上的点，则圆的方程为 ． 【答案】 【详解】设圆的方程为，为圆上的点， ，解得，圆的方程为. 故答案为： 3．在平面直角坐标系xOy中，直线与圆C：相交于点A，B，若，则（    ） A．或 B．－1或－6 C．或 D．－2或－7 【答案】C 【详解】由题意可知，圆C：，标准化后可得圆C：，因为，，过点C作AB的垂线CD，.如图所示，，在中，.所以，圆心C到直线 l的距离:，因此，，解得，.故选：C . 4．(25-26高二上·南宁·期末)由曲线围成的图形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由于把方程中的分别用代换，方程没有发生变化，所以方程表示的曲线关于轴和原点对称，当时，方程，所以该方程表示的曲线是以为圆心，为半径的圆在第一象限的部分，如图：因该方程表示的曲线在第一象限部分是一个弓形，其面积为，由曲线的对称性可知曲线在各象限的部分均全等，故面积都相等，所以曲线围成的图形的面积为：，故选：D 【巩固练习】 1．圆心为，半径是3的圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】圆心为，半径是3，圆的标准方程为.故选：C. 2．(25-26高二上·广西河池·期末)已知圆C的方程为，圆心为C，坐标原点为O，则为（    ） A．3 B． C． D．4 【答案】C 【详解】根据题意，圆C的方程可化为，所以圆C的圆心为， 所以．故选：C 3．(25-26高二上·广西南宁第三十三中学·期中)若直线被圆截得的弦长为，则（   ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【详解】由圆，圆心，半径.则圆心到直线的距离，又因为截得的弦长为，所以，化简得，解得.故选：A. 4．(24-25高二上·陕西榆林第一中学·期末) （多选）在平面直角坐标系中，曲线是一条形状优美的曲线，对于此曲线，下列说法正确的有（    ） A．曲线围成的图形有4条对称轴 B．曲线围成的图形的周长是 C．曲线上任意两点间的距离最大值是 D．若是曲线上任意一点，则的最小值是 【答案】ACD 【来源】陕西省榆林市第一中学2024-2025学年高二上学期期末质量检测考试数学试题 【详解】当时，曲线的方程可化为， 当时，曲线的方程可化为， 当时，曲线的方程可化为， 当时，曲线的方程可化为，所以曲线的图象如图所示   对于A，由图可知曲线围成的图形有4条对称轴，故A正确； 对于B，曲线由4个半圆组成，其周长为，故B错误； 对于C，由图可知曲线上任意两点间的最大距离为，故C正确； 对于D，到直线的距离，点到直线的距离为，由圆的性质得曲线上一点到直线的距离最小为，所以的最小值为，故D正确. 故选：ACD. 地 城 考点02 点与圆的位置关系 【经典例题】 1．(25-26高三上·山东·一模)点与圆的位置关系是（    ） A．点P在圆上 B．点P在圆外 C．点P在圆内且不是圆心 D．点P在圆内且是圆心 【答案】C 【详解】圆变为标准方程为，圆心为，半径， 所以点P到圆心的距离，所以点P在圆内，且不是圆心.故选：C 2．(25-26高二上·广东东莞·联考)已知点在圆外，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】方程表示圆，则，即，解得或.点在圆外，则，即，解得，综上，实数的取值范围是.故选：D. 3．(25-26高二上·广西钦州第一中学·期中)已知实数满足圆的方程，则的最大值为 ． 【答案】 【详解】由题设表示圆上的点到定点的距离，而圆的圆心为，半径为2，所以的最大值为.故答案为： 【变式训练】 1．“”是“点在圆外部”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【详解】若点在圆外部，则，解得或， 所以“”是“点在圆外部”的既不充分也不必要条件，故选：D. 2．(24-25高二上·福建莆田哲理中学·期末)点可以向圆引两条切线，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可知，点在圆外，则，得，故的取值范围为.故选：B 3．(25-26高二·山东桓台第一中学·月考)已知直线（不同时为0）与圆相切，若点在圆O外，则c的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】直线（不同时为0）与圆相切，所以，即，所以，又因为点在圆O外，所以，所以，解得或，所以c的取值范围为.故选：C. 4．(25-26高三上·云南金太阳百校联考·期中)已知圆，在函数的图象中，仅有一个最高点与一个最低点在圆内或在圆上，则的取值范围为 . 【答案】 【详解】因为，所以是函数的一个对称中心，圆的圆心为，半径为，由对称性可知，要使的图象仅有一个最高点与一个最低点在圆内或在圆上，只需满足直线右边的第一个最值点在圆内或在圆上，第二个最值点在圆外，由正弦函数性质可知，函数的周期，所以函数在直线右边的第一个最值点为，第二个最值点为，所以，结合解得，即的取值范围为. 故答案为. 5．阿波罗尼斯是古希腊著名的数学家，对圆锥曲线有深刻而系统的研究，阿波罗尼斯圆就是他的研究成果之一，指的是：已知动点M与两定点Q，P的距离之比，那么点的轨迹就是阿波罗尼斯圆.已知动点的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为，定点为轴上一点，且，若点，则的最小值为 . 【答案】 【详解】设，，所以，又，所以. 因为且，所以，整理可得，又动点M的轨迹是，所以，解得，所以，又，所以， 因为，所以的最小值为，当且仅当三点共线时取等.故答案为：. 【巩固练习】 1．(25-26高二上·河南开封五县·期末)已知点为圆外一点，则的取值范围为 ． 【答案】 【详解】由题可得，所以的取值范围为.故答案为 2．(25-26高二上·广东·期末)若点在圆：的内部，则实数的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由在圆内，得，即，可化为；解得，即.故选：A 3．(25-26高二上·广东广州·)已知直线与圆有两个公共点，若点的坐标为，则（   ） A．点在圆上 B．点在圆外 C．点在圆内 D．以上皆有可能 【答案】B 【详解】因为直线与圆有两个公共点，所以直线与圆相交， 所以，则，即，所以点在圆外.故选：B 4．(25-26上·云南楚雄州中小学·期末)已知，直线，圆，则“点在圆外”是“直线与圆相交”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】圆的圆心为，半径为.点在圆外等价于；直线与圆相交等价于，即.故“点在圆外”是“直线与圆相交”的充要条件.故选：C 5．(25-26高二·贵州遵义播州区·) （多选）已知点在圆的内部，则点的坐标可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】对A：因为，所以点在圆内； 对B：因为，所以点在圆内； 对C：因为，所以点在圆上； 对D：因为，所以点在圆外. 故选：AB 6．(25-26高二上·陕西神榆靖区域联考·月考) （多选）已知点和圆，则下列说法正确的有（    ） A．圆心，半径为 B．点在圆外 C．圆关于直线对称 D．设点是圆上任意一点，则的最大值为8 【答案】ABD 【详解】圆心，半径为，A选项正确；点在圆外，B选项正确；∵圆心不在直线上，∴圆关于直线不对称，C选项错误；，圆半径，，即，D选项正确.故选：ABD. 地 城 考点03 直线与圆的位置关系 【经典例题】 1．(25-26高二上·河北邢台宁晋县联考·月考)已知直线与圆，则直线与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．与的取值有关 【答案】C 【详解】由题意可得圆的圆心坐标为，半径，圆的圆心到直线的距离，因为，所以，则直线与圆相交.故选：C. 2．在平面直角坐标系xOy中，直线与圆C：相交于点A，B，若，则（    ） A．或 B．－1或－6 C．或 D．－2或－7 【答案】C 【详解】由题意可知，圆C：，标准化后可得圆C：，因为，，过点C作AB的垂线CD，.如图所示，，在中，.所以，圆心C到直线 l的距离:，因此，，解得，.故选：C . 3．(18-19高一上·湖南益阳·期末)若圆：上有四个不同的点到直线：的距离为，则的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】将圆： 化为标准方程为，,半径为，过作直线的垂线，垂足为交圆于，当即为1时，圆上有三个点到直线的距离为2，当即时，圆上有四个点到直线的距离为2，圆心到的距离小于1，即，解得，即的取值范围是,故选C. 4．(25-26高二上·广西钦州浦北县·期中)若直线l：与曲线有两个交点，则实数k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意，直线l的方程可化为，所以直线l恒过定点，，可化为（）其表示以为圆心，半径为2的圆上半部分，如图，当l与该曲线相切时，点到直线的距离，解得.设，则.由图可得，若要使直线l与曲线有两个交点，则.故选：C.   【变式训练】 1．已知直线和圆，则直线和圆的位置关系为（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定 【答案】A 【详解】圆的圆心，半径，则圆心到直线的距离为，所以直线和圆的位置关系为相交，故选：A 2．(25-26高二上·湖南衡阳第八中学·月考)已知集合，则中的元素个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．无法确定 【答案】C 【详解】集合的元素是直线上的点，集合的元素是圆上的点，因为的圆心为，半径，且圆心到直线的距离，可知直线与圆相交，有2个公共点，所以中的元素个数为2.故选：C. 3．(25-26高二上·广西玉林八校·期中)直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，平方得表示圆心在原点半径为1的上半圆，表示恒过定点的直线，直线与曲线有两个不同的交点即半圆和直线始终有两个公共点，如图圆心到直线的距离为，解得，当直线经过时由得，当直线经过时由得，所以实数的取值范围为.故选：A 4．(25-26高二上·广西来宾·期中)若直线与曲线有两个不同的交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】直线为过点的动直线，曲线，即为半圆，圆心为，半径为1，设半圆最下方的点为，如图，  当直线与半圆相切时，有，解得；当直线过点时，有，即；因为直线与半圆有两个不同的交点，所以，则的取值范围是.故选：B 5．(22-23高三上·湖北部分学校·) （多选）已知直线，圆，则（    ） A．直线过定点 B．圆的半径是1 C．存在一个实数，使得直线经过圆的圆心 D．无论取何值，直线与圆相交 【答案】ACD 【详解】变形为，令，解得：， 可得直线过定点，正确；变形为，圆的圆心为，半径为3，则B错误；将代入直线中，，解得：， 当时，直线经过圆心，则正确；将代入中，，故点在圆内，所以无论取何值，直线与圆都相交，则D正确. 故选：ACD 6．(25-26高二上·广西崇左·期末) （多选）已知圆与直线，点在圆上，点在直线上，则（    ） A．圆的半径为2 B．直线与圆相离 C． D．从点向圆引切线，切线长的最小值是 【答案】ABD 【详解】由圆，则，所以圆的圆心为，半径为，故A选项正确，由圆心到直线的距离为： ，所以直线与圆相离，故B选项正确，由直线与圆相离，点在圆上，点在直线上，如图所示：所以，故C选项不正确，从点向圆引切线，设切点为如图所示：则，在直角三角形中，切线的长为：，若要切线长有最小值，则有最小值，即为圆心到直线的距离，所以切线长的最小值为，故D选项正确，故选：ABD. 【巩固练习】 1．(25-26高二上·广西钦州·期末)已知直线与圆交于A、B两点，当时，直线的一般式方程为 ． 【答案】 【详解】的圆心,半径，则圆心到直线的距离为，由于，故，即，结合，解得，故直线方程为，即，故答案为： 2．(25-26高二上·南宁·期末)已知圆上恰有三个点到直线的距离为1，则的值为 ． 【答案】 【详解】因为半径为，所以结合题意可知，圆心到直线的距离为1，则，得.故答案为：. 3．(17-18高二上·山西康杰中学·期中)直线与曲线有两个不同交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】记曲线，由题意，，∴曲线表示以为圆心，半径为的圆的上半部分，记直线，即，∴直线过定点.如图所示：，当直线与曲线相切时，.由图可知，当直线与曲线有两个相异的交点时，.故选：B. 4．(25-26高二上·广西百色·期末)已知圆C：，直线l：，则直线l被圆C截得的弦长的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】直线，令，即，所以直线恒过定点， 圆的圆心为，半径为，且，即点P在圆内，当时，圆心C到直线l的距离最大为，此时，直线l被圆C截得的弦长最小，最小值为.故选：A. 5．长度为2的线段AB的两个端点分别在x轴及y轴上运动，则线段AB的中点到直线距离的最大值为（    ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】D 【详解】设，由题意可得：，设的中点坐标为，则，所以，即线段的中点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，圆心到的距离为：，所以线段的中点到直线距离的最大值为，故选：D 6．(25-26高二上·广西示范性高中·期中)阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与阿基米德、欧几里得并称为亚历山大时期数学三巨匠，他研究发现：如果一个动点到两个定点的距离之比为常数（，且），那么点的轨迹为圆，这就是著名的阿波罗尼斯圆.若点到，的距离之比为，则点到直线的距离的最小值为（   ） A． B． C．1 D．3 【答案】B 【详解】设，因为，所以，即，所以点的轨迹为以为圆心，半径为的圆.则点到直线的距离，故点到直线的距离的最小值为.故答案为：B 地 城 考点04 圆与圆的位置关系 【经典例题】 1．(25-26高二上·广西钦州·期中)已知圆与圆，则两圆的位置关系是（   ） A．外离 B．相交 C．外切 D．内切 【答案】C 【详解】两圆圆心分别为，，半径分别为2和3，所以圆心距为，因为，故两圆外切.故选：C 2．(25-26高二上·广西来宾第八中学·期中)已知圆：与圆（）内切，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】因为圆：的圆心，半径为1；圆的圆心，半径为；又，由题意，解得.故选：D 3．(25-26高二上·河南郑州部分名校·期中)圆与圆的公切线的条数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【详解】，圆心，半径为2，圆，圆心，半径为3，两圆的圆心距为，大于两圆的半径之和，故两圆相离，则两圆的公切线有4条.故选：A. 4．(25-26高二上·河北邢台·月考)已知圆与圆相交于两点，则点到直线的距离是（    ） A．3 B． C． D．2 【答案】B 【详解】由题意可得直线的方程为，即0，则点到直线的距离是.故选：B 【变式训练】 1．(24-25高二上·天津滨海新区·期末)已知圆，圆，则圆与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相交 C．内切 D．外切 【答案】D 【详解】圆的圆心为，半径为，圆，整理得：，圆心，半径为，因为，所以，即两圆相外切，故选：D. 2．(24-25高二上·河南豫东名校·期末)若圆与圆恰有一个公共点，则的值为 ． 【答案】或6 【详解】圆，该圆的圆心坐标为，半径（）.而圆的圆心坐标为，半径. 根据两点间距离公式，两圆的圆心距. 因为两圆恰有一个公共点，所以两圆内切或外切.当两圆外切时， ，可得，解得；当两圆内切时， ，可得.当时，解得.当时，（不成立，因为算术平方根是非负的）. 故的值为或. 故答案为：或. 3．(25-26高二上·广西南宁第二中学·期中)已知圆：和圆：，若位于第一象限的点在两圆的公共弦上，则的最小值为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【详解】由题知：圆：，圆心，半径；圆：，圆心，半径，易证得，故两圆相交，则其公共弦的方程为，即，则在，即有，则，当且仅当，即，时等号成立，即的最小值为．故选：C． 4．(25-26高二上·黑龙江大庆实验中学·月考)已知点，若圆上存在点满足，则实数的最小值为（    ） A．－3 B．－2 C．0 D．1 【答案】B 【详解】设，则，因为，所以，即M在半径为2的圆上，又点M在半径为1的圆上，，所以两圆有公共点，则，解不等式得. 故选：B 5．已知点，若圆上存在点，使得（为坐标原点），则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设点，由点及，得，整理得，因此点的轨迹是以为圆心，4为半径的圆，而圆的圆心为，半径为2，又点在此圆上，即两圆有公共点，则，即，所以实数的取值范围为.故选：D   6．(25-26高二上·吉林长春汽车经济技术开发区第三中学·期中) （多选）圆和圆的交点为，，则有（　　） A．公共弦所在直线的方程为 B．线段中垂线方程为 C．公共弦的长为 D．为圆上一动点，则到直线距离的最大值为 【答案】ABD 【详解】对于A，因为圆，即，则圆心为，半径， 圆，即，则圆心为，半径；又，则，所以两圆相交，将两式作差可得公共弦所在直线的方程为，即，故A正确；对于B，圆的圆心为，又，则线段中垂线的斜率为，即线段中垂线方程为，整理可得，故B正确；对于C，圆心到的距离为，又圆的半径，所以，故C错误；对于D，为圆上一动点，圆心到的距离为，又圆的半径，所以到直线距离的最大值为，故D正确. 故选：ABD. 【巩固练习】 1．(24-25高二上·浙江丽水五校高中发展共同体·期中)圆与圆的位置关系是（   ） A．内含 B．内切 C．外离 D．相交 【答案】D 【详解】，，，因此两圆相交，故选：D． 2．(24-25高二下·海南海口·月考)已知圆与圆相交于两点A，B，则AB的直线方程为 ． 【答案】 【详解】由题设可得的方程为：， 整理得，故答案为： 3．(25-26高二上·广西钦州第一中学·期中)圆与圆的公切线有且仅有（　　） A．4条 B．3条 C．2条 D．1条 【答案】A 【详解】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，则，因此圆外离，所以圆有4条公切线.故选：A 4．(23-24高二上·北京延庆区·期末)已知圆上一点和圆上一点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】易知圆的圆心为原点，半径，由圆，故其圆心为，半径，两圆圆心距为，所以两圆相交，则，如图所示.故选：A 5．(23-24高二上·山西大同·期中)已知满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题知，设为圆上一动点， 设，因为，所以在圆外，则，其中表示圆上点P与点Q距离的平方，因为，圆半径，所以，即.所以.故选：D 6．（多选）已知圆与圆外离，则m的取值可能是（    ） A．-3 B．1 C．4 D．6 【答案】BC 【详解】圆的圆心为，半径；圆的圆心为，半径（其中，即），圆与圆的圆心距为，若圆与圆外离，则，即，解得：，故满足题目要求的为BC选项，故选：BC. 7．(24-25高二上·贵州·期中) （多选）已知圆：和圆：，则下列说法正确的是（    ） A．若，则圆和圆相离 B．若，则圆和圆的公共弦所在直线的方程是 C．若圆和圆外切，则或 D．若圆和圆内切，则 【答案】BCD 【详解】圆：，圆心，半径；圆：，圆心，半径.对于A，当时，，因为，故两圆相交，故A错误；对于B，当时，两圆相交，公共弦所在直线方程为，即，故B正确；对于C，由两圆外切，得，故C正确；对于D，由，故D正确.故选：BCD. 地 城 考点05 解答题 【经典例题】 1．(25-26高二上·江西赣州·期中)已知圆的圆心在直线上，且圆过和两点. (1)求圆的标准方程； (2)求圆与圆的公共弦长. 【详解】（1）设圆， 由题意得得 所以圆的标准方程为. （2）圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为，圆心距， 所以两圆相交.由，两式相减得， 则圆与圆的公共弦所在直线的方程为. 因为点到直线的距离， 所以圆与圆的公共弦长为. 2．(25-26高二上·安徽合肥锦绣中学·期中)已知圆经过点，圆心在曲线上，且直线被圆截得的弦长为. (1)求圆的方程； (2)过点作圆的切线，求切线的方程. 【详解】（1）设圆心，设圆心到直线的距离为，直线被圆截得的弦长为，由，可得， 整理得：，解得或（舍去）. 故圆心，圆上一点，半径，故圆的方程为：. （2）当过的直线的斜率不存在时，此时直线方程为， 圆心到直线的距离，故是圆的切线； 当过的直线的斜率存在时，可设切线为， 可化成一般式，圆心到该直线的距离为2，即， 整理得，解得，此时切线为，化成一般式得. 综上所述，过点作圆的切线方程为与. 【变式训练】 1．已知圆C经过点A(﹣1，3)，B(3，3)两点，且圆心C在直线x﹣y+1＝0上． (1)求圆C的方程； (2)求经过圆上一点A(﹣1，3)的切线方程． 【详解】解：(1)根据题意，设圆心的坐标为(a，b)， 圆心C在直线x﹣y+1＝0上，则有a﹣b+1＝0， 圆C经过点A(﹣1，3)，B(3，3)两点，则AB的垂直平分线的方程为x＝1，则有a＝1， 则有，解可得b＝2； 则圆心的坐标为(1，2)，半径r2＝|AC|2＝4+1＝5， 则圆C的方程为(x﹣1)2+(y﹣2)2＝5； (2)根据题意，圆C的方程为(x﹣1)2+(y﹣2)2＝5，有A(﹣1，3)在圆C上，有KAC， 则切线的斜率k＝2， 则切线的方程为y﹣3＝2(x+1)，变形可得2x﹣y+5＝0． 2．(25-26高二上·广西示范性高中·期中)已知圆心在轴的正半轴上，半径为2的圆与直线：相切. (1)求圆的方程； (2)若过点的直线与圆相交于点、，，求直线的方程. 【详解】（1）设圆心，则，由题意可知C到的距离， 解之得，即圆的方程为； （2）易知时不与圆相交，不妨设，则C到的距离， 所以，解之得或，所以或. 3．(25-26高二上·广西玉林八校·期中)已知圆C的方程为；，直线的方程为 (1)过点作圆C切线，求切线的一般式方程； (2)若Q为直线上一点，且Q的横坐标为2，P为平面内一动点，O为原点，满足，求点的轨迹方程. 【详解】（1）当切线斜率不存在时，直线与圆相切； 当切线斜率存在时，设直线方程为，化为一般式为， 由圆心到直线的距离，解得 故切线的一般式方程为， 综上所述，所求切线的一般式方程为或； （2）设，因为Q为直线：上一点，且Q的横坐标为2，所以， 由得：， 化简得： 点的轨迹方程为：. 4．(25-26高二上·广西来宾第八中学·期中)已知点，，曲线是以线段为直径的圆. (1)求的标准方程； (2)若与曲线：有且仅有四个公共点，求的取值范围. 【详解】（1）由中点坐标公式得的中点坐标为. 设圆的半径为，则，的标准方程为； （2）由（1）知，曲线是以为圆心，2为半径的圆. 由曲线的方程为，得曲线恒过点， 且是关于轴对称的两条射线，如图所示. 记轴上方的射线为，轴下方的射线为. 因为在圆外部，所以只要轴上方的射线与有两个交点， 就能保证轴下方的射线与也有两个交点. 当时，曲线的方程为，易知. 设圆心到直线的距离为，则，解得， 即当与有且仅有四个公共点时，的取值范围为. 5．(25-26高二上·广西百色·期末)如图，这是某圆弧形山体隧道的示意图，其中底面的长为16米，最大高度的长为4米，以C为坐标原点，所在的直线为x轴建立平面直角坐标系. (1)求该圆弧所在圆的方程. (2)若某种汽车的宽约为2.5米，高约为1.5米，车辆行驶时两车的间距要求不小于0.5米以保证安全，同时车顶不能与隧道有剐蹭，则该隧道最多可以并排通过多少辆该种汽车？（将汽车看作长方体） 参考数据： 【详解】（1）由圆的对称性可知，该圆弧所在的圆的圆心在y轴上， 设圆心为，设该圆的半径为r米，又，则，∴，     ∴， ∴圆弧所在的圆的方程为. （2）设与该种汽车等高且能通过该隧道的最大宽度为d米， ∴，∴     若并排通过5辆该种汽车，则安全通行的宽度应为， 故该隧道不能并排通过5辆该种汽车，     若并排通过4辆该种汽车，则安全通行的宽度应为， 则该隧道可以并排通过4辆该种汽车，     综上所述，该隧道最多可以并排通过4辆该种汽车. 【巩固练习】 1．(25-26高二上·广西钦州·期末)已知圆，直线． (1)判断直线与圆的位置关系； (2)求过点的圆的切线方程． 【详解】（1）圆，圆心，半径， 因为直线，所以圆心C到直线l的距离为， 因为，即，所以直线与圆相离. （2）若切线没有斜率，则方程为. 圆心C到直线的距离为，满足条件； 若切线有斜率，设其值为，切线方程为，即， ，解得； 此时，切线方程为； 综上所述，该圆过点的切线方程和. 2．(25-26高二上·桂林·期末)已知直线l经过点且与直线平行． (1)求直线l的方程； (2)求以为圆心且与直线相切的圆的标准方程． 【详解】（1）设直线的方程为， 把点代入直线的方程得，解得. 所以直线的方程为. （2）圆心到直线的距离， 所以圆的半径，所以圆的标准方程为. 3．已知圆的圆心在轴上，且经过和两点. (1)求圆的方程； (2)直线过点，且圆心到直线的距离为1，求直线的方程. 【详解】（1）设圆的方程为， 由圆的圆心在轴上，且经过和两点，得，解得， 所以圆的方程为，即. （2）由（1）得圆的圆心为， 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，圆心到直线的距离为，符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 则，解得， 此时直线的方程为，即， 所以直线的方程为或. 4．(25-26高二上·广西钦州浦北县·期中)已知圆过点，，且圆心在直线上，圆：. (1)求圆的标准方程； (2)求圆与圆的公共弦长； (3)求过两圆的交点且圆心在直线上的圆的方程. 【详解】（1）设圆的方程为：， 由题意得方程组，解得：， 所求的标准方程为：：. （2）由（1）得圆的一般方程为：， 将两圆的方程作差得出两圆的公共弦所在的直线方程， 即，化简得：， 故到直线的距离为， 所以所求公共弦长为. （3）设所求的圆的方程为：， 整理得到，该圆圆心为， 因为该圆心在直线，故，解得， 故所求圆的方程为. 5．已知圆经过点，且与圆相切于点. (1)求圆的方程； (2)过的直线与圆交于两点，点的坐标为. ①证明：； ②求外接圆圆心的轨迹方程. 【详解】（1）由变形得：，可知该圆心为，半径为， 所以圆心在过与的直线上，即在直线上， 有因为圆过和，所以设圆心，则有，解得， 所以圆心，半径易知为2.故圆 （2）①证明：（1）当直线斜率为0时，此时， 又因为，所以三点共线，此时可得，都为零度角； （2）当直线斜率不为0时，设 联立得，则. . 所以，故. ②当直线斜率为0时，不能构成三角形，故直线斜率不为0，所以可设直线的方程为： 由①知中点 所以中垂线：， 化简得又因为是圆与的交点，所以， 所以中垂线：.同理中垂线. 联立得：，故外接圆圆心得轨迹方程为. 三、达标检测 1．(24-25高三上·四川成都某中学·月考)若圆与圆相交于、，则所在直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为圆与圆相交于、， 将这两圆方程作差可得，因此，直线的方程为.故选：A. 2．(23-24高二上·浙江嘉兴八校联盟·期中)已知圆：与圆：外切，则的值为（    ） A．1 B．5 C．9 D．21 【答案】A 【详解】因为圆：与圆：外切，所以，解得.故选：A. 3．(24-25高二上·河北张家口·期中)若点在圆的外部，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据题意有，即，解之得. 故选：C 4．(25-26高二上·黑龙江大庆铁人中学·期中)已知圆的方程，则该圆的半径为（    ） A．4 B．2 C．3 D．1 【答案】B 【详解】圆的方程，即，所以半径为2.故选：B. 5．古希腊数学家阿波罗尼奥斯的著作《圆锥曲线论》中有这样一个命题：平面内与两定点的距离的比为常数k（且）的点的轨迹为圆，后人将这个圆称为阿波罗尼奥斯圆．已知点圆C：上有且只有一个点P满足，则r的值是（    ） A．2 B．8 C．8或14 D．2或14 【答案】D 【详解】设由，得，化简并整理得点P的轨迹方程为，其圆心为半径为6．又因为点P在圆C；上，圆C的圆心为，半径为r． 由题意知，两圆相切，且圆心距为8．若两圆外切，则有，解得；若两圆内切，则有，解得．故选：D． 6．(23-24高二上·黑龙江齐齐哈尔·期中)若圆关于直线对称，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】∵圆的方程可化为，∴圆心为，∵圆关于直线对称，∴圆心在直线上，∴，∴．故选：C. 7．(25-26高二上·江苏常州合作学校·期中)已知在平面直角坐标系中，，动点满足，得到动点M的轨迹为曲线．直线：与曲线恒有公共点，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设动点的坐标为，已知，且.则，化简得：.所以曲线：是以原点为圆心，为半径的圆.因为直线：与曲线恒有公共点，所以圆心到直线的距离小于等于半径.即，化简得恒成立.所以，解得：.故选：. 8．(23-24高三上·山东烟台第一中学·月考)若圆上至少有三个不同的点到直线的距离为，则直线的斜率的取值范围为（     ）． A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为直线的斜率存在，所以，圆整理为，圆心坐标为，半径为，要求圆上至少有三个不同的点到直线的距离为，则圆心到直线的距离应小于等于，，，，设直线的斜率为，则，，直线的斜率的取值范围是.故选：A 9．(23-24高二上·上海延安中学·期末)方程表示一个圆，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】把方程配方得：，因为方程表示一个圆，则，解得，则实数的取值范围是.故答案为：． 10．(24-25高二上·江苏南京文枢高级中学·)若过点的直线与圆交于两点，则弦最短时的方程为 ． 【答案】 【详解】由题可知点在圆内，当最短时，直线，所以.又，所以，所以的方程为，即.故答案为：. 11．已知实数x，y满足，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由得，它表示以为圆心，3为半径的在x轴上方的半圆（含与x轴的交点），故t可以看作半圆上的动点与定点连线的斜率．如图，，，，则，，则或． 故答案为：. 12．(25-26高二上·广西贵港部分高中·期末) （多选）下列四个命题中，真命题是（   ） A．过点，且在轴和轴上的截距相等的直线方程为 B．与圆：关于直线：对称的圆的方程为 C．圆：与圆：的公共弦所在直线的方程为 D．若点在圆：上，则的取值范围为 【答案】BCD 【详解】对于A，当在轴和轴上的截距都为0时，设直线方程为，将的坐标代入得，解得，此时直线方程为：当在轴和轴上的截距相等，且不为0时，设直线方程为，将的坐标代入得，解得，此时直线方程为，故A为假命题． 选项B，设圆心关于直线：的对称点为，则直线与直线垂直，直线的斜率为，，，①，和的中点为在直线：上，②，①②联立方程组解得，，所求的圆与圆关于直线对称，所求的圆的半径，所求的圆的方程为，故B为真命题． 对于C，圆：与圆：，两圆心距离，可知两圆相交，则两圆的方程作差得，即，所以公共弦所在直线的方程为，故C为真命题． 对于D选项，如图所示：由题意可知，圆的圆心为，且该圆的半径为，由圆的几何性质可得，，即，故，故D为真命题． 故选：BCD. 13．(25-26高二上·广西南宁第三十三中学·期中) （多选）下列说法正确的是（   ） A．过点且垂直于直线的直线方程为 B．过点且在、轴上截距相等的直线方程为 C．曲线过点的最短弦长为 D．已知圆，圆，若两圆公切线有三条，则且其中一条公切线的方程为 【答案】ACD 【详解】对于A：与直线垂直的直线斜率为，故所求直线为，即，故A正确； 对于B：若截距都不为时，令直线为，则，解得，此时直线方程为，若截距都为时，令直线为，则，此时直线方程为，过点且在、轴上截距相等的直线方程为或，故B错误； 对于C：曲线，即，所以抛物线的焦点为，故过点的最短弦为通径，长度为，故C正确； 对于D：因为圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径，若两圆公切线有三条，则两圆相外切，则，解得，由，解得，即两圆的切点为，显然与圆，圆均相切，故是两圆的公切线，故D正确.故选：ACD 14．(25-26高二上·广西来宾·期中) （多选）已知圆，下列说法正确的是（    ） A．若过点的直线与圆交于，两点，则的取值范围为 B．圆上有4个点到直线的距离为 C．若圆与圆没有公切线，则的取值范围为 D．过直线上任意一点作圆的切线，切点为，，则直线必过定点 【答案】AB 【详解】圆的方程为，该圆的圆心为，半径．选项A：，点在圆内，则圆心到过点的直线的距离，，故A正确；  选项B：圆心到直线的距离，又圆的半径为3，圆上有4个点到直线的距离为，故B正确；选项C：圆的圆心为，半径为，，圆与圆没有公切线，两圆内含，，即，解得16，的取值范围为，故C错误；选项D：设，则以为直径的圆为，整理得，直线为圆与圆的公共弦所在的直线，联立两圆方程，得，整理得，令，解得，直线必过定点，故D错误．  故选：． 15．(25-26高二上·广西示范性高中·期中) （多选）如图，点，，，，是以为直径的圆上一段圆弧，是以为直径的圆上一段圆弧，是以为直径的圆上一段圆弧，三段弧构成曲线则（   ） A．所在的圆截直线所得弦的长为 B．与的公切线的方程为 C．所在圆与所在圆的公共弦所在直线的方程为 D．动点，分别在圆和上，动点在上，的最小值为 【答案】BCD 【详解】，，所在圆的方程分别为，，，对于A，所在圆的方程为，圆心为，圆心到直线的距离为，则所求弦长为，故A不正确；对于B，设与的公切线直线斜率存在，则设公切线方程为，则，所以，，所以与的公切线的方程为，即，故B正确；对于C，由 及，两式相减得，即公共弦所在直线方程为，故C正确；对于D，关于直线的对称点为，则由图象可知，当，，三点共线时，取得最小值，的最小值为圆与圆的圆心距减去两个圆的半径和，即为，故D正确．故选：BCD. 16．(25-26高二上·广西钦州·期末) （多选）在平面上，若动点与两定点满足且，则的轨迹是个圆，这个圆称为阿波罗尼斯圆．已知为坐标原点，，动点满足，记的轨迹为圆．由直线上的一点向圆引切线，切点为．下列结论正确的有（   ） A．圆的方程为 B．圆与圆的公切线有且只有三条 C．的最小值为2 D．当取最小值时，直线的方程为 【答案】BCD 【详解】对于A，由得.设，由，得，整理得， 即点的轨迹圆的方程为，故A错误. 对于B，由圆的方程，即，可知圆心为，半径； 又圆的圆心为，半径，所以两圆的圆心距为，所以两圆外切， 所以圆与圆的公切线有且只有三条，故B正确. 对于C，如图，由相切的性质可知， 所以当取得最小值时，也取得最小值， 而的最小值为点到直线的距离， 即，所以，故C正确. 对于D，若交于点B，由切线的性质可知，所以， 所以，所以， 所以当取最小值时，取得最小值，由C知此时与直线垂直， 所以的斜率为，直线的斜率为1，设，则，解得， 所以，由知点在以为圆心，2为半径的圆上， 其方程为，所以为圆与圆的公共弦， 其方程为，即，故D正确. 故选：BCD. 17．(25-26高二上·广西来宾·期中)已知圆. (1)求m的取值范围. (2)已知直线与圆交于两点，且. ①求； ②求过点的圆的切线方程. 【详解】（1）（方法一）由题意得，则， 得，所以的取值范围为. （方法二）由， 得，所以的取值范围为. （2）①由题意得到的距离， 则圆的半径为，得. ②当所求切线的斜率不存在时，该切线的方程为. 当所求切线的斜率存在时，设该切线的方程为，即. 由，得， 所以所求的切线方程为，即. 综上，过点的圆的切线方程为或. 18．(25-26高二上·广西南宁第三十三中学·期中)已知圆，点是直线上一动点，过点作圆的两条切线，切点分别为，. (1)若的坐标为，求过点的切线方程； (2)直线与圆交于，两点，求的取值范围（为坐标原点）. 【详解】（1）圆的圆心为，半径， 过点的切线， 若切线的斜率不存在，则直线方程为，符合题意； 若切线的斜率存在，设切线方程为，即 则，即，解得， 所以切线方程为，即； 即过点的切线方程为或， （2）由，得，， 设，，由， ， ，，则 ， 所以， ，， 的取值范围为. 试卷第1页，共3页 22 / 39 学科网（北京）股份有限公司 $专题04 圆与方程 高二数学寒假强化训练导学案 专题04圆与方程 内容导航 一、知识回顾 二、考点聚焦 三、达标检测 一、知识回顾 1.圆的标准方程： 设圆心坐标为，半径为，则圆的标准方程为： 特别地，当圆心在坐标原点时，圆的标准方程为：. 8.圆的一般方程： 当时，方程叫做圆的一般方程， 圆心为,半径为. 2.点圆位置关系： 点与：或（）， 设到圆心的距离为，即，则： （1）则点在外； （2）则点在上； （3）则点在内. 3.直线与圆的位置关系： 设圆的半径为，圆心到直线的距离为，则 （1）直线与圆相交； （2）直线与圆相切； （3）直线与圆相离 4.圆与圆位置关系： 设两圆圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2，，则 （1）; （2）; （3）; （4）; （5）. 5.一般地过圆：与圆：的交点的圆的方程可设为 6.若圆：与圆：相交，则两圆公共弦所在直线的方程为.（两圆方程相减） 7.直线与圆相交所得弦长：(d为圆心到直线的距离) 二、考点聚焦 地 城 考点01 圆的标准方程及其应用 【经典例题】 1．(25-26高二上·广西来宾·期中)圆心在轴上，且经过点的圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 2．(25-26高二上·河北邢台宁晋县联考·月考)圆的圆心坐标和半径分别是（    ） A． B． C． D． 3．小明家附近有一座圆拱桥，当水面跨度是40米时，拱顶离水面5米．当水面上涨4米后，桥在水面的跨度为 米． 【变式训练】 1．以点(2，－1)为圆心，以为半径的圆的标准方程是（    ） A．(x＋2)2＋(y－1)2＝ B．(x＋2)2＋(y－1)2＝2 C．(x－2)2＋(y＋1)2＝2 D．(x－2)2＋(y＋1)2＝ 2．(25-26高二上·广西柳州第一中学·期中)已知为圆上的点，则圆的方程为 ． 3．在平面直角坐标系xOy中，直线与圆C：相交于点A，B，若，则（    ） A．或 B．－1或－6 C．或 D．－2或－7 4．(25-26高二上·南宁·期末)由曲线围成的图形的面积为（   ） A． B． C． D． 【巩固练习】 1．圆心为，半径是3的圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 2．(25-26高二上·广西河池·期末)已知圆C的方程为，圆心为C，坐标原点为O，则为（    ） A．3 B． C． D．4 3．(25-26高二上·广西南宁第三十三中学·期中)若直线被圆截得的弦长为，则（   ） A． B． C．2 D． 4．(24-25高二上·陕西榆林第一中学·期末) （多选）在平面直角坐标系中，曲线是一条形状优美的曲线，对于此曲线，下列说法正确的有（    ） A．曲线围成的图形有4条对称轴 B．曲线围成的图形的周长是 C．曲线上任意两点间的距离最大值是 D．若是曲线上任意一点，则的最小值是 地 城 考点02 点与圆的位置关系 【经典例题】 1．(25-26高三上·山东·一模)点与圆的位置关系是（    ） A．点P在圆上 B．点P在圆外 C．点P在圆内且不是圆心 D．点P在圆内且是圆心 2．(25-26高二上·广东东莞·联考)已知点在圆外，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 3．(25-26高二上·广西钦州第一中学·期中)已知实数满足圆的方程，则的最大值为 ． 【变式训练】 1．“”是“点在圆外部”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．(24-25高二上·福建莆田哲理中学·期末)点可以向圆引两条切线，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 3．(25-26高二·山东桓台第一中学·月考)已知直线（不同时为0）与圆相切，若点在圆O外，则c的取值范围为（   ） A． B． C． D． 4．(25-26高三上·云南金太阳百校联考·期中)已知圆，在函数的图象中，仅有一个最高点与一个最低点在圆内或在圆上，则的取值范围为 . 5．阿波罗尼斯是古希腊著名的数学家，对圆锥曲线有深刻而系统的研究，阿波罗尼斯圆就是他的研究成果之一，指的是：已知动点M与两定点Q，P的距离之比，那么点的轨迹就是阿波罗尼斯圆.已知动点的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为，定点为轴上一点，且，若点，则的最小值为 . 【巩固练习】 1．(25-26高二上·河南开封五县·期末)已知点为圆外一点，则的取值范围为 ． 2．(25-26高二上·广东·期末)若点在圆：的内部，则实数的取值范围是（  ） A． B． C． D． 3．(25-26高二上·广东广州·)已知直线与圆有两个公共点，若点的坐标为，则（   ） A．点在圆上 B．点在圆外 C．点在圆内 D．以上皆有可能 4．(25-26上·云南楚雄州中小学·期末)已知，直线，圆，则“点在圆外”是“直线与圆相交”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．(25-26高二·贵州遵义播州区·) （多选）已知点在圆的内部，则点的坐标可能为（    ） A． B． C． D． 6．(25-26高二上·陕西神榆靖区域联考·月考) （多选）已知点和圆，则下列说法正确的有（    ） A．圆心，半径为 B．点在圆外 C．圆关于直线对称 D．设点是圆上任意一点，则的最大值为8 地 城 考点03 直线与圆的位置关系 【经典例题】 1．(25-26高二上·河北邢台宁晋县联考·月考)已知直线与圆，则直线与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．与的取值有关 2．在平面直角坐标系xOy中，直线与圆C：相交于点A，B，若，则（    ） A．或 B．－1或－6 C．或 D．－2或－7 3．(18-19高一上·湖南益阳·期末)若圆：上有四个不同的点到直线：的距离为，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 4．(25-26高二上·广西钦州浦北县·期中)若直线l：与曲线有两个交点，则实数k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．已知直线和圆，则直线和圆的位置关系为（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定 2．(25-26高二上·湖南衡阳第八中学·月考)已知集合，则中的元素个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．无法确定 3．(25-26高二上·广西玉林八校·期中)直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．(25-26高二上·广西来宾·期中)若直线与曲线有两个不同的交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．(22-23高三上·湖北部分学校·) （多选）已知直线，圆，则（    ） A．直线过定点 B．圆的半径是1 C．存在一个实数，使得直线经过圆的圆心 D．无论取何值，直线与圆相交 6．(25-26高二上·广西崇左·期末) （多选）已知圆与直线，点在圆上，点在直线上，则（    ） A．圆的半径为2 B．直线与圆相离 C． D．从点向圆引切线，切线长的最小值是 【巩固练习】 1．(25-26高二上·广西钦州·期末)已知直线与圆交于A、B两点，当时，直线的一般式方程为 ． 2．(25-26高二上·南宁·期末)已知圆上恰有三个点到直线的距离为1，则的值为 ． 3．(17-18高二上·山西康杰中学·期中)直线与曲线有两个不同交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．(25-26高二上·广西百色·期末)已知圆C：，直线l：，则直线l被圆C截得的弦长的最小值为（   ） A． B． C． D． 5．长度为2的线段AB的两个端点分别在x轴及y轴上运动，则线段AB的中点到直线距离的最大值为（    ） A．1 B． C．2 D．3 6．(25-26高二上·广西示范性高中·期中)阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与阿基米德、欧几里得并称为亚历山大时期数学三巨匠，他研究发现：如果一个动点到两个定点的距离之比为常数（，且），那么点的轨迹为圆，这就是著名的阿波罗尼斯圆.若点到，的距离之比为，则点到直线的距离的最小值为（   ） A． B． C．1 D．3 地 城 考点04 圆与圆的位置关系 【经典例题】 1．(25-26高二上·广西钦州·期中)已知圆与圆，则两圆的位置关系是（   ） A．外离 B．相交 C．外切 D．内切 2．(25-26高二上·广西来宾第八中学·期中)已知圆：与圆（）内切，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．(25-26高二上·河南郑州部分名校·期中)圆与圆的公切线的条数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 4．(25-26高二上·河北邢台·月考)已知圆与圆相交于两点，则点到直线的距离是（    ） A．3 B． C． D．2 【变式训练】 1．(24-25高二上·天津滨海新区·期末)已知圆，圆，则圆与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相交 C．内切 D．外切 2．(24-25高二上·河南豫东名校·期末)若圆与圆恰有一个公共点，则的值为 ． 3．(25-26高二上·广西南宁第二中学·期中)已知圆：和圆：，若位于第一象限的点在两圆的公共弦上，则的最小值为（   ） A．2 B． C． D． 4．(25-26高二上·黑龙江大庆实验中学·月考)已知点，若圆上存在点满足，则实数的最小值为（    ） A．－3 B．－2 C．0 D．1 5．已知点，若圆上存在点，使得（为坐标原点），则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 6．(25-26高二上·吉林长春汽车经济技术开发区第三中学·期中) （多选）圆和圆的交点为，，则有（　　） A．公共弦所在直线的方程为 B．线段中垂线方程为 C．公共弦的长为 D．为圆上一动点，则到直线距离的最大值为 【巩固练习】 1．(24-25高二上·浙江丽水五校高中发展共同体·期中)圆与圆的位置关系是（   ） A．内含 B．内切 C．外离 D．相交 2．(24-25高二下·海南海口·月考)已知圆与圆相交于两点A，B，则AB的直线方程为 ． 3．(25-26高二上·广西钦州第一中学·期中)圆与圆的公切线有且仅有（　　） A．4条 B．3条 C．2条 D．1条 4．(23-24高二上·北京延庆区·期末)已知圆上一点和圆上一点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 5．(23-24高二上·山西大同·期中)已知满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（多选）已知圆与圆外离，则m的取值可能是（    ） A．-3 B．1 C．4 D．6 7．(24-25高二上·贵州·期中) （多选）已知圆：和圆：，则下列说法正确的是（    ） A．若，则圆和圆相离 B．若，则圆和圆的公共弦所在直线的方程是 C．若圆和圆外切，则或 D．若圆和圆内切，则 地 城 考点05 解答题 【经典例题】 1．(25-26高二上·江西赣州·期中)已知圆的圆心在直线上，且圆过和两点. (1)求圆的标准方程； (2)求圆与圆的公共弦长. 2．(25-26高二上·安徽合肥锦绣中学·期中)已知圆经过点，圆心在曲线上，且直线被圆截得的弦长为. (1)求圆的方程； (2)过点作圆的切线，求切线的方程. 【变式训练】 1．已知圆C经过点A(﹣1，3)，B(3，3)两点，且圆心C在直线x﹣y+1＝0上． (1)求圆C的方程； (2)求经过圆上一点A(﹣1，3)的切线方程． 2．(25-26高二上·广西示范性高中·期中)已知圆心在轴的正半轴上，半径为2的圆与直线：相切. (1)求圆的方程； (2)若过点的直线与圆相交于点、，，求直线的方程. 3．(25-26高二上·广西玉林八校·期中)已知圆C的方程为；，直线的方程为 (1)过点作圆C切线，求切线的一般式方程； (2)若Q为直线上一点，且Q的横坐标为2，P为平面内一动点，O为原点，满足，求点的轨迹方程. 4．(25-26高二上·广西来宾第八中学·期中)已知点，，曲线是以线段为直径的圆. (1)求的标准方程； (2)若与曲线：有且仅有四个公共点，求的取值范围. 5．(25-26高二上·广西百色·期末)如图，这是某圆弧形山体隧道的示意图，其中底面的长为16米，最大高度的长为4米，以C为坐标原点，所在的直线为x轴建立平面直角坐标系. (1)求该圆弧所在圆的方程. (2)若某种汽车的宽约为2.5米，高约为1.5米，车辆行驶时两车的间距要求不小于0.5米以保证安全，同时车顶不能与隧道有剐蹭，则该隧道最多可以并排通过多少辆该种汽车？（将汽车看作长方体） 参考数据： 【巩固练习】 1．(25-26高二上·广西钦州·期末)已知圆，直线． (1)判断直线与圆的位置关系； (2)求过点的圆的切线方程． 2．(25-26高二上·桂林·期末)已知直线l经过点且与直线平行． (1)求直线l的方程； (2)求以为圆心且与直线相切的圆的标准方程． 3．已知圆的圆心在轴上，且经过和两点. (1)求圆的方程； (2)直线过点，且圆心到直线的距离为1，求直线的方程. 4．(25-26高二上·广西钦州浦北县·期中)已知圆过点，，且圆心在直线上，圆：. (1)求圆的标准方程； (2)求圆与圆的公共弦长； (3)求过两圆的交点且圆心在直线上的圆的方程. 5．已知圆经过点，且与圆相切于点. (1)求圆的方程； (2)过的直线与圆交于两点，点的坐标为. ①证明：； ②求外接圆圆心的轨迹方程. 三、达标检测 1．(24-25高三上·四川成都某中学·月考)若圆与圆相交于、，则所在直线方程是（    ） A． B． C． D． 2．(23-24高二上·浙江嘉兴八校联盟·期中)已知圆：与圆：外切，则的值为（    ） A．1 B．5 C．9 D．21 3．(24-25高二上·河北张家口·期中)若点在圆的外部，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．(25-26高二上·黑龙江大庆铁人中学·期中)已知圆的方程，则该圆的半径为（    ） A．4 B．2 C．3 D．1 5．古希腊数学家阿波罗尼奥斯的著作《圆锥曲线论》中有这样一个命题：平面内与两定点的距离的比为常数k（且）的点的轨迹为圆，后人将这个圆称为阿波罗尼奥斯圆．已知点圆C：上有且只有一个点P满足，则r的值是（    ） A．2 B．8 C．8或14 D．2或14 6．(23-24高二上·黑龙江齐齐哈尔·期中)若圆关于直线对称，则等于（   ） A． B． C． D． 7．(25-26高二上·江苏常州合作学校·期中)已知在平面直角坐标系中，，动点满足，得到动点M的轨迹为曲线．直线：与曲线恒有公共点，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 8．(23-24高三上·山东烟台第一中学·月考)若圆上至少有三个不同的点到直线的距离为，则直线的斜率的取值范围为（     ）． A． B． C． D． 9．(23-24高二上·上海延安中学·期末)方程表示一个圆，则实数的取值范围是 . 10．(24-25高二上·江苏南京文枢高级中学·)若过点的直线与圆交于两点，则弦最短时的方程为 ． 11．已知实数x，y满足，则的取值范围是 ． 12．(25-26高二上·广西贵港部分高中·期末) （多选）下列四个命题中，真命题是（   ） A．过点，且在轴和轴上的截距相等的直线方程为 B．与圆：关于直线：对称的圆的方程为 C．圆：与圆：的公共弦所在直线的方程为 D．若点在圆：上，则的取值范围为 13．(25-26高二上·广西南宁第三十三中学·期中) （多选）下列说法正确的是（   ） A．过点且垂直于直线的直线方程为 B．过点且在、轴上截距相等的直线方程为 C．曲线过点的最短弦长为 D．已知圆，圆，若两圆公切线有三条，则且其中一条公切线的方程为 14．(25-26高二上·广西来宾·期中) （多选）已知圆，下列说法正确的是（    ） A．若过点的直线与圆交于，两点，则的取值范围为 B．圆上有4个点到直线的距离为 C．若圆与圆没有公切线，则的取值范围为 D．过直线上任意一点作圆的切线，切点为，，则直线必过定点 15．(25-26高二上·广西示范性高中·期中) （多选）如图，点，，，，是以为直径的圆上一段圆弧，是以为直径的圆上一段圆弧，是以为直径的圆上一段圆弧，三段弧构成曲线则（   ） A．所在的圆截直线所得弦的长为 B．与的公切线的方程为 C．所在圆与所在圆的公共弦所在直线的方程为 D．动点，分别在圆和上，动点在上，的最小值为 16．(25-26高二上·广西钦州·期末) （多选）在平面上，若动点与两定点满足且，则的轨迹是个圆，这个圆称为阿波罗尼斯圆．已知为坐标原点，，动点满足，记的轨迹为圆．由直线上的一点向圆引切线，切点为．下列结论正确的有（   ） A．圆的方程为 B．圆与圆的公切线有且只有三条 C．的最小值为2 D．当取最小值时，直线的方程为 17．(25-26高二上·广西来宾·期中)已知圆. (1)求m的取值范围. (2)已知直线与圆交于两点，且. ①求； ②求过点的圆的切线方程. 18．(25-26高二上·广西南宁第三十三中学·期中)已知圆，点是直线上一动点，过点作圆的两条切线，切点分别为，. (1)若的坐标为，求过点的切线方程； (2)直线与圆交于，两点，求的取值范围（为坐标原点）. 试卷第1页，共3页 18 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $专题04圆与方程 高二数学寒假强化训练导学案 专题04圆与方程 内容导航 一、知识回顾 二、考点聚焦 考点01圆的标准方程及其应用 考点05解答题 圆与方程 考点02点与圆的位置关系 考点04圆与圆的位置关系 考点03直线与圆的位置关系 三、达标检测 知识回顾 1.圆的标准方程： 设圆心坐标为(a,b),半径为r,则圆的标准方程为：(x-a)2+(心y-b)2=r2 特别地，当圆心在坐标原点时，圆的标准方程为：x2+y2=r2 8.圆的一般方程： 当D2+E2-4F>0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0叫做圆的一般方程， 圆心为D,E）,半径为D+2-4F 22 2 2.点圆位置关系： 点M(xo,y)与⊙A:(x-a2+(y-b)2=r2或x2+y2+Dx+y+F=0(D2+E2-4F>0), 设M(x,y,)到圆心A(a,b)的距离为d,即d=MA|,则： (1)d>r一则点M(x,y)在⊙A外→(x。-a)2+(0。-b)2>2→x,2+y,2+Dx。+。+F>0; (2)d=r→则点M(x,yo)在⊙A上→(x。-a)2+(y。-b)2=r2台x。2+y,2+Dx。+Ey。+F=0: (3)d<r台则点M(xyo)在⊙A内→(x。-a)2+(y。-b)2<2台x,2+y。2+Dx。+Ey。+F<0. 3.直线与圆的位置关系： 设圆的半径为r,圆心到直线的距离为d,则 (1)直线与圆相交一d<r: (2)直线与圆相切一d=r: (3)直线与圆相离分d>r 1/19 专题04圆与方程 高二数学寒假强化训练导学案 4.圆与圆位置关系： 设两圆圆心分别为0,02，半径分别为r1,r2,O,O,=d,则 (1)d>1+1,台外离一4条公切线； (2)d=1+5一外切一3条公切线： (3)5-2<d<1+5⊙相交⊙2条公切线： (4)d=h-台内切⊙1条公切线： (5)0<d<h-2台内含⊙无公切线 5.一般地过圆C1:x2+y2+Dx+Ey+E=0与圆C2:x2+y2+D,x+E2y+F,=0的交点的圆的方程 可设为x2+y2+Dx+Ey+F+(x2+y2+D2x+E2y+F)=0(≠-1) 6.若圆C1:x2+y2+Dx+Ey+F=0与圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F=0相交，则两圆公共弦所在 直线的方程为(D-D,)x+(E,-E2)y+F-F,=0.(两圆方程相减) 7.直线与圆相交所得弦长：4B=2√F2-d严(d为圆心到直线的距离) 考点聚焦 目目 考点01 圆的标准方程及其应用 【经典例题】 1.(25-26高二上·广西来宾·期中)圆心在y轴上，且经过点(1,2)，(-1,4)的圆的标准方程为() A.x2+(y+3)2=2B.(x-3)2+y2=20C.x2+(y-3)2=2D.(x+3)2+y2=20 2.(25-26高二上河北邢台宁晋县联考·月考)圆C:(x+2)2+(y-1)2=4的圆心坐标和半径分别是() A.（-2,1),4B.（-2,1),2 C.(2,-1),4 D.(2,-1),2 3.小明家附近有一座圆拱桥，当水面跨度是40米时，拱顶离水面5米.当水面上涨4米后，桥在水面 的跨度为米 2/19 专题04圆与方程 高二数学寒假强化训练导学案 【变式训练】 1.以点(2，一1)为圆心，以√2为半径的圆的标准方程是（) A.(x+2)2+0y-1)2=√2 B.x+2)2+y-1)2=2 C.(x-2)2+y+1)2=2 D.x-2)2+y+1)2=V2 2.(25-26高二上·广西柳州第一中学期中)已知A(0,0),B(1,1),C(4,2)为圆0上的点，则圆0的方程 为 3.在平面直角坐标系xOy中，直线y=2x+t与圆C:x2+y2-2x+4y=0相交于点A,B,若 ∠ACB=2 3,则=() 1 B.-1或-6 或、13 C.3 D.-2或-7 2 2 4.(25-26高二上·南宁期末)由曲线x2+y2=-y围成的图形的面积为() A.π+2 4 B. C.π+2 D.π-2 2 2 【巩固练习】 1.圆心为(-2,3)，半径是3的圆的标准方程为() A.(x-2)2+(y+3)2=9 B.（x+2)+(y-3)2=3 C.（x+2)+(y-3)2=9 D.(x-2)2+(y+3)2=3 3/19 专题04圆与方程 高二数学寒假强化训练导学案 2.(25-26高二上·广西河池期末)已知圆C的方程为x2+y2+2x-6y+6=0,圆心为C,坐标原点为O, 则OC为() A.3 B.23 C.10 D.4 3.(25-26高二上·广西南宁第三十三中学期中)若直线x+y-m=0被圆C:(x-1)2+(y+1)2=4截得的弦长 为2√5，则m=() A.±2 B. C.2 D.2W2 4.(2425高二上陕西榆林第一中学期末)（多选）在平面直角坐标系中，曲线C:x2+y2=2+2y是 一条形状优美的曲线，对于此曲线，下列说法正确的有() A.曲线C围成的图形有4条对称轴 B.曲线C围成的图形的周长是8√2π C.曲线C上任意两点间的距离最大值是4√2 D.若T(a,b)是曲线C上任意一点，则4a+3b-18的最小值是11-5√5 目目 考点02 点与圆的位置关系 【经典例题】 1.(25-26高三上山东·一模)点P(1,-1)与圆x2+y2-2x+4y+1=0的位置关系是（) A.点P在圆上B.点P在圆外C.点P在圆内且不是圆心D.点P在圆内且是圆心 2.(25-26高二上广东东莞·联考)已知点A(-2,3)在圆C:x2+y2-2x-4y+5=0外，则实数m的取值范 围是() A.(mDua+m)B.(3）c.(m0u3）D.（) 3.(25-26高二上广西软州第一中学·期中)已知实数x,y满足圆的方程(x-2)°+y2=4,则√x2+(y-1)的 最大值为 4/19 专题04圆与方程 高二数学寒假强化训练导学案 【变式训练】 1.“a<-22”是“点(0,1)在圆x2+y2-a2+8=0外部的() A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 2.(2425高二上·福建莆田哲理中学·期末)点P1,2)可以向圆(x+1)2+(y-2)2=6-k引两条切线，则k的 取值范围为() A.k<6 B.2<k<6 C.0<k<6 D.k>2 3.(25-26高二·山东桓台第一中学·月考)已知直线1：ax+by+c=0(a、b不同时为0)与圆0：x2+y2=1 相切，若点P(a,b)在圆O外，则c的取值范围为() A.（-1,1) B.[-11C.(-m,-1)U1,+o) D.（-o,-1J[1,+∞) 4.(25-26高三上云南金太阳百校联考期中已知圆M:(x-r2+y2=42(>0),在函数f(y)=sim 的图象中，仅有一个最高点与一个最低点在圆M内或在圆M上，则r的取值范围为 5,阿波罗尼斯是古希腊著名的数学家，对圆锥曲线有深刻而系统的研究，阿波罗尼斯圆就是他的研究成 MO 果之一，指的是：已知动点M与两定点Q,P的距离之比 MP =2(2>0,1≠1)，那么点M的轨迹就是阿 被罗尼斯恩.已知对点M的轨迹是阿波罗尼斯园。其方程为+-1，定点Q为x轴上一点，P(行0） 且=2，若点B(1,1),则2MP+MB的最小值为 5/19 专题04圆与方程 高二数学寒假强化训练导学案 【巩固练习】 1.(25-26高二上·河南开封五县·期末)已知点P(-1,1)为圆x2+y2+2x-4y+a=0外一点，则a的取值范围 为一 2.(25-26高二上·广东·期末)若点M(1,a在圆C:x2+y2-x-y-6=0的内部，则实数a的取值范围是（) A.（-2,3) B.(-3,2) C.(-,-2)U(3,+0）D.(-0,-3)U(2,+0) 3.(25-26高二上广东广州)已知直线mx+y+1=0与圆C:x2+y2=1有两个公共点，若点P的坐标为 (,n),则() A.点P在圆C上B.点P在圆C外C.点P在圆C内D.以上皆有可能 4.(25-26上·云南楚雄州中小学期末)已知A(a,b),直线：ar+y-2=0,圆O:x2+y2=2,则“点A在 圆0外”是“直线1与圆0相交”的() A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 5.(25-26高二·贵州遵义播州区)（多选）已知点P在圆C:(x-1)2+(y-1)2=10的内部，则点P的坐标 可能为() A.(0,0) B.(2,2) C.(4,2) D.（2025,2026) 6.(25-26高二上·陕西神榆靖区域联考·月考)（多选）已知点D(3,-1)和圆C:(x+1)2+(y-2)2=9,则 下列说法正确的有() A.圆心C(-1,2),半径为r=3 B.点D在圆C外 C.圆C关于直线2x+y-4=0对称 D.设点A是圆C上任意一点，则AD的最大值为8 目目 考点03 直线与圆的位置关系 【经典例题】 1.(25-26高二上·河北邢台宁晋县联考·月考)已知直线：x+2y+5=0与圆C:(x-2)2+(y+1)2=a2+6,则 直线！与圆C的位置关系是() A.相离 B.相切 C.相交 D.与a的取值有关 6/19 专题04圆与方程 高二数学寒假强化训练导学案 2.在平面直角坐标系xOy中，直线y=2x+t与圆C:x2+y2-2x+4y=0相交于点A,B,若 Ac8-号，则=（） A.或号 2 B.-1或-6 D.-2或-7 2 3.(18-19高一上·湖南益阳期末)若圆C:x2+y2-4x+2y-4=0上有四个不同的点到直线1： 3x+4y+c=0的距离为2，则c的取值范围是() A.(-12,8) B.(-8,12) C.(-7,3) D.(-3,7) 4.(25-26高二上广西钦州浦北县·期中)若直线1：x-y+4+2k=0与曲线y=√4-x2有两个交点，则实 数k的取值范围是() a1a到e外1引1到 【变式训练】 1.已知直线1：y=x+1和圆C:x2+y2=1,则直线1和圆C的位置关系为() A.相交 B.相切 C.相离 D.不能确定 2.(25-26高二上湖南衡阳第八中学月考)已知集合A={(x,y)1x-y+1=0},B=(x,y)1x2+y2=3}，则 A⌒B中的元素个数为() A.0 B.1 C.2 D.无法确定 7/19 专题04圆与方程 高二数学寒假强化训练导学案 3.(25-26高二上·广西玉林八校期中)直线y=ax+2与曲线y=√1-x2有两个不同的交点，则实数k的取 值范围为() A.「-2，-V3)u(3,2]B.-2,-V)U(W3,2）C.(←m,-V)U(3,+m)D.(5,3) 4.(25-26高二上广西来宾·期中)若直线kx-y-3=0与曲线x=1+V1-(0y-2)2有两个不同的交点，则k 的取值范围是() a.[号oB.(号4c.号m)D.(6} 5.(22-23高三上·湖北部分学校)（多选）己知直线1：(m+2)x+y+m+1=0,圆C:x2+y2+4x-5=0, 则() A.直线1过定点(-1,1) B.圆C的半径是1 C.存在一个实数，使得直线l经过圆c的圆心 D.无论m取何值，直线！与圆C相交 6.(25-26高二上广西崇左·期末)（多选)已知圆C:x2+y2+4x-6y+9=0与直线1：3x-4y-12=0,点 P在圆C上，点Q在直线！上，则() A.圆C的半径为2 B.直线l与圆C相离 C.pl=2 D.从点Q向圆C引切线，切线长的最小值是4v2 【巩固练习】 1.(25-26高二上广西钦州期末)已知直线1：y=k(x+√6)(k>0)与圆O:x2+y2=4交于A、B两点，当 |AB=√2|OB|时，直线1的一般式方程为 8/19 专题04圆与方程 高二数学寒假强化训练导学案 2.(25-26高二上·南宁.期末)已知圆x2+y2=4上恰有三个点到直线y=x+b的距离为1，则b的值 为 3.(17-18高二上山西康杰中学期中)直线y=k(x-2)+4与曲线y=1+√4-x2有两个不同交点，则k的 取值范围是() (531 A. 0 B. 12'4 4.(25-26高二上广西百色·期末)已知圆C:(x-3)2+(y-4)2=16,直线1：x+y-m-3=0,则直线1 被圆C截得的弦长的最小值为() A.2W11 B.2W10 C.27 D.2√2 5.长度为2的线段AB的两个端点分别在x轴及y轴上运动，则线段AB的中点到直线3x-4y-10=0距离 的最大值为() A.1 B.√2 C.2 D.3 6.(25-26高二上·广西示范性高中·期中)阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与阿基米德、欧几里得并称为 亚历山大时期数学三巨匠，他研究发现：如果一个动点P到两个定点的距离之比为常数入(2>0，且 1≠1)，那么点P的轨迹为圆，这就是著名的阿波罗尼斯圆.若点C到A(1,-1),B(1,0)的距离之比为 √2，则点C到直线x-y+4=0的距离的最小值为() A.3 B.2 C.1 D.3 目目 考点04 圆与圆的位置关系 【经典例题】 1.(25-26高二上广西软州期中)已知圆x2+y2=4与圆(x-5)+y2=9,则两圆的位置关系是() A.外离 B.相交 C.外切 D.内切 2.(25-26高二上广西来宾第八中学期中)已知圆C:(x+1)2+y2=1与圆D:(x+1)2+(y+3)=r2 (r>0)内切，则r=() A.1 B.2 C.3 D.4 9/19 专题04圆与方程 高二数学寒假强化训练导学案 3.(25-26高二上河南郑州部分名校期中)圆C:(x+2)2+(y-1)2=4与圆C2:(x-3)2+y2=9的公切线的 条数为() A.4 B.3 C.2 D.1 4.(25-26高二上河北邢台月考)已知圆C1:x2+y2+4x-2y+2=0与圆C2:x2+y2+2x=0相交于A,B两 点，则点P(3,-2)到直线AB的距离是() A.3 B.32 C.√2 D.2 【变式训练】 1.(24-25高二上·天津滨海新区期末)已知圆C:x2+y2=1,圆C2:x2+y2-6x+5=0,则圆C与圆C,的 位置关系是() A.相离 B.相交 C.内切 D.外切 2.(2425高二上河南豫东名校期末)若圆x2+y2=1与圆x2+y2-6x-8y-2m+1=0恰有一个公共点， 则的值为一· 3.(25-26高二上广西南宁第二中学期中)已知圆C：x2+y2=4和圆C2:(x-2)+(y-2)=4,若位于 第一象限的点Pa,b)在两圆的公共弦上，则2+1 的最小值为() a 2b 3 A.2 B. 2 c D.9 10/19专题04圆与方程 高二数学寒假强化训练导学案 专题04圆与方程 内容导航 一、知识回顾 二、考点聚焦 考点01圆的标准方程及其应用 考点05解答题 圆与方程 考点02点与圆的位置关系 考点04圆与圆的位置关系 考点03直线与圆的位置关系 三、达标检测 知识回顾 1.圆的标准方程： 设圆心坐标为(a,b),半径为r,则圆的标准方程为：(x-a)2+(心y-b)2=r2 特别地，当圆心在坐标原点时，圆的标准方程为：x2+y2=r2 8.圆的一般方程： 当D2+E2-4F>0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0叫做圆的一般方程， 圆心为D,E）,半径为D+2-4F 22 2 2.点圆位置关系： 点M(xo,y)与⊙A:(x-a2+(y-b)2=r2或x2+y2+Dx+y+F=0(D2+E2-4F>0), 设M(x,y,)到圆心A(a,b)的距离为d,即d=MA|,则： (1)d>r一则点M(x,y)在⊙A外→(x。-a)2+(0。-b)2>2→x,2+y,2+Dx。+。+F>0; (2)d=r→则点M(x,yo)在⊙A上→(x。-a)2+(y。-b)2=r2台x。2+y,2+Dx。+Ey。+F=0: (3)d<r台则点M(xyo)在⊙A内→(x。-a)2+(y。-b)2<2台x,2+y。2+Dx。+Ey。+F<0. 3.直线与圆的位置关系： 设圆的半径为r,圆心到直线的距离为d,则 (1)直线与圆相交一d<r: (2)直线与圆相切一d=r: (3)直线与圆相离分d>r 1/39 专题04圆与方程 高二数学寒假强化训练导学案 4.圆与圆位置关系： 设两圆圆心分别为0,02，半径分别为r1,r2,O,O,=d,则 (1)d>r+1,台外离一4条公切线： (2)d=1+5一外切一3条公切线： (3)5-2<d<1+5一相交一2条公切线： (4)d=h-台内切⊙1条公切线： (5)0<d<h-2一内含⊙无公切线 5.一般地过圆C1:x2+y2+Dx+Ey+E=0与圆C2:x2+y2+D,x+E2y+F,=0的交点的圆的方程 可设为x2+y2+Dx+Ey+F+(x2+y2+D2x+E2y+F)=0(≠-) 6.若圆C1:x2+y2+Dx+Ey+E=0与圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F,=0相交，则两圆公共弦所在 直线的方程为(D-D,)x+(E,-E2)y+F-F,=0.(两圆方程相减) 7.直线与圆相交所得弦长：4B=2√F2-d严(d为圆心到直线的距离) 考点聚焦 目目 考点01 圆的标准方程及其应用 【经典例题】 1.(25-26高二上·广西来宾·期中)圆心在y轴上，且经过点(1,2)，(1,4)的圆的标准方程为() A.x2+(y+3)2=2B.(x-3)2+y2=20C.x2+(y-3)2=2D.(x+3)2+y2=20 【答案】C 1+(2-b)2=r2, 【详解】设该圆的标准方程为x2+(y-b)2=r2,将(12)，(-14)代入方程，可得 +4=,解得 「b=3, 产=2，得到圆的标准方程为+y-3=2,故C正确故选：C 2.(25-26高二上河北邢台宁晋县联考·月考)圆C:(x+2)2+(y-1)2=4的圆心坐标和半径分别是() A.（-2,1),4B.（-2,1),2 C.(2,-1),4 D.(2,-1),2 【答案】B 【详解】由C:(x+2)2+(y-1)2=4可知圆C的圆心坐标为(-2,1)，半径为2.故选：B 2/39 专题04圆与方程 高二数学寒假强化训练导学案 3.小明家附近有一座圆拱桥，当水面跨度是40米时，拱顶离水面5米.当水面上涨4米后，桥在水面 的跨度为米。 【答案】4w21 详解)设圆的半径为R,则R=(R-5+20,解得R=g,R-5=7575 22 2,所以当水面上 5+4=83 涨4米后，桥在水面的跨度为 83 4V21米.故答案为：4√21. 【变式训练】 1.以点(2，一1)为圆心，以√2为半径的圆的标准方程是() A.(x+2)2+y-1)2=√2 B.(x+2)2+y-1)2=2 C.(x-2)2+y+1)2=2 D.(x-2)2+0y+1)2=√2 【答案】C 【详解】由题意圆标准方程是(x-2)2+(y+1)2=2.故选：C. 2.(25-26高二上·广西柳州第一中学期中)已知A(0,0),B(1,1),C(4,2)为圆O上的点，则圆O的方程 为 【答案】x2+y2-8x+6y=0 【详解】设圆O的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),'A(0,0),B(1,1),C(4,2)为圆O上的点， F=0 [D=-8 2+D+E+F=0,解得E=6,.圆O的方程为x2+y2-8x+6y=0 20+4D+2E+F=0 F=0 故答案为：x2+y2-8x+6y=0 3.在平面直角坐标系xOy中，直线y=2x+t与圆C:x2+y2-2x+4y=0相交于点A,B,若 ACB=,则t=() :B.-1或-6 或、13 D.-2或-7 2 【答案】C 【详解】由题意可知，圆C:x2+y2-2x+4y=0,标准化后可得圆C:(x-1)+(y+2)2=5,因为， 点C作AB的垂线CD,ABLCD如图所示，AC=BC=, 3/39 专题04圆与方程 高二数学寒假强化训练导学案 c0=6学5-兰所以心c到线编面离d-后-5因比4小子部用 3 2 4.(25-26高二上·南宁期末)由曲线x2+y2=-y围成的图形的面积为() A.π+2 B.π-2 C.π+2 D.π-2 4 4 2 2 【答案】D 【详解】由于把方程x2+y2=x-y中的x,y分别用-x,-y代换，方程没有发生变化，所以方程 x2+y2=x-以表示的曲线关于x,y轴和原点对称，当x≥0，y≥0时，方程 为半径的圆在第一象限的部分，如图： 2 因该方程表示的曲线在第一象限部分是 一个弓名，共面积为宁马)号一-专行由我的对性时组食线在条限的能分均全等。 故面积都相等，所以曲线x2+y2=心-y围成的图形的面积为： π1 X4=π- 84 2，故选：D 【巩固练习】 1.圆心为(-2,3)，半径是3的圆的标准方程为() A.(x-2)+(y+3)2=9 B.（x+2)+(y-3)2=3 C.(x+2)+(y-3)2=9 D.(x-2)2+(y+3)2=3 【答案】C 【详解】圆心为(-2,3)，半径是3，.圆的标准方程为(x+2)+(y-3)=9.故选：C 2.(25-26高二上广西河池·期末)已知圆C的方程为x2+y2+2x-6y+6=0,圆心为C,坐标原点为O, 则OC为() 4/39 专题04圆与方程 高二数学寒假强化训练导学案 A.3 B.2N5 C.10 D.4 【答案】C 【详解】根据题意，圆C的方程可化为(x+1)2+(y-3)2=4,所以圆C的圆心为C(-1,3), 所以oC=√(-1)2+32=10.故选：C 3.(25-26高二上·广西南宁第三十三中学·期中)若直线x+y-m=0被圆C:(x-1)+(y+1)2=4截得的弦长 为2√2，则m=() A.+2 B.±V2 C.2 D.t22 【答案】A 【详解】由圆C:(x-1)+(y+1)=4,圆心C1,-1),半径R=2.则圆心C1,-1)到直线x+y-m=0的距离 d=1-1-叫_网 2 又因为截得的弦长为22，所以2√R2-d平=2√2，化简得4 =2,解得 √2√2 √2 m=±2.故选：A. 4.(2425高二上陕西榆林第一中学期末)（多选）在平面直角坐标系中，曲线C:x2+y2=2x+2y是 一条形状优美的曲线，对于此曲线，下列说法正确的有() A.曲线C围成的图形有4条对称轴 B.曲线C围成的图形的周长是8√2元 C.曲线C上任意两点间的距离最大值是42 D.若T(a,b)是曲线C上任意一点，则4a+3b-18的最小值是11-5√2 【答案】ACD 【来源】陕西省榆林市第一中学2024-2025学年高二上学期期末质量检测考试数学试题 【详解】当x≥0，y≥0时，曲线C的方程可化为(x-1)+(y-1)=2, 当x≤0y≥0时，曲线C的方程可化为(x+1)+(y-1)=2, 当x≥0，y≤0时，曲线C的方程可化为(x-1)+(y+1)=2, 44x+318-0 当x≤0，y≤0时，曲线C的方程可化为(x+1)+(y+1)=2,所以曲线C的图象如图所示 对于A,由图可知曲线C围成的图形有4条对称轴，故A正确： 5139 专题04圆与方程 高二数学寒假强化训练导学案 对于B,曲线C由4个半圆组成，其周长为2×2π×√2=4√2π，故B错误： 对于C,由图可知曲线C上任意两点间的最大距离为4√2，故C正确： 对于D,Tab)到直线4x+3y-18=0的距离d-4+36-18,点(，1)到直线4x+3y-18=0的距离为 4+?-1网-号，由圆的性质得曲线C上一点到直线4红+3-18=0的距离最小为号反，所以 4a+3b-18的最小值为11-5√2，故D正确. 故选：ACD 目目 考点02 点与圆的位置关系 【经典例题】 1.(25-26高三上山东一模)点P(1,-1)与圆x2+y2-2x+4y+1=0的位置关系是（) A.点P在圆上B.点P在圆外C.点P在圆内且不是圆心D.点P在圆内且是圆心 【答案】C 【详解】圆x2+y2-2x+4y+1=0变为标准方程为(x-1)2+(y+2)2=4,圆心为(1，-2)，半径r=2, 所以点P到圆心的距离d=√1-1)2+（←1+2）2=1<2=r,所以点P在圆内，且不是圆心.故选：C 2.(25-26高二上·广东东莞联考)已知点A(-2,3)在圆C:x2+y2-2x-4y+5=0外，则实数的取值范 围是() a.m-0Ua+m）)B.）c.m-u3+o）D.（3Ua) 【答案】D 【详解】方程x2+y2-2x-4y+5=0表示圆，则(-2m)+(-4)-4×5>0,即m2-1>0,解得<-1或 m>1.点A(-2,3)在圆C:x2+y2-2x-4y+5=0外，则(-2)+32-2×(-2)-4×3+5>0，即 如+6>0，解得心子综上，实数以的取值范国足（含小1四）改选：D 3.(25-26高二上广西软州第一中学期中)已知实数x,y满足圆的方程(x-2)'+y2=4,则Vx2+(y-1)}的 最大值为 【答案】2+√5 【详解】由题设√x2+(y-1)表示圆(-2)+y2=4上的点到定点(0,1)的距离，而圆(x-2)°+y=4的圆 心为(2,0)，半径为2，所以Vx2+(y-1)2的最大值为V0-2)+1-0)2+2=2+5.故答案为：2+V5 6/39 专题04圆与方程 高二数学寒假强化训练导学案 【变式训练】 1.“a<-2√2”是“点(0,1)在圆x2+y2-a2+8=0外部的（) A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 【答案】D a2-8>0 【详解】若点(0,1)在圆x2+y2-a2+8=0外部， 1-a2+8>0'解得-3<a<-22或2W5<a<3, 所以“a<-2√2”是“点(0,1)在圆x2+y2-a2+8=0外部的既不充分也不必要条件，故选：D. 2.(2425高二上·福建莆田哲理中学期末)点P1,2)可以向圆(x+1)2+(y-2)2=6-k引两条切线，则k的 取值范围为() A.k<6 B.2<k<6 C.0<k<6 D.k>2 【答案】B 【详解】由题意可知，点P1,2)在圆(x+1)2+(y-2)2=6-k外，则(1+1)2+(2-2)2>6-k>0,得 2<k<6,故k的取值范围为2<k<6.故选：B 3.(25-26高二·山东桓台第一中学月考)已知直线1：ax+by+c=0(a、b不同时为0)与圆O:x2+y2=1 相切，若点P(a,b)在圆O外，则c的取值范围为() A.（-1,1) B.[-1,]C.(-∞，-1)1，+o) D.（-o,-1[1,+∞) 【答案】C 【详解】直线1：ax+by+c=0(a、b不同时为0)与圆O:x2+y2=1相切，所以 ax0+bx0+d=l,即 a+b2 -L,所以c=4+b2,又因为点Pa,2)在圆0外，所以a2+8>1,所以e2>1,解得c<-1或 a+b2 c>1,所以c的取值范围为(-o,-1)U(1,+o).故选：C. 4.(25-26高三上·云南金太阳百校联考期中)已知圆M:(-)2+y2=42(>0),在函数f(x)=号sin 2 的图象中，仅有一个最高点与一个最低点在圆M内或在圆M上，则"的取值范围为 15 【答案】 15 ’7 【详解】因为f(r)=二snm=0,所以(r,0)是函数∫(x)的一个对称中心，圆M的圆心为(r,0),半径为 7/39 专题04圆与方程 高二数学寒假强化训练导学案 2r,由对称性可知，要使∫(x)的图象仅有一个最高点与一个最低点在圆M内或在圆M上，只需满足直 线x=r右边的第一个最值点在圆M内或在圆M上，第二个最值点在圆M外，由正弦函数性质可知，函 3r 数f(x)的周期T=2,所以函数∫(x)在直线x=r右边的第一个最值点为 2 第二个最值点为 〔所以 j ,结合>0解得5≤<5，即r的取值范围为 15 7 故答案为 157 5.阿波罗尼斯是古希腊著名的数学家，对圆锥曲线有深刻而系统的研究，阿波罗尼斯圆就是他的研究成 MO 果之一，指的是：已知动点M与两定点Q,P的距离之比 MP =(2>0,元≠1)，那么点M的轨迹就是阿 议罗尼斯周已知动点以的锐选是阿波罗尼斯周，共方程为x1,定点Q为x精上一点，P分0} 且=2，若点B(1,1),则2MP+MB的最小值为一 【答案】√0 【详解】设Qao,M(x.所wg=-a+y,又P台0所以-++2 (x-a2+y2 Mg=元且元=2，所以 因为 =2 +y2 整遥可符+41售之，又动点的抗迹是 3 (4+2a-0 3 x2+y2=1,所以 ,解得a=-2,所以Q(-2,0),又Mg=2MP,所以2MP+MB=M⊙+MB, a2-1 3 因为B(1,1),所以2MP+MB的最小值为Bg=V1+2)+(1-0)2=V10,当且仅当O,M,B三点共线时取 等.故答案为：√10 【巩固练习】 1.(25-26高二上·河南开封五县期末)已知点P(-1,1)为圆x2+y2+2x-4y+a=0外一点，则a的取值范围 为一 【答案】(4,5) 8/39 专题04圆与方程 高二数学寒假强化训练导学案 (-1+12+2x(-1)-4×1+a>0 【详解】由题可得 22+(-4)2-4 →4<a<5,所以a的取值范围为(4,5).故答案为(4,5) ->0 4 2.(25-26高二上·广东·期末)若点M(1,a在圆C:x2+y2-x-y-6=0的内部，则实数a的取值范围是() A.（-2,3) B.（-3,2) C.(-n,-2)U(3,+∞)D.(-m,-3)U(2,+0) 【答案】A 【详解】由M(1,a)在圆内，得1+a2-1-a-6<0,即a2-a-6<0,可化为(a-3)(a+2)<0;解得 -2<a<3,即(-2,3).故选：A 3.(25-26高二上广东广州)己知直线mx+y+1=0与圆C:x2+y2=1有两个公共点，若点P的坐标为 (,n),则() A.点P在圆C上B.点P在圆C外C.点P在圆C内D.以上皆有可能 【答案】B 【详解】因为直线mx+y+1=0与圆C:x2+y2=1有两个公共点，所以直线mx+y+1=0与圆C相交， 所以+示L则m+疗>1即m+心>1，所以点P,网在圆C外故选：B 4.(25-26上·云南楚雄州中小学·期末)已知A(a,b),直线1：ax+y-2=0,圆O:x2+y2=2,则“点A在 圆O外”是“直线1与圆O相交的（) A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】圆O:x2+y2=2的圆心为(0,0)，半径为V2.点A在圆O外等价于a2+b2>2:直线1与圆O相交 2 等价于 a'+b2 <√2，即d+b>2.故“点A在圆0外”是“直线1与圆0相交的充要条件.故选：C 5.(25-26高二·贵州遵义播州区)（多选）已知点P在圆C:(x-1)2+(y-1)2=10的内部，则点P的坐标 可能为() A.(0,0) B.(2,2) C.(4,2) D.(2025,2026) 【答案】AB 【详解】对A:因为(0-)2+(0-1)2=2<10，所以点(0,0)在圆C内： 对B:因为(2-1)2+(2-)2=2<10，所以点(2,2)在圆C内： 9/39 专题04圆与方程 高二数学寒假强化训练导学案 对C:因为(4-1)2+(2-1)2=10，所以点(4,2)在圆c上： 对D:因为(2025-1)2+(2026-1)2>10，所以点(2025,2026)在圆C外. 故选：AB 6.(25-26高二上·陕西神榆靖区域联考·月考)（多选）已知点D(3,-1)和圆C:(x+1)2+(y-2)2=9,则 下列说法正确的有() A.圆心C(-1,2),半径为r=3 B.点D在圆C外 C.圆C关于直线2x+y-4=0对称D.设点A是圆C上任意一点，则AD的最大值为8 【答案】ABD 【详解】圆心C(1,2),半径为r=3,A选项正确：：CD=√4+32=5>，点D在圆C外，B选项正 确；，圆心C(-1,2)不在直线2x+y-4=0上，.圆C关于直线2x+y-4=0不对称，C选项错误： ~CDl=V4+32=5,圆半径r=3,5-3≤AD≤5+3，即2≤AD≤8，D选项正确故选：ABD 目目 考点03 直线与圆的位置关系 【经典例题】 1.(25-26高二上河北邢台宁晋县联考·月考)已知直线：x+2y+5=0与圆C:(x-2)+(y+1)2=a2+6,则 直线1与圆C的位置关系是() A.相离 B.相切 C.相交 D.与a的取值有关 【答案】C 【详解】由题意可得圆C的圆心坐标为(2，-1)，半径r=√a+6,圆C的圆心到直线1的距离 d-2+2x-1)+-5,因为，=N+6≥6，所以r>d,则直线与圆c相交故选：C V12+22 2.在平面直角坐标系xOy中，直线y=2x+t与圆C:x2+y2-2x+4y=0相交于点A,B,若 4c8=号则=() A.-片或号 11 21 B.-1或-6 2 D.-2或-7 【答案】C 【详解】由题意可知，圆C:x2+y2-2x+4y=0,标准化后可得圆C:(x-1)+(y+2)=5,因为， 10/39