精品解析：安徽安庆市第一中学等校2025-2026学年高二上学期2月期末联考数学（CB）试题

高二数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册，选择性必修第二册第四章． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 数列的一个通项公式为（    ） A. B. C. D. 2. 抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 3. 过点且与直线垂直的直线的方程是（ ） A. B. C. D. 4. 已知椭圆：，下列与椭圆C焦点相同的双曲线方程为（ ） A. B. C. D. 5. 已知为等比数列的前项和，若，则（ ） A. B. C. D. 6. 一动圆与圆外切，同时与圆内切，则该动圆圆心的轨迹是（ ） A. 抛物线 B. 双曲线的一支 C. 椭圆 D. 圆 7. 已知做一个木梯需要7根横梁，这7根横梁的长度从上到下成等差数列，现有长为1.8m的一根木杆刚好可以截成最上面的三根横梁，长为2.4m的一根木杆刚好可以截成最下面的三根横梁，那么正中间的一根横梁的长度是（ ） A. 0.6m B. 0.7m C. 0.8m D. 0.9m 8. 如图，在平行六面体中，，，，则直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 直线与圆相切，则实数等于（ ） A. B. C. D. 10. 若数列的通项公式是，则（ ） A. 是数列中的项 B. 数列是递增数列 C. 数列的前项和有最大值 D. 数列的前项和无最小值 11. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，点是的右支上一点，过点作的切线与的两条渐近线分别交于，两点，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为8 B. 存在点，使得 C. 点，的纵坐标之积为定值 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知点在平面内，且对于平面外一点，满足，则___________． 13. 已知抛物线与直线，点为抛物线上一动点，则当点到直线的距离最小时，点的坐标为___________． 14. 若圆与曲线有两个公共点，则的取值范围为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知直线和. （1）求证：直线过定点，且此定点在内； （2）若直线与相交于A，B两点，且，求直线的方程. 16. 已知数列满足：． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 17. 如图，平面平面，四边形是正方形，． （1）求证：； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 18. 已知椭圆的离心率为，且过点（2，1），直线与交于，两点. （1）求的方程； （2）若线段的中点为，求直线的方程； （3）若直线的斜率不为0且经过的左焦点，点是轴上的一点，且，，求直线的斜率. 19. 已知数列满足． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和； （3）若，数列的前项和为，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册，选择性必修第二册第四章． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 数列的一个通项公式为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据数列的定义和规律求解即可. 【详解】将数列7，25，79，241，… 的各项都加上2后为9，27，81，243，… ， 故该数列的一个通项公式为. 故选：C. 2. 抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将抛物线方程化为标准方程，即可求解. 【详解】由题意，抛物线的标准方程为， 所以抛物线的准线方程为. 故选：C. 3. 过点且与直线垂直的直线的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据垂直求出直线的斜率，再由点斜式方程可得答案. 【详解】直线的斜率为， 因为直线与直线垂直， 所以直线的斜率为， 又直线过点，所以直线的方程为， 即. 故选：D. 4. 已知椭圆：，下列与椭圆C焦点相同的双曲线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，求出椭圆的焦点坐标，再逐项判断得解. 【详解】椭圆：的焦点在轴上，其坐标为， 选项AC的双曲线焦点在轴上，AC不是； 对于B，焦点在轴上，半焦距，即该双曲线焦点与椭圆C焦点不同，B不是； 对于D，焦点在轴上，半焦距，其焦点与椭圆C焦点相同，D是. 故选：D 5. 已知为等比数列的前项和，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由等比数列的性质及前项和求解． 【详解】设等比数列的公比为， 由，得， 又，所以，解得， 又，所以， 所以. 故选：B. 6. 一动圆与圆外切，同时与圆内切，则该动圆圆心的轨迹是（ ） A. 抛物线 B. 双曲线的一支 C. 椭圆 D. 圆 【答案】C 【解析】 【分析】由圆与圆的位置关系确定，，，再利用椭圆的定义可求. 【详解】如图，设动圆的圆心为，半径为， 由题意得圆：，圆：， 则，，， 所以，所以点的轨迹为以，为焦点，长轴长为的椭圆（除去点）. 故选：C. 7. 已知做一个木梯需要7根横梁，这7根横梁的长度从上到下成等差数列，现有长为1.8m的一根木杆刚好可以截成最上面的三根横梁，长为2.4m的一根木杆刚好可以截成最下面的三根横梁，那么正中间的一根横梁的长度是（ ） A. 0.6m B. 0.7m C. 0.8m D. 0.9m 【答案】B 【解析】 【分析】记7根横梁的长度从上到下成等差数列，由题意结合等差数列的性质，即可求得答案. 【详解】记7根横梁的长度从上到下成等差数列， 由题意得，， ∴，，故，， ∵，∴，即正中间的一根横梁的长度是0.7m. 故选：B. 8. 如图，在平行六面体中，，，，则直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】以、、为基底向量，计算基底间的数量积，进而表示出与，通过向量的数量积与模长公式，结合异面 直线所成角的余弦公式（向量夹角余弦的绝对值）求解. 【详解】记，，， 则，，， 又，， 所以， ， ， 记与所成的角为，则． 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 直线与圆相切，则实数等于（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】由题意，圆心到直线的距离等于半径建立方程，解之即得. 【详解】由，可得，知其圆心为，半径为， 依题意，圆心到直线的距离为， 解得或. 故选：AC. 10. 若数列的通项公式是，则（ ） A. 是数列中的项 B. 数列是递增数列 C. 数列的前项和有最大值 D. 数列的前项和无最小值 【答案】AB 【解析】 【分析】由，计算即可判断A；求出，利用配方法得：，即可判断数列是递增数列；由，得数列为首项为，公差为2的等差数列，且逐项递增，即可判断C D. 【详解】数列的通项公式是， 令，得， 是数列的第49项，故A正确； ， 在时递增， 故数列是递增数列，故B正确； 数列的通项公式是， ， ， ， 数列为首项为，公差为2的等差数列，且逐项递增， 数列的前项和没有最大值，故C错误； ， 数列为首项为，公差为2的等差数列，且逐项递增， ， 数列的前项和有最小值，故D错误． 故选：AB 11. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，点是的右支上一点，过点作的切线与的两条渐近线分别交于，两点，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为8 B. 存在点，使得 C. 点，的纵坐标之积为定值 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】设，由，可判定A正确；假设存在点，，可判断B；设直线的方程为，求得切点的纵坐标，与渐近线联立方程组求得交点的坐标，计算可判断C，利用中点坐标公式可判断D. 【详解】由题意，双曲线，可得，，则， 所以焦点，，设，则，且，即， 由，故A正确； 假设存在点，设，则，且，即， 所以， 所以不存在点，使得，故B错误； 显然直线的斜率不为0，设直线的方程为， 由,得， 又直线与相切，所以，整理得， 所以，即0，解得， 即点的纵坐标为. 不妨设直线与的交点为，与的交点为， 由，解得，即点的纵坐标为， 由，解得，即点的纵坐标为， 则点，的纵坐标之积为，故C正确； 因为， 所以点是线段的中点，所以，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】方法点睛：设切线方程与椭圆方程联立，求得切点坐标的纵坐标，与渐近线交点的纵坐标，进而利用代数运算求得结果，体现了平面解析几何的坐标法解决几何问题的特点. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知点在平面内，且对于平面外一点，满足，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用空间向量共面定理的推论（若四点共面，则从同一点出发的三个向量系数之和为 1），代入已知系数建立方程求解. 【详解】因为点在平面内，且，所以，解得． 故答案为：. 13. 已知抛物线与直线，点为抛物线上一动点，则当点到直线的距离最小时，点的坐标为___________． 【答案】 【解析】 【分析】设，利用点到直线的距离公式及二次函数的性质计算可得. 【详解】由点为抛物线上一动点，设， 则点到直线的距离， 可得当时，有最小值，此时点的坐标为． 故答案为： 14. 若圆与曲线有两个公共点，则的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据圆、曲线的对称性，只需分析与圆只有一个交点即可，分相切与相交两种情况讨论，分别计算可得. 【详解】圆的圆心为坐标原点，关于轴对称， 因为为偶函数，函数图象关于轴对称，所以曲线的图象也关于轴对称， 所以只需研究与圆只有一个交点即可， 当与圆相切时，则， 当与圆相交时（只有一个交点），则， 综上可得的取值范围为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知直线和. （1）求证：直线过定点，且此定点在内； （2）若直线与相交于A，B两点，且，求直线的方程. 【答案】（1） 直线的方程可变形为， 令，则，所以直线过定点， 因为，所以点在内部； （2）. 【解析】 【分析】（1）令求得直线过定点，代入圆的方程判断点与圆位置关系； （2）利用和圆的半径，求出圆心到直线的距离，再利用点到直线的距离公式列方程求出，即可得到直线方程. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 的方程可化为，所以的圆心为，半径. 因为，所以圆心到直线的距离， 即，解得，所以直线的方程为. 16. 已知数列满足：． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先利用求出首项，再通过作差法（用前项和减前项和）得到通项公式，并验证首项满足该式； （2）先由求出的表达式并拆分为等比数列与等差数列的和，再分别用等比数列和等差数列的求和公式求出前项和. 【小问1详解】 因为， 当时，，所以， 当时，①， ②， ①②得，，所以， 也满足． 综上，． 【小问2详解】 由题可知， 所以 ． 17. 如图，平面平面，四边形是正方形，． （1）求证：； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）证明：因为，平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 又平面， 所以．因为四边形是正方形， 所以，又，平面， 所以平面，又平面， 所以； （2） 【解析】 【分析】（1）证明平面，证明，证明平面，证明； （2）证明平面，证明，证明，以所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，根据向量法即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知平面， 又平面，所以， 又四边形是正方形，所以， 所以两两垂直． 以所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则， 所以， 设平面的法向量为， 则 令，得， 所以平面的一个法向量为， 设平面的法向量为， 则， 令，得，， 所以平面的一个法向量为， 设平面与平面的夹角为， 则， 即平面与平面的夹角的余弦值为． 18. 已知椭圆的离心率为，且过点（2，1），直线与交于，两点. （1）求的方程； （2）若线段的中点为，求直线的方程； （3）若直线的斜率不为0且经过的左焦点，点是轴上的一点，且，，求直线的斜率. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆上过的点及离心率列出方程组，求出椭圆方程； （2）设，，利用点差法可求直线直线的斜率，进而可求直线的方程； （3）设直线，利用根与系数的关系求得点的坐标，求得，利用已知得，求解即可. 【小问1详解】 由题意知， 解得，，， 所以的方程为. 【小问2详解】 设，， 又线段的中点为，所以，即， 又，是上的点，所以， 所以，所以， 即直线的斜率为，所以直线的方程为，即. 【小问3详解】 由题意左焦点，直线的斜率不为0，设直线， 由得，所以， ，，. 设的中点为，则， 点在轴上，且，，则垂直平分，且， 所以的中垂线方程为，令，得， 所以， 又， 所以， 解得，所以直线的斜率是. 19. 已知数列满足． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和； （3）若，数列的前项和为，证明：． 【答案】（1） （2） （3） 证明：由（1）及，得， 所以 ， 因为，所以，所以． 【解析】 【分析】（1）通过递推式得到相邻项的比值关系，使用累乘法求出数列通项公式，并验证首项满足该式； （2）先由第 (1) 问的通项得到的表达式，将其拆分为等差乘等比与等差数列的差，对等差乘等比部分用错位相减法求和，等差数列部分用公式求和，最后合并得到前项和； （3）将拆成裂项相消的形式，通过累加抵消中间项得到前项和，再利用放缩法证明. 【小问1详解】 由，得， 所以， 将以上各式相乘，得， 又，所以， 又满足上式，所以． 【小问2详解】 由（1）与，得， 设的前项和分别为， ， 所以， 以上两式相减，得 所以．， 所以，即数列的前和为． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $