7.4 二项分布与超几何分布 讲义-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

§7.4 二项分布与超几何分布 目录 题型1：重伯努利试验 3 题型2：二项分布 10 题型3：超几何分布 19 题型4：二项分布与超几何分布的综合应用 26 1. 伯努利试验与二项分布 (1) 伯努利试验 只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验.我们将一个伯努利试验独立地重复进行次所组成的随机试验称为重伯努利试验. 显然，重伯努利试验具有如下共同特征: ①同一个伯努利试验重复做次; ②各次试验的结果相互独立. 提醒 重复意味着各次试验成功的概率相同. (2) 二项分布 一般地，在重伯努利试验中，设每次试验中事件发生的概率为，用表示事件发生的次数，则的分布列为. 如果随机变量的分布列具有上述的形式，则称随机变量服从二项分布，记作. 提醒 (1)二项分布的适用范围:①各次试验中的事件是相互独立的;②每次试验只有两种结果:事件要么发生,要么不发生；③随机变量是这几次独立重复试验中事件发生的次数. (2)二项分布的本质:二项分布是放回抽样问题,在每次试验中某一事件发生的概率是相同的. 2. 二项分布的均值与方差 若，则，. 3. 超几何分布 一般地，假设一批产品共有件，其中有件次品.从件产品中随机抽取件(不放回)，用表示抽取的件产品中的次品数，则的分布列为，其中， . 如果随机变量的分布列具有上述的形式，那么称随机变量服从超几何分布列. 提醒 超几何分布的适用范围件及本质 (1) 适用范围:①考察对象分两类;②已知各类对象的个数;③从中抽取若干个个体,考察某类个体个数的概率分布. (2) 本质:超几何分布是不放回抽样问题,在每次试验中某一事件发生的概率是不相同的,其实质是古典概型. 题型1：重伯努利试验 方法提炼 重伯努利试验的判断及相应概率的求解策略 (1) 符合重伯努利试验必须满足的两个特征：①每次试验的条件完全相同，有关事件的概率保持不变；②各次试验的结果互不影响，即各次试验相互独立； (2) 在求重伯努利试验中事件恰好发生次的概率时，首先要确定好，和的值，再准确利用公式求概率. 【例1.1.】 甲抛掷均匀硬币2025次，乙抛掷均匀硬币2024次，下列四个随机事件的概率是0.5的是（    ） ①甲抛出正面次数比乙抛出正面次数多. ②甲抛出反面次数比乙抛出正面次数少. ③甲抛出反面次数比甲抛出正面次数多. ④乙抛出正面次数与乙抛出反面次数一样多. A．①③ B．①② C．②③ D．②④ 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】独立重复试验的概念、确定性事件与随机事件的概率 【分析】甲抛掷均匀硬币2025次，乙拋掷均匀硬币2024次，每次抛掷时出现正面的概率都是0.5，出现反面的概率也都是0.5，由此能求出结果． 【详解】依题意，甲抛掷均匀硬币2025次，乙拋掷均匀硬币2024次，每次抛掷时出现正面的概率都是0.5，出现反面的概率也都是0.5， 在①中，甲比乙多抛掷一次硬币，设甲乙都抛掷2024次时，正面向上次数相等时的概率为， 甲抛出正面次数多于乙抛出正面次数的概率为，甲抛出正面次数少于乙抛出正面次数的概率为， 则，甲再抛一次，甲抛出正面次数比乙抛出正面次数多的概率为，①是； 在②中，甲比乙多抛掷一次硬币，设甲乙都抛掷2024次时，甲反面次数与乙正面次数相等时的概率为， 甲抛出反面次数多于乙抛出正面次数的概率为，甲抛出反面次数少于乙抛出正面次数的概率为， 则，甲再抛一次，甲抛出反面次数比乙抛出正面次数少的概率不大于，②不是； 在③中，甲抛掷均匀硬币2025次，甲抛出反面次数比甲抛出正面次数多的概率是0.5，③是； 在④中，乙抛掷均匀硬币2024次，乙抛出正面次数与乙抛出反面次数一样多的概率为，④不是， 所以四个随机事件的概率是0.5的是①③. 故选：A 【例1.2.】 将一枚质地均匀的骰子先后抛掷三次，恰好出现两次掷出的点数为3的倍数的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】计算古典概型问题的概率、独立重复试验的概率问题 【分析】求出抛掷一次掷出的点数为3的倍数的概率，再根据二项分布的概率公式即可求解. 【详解】抛掷一枚骰子，出现的点数可能为，其中点数为3的倍数的为， 所以抛掷一次质地均匀的骰子，掷出的点数为3的倍数的概率为， 所以抛掷三次，恰好出现两次掷出的点数为3的倍数的概率为. 故选：C. 【例1.3.】 袋中装有标号为1，2，3，4，5且质地、大小相同的5个小球，从袋子中一次性摸出两个球，记下号码后将两球放回，如果两个号码的和是偶数，则获奖. 若有4人参与摸球，则恰好2人获奖的概率是 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】独立重复试验的概率问题 【分析】先确定摸一次中奖的概率，4个人摸奖，相当于发生4次试验，根据每一次发生的概率，利用独立重复试验的公式得到结果． 【详解】从袋子中一次性摸出两个球，共有种情况， 其中两个号码的和为偶数的有共4种情况， 所以一个人摸球，能够获奖的概率为， 所以4人参与摸球，恰好2人获奖的概率. 故答案为：. 【例1.4.】 如图是一块高尔顿板示意图：在一块木板上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，小球从上方的通道口落下后，将与层层小木块碰撞，最后掉入下方的某一个球槽内．若小球下落过程中每次与小木块碰撞后，向左、向右落下的机会均等，则小球最终落入③号球槽和⑥号球槽的概率之和为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】建立二项分布模型解决实际问题、独立重复试验的概率问题、独立事件的乘法公式 【分析】分析下落过程碰撞的次数和向左向右落下的概率，分别分析落入③号球槽和⑥号球槽的情况，分析求解，即可得答案. 【详解】下落过程中，需要经过6次碰撞，每次向左、向右落下的概率均为， 落入③号球槽需向左4次，向右2次，则, 落入⑥号球槽需向左1次，向右5次，则， 则小球最终落入③号球槽和⑥号球槽的概率之和为. 故选：B 【例1.5.】 有款小游戏，规则如下：一小球从数轴上的原点出发，通过掷骰子决定向左或者向右移动．掷出骰子，若是奇数点向上，则向左移动一个单位；若是偶数点向上，则向右移动一个单位，则第一次掷完骰子小球位于且第五次掷完骰子小球位于1的概率为 ． 【答案】/ 【难度】0.4 【知识点】计算古典概型问题的概率、独立重复试验的概率问题 【分析】掷出骰子，奇数点向上与偶数点向上的概率均为，第一次向左移动位于，且后续4次移动中小球向右移动3次，向左移动1次才能保证第五次位于1，根据独立重复试验的概率公式求解即可. 【详解】掷出骰子，奇数点向上的概率为，偶数点向上的概率亦为； 第一次掷完骰子小球位于，即第一次向左移动，且第五次位于1， 则后续4次移动中小球向右移动3次，向左移动1次， 故其概率为． 故答案为. 【例1.6.】 小明和小红进行某项比赛（比赛结果没有平局），小明每局获胜的概率均为，每局比赛胜者获得1个积分，负者获得0个积分，记小明和小红两人积分之差的绝对值为.规定时，比赛结束且总积分多者获胜.若，，则在不超过5局比赛结束的条件下，小明以获胜的概率为 . 【答案】 【难度】0.4 【知识点】独立事件的乘法公式、独立重复试验的概率问题、计算条件概率 【分析】有两种情况，第一种小明或小红连胜3局，第二种小明或小红以4:1获胜，进而可求得结果. 【详解】若，，且在不超过5局比赛结束的条件下，有两种情况， 第一种小明或小红连胜3局，概率为. 第二种小明或小红以4:1获胜，. 其中小明以4:1获胜的概率为. 所以在不超过5局比赛结束的条件下，小明以4:1获胜的概率为 . 故答案为：. 【例1.7.】 学校举行数学知识竞赛，每班派出一个由两名同学组成的参赛队参加比赛，比赛分为初赛和决赛，规则如下：初赛由参赛队中一名同学答题3次，若3次都未答对，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少答对一次，则该队进入决赛.决赛由该队的另一名同学答题3次，每次答对得3分，未答对得0分，该队的比赛成绩为决赛的得分总和. 某班参赛队由甲、乙两名同学组成，设甲每次答题答对的概率为，乙每次答题答对的概率为，且每次答题相互独立. (1)若，甲同学参加初赛，求该班进入决赛的概率； (2)若，，乙同学参加初赛，记该班的比赛成绩为，求的分布列和数学期望； (3)设，，为使得该班的比赛成绩为9分的概率最大，应如何安排甲、乙出场比赛的顺序？ 【答案】(1) (2)的分布列见解析，数学期望为 (3)为使得该班的比赛成绩为9分的概率最大，当时，应安排乙初赛，甲决赛；当时，应安排甲初赛，乙决赛. 【难度】0.4 【知识点】利用二项分布求分布列、独立事件的乘法公式、独立重复试验的概率问题 【分析】（1）结合对立事件的概率公式及独立重复试验的概率计算即可. （2）确定随机变量的可能取值，分类计算概率，列出分布列，计算数学期望即可. （3）分别求出“甲初赛，乙决赛”和“乙初赛，甲决赛”的概率，比较大小即可. 【详解】（1）已知甲每次答题答对的概率为，则甲每次答题答错的概率为. 因为甲答题3次是相互独立事件，所以甲3次都未答对的概率为. 该班进入决赛的对立事件是甲3次都未答对， 所以该班进入决赛的概率为. （2）已知乙同学参加初赛，若乙3次都未答对，则该班被淘汰，比赛成绩为0分；若乙至少答对一次，则进入决赛，决赛由另一名同学答题3次，每次都答对得3分，未答对得0分， 乙初赛答对概率，甲决赛答对概率. 的可能取值为0，3，6，9. ①乙初赛全错或乙初赛至少答对1次但甲决赛全错. . ②乙初赛至少答对1次，甲决赛答对1次. . ③乙初赛至少答对1次，甲决赛答对2次. . ④乙初赛至少答对1次，甲决赛答对3次. . 所以该班的比赛成绩的分布列为 0 3 6 9 数学期望为. （3）成绩为9分的条件：初赛选手至少答对1次，决赛选手3次全答对. 甲初赛，乙决赛：. 乙初赛，甲决赛：. . 因为，所以. 又，，所以，所以. 当时，，此时，即，故乙初赛，甲决赛时，成绩为9分的概率更大； 当时，，此时，即，故甲初赛，乙决赛时，成绩为9分的概率更大； 综上，为使得该班的比赛成绩为9分的概率最大，当时，应安排乙初赛，甲决赛；当时，应安排甲初赛，乙决赛. 题型2：二项分布 方法提炼 (1) 与二项分布有关的期望与方差的求法: ①求随机变量的期望与方差时,可首先分析是否服从二项分布,如果服从,则用公式，求解,可大大减少计算量. ②有些随机变量虽不服从二项分布,但与之具有线性关系的另一随机变量服从二项分布,这时,可以综合应用以及求出,同样还可求出. (2) 二项分布概率最大问题的求解 若随机变量服从二项分布，即，其中，则有。要使，则当且仅当，在的左侧严格递增，在的右侧严格递减，故有： ①若，则取时最大； ②若是不超过的正整数，则当取和时，都达到最大值； ③若是不超过的非整数，由于，故（表示不超过的最大整数），当且仅当取时，最大. 【例2.1.】 已知随机变量，且，则等于（    ） A．24 B．36 C．48 D．72 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】二项分布的方差、二项分布的均值 【分析】由二项分布期望、方差计算公式即可求解； 【详解】由，得，，解得， 所以． 故选：A． 【例2.2.】 (多选)袋子中有2个黑球，1个白球，现从袋子中有放回地随机取球4次，取到白球记0分，黑球记1分，记4次取球的总分数为X，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【难度】0.65 【知识点】独立重复试验的概率问题、二项分布的均值、二项分布的方差 【分析】求出一次摸到黑球的概率，根据题意可得随机变量服从二项分布，再利用二项分布列及期望公式、方差公式求解即可. 【详解】从袋子中有放回的取球4次，则每次取球互不影响，并且每次取到的黑球概率相等， 又每次取一个球，取到白球记0分，黑球记1分，4次取球的总分数相当于抽到黑球的总个数， 又每次摸到黑球的概率为，由有放回地取4次球，得，A正确； ，B错误； 由二项分布期望公式得，C正确； 由二项分布方差公式得，D错误. 故选：AC 【例2.3.】 在高三的一个班中，有的学生数学成绩优秀，若从班中随机找出5名学生，那么数学成绩优秀的学生人数，则取最大值时 ． 【答案】1 【难度】0.65 【知识点】服从二项分布的随机变量概率最大问题 【分析】，可得．则且计算可得． 【详解】解：依题意，可得 则， 且， 解得，又，所以． 故答案为：1 【例2.4.】 某人准备应聘甲、乙两家公司的高级工程师，两家公司应聘程序都是：应聘者先进行三项专业技能测试，专业技能测试通过后进入面试．已知该应聘者应聘甲公司，每项专业技能测试通过的概率均为，该应聘者应聘乙公司，三项专业技能测试通过的概率依次为，，，其中，技能测试是否通过相互独立． (1)若该应聘者应聘乙公司三项专业技能测试恰好通过两项的概率为，求的值； (2)已知甲、乙两家公司的招聘在同一时间进行，该应聘者只能应聘其中一家，应聘者以专业技能测试通过项目数的数学期望为决策依据，若该应聘者更有可能通过乙公司的技能测试，求的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【难度】0.65 【知识点】二项分布的均值、求离散型随机变量的均值、独立事件的乘法公式、写出简单离散型随机变量分布列 【分析】（1）根据给定条件，利用相互独立事件的乘法公式及互斥事件的概率公式列式求解. （2）根据二项分布的期望公式求解去甲公司的期望，根据相互独立事件的概率乘法公式可求解去乙公式通过项目的概率，即可求解期望，进而比较两者的期望即可求解. 【详解】（1）依题意，解得， 所以的值为. （2）分别记“该应聘者应聘甲､乙公司三项专业技能测试中通过的项目数分别为”， 依题意，则； 的所有可能取值为， ， ， ， 因此的分布列为 0 1 2 3 数学期望， 由，得，解得， 所以的范围为：. 【例2.5.】 已知甲盒子中有大小和形状完全相同的若干个红球和白球，乙盒子中有大小和形状完全相同的3个红球2个白球． (1)记甲盒子中取到红球的概率为，若有放回地从甲盒子中取球5次，当p为何值时，能使得3次取到红球的概率最大； (2)从乙盒子不放回地取球，若将白球取完则停止取球，记停止取球时取球次数为X，求X的概率分布和期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析，数学期望为 【难度】0.65 【知识点】求离散型随机变量的均值、建立二项分布模型解决实际问题、独立事件的乘法公式、写出简单离散型随机变量分布列 【分析】（1）5次取球取到红球的次数，利用二项分布可得，利用导数可求解. （2）停止取球时取球次数为X，则，利用独立事件的概率公式与互斥事件的概率加法公可求得分布列，进而求解即可. 【详解】（1）因为每次取球后放回再第二次取球，所以每次取球的概率相同， 故5次取球取到红球的次数， 所以， 令，则可得， 令，则， 所以，因为，解得， 当时，，当时，， 所以时，取最大值， 所以时，能使得3次取到红球的概率最大； （2）停止取球时取球次数为X，则， 则， ， ， ， 所以的分布列为： 2 3 4 5 . 【例2.6.】 高三数学适应性考试中选择题有单选和多选两种题型组成.单选题每题四个选项，有且仅有一个选项正确，选对得5分，选错得0分；多选题每题四个选项，有两个或三个选项正确，全部选对得6分，部分选对得部分分，有错误选择或不选择得0分，具体得分的规则为：若正确答案为三个，那么选对一个得2分，选对两个得4分，选对三个得6分；若正确答案有两个选项，那么选对一个得3分，选对两个得6分. (1)已知某同学对其中4道单选题完全没有答题思路，只能随机选择一个选项作答，且每题的解答相互独立，记该同学在这4道单选题中答对的题数为随机变量. （i）求； （ii）求使得取最大值时的整数； (2)若该同学在解答最后一道多选题时，除确定B，D选项不能同时选择之外没有答题思路，只能随机选择若干选项作答.已知此题正确答案是两个选项与三个选项的概率均为. （i）求该同学只选A时得分的分布列和数学期望； （ii）求该同学在答题过程中使得分期望最大的答题方式，并写出得分的最大期望. 【答案】(1)（i）；（ii） (2)（i）分布列见解析，； （ii）该同学选择双选AC的得分期望最大，最大值为分. 【难度】0.65 【知识点】求离散型随机变量的均值、服从二项分布的随机变量概率最大问题、写出简单离散型随机变量分布列 【分析】（1）（i）易知，据此计算； （ii）令，结合二项分布的概率公式得到不等式组，解得的取值范围，再由为整数确定取值； （2）（i）先列出正确答案的所有可能结果，再计算其列分布列； （ii）算出单选、双选和三选条件下的数学期望，比较大小即可. 【详解】（1）（1）（i）因为，所以． （ii）因为， 依题意，即， 解得，又为整数，所以， 即时取最大值. （2）（i）若正确答案为两个选项，则所有可能结果为， 每种情况出现的概率均为； 若正确答案为三个选项，则所有可能结果为，每种情况出现的概率为； 由题可知的可能取值为， 则，，， 则的分布列为 则期望（分）. （ii）由（i）可得， ①若该同学做出的决策是单选，则得分的期望如下： （分）， （分）， 若该同学做出的决策是双选，则得分的期望如下： （分）， （分）， 若该同学做出的决策是三选，则得分的期望如下： （分）． 经比较，该同学选择双选AC的得分期望最大，最大值为分. 【例2.7.】 某企业对生产设备进行优化升级，升级后的设备控制系统由个相同的元件组成，每个元件正常工作的概率均为，各元件之间相互独立.当控制系统有不少于个元件正常工作时，设备正常运行，否则设备停止运行，记设备正常运行的概率为（例如：表示控制系统由3个元件组成时设备正常运行的概率，表示控制系统由5个元件组成时设备正常运行的概率）. (1)若，当时，求控制系统中正常工作的元件个数的分布列和数学期望，并求； (2)已知设备升级前，单位时间的产量为件，每件产品的利润为元，设备升级后，在正常运行状态下，单位时间的产量是原来的4倍，且出现了高端产品，每件产品成为高端产品的概率为，每件高端产品的利润是2元.记设备升级后单位时间内的利润为（单位：元）. （i）请用表示； （ii）设备升级后，已知该企业现有控制系统中有5个元件，若增加2个元件，则单位时间内的利润是否提高. 【答案】(1)分布列见解析，， (2)（i）；（ii）若，增加2个元件后利润提高； 若时，增加2个元件后利润没有提高. 【难度】0.4 【知识点】独立重复试验的概率问题、利用二项分布求分布列、建立二项分布模型解决实际问题、求离散型随机变量的均值 【分析】（1）由题意可知，利用二项分布求解即可求得期望，根据互斥事件的和事件的概率公式求解； （2）（i）先写出升级改造后单位时间内产量的分布列，求出设备升级后单位时间内的利润，即为； （ii）分以下三种情况讨论：①原系统中至少有4个元件正常工作；②原系统中恰好有3个元件正常工作，新增2个元件中至少有1个正常工作；③原系统中恰好有2个元件正常工作，新增2个元件全部正常工作，再对三种情况进行求和，得到，计算，与作比较，再根据判断即可. 【详解】（1）因为，所以控制系统中正常工作的元件个数的可能取值为， 因为每个元件的工作相互独立，且正常工作的概率均为，所以， 所以， ， ， ， 所以控制系统中正常工作的元件个数的分布列为 0 1 2 3 控制系统中正常工作的元件个数的数学期望为， （2）（i）升级改造后单位时间内产量的分布列为 产量 0 设备运行概率 所以升级改造后单位时间内产量的期望为， 所以 产品类型 高端产品 一般产品 产量（单位：件） 利润（单位：元） 2 1 设备升级后单位时间内的利润为，即. （ii）若增加2个元件，则第一类：原系统中至少有4个元件正常工作，其概率为； 第二类：原系统中恰好有3个元件正常工作，新增2个元件中至少有1个正常工作， 其概率为； 第三类：原系统中恰好有2个元件正常工作，新增2个元件全部正常工作， 其概率为. 所以 ， 则， 所以当时，，即增加2个元件设备正常工作的概率变大； 当时，，即增加2个元件设备正常工作的概率没有变大. 又因为， 所以当时，增加2个元件后利润提高；当时，增加2个元件后利润没有提高. 题型3：超几何分布 方法提炼 (1) 若随机变量服从超几何分布,则满足如下条件: ①该试验是不放回地抽取n次; ②随机变量表示抽取到的次品件数(或类似事件)。 (2) 一般地,设有件产品,其中次品和正品分别为件,件(),从中任取()件产品,用分别表示取出的件产品中次品和正品的件数,则随机变量服从参数为的超几何分布,记为；随机变量服从参数为的超几何分布，记为. (3) 求超几何分布的均值与方差的方法 列出随机变量的分布列,利用均值计算公式与方差计算公式直接求解. 【例3.1.】 一袋中有6个大小相同的黑球，编号为，还有4个同样大小的白球，编号为，现从中任取4个球.则下列结论中不正确的是（    ） A．取出的最大号码不服从超几何分布 B．取出的黑球个数服从超几何分布 C．取出2个白球的概率为 D．若取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，则总得分最大的概率为 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】超几何分布的分布列、计算古典概型问题的概率 【分析】利用超几何分布的定义判断AB；求出给定事件的概率判断CD. 【详解】对于AB，超几何分布是反映在个对象（包含个特定对象）中随机不放回取出个对象， 含有特定对象数的概率分布，被取出的个对象中特定对象数是变化的， 任意取出的4个号码，最大号码都只有1个，个数保持不变，不服从超几何分布， 取出的黑球个数服从超几何分布，AB正确； 对于C，取出2个白球的概率为，C错误； 对于D，取出四个黑球的总得分最大，概率为，D正确． 故选：C 【例3.2.】 某学校有一个体育运动社团，该社团中会打篮球且不会踢足球的有3人，篮球、足球都会的有2人，从该社团中任取2人，设为选出的人中篮球、足球都会的人数，若，则该社团的人数为（    ） A．5 B．6 C．7 D．10 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】求超几何分布的概率 【分析】设该社团共有人数为人，先计算，再根据，求解即可. 【详解】设该社团共有人数为人， ， , 即， 又因为，解得. 故选：C 【例3.3.】 莫高窟坐落在甘肃的敦煌，它是世界上现存规模最大､内容最丰富的佛教艺术胜地，每年都会吸引来自世界各地的游客参观旅游.已知购买莫高窟正常参观套票可以参观8个开放洞窟，在这8个洞窟中莫高窟九层楼96号窟､莫高窟三层楼16号窟､藏经洞17号窟被誉为最值得参观的洞窟.根据疫情防控的需要，莫高窟改为极速参观模式，游客需从套票包含的开放洞窟中随机选择4个进行参观，所有选择中至少包含2个最值得参观洞窟的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】实际问题中的组合计数问题、计算古典概型问题的概率 【分析】根据排列组合知识求得基本事件的个数后可得概率． 【详解】8个开放洞窟中有3个最值得参观， 所求概率为． 故选：B． 【例3.4.】 幸福农场生产的某批次20件产品中含有件次品，从中一次任取10件，其中次品恰有X件． (1)若，求取出的产品中次品不超过1件的概率； (2)记，则当n为何值时，取得最大值． 【答案】(1) (2) 【难度】0.85 【知识点】求超几何分布的概率 【分析】由题意可知随机变量X服从超几何分布， （1）取出的产品中次品不超过1件即和； （2），利用作商法判断的大小变化． 【详解】（1）记“取出的产品中次品不超过1件”为事件A，则. 因为，， 所以. 则取出的产品中次品不超过1件的概率是. （2）因为，则. 若，解得 ∵则 故当时，；当时，； 所以当时，取得最大值. 【例3.5.】 一个袋中装有大小相同的8个小球，其中5个红球，3个黑球，现从中随机摸出3个球． (1)求至少摸到个红球的概率； (2)求摸到红球的个数的概率分布及数学期望． 【答案】(1). (2)分布列见解析，. 【难度】0.65 【知识点】利用对立事件的概率公式求概率、超几何分布的均值、超几何分布的分布列 【分析】（1）根据对立事件的概率公式可求出结果； （2）根据超几何分布的概率公式求出概率后，可得分布列，根据数学期望公式可求出数学期望. 【详解】（1）设至少摸到1个红球为事件A， 则. （2）服从超几何分布，， ，， ，. 所以摸到红球的个数的概率分布列为 0 1 2 3 . 【例3.6.】 宿州号称“中国云都”，拥有华东最大的云计算数据中心、CG动画集群渲染基地，是继北京、上海、合肥、济南之后的全国第5家量子通信节点城市．为了统计智算中心的算力，先从全市n个大型机房和5个小型机房中随机抽取若干机房进行算力分析，若一次抽取2个机房，全是小型机房的概率为． (1)求n的值； (2)若一次抽取3个机房，假设抽取的小型机房的个数为，求的分布列和数学期望． 【答案】(1). (2)分布列见解析，. 【难度】0.65 【知识点】实际问题中的组合计数问题、计算古典概型问题的概率、超几何分布的均值、超几何分布的分布列 【分析】（1）利用古典概型的概率公式可得关于的方程，求出其解可得的值. （2）利用超几何分布可求的分布列和数学期望. 【详解】（1）设为“一次抽取2个机房，全是小型机房”，则， 故或（舍）. （2）可取， ，，， ， 故的分布列如下： 0 1 2 3 故. 【例3.7.】 幻觉，是指模型生成看似合理但实际不正确或毫无事实依据的信息的现象．幻觉率是指模型产生幻觉的概率．现抽取了由甲、乙、丙、丁四个公司研发的14个使用率较高的AI模型，其幻觉率如下表所示： 公司 甲 乙 丙 丁 AI模型 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 幻觉率 1.3% 1.8% 2.9% 1.5% 1.9% 2.9% 0.7% 0.9% 1.6% 2.4% 0.8% 1.6% 2.4% 2.8% (1)从表中提供的AI模型中任取一个，求该模型幻觉率低于2%的概率； (2)从表中提供的幻觉率低于2%的AI模型中任取3个，用随机变量表示其中幻觉率低于1.3%的模型个数，求随机变量的分布列和数学期望; (3)已知某同学向表中乙或丙公司的某个AI模型进行了一次提问，经查证，该模型产生了AI幻觉，则该模型来自哪个公司的可能性更大?（结论不要求证明） 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)乙公司的可能性更大 【难度】0.65 【知识点】利用贝叶斯公式求概率、求离散型随机变量的均值、超几何分布的分布列、计算古典概型问题的概率 【分析】（1）根据古典概型的计算公式即可求解， （2）根据超几何概率的计算公式求解分布列，即可由期望公式求解， （3）根据贝叶斯公式计算大小，比较即可作答. 【详解】（1）14个AI模型，幻觉率高于2%的有2.9%，2.9%，2.4%，2.4%，2.8%，共有5个，所以幻觉率低于2%的概率为 （2）幻觉率低于2%的AI模型中共有9个，其中幻觉率低于1.3%的模型有3个，故, 故分布列为 0 1 2 3 , 故 （3）来自于乙公式的概率大，理由如下： “模型来自于乙公司”，     “模型来自于丙公司”， “AI模型的编号为”， ，“AI模型的编号为”， ， “AI模型产生了AI幻觉”     则， 则 则, 由于 所以 , 由于,因此模型来自乙公司的概率大 题型4：二项分布与超几何分布的综合应用 【例4.1.】 某企业为了提高生产效率和产品质量，更新了机器设备，为了检验新机器生产零件的质量，该企业质检部门要对新机器生产的零件抽样检测. (1)在调试生产初期，质检部门抽检该机器生产的10个零件中有2个为次品，现从这10个零件中随机抽取3个零件，设抽取的零件为次品的个数为，求的分布列和数学期望; (2)在正式生产后，质检部门从新机器生产的一批零件中随机抽取100件进行检验，其中有3件为次品. 用频率估计概率，现从新机器生产的这批零件中随机抽取个零件，记这个零件中恰有2件为次品的概率为，求取得最大值时的值. 【答案】(1)的分布列详见解析； (2)66 【难度】0.65 【知识点】求超几何分布的概率、超几何分布的分布列、服从二项分布的随机变量概率最大问题 【分析】（1）根据分布列、数学期望及超几何分布概率计算公式求解即可. （2）根据二项分布求出，比较与1的大小关系，判断数列的单调性，从而找到最大值点. 【详解】（1）的可能取值为0，1，2. ，，. 所以的分布列为 0 1 2 数学期望为. （2）由频率估计概率，单次抽到次品的概率为， 则个零件中恰有2件次品的概率为. . 令，即，解得；令，解得. 因此，当时，，当时，，所以在时取得最大值. 故取得最大值时的值为66. 【例4.2.】 一批产品共10件，其中件是不合格品，从中随机抽取2件产品进行检验，记抽取的不合格产品数为.若先随机抽取1件，放回后再随机抽取1件，当抽到不合格产品数时，概率为. （1）求的值； （2）若一次性随机抽取2件，求抽到不合格产品数的分布列及数学期望. 【答案】（1）（2）详见解析 【难度】0.4 【知识点】建立二项分布模型解决实际问题、超几何分布的均值、超几何分布的分布列、求超几何分布的概率 【分析】（1）随机变量服从二项分布，，由，以求出的值． （2）随机变量可取的值为0，1，2，且服从超几何分布，，3，，由此求出的分布列和． 【详解】解：（1）随机变量服从二项分布，， 则， 所以， 解得：或， 因为， 所以. （2）随机变量可取的值为0，1，2，且服从超几何分布，， 于是， ， . 因此的分布列可表示为下表： 0 1 2 P 所以. 答：抽到不合格产品数的数学期望为. 【例4.3.】 某校将开展“古诗词””知识竞赛，经过层层筛选，还有最后一个参赛名额要在甲、乙两名学生中产生．现准备了个不同问题进行测试，甲、乙两名学生都能正确回答其中的个问题，且甲、乙两名学生对每个问题回答正确与否都相互独立．评委会设计了两种测试方案： 方案一：从装有个不同问题的纸盒中依次有放回地抽取个问题作答； 方案二：从装有个不同问题的纸盒中依次不放回地抽取个问题作答． 假设甲同学选择方案一，乙同学选择方案二． (1)求乙同学答对问题个数的分布列和均值； (2)若测试过程中答对个问题得分，答错扣分．你认为哪位学生得分高？哪位学生发挥更稳定？请说明理由． 【答案】(1)分布列答案见解析，均值为 (2)甲、乙得分相同，但乙发挥更为稳定，理由见解析 【难度】0.65 【知识点】超几何分布的分布列、二项分布的方差、方差的性质、离散型随机变量的方差与标准差 【分析】（1）由题意可知乙同学答对问题的个数为的可能取值有、、，利用超几何分布可得出随机变量的分布列，进而可求得的值； （2）计算出甲、乙回答问题得分的期望和方差，比较大小后可得出结论. 【详解】（1）乙同学答对问题的个数为，由题意可知随机变量的可能取值有、、， ，，， 所以，随机变量的分布列如下表所示： 所以，. （2）甲同学答对问题的个数为，则， 由二项分布的期望和方差公式得，， 甲回答问题得分为， 所以，甲得分的均值为， 方差为， 由（1）知，， 所以乙同学回答问题得分为， 所以乙得分的均值为， 方差为， 因为，， 所以，甲、乙得分相同，但乙发挥更为稳定. 【例4.4.】 DeepSeek是我国自主研发的人工智能模型．某公司为提升其应用能力，组织A，B两个部门全体员工共60人参加培训． (1)此次培训的员工中有5名部门领导，其中有3人来自A部门．从这5名部门领导中随机选取2人，记表示选取的2人中来自A部门的人数，求随机变量的分布列和数学期望； (2)若每位员工经过培训后合格的概率为，经预测，培训合格的员工每人每年平均为公司创造利润20万元，培训未合格的员工每人每年平均为公司创造利润10万元，且公司每年为参加培训的每位员工支付2万元的其他成本和费用．试估计该公司A，B两部门经培训后创造的年利润（公司年利润=员工创造的利润-其他成本和费用）． 【答案】(1)分布列见解析，期望为 (2)万元 【难度】0.65 【知识点】二项分布的均值、超几何分布的均值、超几何分布的分布列、建立二项分布模型解决实际问题 【分析】（1）首先确定，根据超几何分布求概率，写出分布列和数学期望； （2）首先设为经过培训合格的人数，且，根据题意求所有员工每年创造的利润，再代入公式年利润公式，即可求解. 【详解】（1）由题意可知，， ，，， 所以随机变量的分布列如下， 0 1 2 ； （2）设为经过培训合格的人数，，，不合格人数为， 员工为公司创造的利润为万元， 则万元， 公司的年利润为万元. 所以估计该公司A，B两部门经培训后创造的年利润为万元. 【例4.5.】 为不断改进劳动教育，进一步深化劳动教育改革，现从某单位全体员工中随机抽取3人做问卷调查.已知某单位有N名员工，其中是男性，是女性. (1)当时，求出3人中男性员工人数X的分布列和数学期望； (2)我们知道，当总量N足够大而抽出的个体足够小时，超几何分布近似为二项分布.现在全市范围内考虑，从N名员工(男女比例不变)中随机抽取3人，在超几何分布中男性员工恰有2人的概率记作，在二项分布中，即男性员工的人数男性员工恰有2人的概率记作.那么当N至少为多少时，我们可以在误差不超过0.001（即）的前提下认为超几何分布近似为二项分布(参考数据:) 【答案】(1)分布列见解析， (2)N至少为145 【难度】0.65 【知识点】求超几何分布的概率、超几何分布的分布列、超几何分布的均值、建立二项分布模型解决实际问题 【分析】（1）利用超几何分布概率模型求出概率，即可列出分布列和求数学期望； （2）利用二项分布概率模型和超几何分布概率模型即可求解. 【详解】（1）由题意，当时，男性员工有4人，女性员工有6人， 服从超几何分布，， ，， ，， 则的分布列为 0 1 2 3 所以数学期望为. （2）由题意，男性员工有人，女性员工有人， 则， ， 由于，则， 即， 即， 由题意易知， 从而， 化简得， 又，于是. 由于函数在上单调递增，且， 从而在时单调递增， 又，. 因此当时，符合题意， 而又考虑到和都是整数，则一定是5的整数倍， 则N至少为145时，我们可以在误差不超过0.001（即）的前提下认为超几何分布近似为二项分布. 【例4.6.】 “英才计划”最早开始于2013年，由中国科协、教育部共同组织实施，到2023年已经培养了6000多名具有创新潜质的优秀中学生，为选拔培养对象，某高校在暑假期间从中学里挑选优秀学生参加数学和物理学科夏令营活动． (1)若参加数学学科夏令营的7名中学生中恰有3人来自中学，从这7名中学生中选取3名中学生，求选取的中学生中来自中学的人数的分布列和数学期望； (2)在夏令营活动中，物理学科举行了一次学科知识竞答活动，规则如下：两人一组，每一轮竞答中，每人分别答两题，若小组答对题数不小于3，则取得本轮胜利．已知甲乙两位同学组成一组，甲、乙答对每道题的概率分别为，．假设甲、乙两人每次答题相互独立，且互不影响． （i）求甲、乙两位同学所在组每轮答题中取胜的概率； （ii）当时，求的最大值． 【答案】(1)分布列见解析， (2)（i）；（ii） 【难度】0.65 【知识点】建立二项分布模型解决实际问题、独立事件的乘法公式、超几何分布的分布列、服从二项分布的随机变量概率最大问题 【分析】（1）由题意知，的可能取值有，，，，根据超几何分布列列出分布列计算期望即可； （2）（i）由题知甲、乙两人每次答题相互独立，设甲答对题数为，则，设乙答对题数为，则，然后计算取胜的概率； （ii）由，令，，然后求最值即可. 【详解】（1）由题意知，的可能取值有，，，， ，， ， 所以的分布列为： 0 1 2 3 （2）（i）因为甲、乙两人每次答题相互独立，设甲答对题数为，则， 设乙答对题数为，则， 设“甲、乙两位同学在每轮答题中取胜”， 则 （ii）因为，所以 由，又，所以， 则，又，所以， 设，所以，因， 由二次函数的性质可知，当时取最大值， 故甲、乙两位同学在每轮答题中取胜的概率的最大值为． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ §7.4 二项分布与超几何分布 目录 题型1：重伯努利试验 3 题型2：二项分布 5 题型3：超几何分布 7 题型4：二项分布与超几何分布的综合应用 9 1. 伯努利试验与二项分布 (1) 伯努利试验 只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验.我们将一个伯努利试验独立地重复进行次所组成的随机试验称为重伯努利试验. 显然，重伯努利试验具有如下共同特征: ①同一个伯努利试验重复做次; ②各次试验的结果相互独立. 提醒 重复意味着各次试验成功的概率相同. (2) 二项分布 一般地，在重伯努利试验中，设每次试验中事件发生的概率为，用表示事件发生的次数，则的分布列为. 如果随机变量的分布列具有上述的形式，则称随机变量服从二项分布，记作. 提醒 (1)二项分布的适用范围:①各次试验中的事件是相互独立的;②每次试验只有两种结果:事件要么发生,要么不发生；③随机变量是这几次独立重复试验中事件发生的次数. (2)二项分布的本质:二项分布是放回抽样问题,在每次试验中某一事件发生的概率是相同的. 2. 二项分布的均值与方差 若，则，. 3. 超几何分布 一般地，假设一批产品共有件，其中有件次品.从件产品中随机抽取件(不放回)，用表示抽取的件产品中的次品数，则的分布列为，其中， . 如果随机变量的分布列具有上述的形式，那么称随机变量服从超几何分布列. 提醒 超几何分布的适用范围件及本质 (1) 适用范围:①考察对象分两类;②已知各类对象的个数;③从中抽取若干个个体,考察某类个体个数的概率分布. (2) 本质:超几何分布是不放回抽样问题,在每次试验中某一事件发生的概率是不相同的,其实质是古典概型. 题型1：重伯努利试验 方法提炼 重伯努利试验的判断及相应概率的求解策略 (1) 符合重伯努利试验必须满足的两个特征：①每次试验的条件完全相同，有关事件的概率保持不变；②各次试验的结果互不影响，即各次试验相互独立； (2) 在求重伯努利试验中事件恰好发生次的概率时，首先要确定好，和的值，再准确利用公式求概率. 【例1.1.】 甲抛掷均匀硬币2025次，乙抛掷均匀硬币2024次，下列四个随机事件的概率是0.5的是（    ） ①甲抛出正面次数比乙抛出正面次数多. ②甲抛出反面次数比乙抛出正面次数少. ③甲抛出反面次数比甲抛出正面次数多. ④乙抛出正面次数与乙抛出反面次数一样多. A．①③ B．①② C．②③ D．②④ 【例1.2.】 将一枚质地均匀的骰子先后抛掷三次，恰好出现两次掷出的点数为3的倍数的概率是（     ） A． B． C． D． 【例1.3.】 袋中装有标号为1，2，3，4，5且质地、大小相同的5个小球，从袋子中一次性摸出两个球，记下号码后将两球放回，如果两个号码的和是偶数，则获奖. 若有4人参与摸球，则恰好2人获奖的概率是 ． 【例1.4.】 如图是一块高尔顿板示意图：在一块木板上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，小球从上方的通道口落下后，将与层层小木块碰撞，最后掉入下方的某一个球槽内．若小球下落过程中每次与小木块碰撞后，向左、向右落下的机会均等，则小球最终落入③号球槽和⑥号球槽的概率之和为（   ） A． B． C． D． 【例1.5.】 有款小游戏，规则如下：一小球从数轴上的原点出发，通过掷骰子决定向左或者向右移动．掷出骰子，若是奇数点向上，则向左移动一个单位；若是偶数点向上，则向右移动一个单位，则第一次掷完骰子小球位于且第五次掷完骰子小球位于1的概率为 ． 【例1.6.】 小明和小红进行某项比赛（比赛结果没有平局），小明每局获胜的概率均为，每局比赛胜者获得1个积分，负者获得0个积分，记小明和小红两人积分之差的绝对值为.规定时，比赛结束且总积分多者获胜.若，，则在不超过5局比赛结束的条件下，小明以获胜的概率为 . 【例1.7.】 学校举行数学知识竞赛，每班派出一个由两名同学组成的参赛队参加比赛，比赛分为初赛和决赛，规则如下：初赛由参赛队中一名同学答题3次，若3次都未答对，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少答对一次，则该队进入决赛.决赛由该队的另一名同学答题3次，每次答对得3分，未答对得0分，该队的比赛成绩为决赛的得分总和. 某班参赛队由甲、乙两名同学组成，设甲每次答题答对的概率为，乙每次答题答对的概率为，且每次答题相互独立. (1)若，甲同学参加初赛，求该班进入决赛的概率； (2)若，，乙同学参加初赛，记该班的比赛成绩为，求的分布列和数学期望； (3)设，，为使得该班的比赛成绩为9分的概率最大，应如何安排甲、乙出场比赛的顺序？ 题型2：二项分布 方法提炼 (1) 与二项分布有关的期望与方差的求法: ①求随机变量的期望与方差时,可首先分析是否服从二项分布,如果服从,则用公式，求解,可大大减少计算量. ②有些随机变量虽不服从二项分布,但与之具有线性关系的另一随机变量服从二项分布,这时,可以综合应用以及求出,同样还可求出. (2) 二项分布概率最大问题的求解 若随机变量服从二项分布，即，其中，则有。要使，则当且仅当，在的左侧严格递增，在的右侧严格递减，故有： ①若，则取时最大； ②若是不超过的正整数，则当取和时，都达到最大值； ③若是不超过的非整数，由于，故（表示不超过的最大整数），当且仅当取时，最大. 【例2.1.】 已知随机变量，且，则等于（    ） A．24 B．36 C．48 D．72 【例2.2.】 (多选)袋子中有2个黑球，1个白球，现从袋子中有放回地随机取球4次，取到白球记0分，黑球记1分，记4次取球的总分数为X，则（   ） A． B． C． D． 【例2.3.】 在高三的一个班中，有的学生数学成绩优秀，若从班中随机找出5名学生，那么数学成绩优秀的学生人数，则取最大值时 ． 【例2.4.】 公司的高级工程师，两家公司应聘程序都是：应聘者先进行三项专业技能测试，专业技能测试通过后进入面试．已知该应聘者应聘甲公司，每项专业技能测试通过的概率均为，该应聘者应聘乙公司，三项专业技能测试通过的概率依次为，，，其中，技能测试是否通过相互独立． (1)若该应聘者应聘乙公司三项专业技能测试恰好通过两项的概率为，求的值； (2)已知甲、乙两家公司的招聘在同一时间进行，该应聘者只能应聘其中一家，应聘者以专业技能测试通过项目数的数学期望为决策依据，若该应聘者更有可能通过乙公司的技能测试，求的取值范围． 【例2.5.】 已知甲盒子中有大小和形状完全相同的若干个红球和白球，乙盒子中有大小和形状完全相同的3个红球2个白球． (1)记甲盒子中取到红球的概率为，若有放回地从甲盒子中取球5次，当p为何值时，能使得3次取到红球的概率最大； (2)从乙盒子不放回地取球，若将白球取完则停止取球，记停止取球时取球次数为X，求X的概率分布和期望． 【例2.6.】 高三数学适应性考试中选择题有单选和多选两种题型组成.单选题每题四个选项，有且仅有一个选项正确，选对得5分，选错得0分；多选题每题四个选项，有两个或三个选项正确，全部选对得6分，部分选对得部分分，有错误选择或不选择得0分，具体得分的规则为：若正确答案为三个，那么选对一个得2分，选对两个得4分，选对三个得6分；若正确答案有两个选项，那么选对一个得3分，选对两个得6分. (1)已知某同学对其中4道单选题完全没有答题思路，只能随机选择一个选项作答，且每题的解答相互独立，记该同学在这4道单选题中答对的题数为随机变量. （i）求； （ii）求使得取最大值时的整数； (2)若该同学在解答最后一道多选题时，除确定B，D选项不能同时选择之外没有答题思路，只能随机选择若干选项作答.已知此题正确答案是两个选项与三个选项的概率均为. （i）求该同学只选A时得分的分布列和数学期望； （ii）求该同学在答题过程中使得分期望最大的答题方式，并写出得分的最大期望. 【例2.7.】 某企业对生产设备进行优化升级，升级后的设备控制系统由个相同的元件组成，每个元件正常工作的概率均为，各元件之间相互独立.当控制系统有不少于个元件正常工作时，设备正常运行，否则设备停止运行，记设备正常运行的概率为（例如：表示控制系统由3个元件组成时设备正常运行的概率，表示控制系统由5个元件组成时设备正常运行的概率）. (1)若，当时，求控制系统中正常工作的元件个数的分布列和数学期望，并求； (2)已知设备升级前，单位时间的产量为件，每件产品的利润为元，设备升级后，在正常运行状态下，单位时间的产量是原来的4倍，且出现了高端产品，每件产品成为高端产品的概率为，每件高端产品的利润是2元.记设备升级后单位时间内的利润为（单位：元）. （i）请用表示； （ii）设备升级后，已知该企业现有控制系统中有5个元件，若增加2个元件，则单位时间内的利润是否提高. 题型3：超几何分布 方法提炼 (1) 若随机变量服从超几何分布,则满足如下条件: ①该试验是不放回地抽取n次; ②随机变量表示抽取到的次品件数(或类似事件)。 (2) 一般地,设有件产品,其中次品和正品分别为件,件(),从中任取()件产品,用分别表示取出的件产品中次品和正品的件数,则随机变量服从参数为的超几何分布,记为；随机变量服从参数为的超几何分布，记为. (3) 求超几何分布的均值与方差的方法 列出随机变量的分布列,利用均值计算公式与方差计算公式直接求解. 【例3.1.】 一袋中有6个大小相同的黑球，编号为，还有4个同样大小的白球，编号为，现从中任取4个球.则下列结论中不正确的是（    ） A．取出的最大号码不服从超几何分布 B．取出的黑球个数服从超几何分布 C．取出2个白球的概率为 D．若取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，则总得分最大的概率为 【例3.2.】 某学校有一个体育运动社团，该社团中会打篮球且不会踢足球的有3人，篮球、足球都会的有2人，从该社团中任取2人，设为选出的人中篮球、足球都会的人数，若，则该社团的人数为（    ） A．5 B．6 C．7 D．10 【例3.3.】 莫高窟坐落在甘肃的敦煌，它是世界上现存规模最大､内容最丰富的佛教艺术胜地，每年都会吸引来自世界各地的游客参观旅游.已知购买莫高窟正常参观套票可以参观8个开放洞窟，在这8个洞窟中莫高窟九层楼96号窟､莫高窟三层楼16号窟､藏经洞17号窟被誉为最值得参观的洞窟.根据疫情防控的需要，莫高窟改为极速参观模式，游客需从套票包含的开放洞窟中随机选择4个进行参观，所有选择中至少包含2个最值得参观洞窟的概率是（    ） A． B． C． D． 【例3.4.】 幸福农场生产的某批次20件产品中含有件次品，从中一次任取10件，其中次品恰有X件． (1)若，求取出的产品中次品不超过1件的概率； (2)记，则当n为何值时，取得最大值． 【例3.5.】 一个袋中装有大小相同的8个小球，其中5个红球，3个黑球，现从中随机摸出3个球． (1)求至少摸到个红球的概率； (2)求摸到红球的个数的概率分布及数学期望． 【例3.6.】 宿州号称“中国云都”，拥有华东最大的云计算数据中心、CG动画集群渲染基地，是继北京、上海、合肥、济南之后的全国第5家量子通信节点城市．为了统计智算中心的算力，先从全市n个大型机房和5个小型机房中随机抽取若干机房进行算力分析，若一次抽取2个机房，全是小型机房的概率为． (1)求n的值； (2)若一次抽取3个机房，假设抽取的小型机房的个数为，求的分布列和数学期望． 【例3.7.】 幻觉，是指模型生成看似合理但实际不正确或毫无事实依据的信息的现象．幻觉率是指模型产生幻觉的概率．现抽取了由甲、乙、丙、丁四个公司研发的14个使用率较高的AI模型，其幻觉率如下表所示： 公司 甲 乙 丙 丁 AI模型 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 幻觉率 1.3% 1.8% 2.9% 1.5% 1.9% 2.9% 0.7% 0.9% 1.6% 2.4% 0.8% 1.6% 2.4% 2.8% (1)从表中提供的AI模型中任取一个，求该模型幻觉率低于2%的概率； (2)从表中提供的幻觉率低于2%的AI模型中任取3个，用随机变量表示其中幻觉率低于1.3%的模型个数，求随机变量的分布列和数学期望; (3)已知某同学向表中乙或丙公司的某个AI模型进行了一次提问，经查证，该模型产生了AI幻觉，则该模型来自哪个公司的可能性更大?（结论不要求证明） 题型4：二项分布与超几何分布的综合应用 【例4.1.】 某企业为了提高生产效率和产品质量，更新了机器设备，为了检验新机器生产零件的质量，该企业质检部门要对新机器生产的零件抽样检测. (1)在调试生产初期，质检部门抽检该机器生产的10个零件中有2个为次品，现从这10个零件中随机抽取3个零件，设抽取的零件为次品的个数为，求的分布列和数学期望; (2)在正式生产后，质检部门从新机器生产的一批零件中随机抽取100件进行检验，其中有3件为次品. 用频率估计概率，现从新机器生产的这批零件中随机抽取个零件，记这个零件中恰有2件为次品的概率为，求取得最大值时的值. 【例4.2.】 一批产品共10件，其中件是不合格品，从中随机抽取2件产品进行检验，记抽取的不合格产品数为.若先随机抽取1件，放回后再随机抽取1件，当抽到不合格产品数时，概率为. （1）求的值； （2）若一次性随机抽取2件，求抽到不合格产品数的分布列及数学期望. 【例4.3.】 某校将开展“古诗词””知识竞赛，经过层层筛选，还有最后一个参赛名额要在甲、乙两名学生中产生．现准备了个不同问题进行测试，甲、乙两名学生都能正确回答其中的个问题，且甲、乙两名学生对每个问题回答正确与否都相互独立．评委会设计了两种测试方案： 方案一：从装有个不同问题的纸盒中依次有放回地抽取个问题作答； 方案二：从装有个不同问题的纸盒中依次不放回地抽取个问题作答． 假设甲同学选择方案一，乙同学选择方案二． (1)求乙同学答对问题个数的分布列和均值； (2)若测试过程中答对个问题得分，答错扣分．你认为哪位学生得分高？哪位学生发挥更稳定？请说明理由． 【例4.4.】 DeepSeek是我国自主研发的人工智能模型．某公司为提升其应用能力，组织A，B两个部门全体员工共60人参加培训． (1)此次培训的员工中有5名部门领导，其中有3人来自A部门．从这5名部门领导中随机选取2人，记表示选取的2人中来自A部门的人数，求随机变量的分布列和数学期望； (2)若每位员工经过培训后合格的概率为，经预测，培训合格的员工每人每年平均为公司创造利润20万元，培训未合格的员工每人每年平均为公司创造利润10万元，且公司每年为参加培训的每位员工支付2万元的其他成本和费用．试估计该公司A，B两部门经培训后创造的年利润（公司年利润=员工创造的利润-其他成本和费用）． 【例4.5.】 为不断改进劳动教育，进一步深化劳动教育改革，现从某单位全体员工中随机抽取3人做问卷调查.已知某单位有N名员工，其中是男性，是女性. (1)当时，求出3人中男性员工人数X的分布列和数学期望； (2)我们知道，当总量N足够大而抽出的个体足够小时，超几何分布近似为二项分布.现在全市范围内考虑，从N名员工(男女比例不变)中随机抽取3人，在超几何分布中男性员工恰有2人的概率记作，在二项分布中，即男性员工的人数男性员工恰有2人的概率记作.那么当N至少为多少时，我们可以在误差不超过0.001（即）的前提下认为超几何分布近似为二项分布(参考数据:) 【例4.6.】 “英才计划”最早开始于2013年，由中国科协、教育部共同组织实施，到2023年已经培养了6000多名具有创新潜质的优秀中学生，为选拔培养对象，某高校在暑假期间从中学里挑选优秀学生参加数学和物理学科夏令营活动． (1)若参加数学学科夏令营的7名中学生中恰有3人来自中学，从这7名中学生中选取3名中学生，求选取的中学生中来自中学的人数的分布列和数学期望； (2)在夏令营活动中，物理学科举行了一次学科知识竞答活动，规则如下：两人一组，每一轮竞答中，每人分别答两题，若小组答对题数不小于3，则取得本轮胜利．已知甲乙两位同学组成一组，甲、乙答对每道题的概率分别为，．假设甲、乙两人每次答题相互独立，且互不影响． （i）求甲、乙两位同学所在组每轮答题中取胜的概率； （ii）当时，求的最大值． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $