专题04 圆与方程9大题型（寒假复习讲义）高二数学人教B版

专题04 圆与方程9大题型 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 举一反三：核心考点能举一反三，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点1：圆的标准方程 1．圆的定义 圆是平面上到定点的距离等于定长的点的集合． 2．圆的标准方程 我们把方程称为圆心为,半径为r的圆的标准方程． 3．几种特殊位置的圆的标准方程 条件 方程形式 过原点 圆心在原点 圆心在x轴上 圆心在y轴上 圆心在x轴上且过原点 圆心在y轴上且过原点 与x轴相切 与y轴相切 知识点2：点与圆的位置关系 点与圆的位置关系： （1）点在圆外； （2）点在圆上； （3）点在圆内. 圆上的点到定点的最大、最小距离：设圆心到定点的距离为,圆的半径为,圆上的动点为，则. 知识点3：圆的一般方程 1．圆的一般方程 当时,方程表示一个圆．我们把方程叫做圆的一般方程． 2．对方程的说明 对方程配方得，与0的大小关系对方程图形的影响如下表： 条件 图形 不表示任何图形 表示一个点 表示以为圆心,以为半径的圆 知识点4：直线与圆的位置关系 位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 2个 1个 0个 判定方法 几何法：设圆心到直线的距离 代数法：由消元得到一元二次方程，判别式为 图形 知识点5：圆与圆的位置关系 圆与圆的位置关系的判定方法有几何法和代数法两种，如下表： 位置关系 几何法 代数法 图示 外离 外切 相交 内切 内含 【题型01 求圆的方程】 1．以为圆心，且过点的圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 2．已知的三个顶点分别为，则的外接圆的方程为（   ） A． B． C． D． 3．已知，，则以为直径的圆的一般方程为（    ） A． B． C． D． 4．在中，为坐标原点，、，则内切圆的标准方程为 . 5．已知圆的圆心在直线上，且圆与轴的交点分别为，，则圆的方程为 ． 6．求经过圆与圆的交点，且圆心在直线：上的圆的方程． 【题型02 直线与圆的位置关系】 7．已知直线，圆，则直线和圆的位置关系为（   ） A．相交 B．相离 C．相切 D．无法确定 8．（多选）过点的直线与圆有公共点，则直线l的斜率可以是（    ） A． B．2 C． D． 9．已知圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 10．若圆：上有且仅有个点到直线：的距离为，则实数的值是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 11．已知曲线与直线有两个公共点，那么实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型03 圆与圆的位置关系】 12．圆与圆的位置关系为（   ） A．相交 B．外切 C．外离 D．内含 13．在平面直角坐标系中，已知圆与圆，则两圆的公切线的条数是 ． 14．圆与圆相交，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 15．已知与相交，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 16．已知圆与圆内切，则的最大值为（   ） A．1 B． C．2 D． 17．求过直线和圆的交点，且过原点的圆方程． 18．已知圆经过点. (1)求圆的半径和圆心的坐标； (2)若圆与圆相切，求. 【题型04 弦长问题】 19．已知直线与轴、轴分别交于两点，与圆交于两点，且，则（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 20．过作直线与圆交于，两点，则的最小值为 . 21．直线：被圆：所截得的弦长为 . 22．过原点的直线与圆交于，两点，设的面积为S，则S的最大值是 23．已知圆C经过点和，且圆心在直线上. (1)求圆C的方程； (2)过点作直线L与圆C交于两点，如果，求直线L的方程. 24．在平面直角坐标系xOy中，曲线与x轴交于A，B两点，点C的坐标为，当实数m变化时，解答下列问题： (1)能否出现的情况，并说明理由； (2)证明过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值，并求出该定值. 【题型05 公共弦问题】 25．圆与圆的公共弦所在的直线被圆所截得的弦长为（    ） A． B． C．5 D． 26．若直线l过点，且与和的公共弦平行，则直线l的方程为 ． 27．已知圆和圆相交，则两圆的公共弦长是 ；若点在两圆的公共弦所在直线上，则的最小值为 ． 28．已知圆与圆相交于、两点，若四边形的面积为，则（    ） A．2 B．4 C． D． 29．已知圆的圆心在直线上，且圆与直线相切于点． (1)求圆的方程； (2)过圆外一点向圆引两条切线，切点为、，求经过两切点的直线方程． 30．已知圆，圆． (1)若圆与圆恰有条公切线，求实数的取值范围； (2)当时，圆与圆相交于两点，求四边形的面积． 【题型06 切线问题与公切线问题】 31．过圆上一点作圆的切线，则的方程为（   ） A． B． C． D． 32．过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（   ） A． B． C． D． 33．点P在直线上运动，从点P向圆引切线，则切线长的最小值为 . 34．写出与圆和都相切的一条直线的方程 . 35．已知为直线上一点，过作圆的切线，则最短切线长为 ． 36．如图，是两圆轮叠靠在墙边，已知两轮半径分别为2和1，则它们与墙的切点A，B间的距离为 . 37．已知圆的圆心在直线上，圆与直线相交于两点，且． (1)求圆的方程； (2)已知直线过点且与圆相切，求直线的方程． 【题型07 与圆有关的轨迹问题】 38．已知两定点，，动点与的距离之比，那么点的轨迹是阿波罗尼斯圆，若其方程为，则的值为（    ） A． B． C．0 D．4 39．在平面直角坐标系中，已知点，若动点P满足，则点P的轨迹为（   ） A．椭圆 B．圆 C．射线 D．直线 40．已知圆，是圆上的动点，点，若动点满足，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 41．设为圆上的动点，是圆的切线，且，则点的轨迹方程是 . 42．点在动直线上的投影为点M，若点，那么的最小值为 . 43．已知圆O：，直线l：，点，点P在圆O上运动，点Q满足（O为坐标原点），则点Q到直线l距离的最大值为 . 44．已知，两点． (1)求以线段为直径的圆的标准方程； (2)若动点满足为的中点，求点的轨迹方程. 【题型08 与圆有关的范围与最值问题】 45．在平面直角坐标系中，直线与圆交于两点，且的面积为1，已知是圆上的动点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 46．已知，，点P满足，点Q在圆上运动，点M在直线上运动，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 47．已知直线经过圆的圆心，则的最小值为（   ） A． B． C．0 D．1 48．已知圆C：，若圆上存在两个不同的点A，B满足（O为坐标原点），则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 49．已知，是圆上的两个不同的点，若，则的最大值是 . 50．平面内有A、B、C、D四点，任意三点不共线，且，若分别是、的角平分线，线段的最大值为 ． 【题型09 直线与圆的新定义问题】 51．对于两条平行直线和圆的位置关系定义如下：若两直线中至少有一条与圆相切，则称该位置关系为“平行相切”：若两直线都与圆相离，则称该位置关系为“平行相离”：否则称为“平行相交”.已知直线，与圆的位置关系是“平行相交”，则实数的取值范围是（    ） A．且 B． C． D． 52．在平面直角坐标系中，已知点和，定义为“曼哈顿距离”.若，且，则点的轨迹所围成图形的面积为 ；若为圆上任意一点，则最大值是 . 53．已知点，，定义为，的“对称距离”．若点，在圆：上，则，的“对称距离”的最小值为（   ） A．2 B． C． D． 一、单选题 1．若直线 与圆 相切，则 （     ） A． B． C．3 D．2 2．已知直线，圆，则直线与圆的位置关系是（   ） A．相交 B．相离 C．相切 D．无法确定 3．已知圆C：，直线与圆C交于A，B两点，点P在圆C上，且，，则（   ） A． B． C． D．4 4．已知圆C：，定点，点A为圆C上任意一点，若点P满足，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 5．已知圆，．若圆上存在点，使得，则的值可能为（　　） A．2 B． C． D．5 6．阿波罗尼斯是古希腊著名的数学家，他在《平面轨迹》中提出，平面内到两定点距离之比为非1定值的点的轨迹是圆（后人称为“阿氏圆”）.已知在平面Oxy内，，，，且，则当取得最小值时，点的坐标是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 7．已知直线与圆，设点，则下列说法正确的是（   ） A．若点在直线上，则直线与圆相切 B．若点在圆外，则直线与圆相离 C．若点在圆内，且异于原点，则直线与圆相离 D．若点在圆上，则直线与轴，轴围成的三角形面积的最小值为1 8．瑞士著名数学家欧拉在1765年提出：三角形的外心，重心，垂心位于同一直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.若的三个顶点坐标分别为，其“欧拉线”为，圆，则下列正确的是（    ） A．过作圆的切线，切点为，则的最小值为 B．若直线被圆截得的弦长为2，则 C．若，则圆上有且只有两个点到的距离为 D．当时，圆与圆的公切线有3条 三、填空题 9．过，，三点圆的方程为 . 10．已知圆，直线，点在直线上运动，直线，分别与圆相切于点，，则四边形的面积最小值为 . 11．若分别为圆，与圆上的动点，为直线上的动点，则的最小值为 . 四、解答题 12．已知圆. (1)若的坐标为，求过点与圆C相切的直线方程； (2)直线与圆交于两点，求的取值范围（为坐标原点）. 13．已知圆的圆心在坐标原点，且与直线相切． (1)过点作直线与圆相交，相交弦长为，求此直线的方程； (2)若与直线垂直的直线与圆交于不同的两点，，若为钝角，求直线的纵截距的取值范围． 14．已知圆心在直线上的圆经过点，且与直线相切． (1)求圆的标准方程； (2)设为直线上的点，若过点引圆的切线，切点分别为和，且满足，试求所有满足条件的点的坐标． 15．设是平面上两个定点，则满足（其中为常数，且）的点的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故被称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知，且，此时，点的轨迹记为圆． (1)求圆的方程； (2)若直线． （i）证明：直线恒过定点； （ii）若点在圆上，直线与圆交于两点，当弦的长度最短时，求面积的最大值． 9 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 圆与方程9大题型 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 举一反三：核心考点能举一反三，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点1：圆的标准方程 1．圆的定义 圆是平面上到定点的距离等于定长的点的集合． 2．圆的标准方程 我们把方程称为圆心为,半径为r的圆的标准方程． 3．几种特殊位置的圆的标准方程 条件 方程形式 过原点 圆心在原点 圆心在x轴上 圆心在y轴上 圆心在x轴上且过原点 圆心在y轴上且过原点 与x轴相切 与y轴相切 知识点2：点与圆的位置关系 点与圆的位置关系： （1）点在圆外； （2）点在圆上； （3）点在圆内. 圆上的点到定点的最大、最小距离：设圆心到定点的距离为,圆的半径为,圆上的动点为，则. 知识点3：圆的一般方程 1．圆的一般方程 当时,方程表示一个圆．我们把方程叫做圆的一般方程． 2．对方程的说明 对方程配方得，与0的大小关系对方程图形的影响如下表： 条件 图形 不表示任何图形 表示一个点 表示以为圆心,以为半径的圆 知识点4：直线与圆的位置关系 位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 2个 1个 0个 判定方法 几何法：设圆心到直线的距离 代数法：由消元得到一元二次方程，判别式为 图形 知识点5：圆与圆的位置关系 圆与圆的位置关系的判定方法有几何法和代数法两种，如下表： 位置关系 几何法 代数法 图示 外离 外切 相交 内切 内含 【题型01 求圆的方程】 1．以为圆心，且过点的圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题可知，，所以圆的半径， 又以为圆心，所以圆的标准方程为：， 故选：D． 2．已知的三个顶点分别为，则的外接圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设所求圆的方程是. 已知的三个顶点分别为， 因为， 且，所以是直角三角形， 所以的斜边的中点，即为外接圆的圆心， 斜边的一半即为外接圆的半径，即， 所以的外接圆的方程为. 故选：D 3．已知，，则以为直径的圆的一般方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，，所以圆心为， 即，，所以圆的半径为， 所以圆的标准方程为，所以圆的一般方程为. 故选：A. 4．在中，为坐标原点，、，则内切圆的标准方程为 . 【答案】 【详解】由题意可知，直线的方程为，即， 由题意可知的角平分线所在直线的方程为，如下图所示：    设内切圆圆心为，则圆的半径为， 所以圆心到直线的距离为， 整理可得，因为，解得， 故圆心为，圆的半径为， 所以内切圆的标准方程为. 故答案为：. 5．已知圆的圆心在直线上，且圆与轴的交点分别为，，则圆的方程为 ． 【答案】 【详解】设圆的方程为，圆心坐标为， 因为圆的圆心在直线上， 所以， 因为圆与轴的交点分别为，， 所以， 所以有， 所以圆的方程为. 故答案为： 6．求经过圆与圆的交点，且圆心在直线：上的圆的方程． 【答案】 【详解】过两圆和交点的圆系方程可设为： （注：时表示两圆公共弦所在直线）， 整理得，两边同除得： ， 因此所求圆的圆心为，由已知所求圆的圆心在直线：上， ，解得， 代入圆系方程，则所求圆的方程为． 【题型02 直线与圆的位置关系】 7．已知直线，圆，则直线和圆的位置关系为（   ） A．相交 B．相离 C．相切 D．无法确定 【答案】A 【详解】由，可得直线恒过定点， 由圆的标准方程为，可得圆心为，半径， 因为，所以点在圆内， 直线和圆相交． 故选：A． 8．（多选）过点的直线与圆有公共点，则直线l的斜率可以是（    ） A． B．2 C． D． 【答案】AD 【详解】法一：由题意，直线l的斜率存在，且设为k，则直线l的方程为， 因为直线与圆有公共点， 所以联立，得， 判别式，解得. 法二：设直线l的方程为，即， 因为直线与圆有公共点， 则，解得. 故选：AD 9．已知圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意，圆的圆心为，半径， 圆心到直线，即的距离， 由圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个， 得，即， 解得或． 故选：C． 10．若圆：上有且仅有个点到直线：的距离为，则实数的值是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【详解】圆：的圆心，半径， 由圆上有且仅有个点到直线的距离为，得圆心到直线的距离为， 则，解得或. 故选：D. 11．已知曲线与直线有两个公共点，那么实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意得，变形得到， 故曲线轨迹为以为圆心，2为半径的上半圆， 而恒过定点，把半圆和直线画出，如下： 当过点时，满足两个相异的交点， 且此时取得最大值，最大值为， 当与相切时， 由到直线距离等于半径可得，解得， 故要想曲线与直线有两个相异的交点， 则，故D正确. 故选：D 【题型03 圆与圆的位置关系】 12．圆与圆的位置关系为（   ） A．相交 B．外切 C．外离 D．内含 【答案】A 【详解】圆的标准方程为，圆心，半径， 圆的标准方程为，圆心，半径， 因为，所以， 即，所以圆与圆相交. 故选：A. 13．在平面直角坐标系中，已知圆与圆，则两圆的公切线的条数是 ． 【答案】4 【详解】由圆的方程，即可知圆的圆心为，半径为； 由圆的方程，即可知圆的圆心为，半径为. 所以两圆的圆心距为， 而，所以圆与圆外离， 则两圆的公切线的条数是4. 故答案为：4. 14．圆与圆相交，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为圆的圆心为，半径， 圆的圆心为，半径， 所以圆心距， 又圆与圆相交，所以， 即，又，所以解得：， 故选：C. 15．已知与相交，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】的标准方程为， 圆心，半径， 的标准方程为， 圆心，半径，则，解得或， ， 两圆相交， ， 恒成立，则只需满足， ，化简得，解得或， 综上，的取值范围为，故A正确． 故选：A． 16．已知圆与圆内切，则的最大值为（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【详解】将两圆的方程化为标准方程为，， 所以圆的圆心坐标为，半径为，圆的圆心坐标为，半径为， 由两圆内切得到，则，即， 因为， 所以，当且仅当时，右边等号成立，当且仅当时，左边等号成立， 所以的最大值为. 故选：D. 17．求过直线和圆的交点，且过原点的圆方程． 【答案】 【详解】设所求圆的方程为：， 即， 因为所求圆过原点，所以，得， 故所求圆的方程为：． 18．已知圆经过点. (1)求圆的半径和圆心的坐标； (2)若圆与圆相切，求. 【答案】(1)圆的半径为2，圆心的坐标为. (2)或. 【分析】 【详解】（1）设圆. 由题意得，解得， 所以圆，配方得圆. 故圆的半径为2，圆心的坐标为. （2）由题意得圆的半径为，圆心的坐标为， 由两点间距离公式可得， 当圆与圆内切时，，解得， 当圆与圆外切时，，解得， 所以或. 【题型04 弦长问题】 19．已知直线与轴、轴分别交于两点，与圆交于两点，且，则（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【详解】易知，所以， 且，圆的半径为，则到的距离为， 所以， 由知. 故选：C 20．过作直线与圆交于，两点，则的最小值为 . 【答案】2 【详解】由于，故点在圆内， 设圆心到直线的距离为d，则， 当时，d取最大值，此时， 则的最小值为， 故答案为：2 21．直线：被圆：所截得的弦长为 . 【答案】 【详解】由题意可知圆的圆心为，半径， 则圆心到直线的距离， 故直线被圆所截得的弦长为. 故答案为： 22．过原点的直线与圆交于，两点，设的面积为S，则S的最大值是 【答案】 【详解】由题意可知圆心，半径， 设，则圆心到l的距离为，即， 所以， 则 令，显然，即，当时取得最大值. 故答案为： 23．已知圆C经过点和，且圆心在直线上. (1)求圆C的方程； (2)过点作直线L与圆C交于两点，如果，求直线L的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】 【详解】（1）因为A，B的中点为， 故AB的垂直平分线所在的直线方程为， 由解得，故圆心为， 半径，故圆C的方程为； （2）当直线L斜率不存在时，直线L的方程为， 此时直线L与圆C交于，此时，符合题意； 当直线L斜率存在时，设直线L的方程为，即， 由，可得圆心到直线L的距离为， 解得， 故直线L的方程为或. 24．在平面直角坐标系xOy中，曲线与x轴交于A，B两点，点C的坐标为，当实数m变化时，解答下列问题： (1)能否出现的情况，并说明理由； (2)证明过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值，并求出该定值. 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【分析】 【详解】（1）总能出现，理由如下： 在中，令，得， 因为， 所以曲线一定与横轴有两个不同的交点， 设，， 因此， 于是有， 所以， 所以总能出现. （2）因为， 所以过A，B，C三点的圆的圆心为的中点，设为点， 由中点坐标公式可得，即， 所以圆的半径为， 所以圆的标准方程为， 在中， 令，得， 所以过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为，是定值. 【题型05 公共弦问题】 25．圆与圆的公共弦所在的直线被圆所截得的弦长为（    ） A． B． C．5 D． 【答案】A 【详解】圆的圆心，半径，圆圆心， 半径，圆的圆心，半径， ，因此圆与圆相交，将两圆方程相减得公共弦所在直线方程：， 圆心到直线的距离， 因此所求弦长为. 故选：A 26．若直线l过点，且与和的公共弦平行，则直线l的方程为 ． 【答案】 【详解】将两圆的方程和作差， 公共弦所在的直线方程为，整理得. 因为直线l与公共弦平行，所以可设直线l的方程为， 因为直线l过点，将的坐标代入l的方程可得，解得， 所以直线l的方程为. 故答案为：. 27．已知圆和圆相交，则两圆的公共弦长是 ；若点在两圆的公共弦所在直线上，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】圆和圆，两圆方程相减，得，化简得， 两圆的公共弦所在直线方程为， 又圆，其圆心坐标，半径， 圆心坐标到公共弦所在直线方程为的距离为， 两圆的公共弦长为， 点在两圆的公共弦所在直线上，，即， ， 又，故，根据均值不等式，得， 当且仅当时，即，等号成立. 的最小值为. 故答案为：；. 28．已知圆与圆相交于、两点，若四边形的面积为，则（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【详解】圆，即， 则圆心为，半径为1，， 设，由题意可知，为的中点，，， 故四边形的面积为， 则，故， 所以， 所以， 又因为， 所以，得，解得， 因此． 故选：D． 29．已知圆的圆心在直线上，且圆与直线相切于点． (1)求圆的方程； (2)过圆外一点向圆引两条切线，切点为、，求经过两切点的直线方程． 【答案】(1)； (2). 【分析】 【详解】（1）∵圆的圆心在直线上， 且圆与直线相切于点， ∴设圆心坐标为，则，解得，∴圆心， 半径， 故圆的方程为. （2）由于过圆外一点向圆引两条切线切点为、， 则、是以为直径的圆与圆的交点， 则经过、两切点的直线方程即为这两个圆的公共弦方程． 由于，以为直径的圆的方程为：，整理得：． 联立，则， 所以经过、两切点的直线方程为. 30．已知圆，圆． (1)若圆与圆恰有条公切线，求实数的取值范围； (2)当时，圆与圆相交于两点，求四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）因为圆与圆恰有条公切线， 所以圆与圆相交， 又圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径 所以， 故，所以， 解得； （2）当时，圆的方程可化成， 所以， 所以， 因为圆与圆相交于两点， 所以所在的直线方程为， 化简得：， 所以到直线的距离为， 所以， 又， 所以四边形的面积为 【题型06 切线问题与公切线问题】 31．过圆上一点作圆的切线，则的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】圆的圆心为，则直线的斜率， 因为过圆上一点的切线与该点和圆心所在的直线垂直，即， 所以，则切线的斜率， 所以直线的方程为，即. 故选：C. 32．过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】圆可化为，则圆心，半径为； 设，切线为、，则， 中，， 所以． 所以， 故选：D 33．点P在直线上运动，从点P向圆引切线，则切线长的最小值为 . 【答案】 【详解】由题意得圆的圆心为， 将化为一般方程，可得， 在直线上取一点P，过P向圆引切线，设切点为A．连接， 如图，作出符合题意的图形， 在中，．要使最小，则应最小． 又当与直线垂直时，最小，其最小值为， 故由勾股定理得的最小值为．   故答案为：. 34．写出与圆和都相切的一条直线的方程 . 【答案】，，，(写一条即可） 【详解】圆的圆心为，， 圆的圆心为，， 圆心距， 两圆外离，因此存在四条公切线. 设所求直线的方程为 ，化为一般式为：， 依题意得：， 解得：或或或， 故公切线方程为：，，，. 故答案为：，，，（写一条即可）. 35．已知为直线上一点，过作圆的切线，则最短切线长为 ． 【答案】 【详解】依题意，圆的圆心，半径，过点P作圆C的切线为切点， 连接，如图3：显然，在中，， 因此，要切线长最短，当且仅当线段长最短即可， 而线段长是定点C与直线l上任意一点P之间的距离， 于是得线段长的最小值是点C到直线l的距离d， 而，因此，， 所以切线长最短为． 故答案为：． 36．如图，是两圆轮叠靠在墙边，已知两轮半径分别为2和1，则它们与墙的切点A，B间的距离为 . 【答案】 【详解】如图所示，因为圆与圆相外切，所以连接，则. 延长，交直线于点. ，所以，所以点分别为的中点. 所以，所以，所以. 故答案为： 37．已知圆的圆心在直线上，圆与直线相交于两点，且． (1)求圆的方程； (2)已知直线过点且与圆相切，求直线的方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】 【详解】（1）由圆的方程得圆心， 因为圆心在直线上，所以，解得， 故圆心坐标为， 取中点为，连接，所以， 圆心到直线的距离， 因为，所以， 在直角中，，即， 所以圆的方程为. （2）当直线斜率不存在时，直线方程为，圆心到直线的距离为， 此时直线与圆相切，符合题意； 当直线斜率存在时，设直线斜率为，则直线方程为，即， 若直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径， 即，解得， 所以直线的方程为，即. 综上，直线的方程为或. 【题型07 与圆有关的轨迹问题】 38．已知两定点，，动点与的距离之比，那么点的轨迹是阿波罗尼斯圆，若其方程为，则的值为（    ） A． B． C．0 D．4 【答案】B 【详解】设阿波罗尼斯圆的圆心为，半径为， 因为阿波罗尼斯圆方程为，所以. 因为，，所以， 代入阿氏圆的常用公式，可得，又，解得. 又由阿氏圆的常用公式，可得. 所以． 故选：B 39．在平面直角坐标系中，已知点，若动点P满足，则点P的轨迹为（   ） A．椭圆 B．圆 C．射线 D．直线 【答案】B 【详解】设动点，则，， 因为，所以， 则，即， 所以点的轨迹就是以圆心为，半径为2的圆. 故选：B 40．已知圆，是圆上的动点，点，若动点满足，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设点，由，得为线段中点，则点， 而点在圆上，因此，即， 所以点的轨迹方程为. 故选：B 41．设为圆上的动点，是圆的切线，且，则点的轨迹方程是 . 【答案】 【详解】圆的圆心为，半径， 由切圆于点，得，而，则， 即，因此点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆， 所以点的轨迹方程是. 故答案为： 42．点在动直线上的投影为点M，若点，那么的最小值为 . 【答案】 【详解】因为直线即过定点， 因为点在动直线上的投影为点M， 所以，所以M的轨迹是以为直径的圆， 且圆心为，半径， 由得，点N在圆C的外部， 如图：   ， 故答案为：. 43．已知圆O：，直线l：，点，点P在圆O上运动，点Q满足（O为坐标原点），则点Q到直线l距离的最大值为 . 【答案】/8.8 【详解】设，由有， 所以，又点在圆上，所以， 即，所以点轨迹是以为半径，圆心为的圆， 由圆心到直线的距离为， 所以点到直线的距离的最大值为：， 故答案为：. 44．已知，两点． (1)求以线段为直径的圆的标准方程； (2)若动点满足为的中点，求点的轨迹方程. 【答案】(1) (2)．（除两点）. 【分析】 【详解】（1）因为为直径，则的中点为， 所以圆心为， 半径， 所以圆的标准方程为. （2）设， 因为，是线段的中点， 由中点坐标公式得， 所以， （1）知，点的轨迹方程为， 将代入得， 即. 又∵，∴， ∴动点的轨迹方程为．（除两点）. 【题型08 与圆有关的范围与最值问题】 45．在平面直角坐标系中，直线与圆交于两点，且的面积为1，已知是圆上的动点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】圆的方程可化为， 所以圆的圆心坐标为，半径. 设圆心到直线的距离为，根据的面积为1， 得，即，所以，即. 设的中点为，则，， 因为，所以 . 由，得, 的最大值为圆心到直线的距离加上圆的半径， 即，所以的最大值为. 故选：B 46．已知，，点P满足，点Q在圆上运动，点M在直线上运动，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设，由得，， 整理得，所以点P在以为圆心，半径为2的圆上． 点Q在圆上运动，该圆的圆心为，半径为1，如图， 有图可知，当，时，才有可能取得最小值， 设圆与圆关于直线对称，则， 连接，则， 当C，M，三点共线时，取得最小值． 设，则，解得，即， 所以，则的最小值为． 故选：C 47．已知直线经过圆的圆心，则的最小值为（   ） A． B． C．0 D．1 【答案】A 【详解】圆变形可得，圆心为， 因为直线经过圆心， 所以，即， 所以， 所以当时，的最小值为. 故选：A 48．已知圆C：，若圆上存在两个不同的点A，B满足（O为坐标原点），则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设AB的中点为，连接，因为，所以， 所以，所以， 由得， 所以， 又，当且仅当三点共线时，等号成立， 所以，即，解得， 所以实数m的取值范围是.    故选：D 49．已知，是圆上的两个不同的点，若，则的最大值是 . 【答案】 【详解】由题知，圆的圆心坐标，半径为2，因为，所以． 设为的中点，所以，所以点的轨迹方程为． 即点的轨迹是以为圆心半径为的圆. 设点到直线的距离分别为， 所以，，， 所以． 因为点到直线的距离为，所以， 即，所以． 所以的最大值为18． 故答案为：18 50．平面内有A、B、C、D四点，任意三点不共线，且，若分别是、的角平分线，线段的最大值为 ． 【答案】4 【详解】由可知E点在线段上，且 结合，知； 以点E为坐标原点，以直线为x轴，过点E作垂线为y轴，如图建立平面直角坐标系， 则， 由于CE是的角平分线，故，即， 设，则， 化简得，即点C在以为圆心，半径为2的圆上（不包括轴上的点）， 同理可得点D也在以为圆心，半径为2的圆上（不包括轴上的点）， 则当位于圆的直径的两端时，线段取到最大值，最大值为4， 故答案为：4 【题型09 直线与圆的新定义问题】 51．对于两条平行直线和圆的位置关系定义如下：若两直线中至少有一条与圆相切，则称该位置关系为“平行相切”：若两直线都与圆相离，则称该位置关系为“平行相离”：否则称为“平行相交”.已知直线，与圆的位置关系是“平行相交”，则实数的取值范围是（    ） A．且 B． C． D． 【答案】A 【详解】依题意，直线与平行， 则，解得或， 当时，直线与直线重合，舍去；当时，，符合题意. 由圆可得其标准方程为， 由与圆相切，可得， 由与圆相切，可得， 当、与圆都相离时，则， 故当直线、与圆的位置关系是“平行相交”时，实数应满足， 故实数的取值范围是且. 故选：A. 52．在平面直角坐标系中，已知点和，定义为“曼哈顿距离”.若，且，则点的轨迹所围成图形的面积为 ；若为圆上任意一点，则最大值是 . 【答案】 【详解】由题设， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 由，可得，则， 由，可得，则， 由，可得，则， 由，可得，则， 所以点的轨迹所围成图形如下图示， 轨迹是边长为的正方形，故其面积为8， 由图及以上分析知，直线上的线段存在点到圆上点的距离最大， 由的圆心为，半径，则到的距离为， 而到的距离为，到的距离为，显然， 综上，线段上到圆上点的最大距离. 故答案为：8， 53．已知点，，定义为，的“对称距离”．若点，在圆：上，则，的“对称距离”的最小值为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【详解】点，的“对称距离”， 相当于点关于直线：的对称点与点的距离， 所以当点，在圆上时，点在圆关于的对称圆上， 又圆心到直的距离，所以圆与相离，从而圆与圆外离． 所以，的“对称距离”的最小值，即为两圆上的点，的距离的最小值， 也即点到的距离的最小值的两倍， 其中点到的距离最小值为圆心到直的距离减去半径，即， 所以所求最小值为． 故选：D 一、单选题 1．若直线 与圆 相切，则 （     ） A． B． C．3 D．2 【答案】C 【详解】由配方得，则圆心为,半径为, 因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，则, 即，解得. 故选：C. 2．已知直线，圆，则直线与圆的位置关系是（   ） A．相交 B．相离 C．相切 D．无法确定 【答案】A 【详解】由题意知圆的圆心为，半径为， 因为圆心到直线的距离，所以直线和圆相交. 故选：A. 3．已知圆C：，直线与圆C交于A，B两点，点P在圆C上，且，，则（   ） A． B． C． D．4 【答案】B 【详解】    圆C：，半径，取中点M，则， 记，， 所以， 在中，由勾股定理，， 由极化恒等式，， 代入消元得：. 故选：B 4．已知圆C：，定点，点A为圆C上任意一点，若点P满足，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设，，由得：， 即，解得：，即， 又因为点A为圆C上任意一点，所以， 化简整理得：．故点P的轨迹是以为圆心，为半径的圆， C点坐标， 而的取值范围为，经计算易知. 故选：A． 5．已知圆，．若圆上存在点，使得，则的值可能为（　　） A．2 B． C． D．5 【答案】D 【详解】圆的圆心为，半径， 设，因为，即， 整理可得， 可知点的轨迹是以为圆心，半径的圆， 由题意可知：圆与圆有公共点，则， 可得，解得或， 所以实数的取值范围为，结合选项可知ABC错误，D正确. 故选：D． 6．阿波罗尼斯是古希腊著名的数学家，他在《平面轨迹》中提出，平面内到两定点距离之比为非1定值的点的轨迹是圆（后人称为“阿氏圆”）.已知在平面Oxy内，，，，且，则当取得最小值时，点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以， 当且仅当点在线段上时，等号成立. 设.因为，所以， 所以，即. 因为，，所以直线的方程为. 由得或 因为在线段上，所以，则的坐标为. 故选：A 二、多选题 7．已知直线与圆，设点，则下列说法正确的是（   ） A．若点在直线上，则直线与圆相切 B．若点在圆外，则直线与圆相离 C．若点在圆内，且异于原点，则直线与圆相离 D．若点在圆上，则直线与轴，轴围成的三角形面积的最小值为1 【答案】ACD 【详解】由题意得圆的圆心为，半径， 圆心到直线的距离， 选项A： 点在直线上，则，此时， 直线与圆相切，故A正确. 选项B： 点在圆外，则，此时， 直线与圆相交，故B错误. 选项C： 点在圆内，则，此时， 直线与圆相离，故C正确. 选项D： 点在圆上，则. 直线与轴交于（），与轴交于（）， 围成三角形的面积为. 由，得，故， 当且仅当时取等号，面积最小值为1，故D正确. 故选：ACD 8．瑞士著名数学家欧拉在1765年提出：三角形的外心，重心，垂心位于同一直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.若的三个顶点坐标分别为，其“欧拉线”为，圆，则下列正确的是（    ） A．过作圆的切线，切点为，则的最小值为 B．若直线被圆截得的弦长为2，则 C．若，则圆上有且只有两个点到的距离为 D．当时，圆与圆的公切线有3条 【答案】ACD 【详解】依题意，的重心，直线斜率，边上的高所在直线方程为 ，即，直线斜率，边上的高所在直线方程为 ，即，由，解得，即的垂心， 欧拉线的斜率，方程为，即，圆心，半径， 对于A，，当且仅当时取等号，A正确； 对于B，直线被圆截得的弦长为2，则圆心到直线的距离，解得，B错误； 对于C，当时，圆心到直线的距离， 因此圆上有且只有两个点到的距离为，C正确； 对于D，当时，圆心，而圆的圆心， 半径，，则圆与圆外切，有3条公切线，D正确. 故选：ACD 三、填空题 9．过，，三点圆的方程为 . 【答案】（或）（两种形式均正确） 【详解】设所求圆的方程为， 由已知三点在圆上，， 解得， 所以圆的方程为，即. 故答案为：（或）（两种形式均正确）. 10．已知圆，直线，点在直线上运动，直线，分别与圆相切于点，，则四边形的面积最小值为 . 【答案】 【详解】由题意有：圆，半径为， 所以四边形的面积为：， 当最小时，四边形的面积最小， 又点到直线的距离为：， 所以， 所以四边形的面积最小值为， 故答案为：. 11．若分别为圆，与圆上的动点，为直线上的动点，则的最小值为 . 【答案】/ 【详解】由圆，可得圆心，半径为， 又由，可得圆心，半径为， 设圆心关于直线的对称点为，可得， 因为关于，则， 则， 因为，所以， 当且仅当三点共线时，取等号，所以的最小值为. 故答案为：. 四、解答题 12．已知圆. (1)若的坐标为，求过点与圆C相切的直线方程； (2)直线与圆交于两点，求的取值范围（为坐标原点）. 【答案】(1)或 (2) 【分析】 【详解】（1）圆的圆心为，半径，过点的切线， 若切线的斜率不存在，则直线方程为，符合题意； 若切线的斜率存在，设切线方程为，即 则根据相切可得：，即，解得， 所以切线方程为，即； 即过点的切线方程为或， （2） 由，得， 整理可得：， 设， 由，解得 则， 所以 ， 即， 因为， 所以， 即的取值范围为. 13．已知圆的圆心在坐标原点，且与直线相切． (1)过点作直线与圆相交，相交弦长为，求此直线的方程； (2)若与直线垂直的直线与圆交于不同的两点，，若为钝角，求直线的纵截距的取值范围． 【答案】(1)或 (2)且 【分析】 【详解】（1）由题意得，圆心到直线：的距离为圆的半径长， 所以 所以圆的方程为． ①当直线斜率不存在时，过点的直线为，代入圆方程可解得，所以弦长为，满足题意； ②当直线斜率存在时，设直线方程为，即 由弦长公式可得，圆心到直线的距离为. 圆心到直线的距离，解得， 此时，即. 所以所求直线方程为或； （2）因为直线的斜率为1且，所以直线的斜率为， 设直线的方程为. 与圆的方程联立，整理得． 设，，则，是方程的两个不同的根， 所以，即，解得. 所以，， ， ， 因为为钝角，所以，又，， 所以 ，解得． 当时，与反向共线，直线经过，此时，不符合题意，应舍去. 综上，直线的纵截距的取值范围是且． 14．已知圆心在直线上的圆经过点，且与直线相切． (1)求圆的标准方程； (2)设为直线上的点，若过点引圆的切线，切点分别为和，且满足，试求所有满足条件的点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】 【详解】（1）设圆的标准方程为， 因为圆心在直线上，所以， 因为圆经过点，所以， 因为圆与直线相切，所以， 联立，解得， 所以圆的标准方程为. （2）因为，由对称性可知， 所以， 且在直线上， 设，所以， 解得或， 所以点的坐标为或.    15．设是平面上两个定点，则满足（其中为常数，且）的点的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故被称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知，且，此时，点的轨迹记为圆． (1)求圆的方程； (2)若直线． （i）证明：直线恒过定点； （ii）若点在圆上，直线与圆交于两点，当弦的长度最短时，求面积的最大值． 【答案】(1)； (2)（i）证明见解析；（ii） 【分析】 【详解】（1）设，则由得，整理得， 即圆的方程为. （2）（i）由直线，可得， 所以直线恒过直线与直线的交点， 由解得，即直线恒过定点； （ii）由（1）圆的方程为，即，圆心，半径. 设直线恒过的定点为N，则当时，弦最短， 由，所以直线的斜率为，方程为，即 此时圆心到直线的距离，弦长. 又点到直线的最大距离为， 所以 9 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $