专题04 圆与方程9考点（期中真题汇编，吉林专用）高二数学上学期人教A版选择性必修第一册

专题04 圆与方程 9大高频考点概览 考点01 求解圆的标准方程 考点02 圆的一般方程相关考点 考点03 点与圆的位置关系 考点04直线与圆位置关系的判断 考点05 由直线与圆的位置关系求参数 考点06 直线与圆位置关系求距离最值 考点07直线与圆弦长问题 考点08圆的切线问题 考点09 圆与圆的位置关系 地 城 考点01 求解圆的标准方程 1．(24-25高二上·吉林长春长春吉大附中实验学校·期中)若圆经过点，，且圆心在直线上，则圆的方程为（   ） A． B． C． D． 2．(23-24高二上·吉林实验中学·期中)过点，，的圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 3．(23-24高二上·吉林延边第二中学·期中)圆C：关于直线对称的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 4．(23-24高二上·吉林辽源西安区田家炳高级中学校·期中)圆心在直线上，且经过点，的圆的方程为 ． 5．(24-25高二上·吉林长春外国语学校·期中)在平面直角坐标系中，圆为过点，，的圆． (1)求圆的标准方程； (2)若点P的坐标是，点是圆上的一个动点，点满足，求点的轨迹方程，并说明轨迹的形状. 地 城 考点02 圆的一般方程相关考点 1．(24-25高二上·吉林通化集安第一中学·期中)若方程表示一个圆，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．(24-25高二上·吉林长春第八中学·期中)已知圆关于双曲线：的一条渐近线对称，则（   ） A． B． C． D． 3．(23-24高二上·吉林长春文理高中有限责任公司·期中)已知圆关于直线对称，则实数（    ） A． B． C． D．或 4．(24-25高二上·吉林长春外国语学校·期中)若方程表示圆，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．(23-24高二上·吉林辽源西安区田家炳高级中学校·期中)（多选）已知圆的方程为，下列结论正确的是（    ） A．该圆的面积为 B．点在该圆内 C．该圆与圆相离 D．直线与该圆相切 6．(24-25高二上·吉林白城第一中学·期中)在平面直角坐标系中，设二次函数的图像与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C. (1)求实数b的取值范围； (2)求圆C的方程； (3)请问圆C是否经过某定点（其坐标与b无关）？请证明你的结论. 7．(23-24高二上·吉林通化梅河口第五中学·期中)在坐标平面中，三个顶点坐标分别为，， （1）求中边上中垂线的一般方程； （2）求中角平分线的一般方程； （3）求外接圆的一般方程. 地 城 考点03 点与圆的位置关系 1．已知圆，则下列点在圆C内的是（    ） A． B． C． D． 2．(24-25高二上·吉林·期中)若点在圆的外部，则正实数的取值范围是 . 3．(23-24高二上·吉林延边第二中学·期中)在平面直角坐标系中，已知四点. (1)求过三点的圆方程，并判断点与圆的位置关系； (2)过点的直线被圆截得的弦长为4，求直线的方程. 地 城 考点04 直线与圆位置关系的判断 1．(24-25高二上·吉林长春第八中学·期中)“”是直线与圆相切的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．(24-25高二上·吉林通化集安第一中学·期中)（多选）已知曲线，则（    ） A．关于轴对称 B．C关于原点对称 C．的周长为 D．直线与有个交点 3．(23-24高二上·吉林长春文理高中有限责任公司·期中)（多选）下列直线中，与圆相切的有（     ） A． B． C． D． 4．(23-24高二上·吉林长春文理高中有限责任公司·期中)直线绕原点按逆时针方向旋转后所得的直线与圆的位置关系是 . 地 城 考点05 由直线与圆的位置关系求参数 1．(23-24高二上·吉林实验中学·期中)已知圆，点是直线上的动点，若圆上总存在不同两点，，使得直线垂直平分线段，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．(24-25高二上·吉林通化集安第一中学·期中)若直线与曲线C：有两个不同的公共点，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．(24-25高二上·吉林四平·期中)（多选）直线与曲线恰有两个交点，则实数的值可能是（    ） A．4 B．5 C．3 D． 4．(24-25高二上·吉林四平普通高中·期中)（多选）直线与曲线恰有两个交点，则实数的值可能是（    ） A．5 B．4 C． D．3 5．(23-24高二上·吉林实验中学·期中)若直线与圆相切，则 . 6．(24-25高二上·吉林松原吉林油田高级中学·期中)在平面直角坐标系xOy中，设直线与圆交于A，B两点，为坐标原点，若圆上一点满足，则 . 7．(24-25高二上·吉林长春东北师范大学附属中学·期中)已知圆，圆，直线上存在点，过点向圆引两条切线和，切点是和，再过点向圆引两条切线和，切点是和，若，则实数的取值范围为 . 8．(24-25高二上·吉林普通高中友好学校联合体第三十九届期中联考·期中)已知圆的圆心在直线上，且过点，与直线相切. (1)求圆的标准方程； (2)设直线：（）与圆相交于不同两点，求实数的取值范围. 9．(24-25高二上·吉林四平普通高中·期中)已知圆过点且与直线相切于点，直线与圆交于不同的两点，． (1)求圆的方程； (2)若圆与轴的正半轴交于点，直线，的斜率分别为，，求证：是定值． 10．(23-24高二上·吉林长春文理高中有限责任公司·期中)0．在平面直角坐标系中，直线与圆相切，圆心的坐标为. (1)求圆的方程； (2)设直线与圆交于两点，且，求的值. 地 城 考点06 直线与圆位置关系求距离最值 1．若点P在直线上，点Q在圆上，则线段PQ长度的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．(24-25高二上·吉林长春外国语学校·期中)（多选）数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念、公式符号、推理论证、思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美.在平面直角坐标系中，曲线就是一条形状优美的曲线，对于此曲线，下列说法正确的有（    ） A．曲线围成的图形有4条对称轴 B．曲线C围成的图形的周长是 C．曲线C上的任意两点间的距离最大值是 D．若是曲线上任意一点，的最小值是 3．(23-24高二上·吉林通化梅河口第五中学·期中)（多选）已知直线 ， 则下列结论正确的是（    ） A．存在实数 ， 使得直线 与直线 垂直 B．存在实数 ， 使得直线 与直线 平行 C．存在实数 ， 使得点 A到直线 的距离为 4 D．存在实数 ， 使得以线段 为直径的圆上的点到直线 的最大距离为 4．(24-25高二上·吉林白城第一中学·期中)（多选）点是圆上的动点，则下面正确的有（    ） A．圆的半径为3 B．既没有最大值，也没有最小值 C．的范围是 D．的最大值为72 5．(23-24高二上·吉林辽源西安区田家炳高级中学校·期中)（多选）已知圆：，直线：，则（    ） A．直线在y轴上的截距为1 B．直线的倾斜角为 C．直线与圆有2个交点 D．圆上的点到直线的最大距离为 6．(24-25高二上·吉林延边朝鲜族延吉延边第二中学·期中)已知圆. (1)求的取值范围； (2)当取最小正整数时，若点为直线上的动点，过作圆的一条切线，切点为，求线段的最小值. 地 城 考点07 直线与圆弦长问题 1．(23-24高二上·吉林白城洮南第一中学·期中)已知在圆内，过点的最长弦和最短弦分别是和，则四边形的面积为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 2．(23-24高二上·吉林辽源西安区田家炳高级中学校·期中)直线截圆所得的弦长为，则的值为（    ） A．－1 B．1 C．3 D．－3 3．(24-25高二上·吉林长春第二实验中学·期中)已知圆，直线，截得圆弦长为2，则（    ） A． B． C． D． 4．(24-25高二上·吉林白城实验高级中学·期中)若a2＋b2＝2c2（c≠0），则直线ax＋by＋c＝0被圆x2＋y2＝1所截得的弦长为 A． B．1 C． D． 5．(24-25高二上·吉林松原吉林油田高级中学·期中)经过点且斜率为的直线与圆相交于两点，若，则的值为 . 6．(23-24高二上·吉林长春南关区长春实验中学·期中)已知点M（1，0）是圆C:内的一点，那么过点M的最短弦所在的直线方程是 ． 7．(24-25高二上·吉林长春第八中学·期中)已知圆经过点和，圆心在直线上.直线的方程为 (1)求圆的标准方程； (2)求直线被圆截得的弦长的最大值和最小值. 8．(24-25高二上·吉林普通高中·期中)已知圆经过点，且圆心在直线上． (1)求圆的标准方程； (2)若直线与圆的交点为，求． 9．(24-25高二上·吉林长春博硕学校·期中)已知圆，直线. (1)求证：直线恒过定点； (2)直线被圆截得的弦何时最短？并求截得的弦长最短时的值以及最短弦长； (3)在（2）的条件下，求以短弦长为直径的圆的方程. 10．(24-25高二上·吉林长春长春吉大附中实验学校·期中)已知直线与圆交于，两点，且. (1)求实数的值； (2)若点为直线上的动点，求的面积. 11．(24-25高二上·吉林四平·期中)已知圆的方程为． (1)求实数的取值范围； (2)若圆与直线交于M，N两点，且，求的值． 12．(24-25高二上·吉林白城实验高级中学·期中)已知圆，直线. (1)判断直线与圆的位置关系； (2)若直线与圆交于不同的两点，且，求直线的方程. 13．(24-25高二上·吉林长春外国语学校·期中)已知以点为圆心的圆与直线相切. (1)求圆A的方程； (2)过点的直线l与圆A相交于M、N两点, 当时，求直线l方程． 14．(23-24高二上·吉林长春农安县·期中)已知圆C过平面内三点、、， （1）求圆C的标准方程； （2）若点B也在圆C上，且弦长为8，求直线的方程； 地 城 考点08 圆的切线问题 1．(24-25高二上·吉林长春东北师范大学附属中学·期中)已知点是圆上的两个动点，点是直线上动点，且，下列说法正确的是（   ） A．圆上恰有一个点到直线的距离为 B．长的最小值为 C．四边形面积的最小值为2 D．直线恒过定点 2．(24-25高二上·吉林普通高中·期中)一条光线从点射出，经轴反射后，与圆相切，则反射后光线所在直线的斜率为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 3．(24-25高二上·吉林长春长春吉大附中实验学校·期中)过点作圆的切线，则切线方程为（    ） A． B． C． D． 4．(23-24高二上·吉林通化梅河口第五中学·期中)过点P(1，－2)作圆C：x2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则AB所在直线的方程为（    ） A． B．y＝－ C．y＝－ D． 5．(24-25高二上·吉林通化第一中学校·期中)（多选）已知圆与直线，点在圆上，点在直线上，则下列说法正确的是（    ） A．若，则直线与圆相切 B．若圆上存在两点关于直线对称，则 C．若，则 D．若，从点向圆引切线，则切线长的最小值是 6．(23-24高二上·吉林长春南关区长春实验中学·期中)（多选）已知圆和点，则过点的圆的切线方程为（    ） A． B． C． D． 7．(23-24高二上·吉林长春南关区长春实验中学·期中)（多选）已知圆，点是直线上一动点，过点作圆的切线，，切点分别是和，则下列说法错误的是（    ） A．圆上恰有一个点到直线的距离为 B．切线长的最小值为 C．四边形面积的最小值为2 D．直线恒过定点 8．(23-24高二上·吉林长春农安县·期中)（多选）设圆：的圆心为，为圆外一点，过作圆的两条切线，切点分别为，则（    ） A． B．四点共圆 C． D．直线的方程为： 9．(24-25高二上·吉林八校·期中)若过圆外一点作圆的两条切线，切点分别为，且，则 ． 10．(24-25高二上·吉林普通高中·期中)由直线上的一点向圆引切线,切点分别为，则四边形面积的最小值为 . 11．(24-25高二上·吉林四平·期中)过点作圆的切线，则切线方程为 ． 12．(24-25高二上·吉林长春东北师范大学附属中学·期中)已知点，圆的方程为，过点的直线与圆相切，点为圆上的动点． (1)求直线的方程； (2)求面积的最大值． 13．(23-24高二上·吉林辽源西安区田家炳高级中学校·期中)已知圆，直线l过点. (1)求圆C的圆心坐标及半径； (2)若直线l与圆C相切，求直线l的方程. 14．(24-25高二上·吉林白城实验高级中学·期中)已知圆与圆外切，并且与直线相切于点，求圆的方程． 15．(23-24高二上·吉林通化梅河口第五中学·期中)已知圆. (1)求过点且与圆相切的直线方程； (2)已知点．则在圆上是否存在点，使得？若存在，求点的个数，若不存在，说明理由． 地 城 考点09 圆与圆的位置关系 1．(24-25高二上·吉林长春第八中学·期中)在平面直角坐标系中，已知点，动点满足，则动点的轨迹与圆的位置关系是（   ） A．相交 B．外切 C．相交或相切 D．内切 2．(24-25高二上·吉林长春博硕学校·期中)若圆与圆有公切线，则实数的范围是（   ） A． B． C． D． 3．(24-25高二上·吉林普通高中·期中)圆与圆的位置关系为（    ） A．相离 B．外切 C．相交 D．内切 4．(24-25高二上·吉林四平普通高中·期中)若圆和圆相切，则等于（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 5．(24-25高二上·吉林八校·期中)圆与的位置关系为（    ） A．相交 B．相离 C．外切 D．内切 6．(24-25高二上·吉林友好学校·期中)已知圆与圆有4条公切线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．(24-25高二上·吉林四平·期中)若圆和圆相切，则等于 A．6 B．7 C．8 D．9 8．(23-24高二上·吉林辽源西安区田家炳高级中学校·期中)过圆与圆交点的直线方程为（    ）. A． B． C． D． 9．(24-25高二上·吉林长春长春汽车经济技术开发区第三中学·期中)已知圆：与圆：相内切，则与的公切线方程为（    ） A． B． C． D． 10．(24-25高二上·吉林长春外国语学校·期中)（多选）已知圆：与圆：相交于A，B两点，则下列判断正确的是（    ） A．两圆的相交弦所在直线方程为 B．两圆的公共弦长为 C．经过A，B两点，且过原点的圆的方程为 D．P为上任意一点，Q为上任意一点，则的最大值为 11．(24-25高二上·吉林长春东北师范大学附属中学·期中)（多选）圆与圆没有公共点，则的值可能是（   ） A． B． C．2 D．4 12．(23-24高二上·吉林实验中学·期中)已知圆与圆的公共弦所在直线恒过定点.若直线过点，则原点到直线的距离的最大值为 . 13．已知圆与圆相交于A，B两点，则直线AB的方程为 ． 14．(24-25高二上·吉林友好学校·期中)已知圆与圆的公共弦所在直线恒过点，则点坐标为 ；的最小值为 ． 15．(23-24高二上·吉林长春农安县·期中)两圆与的公切线有 条． 16．(23-24高二上·吉林辽源西安区田家炳高级中学校·期中)若圆 与圆相外切，则的值为 17．(23-24高二上·吉林通化梅河口第五中学·期中)已知直线与圆C：相交于A，B两点，O为坐标原点，若四点共圆，则的值为 . 18．(23-24高二上·吉林长春南关区长春实验中学·期中)已知两圆和． (1)求两圆的公共弦所在直线的方程； (2)求过两圆交点且圆心在直线上的圆的方程． 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 圆与方程 9大高频考点概览 考点01 求解圆的标准方程 考点02 圆的一般方程相关考点 考点03 点与圆的位置关系 考点04直线与圆位置关系的判断 考点05 由直线与圆的位置关系求参数 考点06 直线与圆位置关系求距离最值 考点07直线与圆弦长问题 考点08圆的切线问题 考点09 圆与圆的位置关系 地 城 考点01 求解圆的标准方程 1．(24-25高二上·吉林长春长春吉大附中实验学校·期中)若圆经过点，，且圆心在直线上，则圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由圆的性质可知，圆心为直线与直线垂直平分线的交点，联立方程组即可求得圆心，半径则为圆心到圆上任一点之间的距离. 【详解】由点，在圆上，，中点坐标为， 则直线的垂直平分线的直线方程为即， 则圆心为直线与垂直平分线的交点，则联立方程组： ，解得，则圆心为，， 所以圆的方程为：. 故选：A 2．(23-24高二上·吉林实验中学·期中)过点，，的圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由弦的垂直平分线确定圆心坐标，求得半径即可. 【详解】由题意圆心在的垂直平分线上即在上， 也在的垂直平分线上即在上， 所以圆心坐标为：，， 所以圆的标准方程为：， 故选：A 3．(23-24高二上·吉林延边第二中学·期中)圆C：关于直线对称的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据点关于直线对称的性质，结合圆的标准方程进行求解即可. 【详解】由圆C：，可知圆心坐标：，半径为， 因为点关于直线的对称点为， 所以圆C：关于直线对称的圆的方程是 ， 故选：C 4．(23-24高二上·吉林辽源西安区田家炳高级中学校·期中)圆心在直线上，且经过点，的圆的方程为 ． 【答案】 【分析】直线和线段AB的垂直平分线的交点是圆心，圆心到A点的距离为半径，可得圆的方程. 【详解】圆经过点和，，AB中点为， 所以线段AB的垂直平分线的方程是． 联立方程组，解得． 所以，圆心坐标为，半径， 所以，此圆的标准方程是． 故答案为：. 5．(24-25高二上·吉林长春外国语学校·期中)在平面直角坐标系中，圆为过点，，的圆． (1)求圆的标准方程； (2)若点P的坐标是，点是圆上的一个动点，点满足，求点的轨迹方程，并说明轨迹的形状. 【答案】(1)； (2)，轨迹是以为圆心，半径为的圆． 【分析】（1）设圆的方程为，根据三点都在圆上，列出方程组，求得的值，即可得到圆的一般方程，然后化成标准方程即可； （2）设，点，由，求得，根据在圆上运动，得到，代入，即可求解. 【详解】（1）设圆的方程为， 因为圆为过点，，， 所以， 解得满足， 所以，化成标准方程为. （2）设的坐标是，点的坐标是， 因为的坐标是，且， 所以，解得， 又因为点在圆上运动，所以点的坐标满足圆的方程，即， 代入得，整理得， 点的轨迹方程是，轨迹是以为圆心，半径为的圆． 地 城 考点02 圆的一般方程相关考点 1．(24-25高二上·吉林通化集安第一中学·期中)若方程表示一个圆，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将方程化为圆的一般方程，利用列式即可求. 【详解】若方程表示一个圆，则， 方程可化为， 所以，解得，且不等于0， 所以或. 故选：D 2．(24-25高二上·吉林长春第八中学·期中)已知圆关于双曲线：的一条渐近线对称，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出圆心、双曲线的渐近线方程，根据圆心在渐近线上可得答案. 【详解】由得， 可得圆心为， 双曲线：的渐近线方程为， 若圆关于双曲线的一条渐近线对称，则圆心在渐近线上， 当时，无解； 当时，由，解得. 综上，. 故选：B. 3．(23-24高二上·吉林长春文理高中有限责任公司·期中)已知圆关于直线对称，则实数（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】根据圆的对称性得出圆心在直线上，求出圆心坐标代入直线方程计算并检验即可. 【详解】由题意可知，， 且圆心在直线上，代入直线方程得（舍去） 或. 故选：C 4．(24-25高二上·吉林长春外国语学校·期中)若方程表示圆，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将方程变形为，根据方程表示圆，从而得出，即可求出的取值范围. 【详解】解：因为方程， 可变形为， 因为方程表示圆，则，解得：或， 所以的取值范围是. 故选：C. 5．(23-24高二上·吉林辽源西安区田家炳高级中学校·期中)（多选）已知圆的方程为，下列结论正确的是（    ） A．该圆的面积为 B．点在该圆内 C．该圆与圆相离 D．直线与该圆相切 【答案】BD 【分析】首先将圆的方程写为标准方程，得出圆心坐标和半径，对于A，根据圆的面积公式即可判断；对于B，将点代入，判断与的大小，即可得出结论；对于C，求出两圆心之间的距离，判断是否大于两圆半径之和；对于D，根据点到直线的距离公式，求出圆心到直线的距离是否等于半径，即可判断． 【详解】，可知圆心为，半径； 对于A：由圆的半径，得该圆的面积为，故A错误； 对于B：因为，所以点在该圆内，故B正确； 对于C：圆的圆心为，半径为1， 因为两圆心距离为，且，所以两圆相交，故C错误； 对于D：圆心到直线的距离， 所以直线与该圆相切，故D正确， 故选：BD． 6．(24-25高二上·吉林白城第一中学·期中)在平面直角坐标系中，设二次函数的图像与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C. (1)求实数b的取值范围； (2)求圆C的方程； (3)请问圆C是否经过某定点（其坐标与b无关）？请证明你的结论. 【答案】(1)，且 (2)（，且）； (3)过定点和，证明见解析. 【分析】（1）令得抛物线与轴交点，此交点不能是原点；令，则方程＞0，即可求的范围． （2）设出所求圆的一般方程，令得到的方程与是同一个方程；令得到的方程有一个根为，由此求得参数及圆的一般方程． （3）把圆方程里面的合并到一起，令的系数为零，得到方程组，求解该方程组，即得圆过的定点． 【详解】（1）令得抛物线与轴交点是； 令， 由题意，且，解得，且． 即实数的取值范围，且 ． （2）设所求圆的一般方程为， 由题意得函数的图像与两坐标轴的三个交点即为圆和坐标轴的交点， 令得，，由题意可得，这与是同一个方程，故，． 令得，，由题意可得，此方程有一个根为，代入此方程得出， ∴圆的方程为（，且）． （3）把圆的方程改写为，令， 解得或，故圆过定点和． 7．(23-24高二上·吉林通化梅河口第五中学·期中)在坐标平面中，三个顶点坐标分别为，， （1）求中边上中垂线的一般方程； （2）求中角平分线的一般方程； （3）求外接圆的一般方程. 【答案】（1）（2）（3） 【分析】（1）求出BC中点坐标及斜率，利用垂直得中垂线斜率，点斜式求出方程再化为一般式；（2）判断三角形为以B为直角的等腰直角三角形，转化为求边AC上的中线方程即可求解；（3）设圆的一般方程，将点代入，求解方程即可求解 【详解】（1）由题意知BC中点坐标为，故边上中垂线斜率为，边上中垂线方程为化简为一般式得 （2）由题易知，，为以B为直角的等腰直角三角形，角B平分线即为边AC上的中线方程，易求AC中点坐标 ，故角平分线 化为一般式为 （3）设圆的一般方程为 则 解得 故圆的一般方程为 地 城 考点03 点与圆的位置关系 1．已知圆，则下列点在圆C内的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将每一个点的坐标代入圆方程求解验证即可. 【详解】对于A，因为，所以点在圆外，所以A错误， 对于B，因为，所以点在圆上，所以B错误， 对于C，因为，所以点在圆上，所以C错误， 对于D，因为，所以在圆内，所以D正确. 故选：D 2．(24-25高二上·吉林·期中)若点在圆的外部，则正实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】结合圆的定义、点与圆的位置关系计算即可得解. 【详解】由题意可得，解得， 故正实数的取值范围是. 故答案为：. 3．(23-24高二上·吉林延边第二中学·期中)在平面直角坐标系中，已知四点. (1)求过三点的圆方程，并判断点与圆的位置关系； (2)过点的直线被圆截得的弦长为4，求直线的方程. 【答案】(1)，在圆上 (2)或 【分析】（1）设圆方程为，然后将三点坐标代入可求出圆的方程，再将点代入圆的方程验证即可， （2）由已知可求得圆心到直线距离为1，然后分直线的斜率不存在和直线的斜率存在两种情况求解即可. 【详解】（1）设圆方程为 把三点坐标代入可得：， 解得， 所以圆方程是 把点坐标代入可得：，故在圆上. （2）由，得， 所以圆心，半径为， 因为弦长等于4，所以圆心到直线距离为， 当直线的斜率不存在时，即方程为，圆心到直线距离为1，满足题意 若直线的斜率存在，设直线方程为 圆心到直线的距离，解得 所以过点的直线为或. 地 城 考点04 直线与圆位置关系的判断 1．(24-25高二上·吉林长春第八中学·期中)“”是直线与圆相切的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】由圆的方程得到圆心坐标和半径，使得圆心到直线的距离等于圆的半径，得到的值，即可得到结论. 【详解】由圆，可得圆心为，半径． ∵直线与圆相切，∴，∴，∴“”是直线与圆相切的充要条件，故选C． 【点睛】本题主要考查了充要条件的判定及应用，其中解答中涉及到直线与圆的位置关系的判定及应用，以及充要条件的判定，其中熟记直线与圆的位置关系的判定方法是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力. 2．(24-25高二上·吉林通化集安第一中学·期中)（多选）已知曲线，则（    ） A．关于轴对称 B．C关于原点对称 C．的周长为 D．直线与有个交点 【答案】ABC 【分析】设点在曲线上，分别代入点与，可判断AB选项；分别确定曲线在各象限时的图形及其对应的曲线，可判断C选项与D选项. 【详解】 设点在曲线上，即， A选项：代入点，可知， 即点在曲线上恒成立，所以曲线关于轴对称，A选项正确； B选项：代入点，得， 即点在曲线上恒成立，所以曲线关于原点对称，B选项正确； C选项：当时，，当时，或，即 过，，三点， 当，时方程为，即，表示以点为圆心，为半径的圆在第一象限的部分； 当，时方程为，即，表示以点为圆心，为半径的圆在第四象限的部分； 当，时方程为，即，表示以点为圆心，为半径的圆在第二象限的部分； 当，时方程为，即，表示以点为圆心，为半径的圆在第三象限的部分； 曲线在第一象限部分的方程为设圆心为，与轴的两个交点为，，则， 所以第一象限内图形所表示弧长为， 又曲线关于轴及原点对称，所以曲线的周长为，C选项正确； D选项：直线，过点，在曲线右半部分的内部， 所以与曲线右半部分有个交点，且直线不过坐标原点， 又直线当时，， 即过点，在曲线左半部分的内部， 所以直线与曲线左半部分有个交点， 综上所述直线与曲线有个交点，D选项错误； 故选：ABC. 3．(23-24高二上·吉林长春文理高中有限责任公司·期中)（多选）下列直线中，与圆相切的有（     ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】先找出圆的圆心和半径，然后利用几何法逐项判断即可. 【详解】圆，即， 则其圆心为，半径为， 选项A：点到直线的距离，故直线与圆相交，故A错误； 选项B：点到直线的距离，故直线与圆相切，故B正确； 选项C：点到直线的距离，故直线与圆不相切，故C不正确； 选项D：点到直线的距离，故直线与圆相切，故D正确； 故选：BD. 4．(23-24高二上·吉林长春文理高中有限责任公司·期中)直线绕原点按逆时针方向旋转后所得的直线与圆的位置关系是 . 【答案】相切 【分析】求出旋转之后的直线的方程，求得圆心到直线的距离即可得直线与圆相切. 【详解】易知直线的斜率为，倾斜角为， 其绕原点按逆时针方向旋转以后倾斜角为，斜率为，此时的直线方程为； 圆的圆心为，半径为， 圆心到直线的距离为，等于半径， 因此直线与圆的位置关系是相切. 故答案为：相切 地 城 考点05 由直线与圆的位置关系求参数 1．(23-24高二上·吉林实验中学·期中)已知圆，点是直线上的动点，若圆上总存在不同两点，，使得直线垂直平分线段，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先讨论直线的斜率不存在、斜率为0时的情况，再根据直线的斜率存在且不为0，表示出直线的方程，结合圆心到直线距离小于半径求解即可. 【详解】①若为直线与轴交点，则，    则直线方程为，此时与圆只有一个交点，故不符合题意. ②若为直线与轴交点，则，    则直线方程为，此时与圆只有一个交点，故不符合题意. ③若不为直线与坐标轴的交点，则直线的斜率存在且不为0时，    设，则，中点为， 因为，所以， 所以直线的方程为，即， 由圆心到直线的距离，可得， 又因为，所以，解得. 综述：取值范围为. 故选：C. 2．(24-25高二上·吉林通化集安第一中学·期中)若直线与曲线C：有两个不同的公共点，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据曲线的方程可得曲线是以原点为圆心，为半径的圆的轴的上半部分（含轴），求出直线与圆相切时的值，再结合图形即可求解. 【详解】由得， 所以曲线是以原点为圆心，为半径的圆的轴的上半部分（含轴）， 直线过定点， 当直线与圆相切时， 圆心到直线的距离， 解得或（舍去）， 当直线过点时， 直线斜率为， 结合图形可得实数的取值范围是. 故选：C. 3．(24-25高二上·吉林四平·期中)（多选）直线与曲线恰有两个交点，则实数的值可能是（    ） A．4 B．5 C．3 D． 【答案】AD 【分析】做出函数图象，数形结合，求出的取值范围，再进行选择. 【详解】做出函数与的草图.    设与圆相切，则 或（舍去）. 因为函数与有两个交点，所以. 故选：AD 4．(24-25高二上·吉林四平普通高中·期中)（多选）直线与曲线恰有两个交点，则实数的值可能是（    ） A．5 B．4 C． D．3 【答案】BC 【分析】由曲线表示圆在轴的上半部分，利用直线与圆相切求出的值，结合图形求出范围，结合选项即可得解. 【详解】 曲线表示圆在轴的上半部分，且含端点， 当直线与圆左上部分相切时，，解得或（舍去）， 当点在直线上时，， 由图可知，实数m的取值范围为， 结合选项，知实数的值可能是4，. 故选：BC 5．(23-24高二上·吉林实验中学·期中)若直线与圆相切，则 . 【答案】 【分析】由直线与圆相切则解方程即可. 【详解】由题意知，圆心为，半径， 直线方程为， 所以圆心到直线距离为， 因为直线与圆相切，所以，即，解得. 故答案为：. 6．(24-25高二上·吉林松原吉林油田高级中学·期中)在平面直角坐标系xOy中，设直线与圆交于A，B两点，为坐标原点，若圆上一点满足，则 . 【答案】 【分析】将平方化简得，利用二倍角余弦公式得，再结合圆心到直线的距离和勾股定理列式计算r即可. 【详解】因为， 所以， 即，整理化简得， 过点O作AB的垂线交AB于D， 则，得. 又圆心到直线的距离为，所以， 所以，即. 故答案为： 7．(24-25高二上·吉林长春东北师范大学附属中学·期中)已知圆，圆，直线上存在点，过点向圆引两条切线和，切点是和，再过点向圆引两条切线和，切点是和，若，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据题意作出图形，结合图象转化得，从而利用两点距离公式求得点的轨迹方程，进而得到直线与圆有交点，由此得解. 【详解】连接圆心和切点，如图所示，则有， 易知， 故，， 不妨设，，， ，化简得， P的轨迹为以圆心，为半径的圆， 又P在直线上，直线与圆有交点， ，故. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是将题设条件转化得，从而利用阿氏圆的相关知识可知点的轨迹方程为圆，进而得解. 8．(24-25高二上·吉林普通高中友好学校联合体第三十九届期中联考·期中)已知圆的圆心在直线上，且过点，与直线相切. (1)求圆的标准方程； (2)设直线：（）与圆相交于不同两点，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意求出圆心及圆的半径即可得出圆的标准方程； （2）联立直线与圆的方程，根据有两解列出不等式求解即可. 【详解】（1）因为圆的圆心在直线上，可设圆心坐标为， 由题意可列方程，解得， 所以圆心坐标为、半径为， 所以圆的标准方程为； （2）联立，并整理得， 因为直线与圆交于、两点， 所以，解得， 所以实数取值范围为. 9．(24-25高二上·吉林四平普通高中·期中)已知圆过点且与直线相切于点，直线与圆交于不同的两点，． (1)求圆的方程； (2)若圆与轴的正半轴交于点，直线，的斜率分别为，，求证：是定值． 【答案】(1) (2)证明见解析. 【分析】（1）确定圆心和半径，可得圆的方程. （2）把直线方程与圆方程联立，得到，，再表示出，运算整理即可. 【详解】（1）过点且与直线垂直的直线为： 即. 又线段，其中的垂直平分线为：即. 由，得圆心， 又. 故圆的方程为：. （2）将代入得： ，整理得：. 由 . 设，， 则，. 又，所以，同理：. 所以 . 所以为定值. 10．(23-24高二上·吉林长春文理高中有限责任公司·期中)0．在平面直角坐标系中，直线与圆相切，圆心的坐标为. (1)求圆的方程； (2)设直线与圆交于两点，且，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由直线与圆相切的性质结合点到直线的距离可得半径，即可得解； （2）由题意联立方程组，结合韦达定理、平面向量垂直的性质联立方程组即可求得m，即可得解. 【详解】（1）∵直线与圆C相切，且圆心C的坐标为， ∴圆C的半径， 则圆C的方程为； （2）联立，得， 由，解得， 设， 则， ∵，∴， 即， ∴，解得，符合题意， ∴． 地 城 考点06 直线与圆位置关系求距离最值 1．若点P在直线上，点Q在圆上，则线段PQ长度的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出圆的圆心和半径，判断直线与圆的位置关系，则线段PQ长度的最小值为圆心到直线的距离减去半径即可. 【详解】圆的圆心为，半径， 因为圆心到直线的距离为， 所以线段PQ长度的最小值为. 故选：B 2．(24-25高二上·吉林长春外国语学校·期中)（多选）数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念、公式符号、推理论证、思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美.在平面直角坐标系中，曲线就是一条形状优美的曲线，对于此曲线，下列说法正确的有（    ） A．曲线围成的图形有4条对称轴 B．曲线C围成的图形的周长是 C．曲线C上的任意两点间的距离最大值是 D．若是曲线上任意一点，的最小值是 【答案】ACD 【分析】分类讨论去掉绝对值可得曲线的四段关系式，从而作出曲线的图象，由曲线图象判断各选项即可. 【详解】当时，曲线的方程可化为， 当时，曲线的方程可化为， 当时，曲线的方程可化为， 当时，曲线的方程可化为， 所以曲线的图象如图所示， 对于A，由图可知曲线围成的图形有4条对称轴，故A正确； 对于B，曲线由4个半圆组成，其周长为，故B错误； 对于C，由图可知曲线上任意两点间的最大距离为，故C正确； 对于D，到直线的距离， 点到直线的距离为， 由圆的性质得曲线上一点到直线的距离最小为， 故的最小值为，故D正确. 故选：ACD. 3．(23-24高二上·吉林通化梅河口第五中学·期中)（多选）已知直线 ， 则下列结论正确的是（    ） A．存在实数 ， 使得直线 与直线 垂直 B．存在实数 ， 使得直线 与直线 平行 C．存在实数 ， 使得点 A到直线 的距离为 4 D．存在实数 ， 使得以线段 为直径的圆上的点到直线 的最大距离为 【答案】ABD 【分析】先求出直线经过定点的坐标，再根据两直线平行、垂直的性质，直线和圆的位置关系，判断各个选项是否正确，从而得出结论． 【详解】解：直线，，， 直线的斜率为，直线的斜率为1， 故当时，直线与直线垂直；当时，直线与直线平行，故AB正确； 直线，即，令，求得，可得直线经过定点， 由于，故点到直线的最大距离为3，故C错误； 由于，，，故以为直径的圆的圆心， 且，故圆的半径为，圆心到直线的最大距离为， 故以线段为直径的圆上的点到直线的最大距离为，故D正确， 故选：ABD． 4．(24-25高二上·吉林白城第一中学·期中)（多选）点是圆上的动点，则下面正确的有（    ） A．圆的半径为3 B．既没有最大值，也没有最小值 C．的范围是 D．的最大值为72 【答案】BC 【分析】将圆方程化为标准方程可判断选项A错误.设 ，则转化为直线与圆有交点，可算得既没有最大值，也没有最小值，选项B正确.对于选项C和D，可用三角换元化简，再结合辅助角公式即可判断. 【详解】圆转化为， 则圆的圆心为，半径为2，选项A错误. 设，则直线与圆有交点，即， 整理得，解得或. 既没有最大值，也没有最小值，选项B正确. 设，， 则，其中. 则的取值范围为，选项C正确. 又，则， 因此 其中. 则的最大值为，选项D错误. 故选：BC. 5．(23-24高二上·吉林辽源西安区田家炳高级中学校·期中)（多选）已知圆：，直线：，则（    ） A．直线在y轴上的截距为1 B．直线的倾斜角为 C．直线与圆有2个交点 D．圆上的点到直线的最大距离为 【答案】ABC 【分析】根据截距，倾斜角的定义，判断AB；根据直线与圆的位置关系，即可判断CD. 【详解】A.当时，，直线在y轴上的截距为1，故A正确； B.直线的斜率为1，设直线的倾斜角为，，，所以直线的倾斜角为，故B正确； C.圆心到直线的距离，所以直线与圆相交，所以直线与圆有2个交点，故C正确； D.根据C可知，圆上的点到直线的最大距离为，故D错误. 故选：ABC 6．(24-25高二上·吉林延边朝鲜族延吉延边第二中学·期中)已知圆. (1)求的取值范围； (2)当取最小正整数时，若点为直线上的动点，过作圆的一条切线，切点为，求线段的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，结合方程表示圆的条件，列出方程，即可求解； （2）由（1）得到圆心，半径为，得到，结合圆心到直线的距离，即可求解. 【详解】（1）由方程表示圆，则满足， 即，解得或， 所以的取值范围是. （2）由（1），因为取最小正整数，所以， 所以圆，可得圆心，半径为， 又因为， 所以取最小值时取最小值，而取最小值， 即为圆心到直线的距离，可得， 所以. 地 城 考点07 直线与圆弦长问题 1．(23-24高二上·吉林白城洮南第一中学·期中)已知在圆内，过点的最长弦和最短弦分别是和，则四边形的面积为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【分析】圆的最长弦是直径，过定点的最短弦是与过定点的最长弦垂直的，对角线互相垂直的四边形面积等于对角线乘积的一半. 【详解】圆 由题意可得 最长弦为直径等于6， 最短的弦由垂径定理可得， 则四边形的面积为. 故选：D. 【点睛】本题考查过圆内定点求圆的弦长最值问题，考查求解运算能力，是基础题. 2．(23-24高二上·吉林辽源西安区田家炳高级中学校·期中)直线截圆所得的弦长为，则的值为（    ） A．－1 B．1 C．3 D．－3 【答案】B 【分析】利用圆的性质计算即可. 【详解】易知圆心为，半径，而直线截圆所得的弦长为等于直径， 故直线过圆心， 所以有. 故选：B 3．(24-25高二上·吉林长春第二实验中学·期中)已知圆，直线，截得圆弦长为2，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由弦长、弦心距、半径的关系，即得解 【详解】由题意，圆，圆心 圆心到直线距离： 故： 代入解得： 故选：A 4．(24-25高二上·吉林白城实验高级中学·期中)若a2＋b2＝2c2（c≠0），则直线ax＋by＋c＝0被圆x2＋y2＝1所截得的弦长为 A． B．1 C． D． 【答案】D 【详解】试题分析：因为，所以设弦长为，则，即. 考点：本小题主要考查直线与圆的位置关系——相交. 5．(24-25高二上·吉林松原吉林油田高级中学·期中)经过点且斜率为的直线与圆相交于两点，若，则的值为 . 【答案】0或 【分析】首先利用弦长公式求圆心到直线的距离，再设直线的方程，利用点到直线的距离公式，即可求解. 【详解】由条件可知，圆的半径，， 所以圆心到直线的距离， 设直线，即， 所以圆心到直线的距离， 解得：或. 故答案为：0或. 6．(23-24高二上·吉林长春南关区长春实验中学·期中)已知点M（1，0）是圆C:内的一点，那么过点M的最短弦所在的直线方程是 ． 【答案】x+y-1=0 【详解】最短的弦与CM垂直，圆C：的圆心为C（2，1）， ， ∴最短弦的方程为y−0＝−1（x−1），即x＋y−1＝0． 7．(24-25高二上·吉林长春第八中学·期中)已知圆经过点和，圆心在直线上.直线的方程为 (1)求圆的标准方程； (2)求直线被圆截得的弦长的最大值和最小值. 【答案】(1) (2)最大值为；最小值为 【分析】（1）设圆心，根据圆的定义，待定系数法可得圆的方程； （2）分离参数可得直线过定点，且点在圆内，进而可得弦长的最值. 【详解】（1）由已知圆心在直线上， 则设， 又圆经过点和， 则， 即， 解得， 所以圆心，半径， 所以圆的方程为； （2） 由已知直线， 即， 令，解得， 即直线过定点， 且， 所以当直线过点时弦长最大为， 当直线时弦长最小为. 8．(24-25高二上·吉林普通高中·期中)已知圆经过点，且圆心在直线上． (1)求圆的标准方程； (2)若直线与圆的交点为，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）法一：设圆的标准方程，圆心坐标代入直线方程，已知两点坐标代入所设方程后联立方程组求得参数得结论； 法二：求出直线AB的垂直平分线，联立直线方程求得圆心，利用两点距离公式求解半径，即可求解方程； 法三：设圆的一般方程，圆心坐标代入直线方程，已知两点坐标代入所设方程后联立方程组求得参数得结论； 法四：设圆心坐标，利用半径建立方程求解圆心坐标和半径，即可求解圆的方程. （2）求出圆心到直线的距离，由勾股定理求得弦长． 【详解】（1）（法一）设圆的标准方程为，则圆心为． 由题意可得解得, 圆的标准方程为． （法二）由题意可得中点为， 线段的垂直平分线为，即， 圆心在直线上，联立解得 即圆心为， 圆的半径 圆的标准方程为． （法三）设圆的一般方程为， 则圆心为． 由题意可得解得, 圆的一般方程为， 即圆的标准方程为． （法四）设圆心， 整理，得圆心． 圆的标准方程为． （2）由（1）知，圆心到直线的距离为 圆的半径． 9．(24-25高二上·吉林长春博硕学校·期中)已知圆，直线. (1)求证：直线恒过定点； (2)直线被圆截得的弦何时最短？并求截得的弦长最短时的值以及最短弦长； (3)在（2）的条件下，求以短弦长为直径的圆的方程. 【答案】(1)证明见解析； (2)当的方程为时最短；，最短弦长为； (3) 【分析】（1）将直线的方程可化为，解方程组得定点坐标. （2）根据圆的性质可得：当直线过圆心时，直线被圆截得的弦长最长，当直线时，直线被圆截得的弦长最短，据此运算求解. （3）利用（2）的信息直接写出圆的方程. 【详解】（1）直线的方程可化为，由，解得， 所以直线恒过定点. （2）圆的圆心，半径， 令点，当直线时，直线被圆截得的弦长最短， 直线的斜率为，由得直线的斜率为，解得 此时的方程为，即， 圆心到直线的距离为，最短弦长为 所以当的方程为时最短；，最短弦长为. （3）由（2）知，以短弦长为直径的圆的圆心为，半径为， 所以以短弦长为直径的圆的方程. 10．(24-25高二上·吉林长春长春吉大附中实验学校·期中)已知直线与圆交于，两点，且. (1)求实数的值； (2)若点为直线上的动点，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据圆的一般方程得出圆心和半径，再由并结合弦长公式构造方程即可得； （2）由（1）可得，利用两平行线间距离公式求得点到的距离为，可求出的面积. 【详解】（1）将圆化为， 所以其圆心，半径，作于点， 由垂径定理可得为的中点，如下图所示： 由可得， 又， 所以； （2）由（1）可知，所以， 直线与直线平行， 所以点到的距离为， 因此的面积为. 11．(24-25高二上·吉林四平·期中)已知圆的方程为． (1)求实数的取值范围； (2)若圆与直线交于M，N两点，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将圆的一般方程用配方法化为标准方程，进而得到，解之即可； （2）利用弦长公式求得，进而得到，易得的值. 【详解】（1）方程可化为， ∵此方程表示圆， ∴，即，即. （2）由（1）可得圆心，半径， 则圆心到直线的距离为， 由弦长公式及，得，解得， ∴，得． 12．(24-25高二上·吉林白城实验高级中学·期中)已知圆，直线. (1)判断直线与圆的位置关系； (2)若直线与圆交于不同的两点，且，求直线的方程. 【答案】(1)直线与圆相交； (2)直线的方程为或 【分析】（1）先求出直线l过的定点坐标，判断定点在圆内，则直线l必与圆相交； （2）由圆的半径和弦长求得圆心到直线l的距离，以此列方程求解m的值，即可求出直线l的方程. 【详解】（1）直线，整理得， 令，解得 即直线l过定点. 将P点坐标代入圆C方程得， 故P点在圆C内，直线与圆相交. （2）圆，整理得 即，. 因为， 所以圆心C到直线l的距离为. 又， 所以 故直线的方程为或. 13．(24-25高二上·吉林长春外国语学校·期中)已知以点为圆心的圆与直线相切. (1)求圆A的方程； (2)过点的直线l与圆A相交于M、N两点, 当时，求直线l方程． 【答案】（1）（2）或 【详解】（1）由题意知到直线的距离为圆半径，且 , 所以圆的方程为 .      （2）记MN中点为Q，则由垂径定理可知且， 在中由勾股定理易知，，设动直线方程为：或，显然合题意.由到距离为1知，解得, ∴或 为所求方程. 14．(23-24高二上·吉林长春农安县·期中)已知圆C过平面内三点、、， （1）求圆C的标准方程； （2）若点B也在圆C上，且弦长为8，求直线的方程； 【答案】（1）；（2）或．. 【解析】（1）将三点代入圆的一般方程，求解方程组得出圆的方程； （2）先求出圆心C到直线的距离，当直线斜率不存在时，得出方程，当当直线斜率存在时，设出方程，根据距离公式得出斜率，进而得出方程. 【详解】解：（1）设圆的方程为 ，解得 即，故圆C的标准方程为 （2）圆心C到直线的距离 当直线斜率不存在时，方程为：， 当直线斜率存在时，设直线方程为： ， ∴直线方程为：或． 【点睛】关键点睛：已知三点求圆的方程时，关键是将三点代入圆的一般方程，由方程的根得出圆的方程. 地 城 考点08 圆的切线问题 1．(24-25高二上·吉林长春东北师范大学附属中学·期中)已知点是圆上的两个动点，点是直线上动点，且，下列说法正确的是（   ） A．圆上恰有一个点到直线的距离为 B．长的最小值为 C．四边形面积的最小值为2 D．直线恒过定点 【答案】D 【分析】利用圆心到直线的距离可判断A；利用圆的性质可得切线长，利用点到直线的距离可判断B；由题可得四边形的面积，可判断C；由题可知点在以为直径的圆上，利用两圆方程可得直线的方程，即可判断D. 【详解】A.由题意得，圆心，半径， ∴圆心到直线的距离为， ∵， ∴圆上有两个点到直线的距离为，选项A错误. B. 如图， ∵， ∴， ∴， ∴当最小时，有最小值， 当，即为圆心到直线的距离时，， ∴，选项B错误. C. 由题意得，， ∴四边形面积为：， 由选项B可知，选项C错误. D.设， ∵是圆的切线， ∴点在以为直径的圆上. ∵， ∴以为直径的圆为， 整理得， 与圆方程相减得直线方程为： ， 由得，即直线恒过定点，选项D正确. 故选：D. 2．(24-25高二上·吉林普通高中·期中)一条光线从点射出，经轴反射后，与圆相切，则反射后光线所在直线的斜率为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【分析】求出圆心坐标与半径，点关于轴对称点的坐标，设过对称点与圆相切的反射光线所在直线方程，利用圆心到直线的距离等于半径即可求出答案. 【详解】圆的圆心坐标为，半径为1， 点关于轴对称点的坐标为， 根据题意可得，点在反射光线所在的直线上， 设反射光线所在的直线方程为，即， 因为反射光线所在直线与圆相切， 所以，解得或， 故选：A. 3．(24-25高二上·吉林长春长春吉大附中实验学校·期中)过点作圆的切线，则切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由圆E的方程可得圆心E的坐标，将P点的坐标代入圆的方程，可得P点在圆上，求出直线PE的斜率，得到过P点的切线的斜率，再求出过P点的切线方程. 【详解】由圆的方程，可得圆心坐标为， 将的坐标代入圆的方程，得，则点在圆上， 又，所以过点与圆相切的直线的斜率为1， 所以过点的切线方程为，即. 故选：D. 4．(23-24高二上·吉林通化梅河口第五中学·期中)过点P(1，－2)作圆C：x2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则AB所在直线的方程为（    ） A． B．y＝－ C．y＝－ D． 【答案】D 【分析】先由圆方程得到圆心和半径，求出的长，以及的中点坐标，得到以为直径的圆的方程，由两圆方程作差整理，即可得出所在直线方程. 【详解】因为圆的圆心为，半径为， 所以，的中点为， 则以为直径的圆的方程为， 所以为两圆的公共弦， 因此两圆的方程作差得，所在直线方程为 ， 故选：D. 5．(24-25高二上·吉林通化第一中学校·期中)（多选）已知圆与直线，点在圆上，点在直线上，则下列说法正确的是（    ） A．若，则直线与圆相切 B．若圆上存在两点关于直线对称，则 C．若，则 D．若，从点向圆引切线，则切线长的最小值是 【答案】BC 【分析】利用圆心到直线的距离与半径的关系可判断A错误；由圆上存在两点关于直线对称可得直线过圆心，圆心坐标代入直线方程可得选项B正确；由题意可知的最小值为圆心到直线的距离减去半径，选项C正确；由切线得垂直，根据勾股定理表示切线长，可知当最小时，切线长最小，结合点到直线的距离求解可知选项D错误. 【详解】A.由题意得，圆的标准方程为，圆心为，半径. ∴圆心到直线的距离， ∴直线与圆相离，故A不正确. B.若圆上存在两点关于直线对称，则直线经过圆的圆心， ∴，解得，故B正确. C. 若，则圆心到直线的距离， ∴，故C正确. D.若，从点向圆引切线，设一个切点为，连接，则，如图所示， ， 当时，取得最小值，此时取得最小值，即，故D不正确. 故选：BC. 6．(23-24高二上·吉林长春南关区长春实验中学·期中)（多选）已知圆和点，则过点的圆的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】考虑直线斜率存在和不存在两种情况，根据点到直线的距离等于半径计算得到答案. 【详解】因为圆，点， 当过点与圆相切的直线的斜率存在时，设切线方程为， 则，解得，从而切线方程为； 当过点的直线的斜率不存在时，直线方程为， 容易验证，直线与圆相切. 故过点的圆的切线方程为或， 故选：CD. 7．(23-24高二上·吉林长春南关区长春实验中学·期中)（多选）已知圆，点是直线上一动点，过点作圆的切线，，切点分别是和，则下列说法错误的是（    ） A．圆上恰有一个点到直线的距离为 B．切线长的最小值为 C．四边形面积的最小值为2 D．直线恒过定点 【答案】ABC 【分析】由圆心到直线的距离为，可判定A正误；由圆的切线长，可判定B 正误；由四边形的面积计算公式，可判定C正误；设，求得以为直径的圆的方程，进而得到两圆的相交弦的方程，联立方程组，可判定D正误． 【详解】对于A：由圆，可得圆心，半径， 圆心到直线的距离为， ，故圆上不是只有一个点到直线的距离为，故A错误； 对于B：由圆的性质，可得切线长， 当最小时，达到最小，又，则，故B错误； 对于C：由四边形的面积为， 因为，所以四边形的面积的最小值为，故C错误； 对于D：设，由题知，在以为直径的圆上， 又由，所以， 即， 因为圆，即． 两圆的方程相减得直线，即， 由，解得，即直线恒过定点，故D正确．    故选：ABC． 8．(23-24高二上·吉林长春农安县·期中)（多选）设圆：的圆心为，为圆外一点，过作圆的两条切线，切点分别为，则（    ） A． B．四点共圆 C． D．直线的方程为： 【答案】ABD 【分析】首先将圆的方程配成标准式，即可求出圆心坐标与半径，再利用勾股定理求出切线上，利用锐角三角函数的性质求出，以及点的横坐标，即可判断CD；依题意可得到四点的距离相等，即可判断B； 【详解】如图所示，因为，即， 可知圆心，半径， 对于选项A：因为， 所以，故A正确； 对于选项C、D：在Rt中，因为，，则，即， 则，， 可知点在直线上的投影长为，则点的横坐标为2， 所以直线的方程为 ，故C错误、D正确； 对于选项B：直线与圆相交于点， 显然，故四点共圆，故B正确． 故选：ABD．    9．(24-25高二上·吉林八校·期中)若过圆外一点作圆的两条切线，切点分别为，且，则 ． 【答案】2或4 【分析】根据圆的切线性质可求出相关线段的长，利用，即可求出答案. 【详解】如图，记圆的圆心为与交于点，圆的半径为r， 由题意可得， ，所以， 即，解得或16，即或4， 经检验，都满足题意． 故答案为：2或4 10．(24-25高二上·吉林普通高中·期中)由直线上的一点向圆引切线,切点分别为，则四边形面积的最小值为 . 【答案】 【解析】根据切线的性质可确定所求四边形面积为，可知当所求面积最小时，，利用点到直线距离公式可求得，进而得到所求面积的最小值. 【详解】 由题意知，圆的圆心，半径 两切线关于对称    四边形面积为 当时，最小，此时 四边形面积的最小值为 故答案为： 【点睛】本题考查与圆的切线有关的四边形面积最值的求解问题，关键是能够根据切线的性质将问题转化为圆心到直线距离的求解问题. 11．(24-25高二上·吉林四平·期中)过点作圆的切线，则切线方程为 ． 【答案】或 【分析】考虑直线斜率不存在和直线斜率存在两种情况，利用圆心到直线距离等于半径列出方程，求出切线方程. 【详解】①直线的斜率不存在时满足， ②直线斜率存在时，设切线方程为，则， 所以切线方程为 ，即． 故答案为：或. 12．(24-25高二上·吉林长春东北师范大学附属中学·期中)已知点，圆的方程为，过点的直线与圆相切，点为圆上的动点． (1)求直线的方程； (2)求面积的最大值． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）确定圆心和半径，考虑直线斜率存在和不存在两种情况，根据直线与圆的位置关系得到答案. （2）利用两点距离公式计算，利用点到直线的距离公式求出圆心C到直线AB的距离，结合圆的性质求得最大距离，即可求解面积的最大值. 【详解】（1）圆：，， 圆心的坐标为，半径． 当直线的斜率不存在时，直线的方程为， 圆心到的距离，与圆相切； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 由直线与圆相切，得，解得， 所以直线的方程为． 综上所述：直线的方程为或． （2）由得直线AB的方程为，即， 则圆心到直线AB的距离， 所以点到直线AB的距离的最大值为，又， 则的面积的最大值. 13．(23-24高二上·吉林辽源西安区田家炳高级中学校·期中)已知圆，直线l过点. (1)求圆C的圆心坐标及半径； (2)若直线l与圆C相切，求直线l的方程. 【答案】(1)圆C的圆心坐标是，半径为2 (2)或 【分析】（1）化成圆的标准方程可得答案； （2）直线l的斜率不存在时可直接得答案；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，利用点到直线的距离公式计算可得答案. 【详解】（1）将圆C的方程化成标准式方程得， 圆C的圆心坐标是，半径为2； （2）当直线l的斜率不存在时，直线l的方程是，满足题意； 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，即， 由圆心到直线l的距离等于圆C的半径， 可得，解得， 故直线l的方程是. 综上所述，直线l的方程是或. 14．(24-25高二上·吉林白城实验高级中学·期中)已知圆与圆外切，并且与直线相切于点，求圆的方程． 【答案】或 【分析】假设圆方程，根据两圆圆心距等于半径之和、点在圆上和圆心与切点连线与切线垂直可构造方程组求得结果. 【详解】由圆的方程知：圆心，半径为； 设圆的方程为：，则圆心为，半径为， 则，解得：或， 圆的方程为：或. 15．(23-24高二上·吉林通化梅河口第五中学·期中)已知圆. (1)求过点且与圆相切的直线方程； (2)已知点．则在圆上是否存在点，使得？若存在，求点的个数，若不存在，说明理由． 【答案】(1)或； (2)存在，点P的个数为2,理由见解析 【分析】（1）由点到直线的距离公式列式求解， （2）由题意列式得轨迹方程，由圆和圆的位置关系求解， 【详解】（1）由题意圆C：，圆心，半径， 1）当直线l的斜率不存在时，直线l：，符合题意； 2）当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为：即， 则圆心C到直线l的距离，解得， 所以直线l的方程为即 综上，直线l的方程为或； （2）假设圆C上存在点P，设，则C：， 又， 即，P的轨迹是圆心为，半径为3的圆. 因为， 所以圆C：与圆相交， 所以点P的个数为2 地 城 考点09 圆与圆的位置关系 1．(24-25高二上·吉林长春第八中学·期中)在平面直角坐标系中，已知点，动点满足，则动点的轨迹与圆的位置关系是（   ） A．相交 B．外切 C．相交或相切 D．内切 【答案】A 【分析】利用已知条件列出方程，化简可得点P的轨迹方程为圆，再判断圆心距和半径的关系即可得解. 【详解】由，得， 则，整理得， 表示圆心为，半径为的圆， 圆的圆心为为圆心，半径， 两圆的圆心距为，满足， 所以两个圆相交. 故选：A. 2．(24-25高二上·吉林长春博硕学校·期中)若圆与圆有公切线，则实数的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据公切线的数量判断两圆位置关系，结合圆心距和半径列出不等式，求解即可. 【详解】由题意知圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径， 假设圆与圆没有公切线， 此时两圆内含，所以圆心距，即，解得， 所以当圆与圆有公切线时，实数的范围是， 故选：B. 3．(24-25高二上·吉林普通高中·期中)圆与圆的位置关系为（    ） A．相离 B．外切 C．相交 D．内切 【答案】D 【分析】利用几何法求出两圆心间的距离与两个圆的半径比较判断即可. 【详解】因为，所以圆心，半径为， 圆，化为标准方程为：，所以圆心，半径为， 两个圆心间的距离为：， 所以两圆内切， 故选：D 4．(24-25高二上·吉林四平普通高中·期中)若圆和圆相切，则等于（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】B 【分析】由两圆的位置关系列式计算即可. 【详解】由题意圆的圆心为，半径为； 圆的圆心为，半径为 ； 则，所以当两圆外切时，，解得； 当两圆内切时，，解得，不合题意； 所以. 故选：B 5．(24-25高二上·吉林八校·期中)圆与的位置关系为（    ） A．相交 B．相离 C．外切 D．内切 【答案】D 【分析】计算两圆圆心距，利用几何法可判断两圆的位置关系. 【详解】圆的圆心为，半径；圆的圆心为，半径． 两圆圆心距为，所以圆与圆内切． 故选：D. 6．(24-25高二上·吉林友好学校·期中)已知圆与圆有4条公切线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据公切线的条数可知两圆外离得：。 【详解】根据题意可知，圆外离，，又． 故选：D 7．(24-25高二上·吉林四平·期中)若圆和圆相切，则等于 A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】根据的圆标准方程求得两圆的圆心与半径，再根据两圆内切、外切的条件,分别求得的值并验证即可得结果. 【详解】圆的圆心，半径为5； 圆的圆心，半径为r. 若它们相内切，则圆心距等于半径之差，即＝|r－5|， 求得r＝18或－8，不满足5<r<10. 若它们相外切，则圆心距等于半径之和，即＝|r＋5|， 求得r＝8或－18(舍去)，故选C． 【点睛】本题主要考查圆的方程以及圆与圆的位置关系，属于基础题. 两圆半径为，两圆心间的距离为，比较与及与的大小，即可得到两圆的位置关系. 8．(23-24高二上·吉林辽源西安区田家炳高级中学校·期中)过圆与圆交点的直线方程为（    ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】联立两圆方程求出交点坐标，再根据两点式求出直线方程，化为一般式可得解. 【详解】联立，解得或， 所以圆与圆交点为和， 所以过两圆交点的直线方程为，即. 故选：C 9．(24-25高二上·吉林长春长春汽车经济技术开发区第三中学·期中)已知圆：与圆：相内切，则与的公切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由两圆的位置关系得出，进而联立两圆方程得出公切线方程. 【详解】圆：的圆心，圆：可化为 ，，则其圆心为，半径为， 因为圆与圆相内切，所以，即，故. 由，可得， 即与的公切线方程为. 故选：D 10．(24-25高二上·吉林长春外国语学校·期中)（多选）已知圆：与圆：相交于A，B两点，则下列判断正确的是（    ） A．两圆的相交弦所在直线方程为 B．两圆的公共弦长为 C．经过A，B两点，且过原点的圆的方程为 D．P为上任意一点，Q为上任意一点，则的最大值为 【答案】ABD 【分析】对A，联立两圆方程，求出两圆的相交弦所在直线方程判断；对B，求出圆心到直线的距离，进而求得两圆的公共弦长判断；对C，设经过，两点，且过原点的圆的方程为，求出代回求得方程判断；对D，的最大值为，求出判断选项D. 【详解】对于A，由，得， 所以两圆的相交弦所在直线方程为，故A正确； 对于B，圆的圆心为，半径为， 圆心到直线的距离为， 则两圆公共弦长为，故B正确； 对于C，经过，两点的圆的方程可设为， 即，因为此圆过原点， ，解得， 所以经过，两点，且过原点的圆的方程为，故C错误； 对于D，圆的圆心为，半径为，所以的最大值为，故D正确. 故选：ABD. 11．(24-25高二上·吉林长春东北师范大学附属中学·期中)（多选）圆与圆没有公共点，则的值可能是（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】ABD 【分析】圆与圆没有公共点，则两圆外离或内含，从而得到不等式，求出答案. 【详解】圆，圆心，半径， 圆，圆心，半径， 圆与圆没有公共点，则两圆外离或内含， 或， 即或，解得或，或. 故A，B，D正确；C错误. 故选：ABD. 12．(23-24高二上·吉林实验中学·期中)已知圆与圆的公共弦所在直线恒过定点.若直线过点，则原点到直线的距离的最大值为 . 【答案】 【分析】两圆方程相减得到公共弦方程，求出定点的坐标，当时，原点到直线的距离的最大值，最大值为. 【详解】圆与圆相减可得公共弦所在直线为， 令，解得，即， 又直线过点，所以当时，原点到直线的距离的最大值，最大值为. 故答案为： 13．已知圆与圆相交于A，B两点，则直线AB的方程为 ． 【答案】 【分析】两圆方程相减可得公共弦所在的直线方程. 【详解】由，得， 化简得， 所以直线AB的方程为. 故答案为： 14．(24-25高二上·吉林友好学校·期中)已知圆与圆的公共弦所在直线恒过点，则点坐标为 ；的最小值为 ． 【答案】 / / 【分析】联立圆的方程，可得公共弦方程及其恒过的定点，利用两点间距离公式可得，再利用二次函数性质可得最值. 【详解】由，， 可得，即， 所以，解得， 所以点， 又，， 则 ， 所以当时，取最小值为， 经检验，当时，两个方程均表示圆，且两圆相交，满足题意. 故答案为：，. 15．(23-24高二上·吉林长春农安县·期中)两圆与的公切线有 条． 【答案】3 【分析】判断两圆的位置关系，即可求出公切线的条数. 【详解】圆的圆心坐标为，半径为1， 圆的圆心坐标为，半径为4， 则两圆的圆心距为， 两圆外切，两圆公切线的条数为3条. 故答案为：3 16．(23-24高二上·吉林辽源西安区田家炳高级中学校·期中)若圆 与圆相外切，则的值为 【答案】2 【分析】利用圆与圆的位置关系求解. 【详解】圆 的标准方程为：， 则其圆心为，半径为 ， 因为圆 与圆相外切， 所以， 解得， 所以的值为2， 故答案为：2 17．(23-24高二上·吉林通化梅河口第五中学·期中)已知直线与圆C：相交于A，B两点，O为坐标原点，若四点共圆，则的值为 . 【答案】4 【分析】设出所在圆的圆心以及圆方程，根据圆心坐标满足的垂直平分线，结合直线为圆与圆的相交线直线，比较系数，即可求得结果. 【详解】设所在圆的圆心为，则圆方程为； 又的中点坐标为，，故垂直平分线的斜率， 则的垂直平分线所在方程为：，即，故； 因为直线为圆与圆的相交弦，故两圆方程作差可得：， 即，又直线方程为， 则，解得. 故答案为：. 18．(23-24高二上·吉林长春南关区长春实验中学·期中)已知两圆和． (1)求两圆的公共弦所在直线的方程； (2)求过两圆交点且圆心在直线上的圆的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）两圆的方程相减，即可得公共弦所在直线的方程； （2）根据题意，得到所求圆的圆心在直线上，联立方程组求得圆心坐标和半径，即可的圆的方程. 【详解】（1）解：由圆和， 两个圆的方程相减，可得， 即两圆的公共弦所在直线的方程为． （2）解：由两圆方程，可得圆心，可得圆心连线所在直线的方程为， 由圆的性质，可得所求圆的圆心在直线上， 由方程组，解得， 又由方程组，解得或， 即两个圆的交点为或， 即所求圆的圆心坐标为，半径， 所以所求圆的方程为. 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $