精品解析：河北省石家庄市第三十八中学2025-2026学年高三上学期1月期末数学试题

2026年1月高三期末数学试题 （时间120分钟，满分150分） 注意事项： 1．答题前填写好自已的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知复数 满足，则（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由复数的四则运算和模的计算公式可得结果. 【详解】因为，所以. 故选：D. 2. 8月20日《黑神话悟空》风靡全球，下列几组对象可以构成集合的是（ ） A. 游戏中会变身的妖怪 B. 游戏中长的高的妖怪 C. 游戏中能力强的妖怪 D. 游戏中击败后给奖励多的妖怪 【答案】A 【解析】 【分析】根据集合的确定性依次判断选项即可. 【详解】对A：游戏中会变身的妖怪可以构成集合，故A正确； 对B、C、D：不满足集合的确定性，故不能构成集合，故B、C、D错误. 故选：A. 3. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】移项通分，转化为一元二次不等式即可求解. 【详解】，可得， 即为，且，可得 故选：C 4. 如图函数的图象过点三点，则的值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据正弦型函数的对称性结合图象得一组相邻的对称中心与对称轴，从而确定函数的最小正周期，即可得的值. 【详解】由图可知点的中点为函数的对称中心， 由于过，则直线为函数的对称轴， 则由图可得，则最小正周期，解得. 故选：C. 5. 已知 是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据周期性和奇偶性把待求自变量转化为的范围中求解. 【详解】由题知对一切成立， 于是. 故选：A 6. 如图，在 中，，P为 上一点，且满足，则m的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合几何关系得，由三点共线推论即可求解. 【详解】由可得，即，因为三点共线，所以. 故选：C 7. 直线与圆交于A，B两点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求得直线恒过的定点，找出弦长取得最值的状态，即可求出的取值范围. 【详解】由题易知直线恒过， 圆化为标准方程得， 即圆心为，半径， 圆心到距离， 所以在圆内， 则直线与圆交点弦最大值为直径即8， 最小时即为圆心到直线距离最大， 即时，此时， 所以的取值范围为. 故选：D 8. 已知，，且，则的最大值为（ ） A. B. 1 C. 4 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】由基本不等式结合对数运算性质即可求解. 【详解】， 当且仅当，即时取等号， 故选：B 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的不得分．） 9. 如图，等边三角形 的边长为4，E为边 的中点，于D.将沿翻折至的位置，连接.那么在翻折过程中，下列说法当中正确的是（ ） A. B. 四棱锥的体积的最大值是 C. 存在某个位置，使 D. 在线段上，存在点M满足，使为定值 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，由，得，，从而平面，进而；对于B，当平面平面时，四棱锥的体积最大，由此能求出四棱锥的体积的最大值；对于C，假设存在某个位置，使得，连接，，由得，从而平面，推导出，假设错误；对于D，取的中点，连接，可得，，推导出为直角三角形，由此能判断D． 【详解】对于A：因为，即，， 因为， ，面，则平面， 因为平面，所以，故A正确； 对于B：当平面平面时，四棱锥的体积最大. 由A易知为二面角的平面角，此时. 即，，，，面， 此时平面，即为四棱锥底面上的高， 由题意可得， 四棱锥的体积的最大值为：，故B正确； 对于C：假设存在某个位置，使得，连接，由正三角形性质得， 因为，，面，所以平面， 由平面，所以，由A知， 因为，，面，所以平面， 由平面，所以，则，与题设矛盾，假设不成立，故C错误； 对于D：由题设，点M在线段上，且， 取的中点N，连接NB，则，， 由底面三角形 的边长为4，则，，， 因为平面，所以面，面，所以， 所以为直角三角形，且，，故为定值，故D正确. 故选：ABD. 10. 锐角三角形 中，角所对的边分别是，已知，，，则（ ） A. B. C. D. 的面积为 【答案】AD 【解析】 【分析】根据正弦定理、余弦定理结合三角形内角和定理和三角形的面积公式逐项判断即可. 【详解】因为且 为锐角三角形，所以. 根据三角形的内角和定理，得：，故A正确. 由余弦定理：得：. 整理得，又，所以，故B错误； 根据正弦定理：，故C错误； 因为，故D正确. 故选：AD 11. 已知a>0，b>0，且a+b=1，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据，结合基本不等式及二次函数知识进行求解. 【详解】对于A，， 当且仅当时，等号成立，故A正确； 对于B，，所以，故B正确； 对于C，， 当且仅当时，等号成立，故C不正确； 对于D，因为， 所以，当且仅当时，等号成立，故D正确； 故选：ABD 【点睛】本题主要考查不等式的性质，综合了基本不等式，指数函数及对数函数的单调性，侧重考查数学运算的核心素养. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若直线是曲线的一条切线，则_________. 【答案】 【解析】 【分析】法一：利用导数的几何性质与导数的四则运算求得切点，进而代入曲线方程即可得解；法二：利用导数的几何性质与导数的四则运算得到关于切点与 的方程组，解之即可得解. 【详解】法一：对于，其导数为， 因为直线是曲线的切线，直线的斜率为2， 令，即，解得 ， 将 代入切线方程，可得， 所以切点坐标为， 因为切点在曲线上， 所以，即，解得 . 故答案为： . 法二：对于，其导数为， 假设与的切点为， 则，解得 . 故答案为： . 13. 若一个等比数列的各项均为正数，且前4项的和等于4，前8项的和等于68，则这个数列的公比等于_________. 【答案】 【解析】 【分析】法一：利用等比数列的求和公式作商即可得解；法二：利用等比数列的通项公式与前 项和的定义，得到关于 的方程，解之即可得解；法三：利用等比数列的前 项和性质得到关于 的方程，解之即可得解. 【详解】法一：设该等比数列为，是其前 项和，则， 设的公比为， 当时，，即，则，显然不成立，舍去； 当时，则， 两式相除得，即， 则，所以， 所以该等比数列公比为2. 故答案为：. 法二：设该等比数列为，是其前 项和，则， 设的公比为， 所以， ， 所以，则，所以， 所以该等比数列公比为2. 故答案为：2. 法三：设该等比数列为，是其前 项和，则， 设的公比为， 因为， 又， 所以，所以， 所以该等比数列公比为. 故答案为：. 14. 设，若函数在上单调递增，则a的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】原问题等价于恒成立，据此将所得的不等式进行恒等变形，可得，由右侧函数的单调性可得实数 的二次不等式，求解二次不等式后可确定实数 的取值范围. 【详解】由函数的解析式可得在区间上恒成立， 则，即在区间上恒成立， 故，而，故， 故即，故， 结合题意可得实数 的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且 Ⅰ求角A的大小； Ⅱ若，求面积的最大值． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）. 【解析】 【详解】分析：（1）由正弦定理进行边角互化得． （2）由余弦定理结合基本不等式进行求解． 详解：（Ⅰ）由正弦定理可得： 从而可得：，即 又为三角形内角，所以，于是 又为三角形内角，所以． （Ⅱ）由余弦定理：得：， 所以，所以. 点睛：本题主要考查了正弦定理、余弦定理、三角形面积公式和基本不等式的应用，属于中档题． 16. 已知圆，直线． （1）设直线与圆交于不同两点 ，求弦 的中点的轨迹方程； （2）若定点分弦 为，求此时直线的方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）将直线变形为，得到直线恒过点，过作于，得到为线段 的中点，设，根据圆的性质，列出方程，即可求解； （2）由，得到，联立方程组，得到，联立解得，将其代入联立后的方程，求得 的值，即可求解. 【小问1详解】 解：直线变形为，可知直线恒过点， 由圆，可得圆心，半径为， 过作于，可知为线段 的中点， 设，则有， 化简得， 点也满足此方程，故的轨迹方程为． 【小问2详解】 解：设， 由，可得，化简得， 又由，消去 得， 可得，联立解得， 将其代入方程， 可得，解得 ， 所以直线的方程为或． 17. 已知数列和满足：，，数列的前 项和为. （1）求数列和的通项公式： （2）设数列，求数列的前 项和. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）构造等比数列，求解的通项公式；利用 求解的通项公式；（2）根据第一问的求解，得到，其中利用错位相减法求和，进而求出数列的前 项和 【小问1详解】 ∵ ∴设，整理： ∴ ∴ ∴公比是2的等比数列 ∴ ∴ 当时 当时，，符合 故的通项公式为： 【小问2详解】 ∴设的前n项和为 则① ② ①-②得： ∴ ∴ 18. 如图，在三棱台中，平面，为 中点.，N为AB的中点， （1）求证：//平面； （2）求平面与平面所成夹角的余弦值； （3）求点到平面的距离． 【答案】（1）证明：连接.由 分别是的中点，根据中位线性质，//，且， 由棱台性质，//，于是//，由可知，四边形是平行四边形，则//， 又平面，平面，于是//平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，然后用线面平行的判定解决； （2）利用二面角的定义，作出二面角的平面角后进行求解； （3）方法一是利用线面垂直的关系，找到垂线段的长，方法二无需找垂线段长，直接利用等体积法求解 【小问1详解】 略 【小问2详解】 过作，垂足为 ，过 作，垂足为 ,连接. 由面 ，面 ，故，又，，平面，则平面. 由平面，故，又，，平面，于是平面， 由平面，故.于是平面与平面所成角即. 又，，则，故，在中，，则， 于是 【小问3详解】 [方法一：几何法] 过作，垂足为 ，作，垂足为 ，连接，过 作，垂足为 . 由题干数据可得，，，根据勾股定理，， 由平面，平面，则，又，，平面，于是平面. 又平面，则，又，，平面，故平面. 在中，， 又，故点到平面的距离是 到平面的距离的两倍， 即点到平面的距离是. [方法二：等体积法] 辅助线同方法一. 设点到平面的距离为 . ， . 由，即. 19. 已知函数． （1）求函数的单调区间； （2）当时，求函数在区间上的最大值． 【答案】（1） 当，的增区间为，无减区间， 若，减区间为，增区间为. （2） 当时，函数的最大值为， 当时，函数的最大值为. 【解析】 【分析】（1）利用导数，分类讨论求区间； （2）结合（1）得到的函数单调性，分类讨论函数最大值. 【小问1详解】 的定义域为 ， 求导数，得 ， 若，则，此时在上单调递增， 若，则由得，当时，，在上单调递减， 当时， ，在上单调递增， 综上，当，的增区间为，无减区间， 若，减区间为，增区间为. 【小问2详解】 由（1）知，当时，在区间上为增函数， 函数的最大值为， 当时，在区间上为减函数， 函数的最大值为， 当时，在区间上为减函数，在上为增函数， 函数的最大值为， 由，得， 若时，函数的最大值为， 若时，函数的最大值为， 综上，当时，函数的最大值为， 当时，函数的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年1月高三期末数学试题 （时间120分钟，满分150分） 注意事项： 1．答题前填写好自已的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知复数 满足，则（ ） A. B. 2 C. D. 2. 8月20日《黑神话悟空》风靡全球，下列几组对象可以构成集合的是（ ） A. 游戏中会变身的妖怪 B. 游戏中长的高的妖怪 C. 游戏中能力强的妖怪 D. 游戏中击败后给奖励多的妖怪 3. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 4. 如图函数的图象过点三点，则的值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 5. 已知 是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在 中，，P为 上一点，且满足，则m的值为（ ） A. B. C. D. 7. 直线与圆交于A，B两点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，，且，则的最大值为（ ） A. B. 1 C. 4 D. 16 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的不得分．） 9. 如图，等边三角形 的边长为4，E为边 的中点，于D.将沿翻折至的位置，连接.那么在翻折过程中，下列说法当中正确的是（ ） A. B. 四棱锥的体积的最大值是 C. 存在某个位置，使 D. 在线段上，存在点M满足，使为定值 10. 锐角三角形 中，角所对的边分别是，已知，，，则（ ） A. B. C. D. 的面积为 11. 已知a>0，b>0，且a+b=1，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若直线是曲线的一条切线，则_________. 13. 若一个等比数列的各项均为正数，且前4项的和等于4，前8项的和等于68，则这个数列的公比等于_________. 14. 设，若函数在上单调递增，则a的取值范围是______. 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且 Ⅰ求角A的大小； Ⅱ若，求面积的最大值． 16. 已知圆，直线． （1）设直线与圆 交于不同两点 ，求弦 的中点 的轨迹方程； （2）若定点分弦 为，求此时直线的方程． 17. 已知数列和满足：，，数列的前 项和为. （1）求数列和的通项公式： （2）设数列，求数列的前 项和. 18. 如图，在三棱台中，平面， 为 中点.，N为AB的中点， （1）求证：//平面； （2）求平面与平面所成夹角的余弦值； （3）求点 到平面的距离． 19. 已知函数． （1）求函数的单调区间； （2）当时，求函数在区间上的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $