随机变量及其分布：正态分布4种高频考点讲义-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

随机变量及其分布：正态分布4种高频考点讲义 随机变量及其分布：正态分布4种高频考点讲义 考点目录 利用正态分布的对称性求概率 利用正态分布的对称性求参数 原则 数学期望与方差的近似计算 考点一 利用正态分布的对称性求概率 【知识点解析】 一、正态曲线的定义 函数，其中实数μ和σ(σ>0)为参数，称的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线(μ是正态分布的数学期望，σ是正态分布的标准差)． 二、解题原理 1. 正态曲线 关于直线 对称； 1. 核心对称结论： 1. 互补原理：，结合对称可转化区间、化繁为简。 三、解题思路 1. 明确均值 ，确定对称轴； 1. 将所求概率区间，通过对称转化为以 为中心的对称区间； 1. 利用“左右两侧概率各 “和对称相等关系代换； 1. 结合已知概率，加减运算求出目标概率。 【例题分析】 例1．（25-26高二下·天津和平·期中）已知正态分布，若，则（    ） A．0.6 B．0.4 C．0.2 D．0.1 【答案】C 【详解】得，所以， 所以，所以. 例2．（2026·山西太原·二模）已知随机变量，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正态分布的对称性，逐项判断即可. 【详解】因为， 所以由正态分布的对称性知， 所以，不能判断，故A错误； 由知，，故B错误； 因为，所以，故C正确； 因为大小未知，所以不能判断，故D错误. 例3．（2026·山西晋城·模拟预测·多选）已知随机变量，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据正态分布的概率求解思路，以及方差的性质，结合已知条件，对选项逐一分析，即可选择. 【详解】对A：因为随机变量，所以正态曲线关于直线对称，所以，故A正确； 对B：因为，且， 所以，故B错误； 对C：，故C正确； 对D：，故D错误． 故选：AC. 例4．（2026·辽宁锦州·模拟预测）已知某市10000名高一学生的某次数学测试得分（单位：分）服从正态分布，若，则得分高于50分的人数约为_________． 【答案】7500 【详解】在正态分布中，，由，得， 所以得分高于50分的人数约为. 例5．（25-26高三下·上海浦东新·期中）某校高中三年级600名学生参加了区质量检测，已知数学检测成绩X服从正态分布（试卷满分为150分）．统计结果显示，数学检测成绩介于80分到120分之间的人数为450名，则此次检测中成绩不低于120分的学生人数约为总人数的________（精确到0.1%）． 【答案】12.5% 【详解】由可知，正态分布曲线对称轴为， 可知， 所以，可得，即成绩不低于120分的学生人数约为总人数的12.5%. 【变式训练】 变式1．（2026·湖南永州·三模）已知随机变量服从正态分布，，则（    ） A．0.7 B．0.6 C．0.5 D．0.3 【答案】D 【详解】因为，所以， 又因为，且， 所以. 变式2．（2026·河北唐山·二模）已知随机变量，随机变量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正态曲线的性质逐项判断即可. 【详解】 因为，，则， 因为，，则， 对于A，，A错误； 对于B，，故，B错误， 对于CD，， ， 则，D正确； 所以，C错误. 变式3．（2026·浙江·模拟预测·多选）已知随机变量，且，（），则（    ） A． B． C． D．（） 【答案】BC 【分析】利用正态分布曲线的对称性逐一判断即可. 【详解】对于A，因为，所以，故A错误； 对于B，因为，则，则，即，故B正确； 对于C，因为，而， 故，故C正确； 对于D，因为，所以，又，所以，故D错误. 故选：BC. 变式4．（24-25高二下·重庆渝中·月考）某学校高二年级有1000名同学，一次数学考试的成绩X服从正态分布.已知，估计高二年级学生数学成绩在120分以上的有__________人. 【答案】160 【分析】根据正态曲线的对称性求出，再乘以1000可得结果. 【详解】∵考试的成绩服从正态分布， ∴考试的成绩X关于对称， ∵， ∴， ∴该年级数学成绩在120分以上的人数为． 故答案为：160. 变式5．（24-25高二下·江苏镇江·期末）某次调研测试中考生成绩X服从正态分布若，则从参加这次考试的考生中任意选取3名考生，至少有2名考生的成绩高于90的概率为_________． 【答案】 【分析】首先利用正态分布的性质求出考生成绩高于90的概率，然后可求出至少2名考生成绩高于90的概率. 【详解】因为，服从正态分布， 所以，所以. 所以从3名考生中，至少有2名考生的成绩高于90的概率为： . 故答案为：. 考点二 利用正态分布的对称性求参数 【知识点解析】 解题原理 1. 若两个区间概率相等，则两区间关于 对称； 1. 若 ，则：； 1. 利用对称点中点为均值，反向求解 、 或式子中参数。 解题思路 1. 抓取题干概率相等的两个不等式； 1. 判定两点关于 对称，列中点公式； 1. 解方程求出均值 ； 1. 结合已知区间概率，进一步求解 或含参未知数。 【例题分析】 例1．（2026·贵州六盘水·一模）已知随机变量，若，则（   ） A．88 B．90 C．92 D．94 【答案】B 【分析】根据正态分布的对称性可得. 【详解】因为，所以， 所以. 例2．（25-26高二下·辽宁大连·期中）已知随机变量，实数满足，则的值为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】根据正态分布的对称性求解本题. 【详解】已知随机变量，实数满足， 所以，解得. 例3．（25-26高二下·上海奉贤·月考）已知随机变量，且，则当时，的最小值为___________. 【答案】 【分析】根据正态分布的对称性，可得a值，根据基本不等式“1”的代换，计算化简，即可得答案. 【详解】因为，所以对称轴， 因为，所以， 则当时，， 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 例4．（25-26高二下·江苏徐州·月考）设随机变量服从正态分布，若，则__________. 【答案】1或2 【分析】根据正态分布的对称性可得. 【详解】由题可知与关于对称， 所以，化简得. 解得，或. 故答案为：1或2. 【变式训练】 变式1．（25-26高三上·广西贵港·开学考试）已知随机变量，，则值为（   ） A．4 B．5 C．3 D． 【答案】A 【分析】根据正态分布的对称性求的值. 【详解】因为随机变量，所以正态分布的曲线的对称轴为． 又因为，所以，解得． 变式2．（2026·山西晋中·模拟预测）若随机变量，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合正态分布曲线的对称性，得到，结合，即可求解. 【详解】由随机变量，可得正态分布曲线关于对称， 因为，所以， 又因为，所以， 所以. 变式3．（25-26高二下·广西柳州·期中）设随机变量服从正态分布，且，若，则__________． 【答案】0.5 【分析】利用正态分布密度曲线的对称性，列方程即可求出参数． 【详解】由题可知正态分布曲线关于对称， 又，所以，所以． 变式4．（25-26高二下·浙江宁波·期中）已知随机变量服从正态分布，，则________. 【答案】1 【分析】根据正态分布的对称性求解即可. 【详解】由题意得，根据正态分布的对称性得 考点三 原则 【知识点解析】 解题原理 1. 三大固定概率（实际高频依据）： 1. 落在 外概率极小，视为小概率事件、异常数据。 解题思路 1. 算出 临界值； 1. 判断数据是否落在 区间内； 1. 套用对应固定概率，求区间概率； 1. 超出 范围的数据判定为异常、舍去或检验。 【例题分析】 例1．（2026·重庆渝中·模拟预测）统计学中通常认为服从于正态分布的随机变量只取中的值，简称为原则.假设某厂有一条包装食盐的生产线，正常情况下食盐质量服从正态分布（单位：），某天生产线上的质检员随机抽取了一包食盐，称得其质量小于，他立即判断生产线出现了异常，要求停产检修.由此可以得到的最大值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】利用原则列出不等式，求解即得. 【详解】按照原则可知，，解得， 所以的最大值为4. 故选：B. 例2．（2026·江苏南京·模拟预测）一批电阻的阻值（单位：）服从正态分布，根据行业标准，概率低于0.003视为小概率事件，现从甲、乙两箱成品中各随机抽取一个电阻，测得阻值分别为和，则下列结论正确的是（    ） A．甲、乙两箱电阻均可出厂 B．甲、乙两箱电阻均不可出厂 C．甲箱电阻可出厂，乙箱电阻不可出厂 D．甲箱电阻不可出厂，乙箱电阻可出厂 【答案】C 【分析】根据定义结合正态分布的概率得出结论. 【详解】依题意，所以， 所以，，， 因为， 所以甲箱电阻可出厂，乙箱电阻不可出厂． 故选：C. 例3．（24-25高二下·广东深圳·期末）小张上班有四种方式，有步行，骑自行车，乘坐公汽，自己开车.他记录了100次用这四种方式上班所花费的时间，分别用随机变量来表示用这四种方式上班所用时间（分钟）.经数据分析，，，如果某天有70分钟可用，他该选择哪种方式上班不迟到的概率最大（   ） ， A．步行 B．骑自行车 C．乘坐公汽 D．自己开车 【答案】B 【分析】根据正态分布中的原则分别计算不同方式下不迟到的概率，即求计算不同方式下的大小，然后分析即可. 【详解】①当小张步行方式上班时，由知，， 所以他上班不迟到的概率为： ， ②当小张骑自行车上班时，由知，， 所以他上班不迟到的概率为： ， ③当小张乘坐公汽上班时，由知，， 所以他上班不迟到的概率为： ， ④当小张自己开车上班时，由知，， 所以他上班不迟到的概率为： ， 由， 所以小张骑自行车上班时不迟到的概率最大， 故选：B. 例4．（25-26高二下·内蒙古呼和浩特·月考）某校高三学生数学模考成绩服从正态分布．现随机抽取100名学生的成绩，计算得样本平均分为105分，样本方差为100． (1)根据样本数据，估计该正态分布的参数和，并用的形式写出分布记法； (2)若该校高三共有800名学生，估计成绩在区间内的学生人数；（结果取整数） (3)学校欲制定奖励线（为整数），使得成绩高于的学生获得奖励，且获奖人数约为总人数的16%．试根据原则确定的值．（结果取整数） （参考数据：，，） 【答案】(1)的估计值为105，的估计值为10， 分布记为：. (2)655（人） (3)115 【分析】（1）根据正态分布的概念即可求解； （2）根据正态分布的对称性求出成绩在区间内的学生的概率，然后再求人数即可； （3）由题意可得，即满足题意. 【详解】（1） 由题意，样本平均分为105分，样本方差为100，因此的估计值为105，的估计值为10， 分布记为：. （2），， 所以成绩在区间内的学生的概率， 故成绩在区间内的学生的人数为(人). （3）由题意，获奖人数占总人数，即，因此， 根据参考数据：，满足要求， 而，因此. 例5．（24-25高二下·江苏苏州·期中）某省举办了一次高三年级化学模拟考试，其中甲市有10000名学生参加考试.根据经验，该省及各市本次模拟考试成绩（满分100分）都近似服从正态分布． (1)已知本次模拟考试甲市平均成绩为65分，87分以上共有228人．甲市学生A的成绩为76分，试估计学生A在甲市的大致名次； (2)在该省本次模拟考试的参考学生中随机抽取40人，记Y表示在本次考试中化学成绩在之外的人数，求的概率． 参考数据： 参考公式：若，有，， 【答案】(1)1587 (2)0.0989 【分析】根据正态分布的性质即可求解. 【详解】（1）已知本次模拟考试成绩都近似服从正态分布． 由题意得.因为，又. 即，所以，解得. 因为甲市学生A的成绩为分，且. 又，即. 所以学生在甲市的大致名次为名. （2）在本次模拟考试的学生中，抽取名化学成绩在之内的概率为. 所以抽取名化学成绩在之外的概率为. 所以随机变量Y服从二项分布，即， 所以. 【变式训练】 变式1．（2025·四川·模拟预测）在实际应用中，通常认为服从正态分布的随机变量只取中的值，这在统计学中称为原则.现用甲､乙､丙､丁四台3D打印设备打印一批对内径有较高精度要求的零件.已知这四台3D打印设备在正常工作的状态下，打印出的零件内径尺寸Z（单位：）服从正态分布，且.根据要求，正式打印前需要对设备进行调试，调试时，四台设备各试打5个零件，打印出的零件内径尺寸（单位：）如下，根据上述信息判断，下列设备不需要调试的是（    ） A．甲：27.3，29.2，30.5，36.7，39.3 B．乙：25.1，27.2，29.5，31.2，33.3 C．丙：25.9，27.3，28.8，31.1，34.4 D．丁：25.6，30.4，32.7，33.9，36.3 【答案】C 【分析】先根据正态分布的对称性求出期望和标准差，再根据正态分布的原则求出打印出的零件内径尺寸范围，逐个选项判断即可. 【详解】依题意，，，所以，. 所以打印出来的零件内径尺寸应满足，结合选项可知，不需要调试的为丙， 故选：C 变式2．（2026·广东汕头·模拟预测）某厂生产的零件外径（单位：cm），今从该厂上、下午生产的零件中各随机取一个，测得其外径分别为10.5cm，9.3cm，则可认为（    ） A．上午生产情况正常，下午生产情况异常 B．上午生产情况异常，下午生产情况正常 C．上、下午生产情况均正常 D．上、下午生产情况均异常 【答案】A 【分析】根据正态分布的原则，可得出外径在（）与（）之外时为异常，由此判断可得选项． 【详解】解：因为零件外径，，，所以根据原则，外径在（）与（）之外时为异常． 从上、下午生产的零件中各随机取一个，测得其外径分别为和，所以可认为上午生产情况正常，下午生产情况异常． 故选：A. 变式3．（2025·安徽·模拟预测）某校高三学生的模考数学成绩服从正态分布，按照、、、的比例将考试成绩划分为优秀、良好、合格和基本合格四个等级．若某同学的数学成绩为分，则他的等级是（   ） 附：，，. A．优秀 B．良好 C．合格 D．基本合格 【答案】B 【分析】利用正态分布的原则即可求解. 【详解】由题意可知，，所以，， 因为， 所以，根据比例成绩大于分为优秀， 因为，根据比例成绩在到之间的为良好， ，根据比例成绩在到之间的为合格， ，根据比例成绩小于分为基本合格， 因为小张的数学成绩为分，则他的等级是良好. 故选：B. 变式4．（2026·四川成都·模拟预测）某省举办了一次高三年级化学模拟考试，其中甲市有10000名学生参考．根据经验，该省及各市本次模拟考试成绩（满分100分）都近似服从正态分布． (1)已知本次模拟考试甲市平均成绩为65分，87分以上共有228人．甲市学生的成绩为76分，试估计学生在甲市的大致名次； (2)在该省本次模拟考试的参考学生中随机抽取40人，记表示在本次考试中化学成绩在之外的人数，求的概率及的数学期望． 参考数据： 参考公式：若，有， 【答案】(1)1587名 (2)0.0989；期望为 【分析】（1）由本次模拟考试成绩都近似服从正态分布，，87分以上共有228人，结合原则，求得，再由甲市学生在该次考试中成绩为76分，且求解； （2）由随机变量服从二项分布，即求解． 【详解】（1）解：已知本次模拟考试成绩都近似服从正态分布， 由题意可得． 即，解得． 甲市学生在该次考试中成绩为76分，且， 又，即． 学生在甲市本次考试的大致名次为1587名． （2）在本次考试中，抽取1名化学成绩在之内的概率为0.9974． 抽取1名化学成绩在之外的概率为0.0026． 随机变量服从二项分布，即． ． 的数学期望为． 变式5．（24-25高二上·辽宁辽阳·期末）小法每周都去同一家大型超市购买一箱苹果，该超市的售货员说该大型超市所出售的每箱苹果的平均质量是5000克，上下浮动不超过100克，根据售货员的表述转化为数学理想模型是该大型超市所出售的每箱苹果的质量服从期望为5000克，标准差为100克的正态分布． (1)若随机变量服从正态分布，从的所有取值中随机抽取个数据，记这个数据的平均值为，则随机变量服从正态分布． （i）若该售货员所说属实，则小法从该大型超市随机购买25箱苹果，记这25箱苹果的平均质量为，求． （ii）若小法每周都会将从该大型超市买来的苹果按箱进行称重并记录，25周后，得到的数据都在内，计算出这25箱苹果质量的平均值为4958.77克．小法举报了该大型超市，从概率的角度说明小法举报该大型超市的理由． (2)若该售货员所说属实，则现从该大型超市随机抽取100箱苹果，记这100箱苹果中质量在内的箱数为，求的方差．（结果保留两位小数） 附：①若随机变量服从正态分布，则，，；②通常把发生概率小于0.05的事件称为小概率事件，小概率事件基本不会发生. 【答案】(1)（i）；（ii）理由见解析 (2) 【分析】（1）（i）求出，可得，根据正态分布的对称性可求； （ii）由（i）得，根据，可得小法购买的这25箱苹果质量的平均值为4958.77克属于小概率事件，从而可得结论； （2）由正态分布的对称性求出得，可得随机变量，再利用二项分布的方差公式求解即可. 【详解】（1）（i）因为，所以． 因为， 所以． 因为， 所以． （ii）由（i）得． 因为小法计算出这25箱苹果质量的平均值为4958.77克，，， 所以小法购买的这25箱苹果质量的平均值为4958.77克属于小概率事件， 小概率事件基本不会发生，这就是小法举报该超市的理由． （2）设该大型超市所出售的每箱苹果的质量为，则． 由，，得． 根据题意易得随机变量， ． 考点四 数学期望与方差的近似计算 【知识点解析】 解题原理 1. 正态分布直接定义： 1. 复杂实际问题中，可用样本平均数近似 ，样本方差近似 ； 1. 结合线性变换：。 解题思路 1. 从题意/样本数据中，估算 与 ； 1. 直接写出正态分布的期望、方差； 1. 若含线性变换，代入公式变形计算； 1. 结合期望、方差求解总体估计、概率、决策问题。 【例题分析】 例1．（2025·陕西西安·二模）某校为了解学生数学学科核心素养发展水平，组织本校2000名学生进行针对性检测（检测分为初试和复试），并随机抽取了100名学生的初试成绩，绘制了频率分布直方图，如图所示．    (1)根据频率分布直方图，求样本平均数的估计值；（同一组数据用该区间的中点值作代表） (2)根据频率分布直方图，求样本的80％分位数（四舍五入精确到整数）； (3)若所有学生的初试成绩近似服从正态分布，其中为样本平均数的估计值，．初试成绩不低于90分的学生才能参加复试，试估计能参加复试的人数（四舍五入精确到整数）． 附：若随机变量服从正态分布，则，，． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据平均数的求法计算即可； （2）根据80％分位数的求法计算即可； （3）根据原则以及正态分布的对称性计算. 【详解】（1）设样本平均数的估计值为， 则. 所以，样本平均数的估计值为62. （2）由图可知，前三组的频率和为，第四组的频率为， 所以样本的80％分位数为 （3）由（1）可知，样本平均数的估计值， 所以， 则 所以，估计能参加复试的人数为 例2．（24-25高三下·海南省直辖县级单位·月考）某小区开展了两会知识问答活动，现将该小区参与该活动的位居民的得分（满分分）进行了统计，得到如下的频率分布直方图.    (1)若此次知识问答的得分服从，其中近似为参与本次活动的位居民的平均得分（同一组中的数据用该组区间的中点值代表），求的值；参考数据：，，. (2)本次活动，制定了如下奖励方案：以上面频率分布直方图中的频率作为概率，参与本次活动得分低于分的居民获得一次抽奖机会，参与本次活动得分不低于分的居民获得两次抽奖机会，每位居民每次有的机会抽中一张元的话费充值卡，有的机会抽中一张元的话费充值卡，假设每次抽奖相互独立，假设该小区居民王先生参与本次活动，求王先生获得的话费充值卡的总金额的概率分布列，并估计本次活动需要准备的话费充值卡的总金额. 【答案】(1) (2)分布列见解析，元 【分析】（1）将每个矩形底边的中点值乘以对应矩形的面积，将所得结果全部相加，可得出的值，根据正态分布可得出的值，利用原则可求出的值； （2）由题意可知，随机变量的所有可能取值分别为、、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，求出的值，由此可得出所准备的话费充值卡的总金额为元. 【详解】（1）依题意，， 所以，则，所以，， 故 . （2）参与活动的每位居民得分低于分的概率为，得分不低于分的概率为 的所有可能取值分别为、、、， ，， ，， 所以的概率分布列如表所示： 所以， 所以本次活动需要准备的话费充值卡的总金额为元. 【变式训练】 变式1．（25-26高三上·福建福州·月考）从某企业生产的某种产品中随机抽取1000件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：    (1)求这1000件产品质量指标值的样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表）． (2)由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差，已知的估计值为12.61. （ⅰ）试估计这批产品质量指标值在的数量； （ⅱ）为监控该产品的生产质量，每天抽取10件产品进行检测，若出现了质量指标值在，之外的产品，就认为这一天的生产过程中可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，请说明上述监控生产过程方法的合理性． 参考数据：若，则，，，． 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ）答案见解析 【分析】（1）利用频率分布直方图的平均数计算公式计算即可； （2）（ⅰ）由题意，由可求得，进而可得这批产品质量指标值在的数量； （ⅱ）根据正态分布的性质及原则分析即可． 【详解】（1）由题意可知，． （2）（ⅰ）由题意，， 则， 则，即． 则这批产品质量指标值在的数量约为． （ⅱ）如果生产状态正常，此时一件产品的质量指标值在之外的概率只有， 一天内抽取10件产品中，发现产品质量指标值在之外的概率只有，发生的概率很小， 因此一旦发生这种情况，就有理由认为生产线在这一天的生产过程中可能出现异常，需要对当天的生产过程进行检查，可见这种监控生产过程的方法合理． 变式2．（2026·新疆·模拟预测）某市为提升学生们的数学素养，举办了一场“数学文化素养知识大赛”，已知共有10000名学生参加了比赛，现从参加比赛的全体学生中随机抽取100人的成绩作为样本，得到如下频率分布直方图： (1)若规定成绩较高的前30%的学生获奖，请求出a的值并估计获奖学生的最低分数线； (2)现从成绩位于的样本中，按分层随机抽样的方法选取8人，再从这8人中随机选取2人，设这2人中成绩落在内的人数为X，求X的分布列； (3)由频率分布直方图可认为该市全体参赛学生的成绩Z服从正态分布，其中可近似为样本中的100名学生初赛成绩的平均值（同一组数据用该组区间的中点值代替），且.从该市所有参赛学生中任取一人，试估计该生的成绩高于85.6分的概率. ［参考数据：；若，则，，］ 【答案】(1)，76分 (2)分布列见解析 (3) 【分析】（1）根据频率分布直方图矩形面积为1计算可得，再由百分位数的定义计算可求出最低分数线； （2）由分层抽样比可求出各区间抽取的人数，再计算出相应概率可求出分布列； （3）由频率分布直方图计算出初赛成绩的平均值，再由正态分布计算可得所求概率. 【详解】（1）由频率分布直方图易知，， 解得， 由图知的频率为0.04，的频率为， 的频率为0.54， ∴获奖学生最低分数线落在内，不妨设为x， 则，解得， ∴估计获奖学生的最低分数线为76分. （2）由图可知，与的频率之比是， 根据分层随机抽样的方法可知，在内抽取3人，在内抽取4人，在内抽取1人. 则X的可能取值为0，1，2， 易知，，， ∴X的分布列为 X 0 1 2 P （3）易知平均值为， 即可得， ∴. 2 学科网（北京）股份有限公司 $随机变量及其分布：正态分布4种高频考点讲义 随机变量及其分布：正态分布4种高频考点讲义 考点目录 利用正态分布的对称性求概率 利用正态分布的对称性求参数 原则 数学期望与方差的近似计算 考点一 利用正态分布的对称性求概率 【知识点解析】 一、正态曲线的定义 函数，其中实数μ和σ(σ>0)为参数，称的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线(μ是正态分布的数学期望，σ是正态分布的标准差)． 二、解题原理 1. 正态曲线 关于直线 对称； 1. 核心对称结论： 1. 互补原理：，结合对称可转化区间、化繁为简。 三、解题思路 1. 明确均值 ，确定对称轴； 1. 将所求概率区间，通过对称转化为以 为中心的对称区间； 1. 利用“左右两侧概率各 “和对称相等关系代换； 1. 结合已知概率，加减运算求出目标概率。 【例题分析】 例1．（25-26高二下·天津和平·期中）已知正态分布，若，则（    ） A．0.6 B．0.4 C．0.2 D．0.1 例2．（2026·山西太原·二模）已知随机变量，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 例3．（2026·山西晋城·模拟预测·多选）已知随机变量，则（   ） A． B． C． D． 例4．（2026·辽宁锦州·模拟预测）已知某市10000名高一学生的某次数学测试得分（单位：分）服从正态分布，若，则得分高于50分的人数约为_________． 例5．（25-26高三下·上海浦东新·期中）某校高中三年级600名学生参加了区质量检测，已知数学检测成绩X服从正态分布（试卷满分为150分）．统计结果显示，数学检测成绩介于80分到120分之间的人数为450名，则此次检测中成绩不低于120分的学生人数约为总人数的________（精确到0.1%）． 【变式训练】 变式1．（2026·湖南永州·三模）已知随机变量服从正态分布，，则（    ） A．0.7 B．0.6 C．0.5 D．0.3 变式2．（2026·河北唐山·二模）已知随机变量，随机变量，则（    ） A． B． C． D． 变式3．（2026·浙江·模拟预测·多选）已知随机变量，且，（），则（    ） A． B． C． D．（） 变式4．（24-25高二下·重庆渝中·月考）某学校高二年级有1000名同学，一次数学考试的成绩X服从正态分布.已知，估计高二年级学生数学成绩在120分以上的有__________人. 变式5．（24-25高二下·江苏镇江·期末）某次调研测试中考生成绩X服从正态分布若，则从参加这次考试的考生中任意选取3名考生，至少有2名考生的成绩高于90的概率为_________． 考点二 利用正态分布的对称性求参数 【知识点解析】 解题原理 1. 若两个区间概率相等，则两区间关于 对称； 1. 若 ，则：； 1. 利用对称点中点为均值，反向求解 、 或式子中参数。 解题思路 1. 抓取题干概率相等的两个不等式； 1. 判定两点关于 对称，列中点公式； 1. 解方程求出均值 ； 1. 结合已知区间概率，进一步求解 或含参未知数。 【例题分析】 例1．（2026·贵州六盘水·一模）已知随机变量，若，则（   ） A．88 B．90 C．92 D．94 例2．（25-26高二下·辽宁大连·期中）已知随机变量，实数满足，则的值为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 例3．（25-26高二下·上海奉贤·月考）已知随机变量，且，则当时，的最小值为___________. 例4．（25-26高二下·江苏徐州·月考）设随机变量服从正态分布，若，则__________. 【变式训练】 变式1．（25-26高三上·广西贵港·开学考试）已知随机变量，，则值为（   ） A．4 B．5 C．3 D． 变式2．（2026·山西晋中·模拟预测）若随机变量，且，则（    ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高二下·广西柳州·期中）设随机变量服从正态分布，且，若，则__________． 变式4．（25-26高二下·浙江宁波·期中）已知随机变量服从正态分布，，则________. 考点三 原则 【知识点解析】 解题原理 1. 三大固定概率（实际高频依据）： 1. 落在 外概率极小，视为小概率事件、异常数据。 解题思路 1. 算出 临界值； 1. 判断数据是否落在 区间内； 1. 套用对应固定概率，求区间概率； 1. 超出 范围的数据判定为异常、舍去或检验。 【例题分析】 例1．（2026·重庆渝中·模拟预测）统计学中通常认为服从于正态分布的随机变量只取中的值，简称为原则.假设某厂有一条包装食盐的生产线，正常情况下食盐质量服从正态分布（单位：），某天生产线上的质检员随机抽取了一包食盐，称得其质量小于，他立即判断生产线出现了异常，要求停产检修.由此可以得到的最大值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 例2．（2026·江苏南京·模拟预测）一批电阻的阻值（单位：）服从正态分布，根据行业标准，概率低于0.003视为小概率事件，现从甲、乙两箱成品中各随机抽取一个电阻，测得阻值分别为和，则下列结论正确的是（    ） A．甲、乙两箱电阻均可出厂 B．甲、乙两箱电阻均不可出厂 C．甲箱电阻可出厂，乙箱电阻不可出厂 D．甲箱电阻不可出厂，乙箱电阻可出厂 例3．（24-25高二下·广东深圳·期末）小张上班有四种方式，有步行，骑自行车，乘坐公汽，自己开车.他记录了100次用这四种方式上班所花费的时间，分别用随机变量来表示用这四种方式上班所用时间（分钟）.经数据分析，，，如果某天有70分钟可用，他该选择哪种方式上班不迟到的概率最大（   ） ， A．步行 B．骑自行车 C．乘坐公汽 D．自己开车 例4．（25-26高二下·内蒙古呼和浩特·月考）某校高三学生数学模考成绩服从正态分布．现随机抽取100名学生的成绩，计算得样本平均分为105分，样本方差为100． (1)根据样本数据，估计该正态分布的参数和，并用的形式写出分布记法； (2)若该校高三共有800名学生，估计成绩在区间内的学生人数；（结果取整数） (3)学校欲制定奖励线（为整数），使得成绩高于的学生获得奖励，且获奖人数约为总人数的16%．试根据原则确定的值．（结果取整数） （参考数据：，，） 例5．（24-25高二下·江苏苏州·期中）某省举办了一次高三年级化学模拟考试，其中甲市有10000名学生参加考试.根据经验，该省及各市本次模拟考试成绩（满分100分）都近似服从正态分布． (1)已知本次模拟考试甲市平均成绩为65分，87分以上共有228人．甲市学生A的成绩为76分，试估计学生A在甲市的大致名次； (2)在该省本次模拟考试的参考学生中随机抽取40人，记Y表示在本次考试中化学成绩在之外的人数，求的概率． 参考数据： 参考公式：若，有，， 【变式训练】 变式1．（2025·四川·模拟预测）在实际应用中，通常认为服从正态分布的随机变量只取中的值，这在统计学中称为原则.现用甲､乙､丙､丁四台3D打印设备打印一批对内径有较高精度要求的零件.已知这四台3D打印设备在正常工作的状态下，打印出的零件内径尺寸Z（单位：）服从正态分布，且.根据要求，正式打印前需要对设备进行调试，调试时，四台设备各试打5个零件，打印出的零件内径尺寸（单位：）如下，根据上述信息判断，下列设备不需要调试的是（    ） A．甲：27.3，29.2，30.5，36.7，39.3 B．乙：25.1，27.2，29.5，31.2，33.3 C．丙：25.9，27.3，28.8，31.1，34.4 D．丁：25.6，30.4，32.7，33.9，36.3 变式2．（2026·广东汕头·模拟预测）某厂生产的零件外径（单位：cm），今从该厂上、下午生产的零件中各随机取一个，测得其外径分别为10.5cm，9.3cm，则可认为（    ） A．上午生产情况正常，下午生产情况异常 B．上午生产情况异常，下午生产情况正常 C．上、下午生产情况均正常 D．上、下午生产情况均异常 变式3．（2025·安徽·模拟预测）某校高三学生的模考数学成绩服从正态分布，按照、、、的比例将考试成绩划分为优秀、良好、合格和基本合格四个等级．若某同学的数学成绩为分，则他的等级是（   ） 附：，，. A．优秀 B．良好 C．合格 D．基本合格 变式4．（2026·四川成都·模拟预测）某省举办了一次高三年级化学模拟考试，其中甲市有10000名学生参考．根据经验，该省及各市本次模拟考试成绩（满分100分）都近似服从正态分布． (1)已知本次模拟考试甲市平均成绩为65分，87分以上共有228人．甲市学生的成绩为76分，试估计学生在甲市的大致名次； (2)在该省本次模拟考试的参考学生中随机抽取40人，记表示在本次考试中化学成绩在之外的人数，求的概率及的数学期望． 参考数据： 参考公式：若，有， 变式5．（24-25高二上·辽宁辽阳·期末）小法每周都去同一家大型超市购买一箱苹果，该超市的售货员说该大型超市所出售的每箱苹果的平均质量是5000克，上下浮动不超过100克，根据售货员的表述转化为数学理想模型是该大型超市所出售的每箱苹果的质量服从期望为5000克，标准差为100克的正态分布． (1)若随机变量服从正态分布，从的所有取值中随机抽取个数据，记这个数据的平均值为，则随机变量服从正态分布． （i）若该售货员所说属实，则小法从该大型超市随机购买25箱苹果，记这25箱苹果的平均质量为，求． （ii）若小法每周都会将从该大型超市买来的苹果按箱进行称重并记录，25周后，得到的数据都在内，计算出这25箱苹果质量的平均值为4958.77克．小法举报了该大型超市，从概率的角度说明小法举报该大型超市的理由． (2)若该售货员所说属实，则现从该大型超市随机抽取100箱苹果，记这100箱苹果中质量在内的箱数为，求的方差．（结果保留两位小数） 附：①若随机变量服从正态分布，则，，；②通常把发生概率小于0.05的事件称为小概率事件，小概率事件基本不会发生. 考点四 数学期望与方差的近似计算 【知识点解析】 解题原理 1. 正态分布直接定义： 1. 复杂实际问题中，可用样本平均数近似 ，样本方差近似 ； 1. 结合线性变换：。 解题思路 1. 从题意/样本数据中，估算 与 ； 1. 直接写出正态分布的期望、方差； 1. 若含线性变换，代入公式变形计算； 1. 结合期望、方差求解总体估计、概率、决策问题。 【例题分析】 例1．（2025·陕西西安·二模）某校为了解学生数学学科核心素养发展水平，组织本校2000名学生进行针对性检测（检测分为初试和复试），并随机抽取了100名学生的初试成绩，绘制了频率分布直方图，如图所示．    (1)根据频率分布直方图，求样本平均数的估计值；（同一组数据用该区间的中点值作代表） (2)根据频率分布直方图，求样本的80％分位数（四舍五入精确到整数）； (3)若所有学生的初试成绩近似服从正态分布，其中为样本平均数的估计值，．初试成绩不低于90分的学生才能参加复试，试估计能参加复试的人数（四舍五入精确到整数）． 附：若随机变量服从正态分布，则，，． 例2．（24-25高三下·海南省直辖县级单位·月考）某小区开展了两会知识问答活动，现将该小区参与该活动的位居民的得分（满分分）进行了统计，得到如下的频率分布直方图.    (1)若此次知识问答的得分服从，其中近似为参与本次活动的位居民的平均得分（同一组中的数据用该组区间的中点值代表），求的值；参考数据：，，. (2)本次活动，制定了如下奖励方案：以上面频率分布直方图中的频率作为概率，参与本次活动得分低于分的居民获得一次抽奖机会，参与本次活动得分不低于分的居民获得两次抽奖机会，每位居民每次有的机会抽中一张元的话费充值卡，有的机会抽中一张元的话费充值卡，假设每次抽奖相互独立，假设该小区居民王先生参与本次活动，求王先生获得的话费充值卡的总金额的概率分布列，并估计本次活动需要准备的话费充值卡的总金额. 【变式训练】 变式1．（25-26高三上·福建福州·月考）从某企业生产的某种产品中随机抽取1000件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：    (1)求这1000件产品质量指标值的样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表）． (2)由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差，已知的估计值为12.61. （ⅰ）试估计这批产品质量指标值在的数量； （ⅱ）为监控该产品的生产质量，每天抽取10件产品进行检测，若出现了质量指标值在，之外的产品，就认为这一天的生产过程中可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，请说明上述监控生产过程方法的合理性． 参考数据：若，则，，，． 变式2．（2026·新疆·模拟预测）某市为提升学生们的数学素养，举办了一场“数学文化素养知识大赛”，已知共有10000名学生参加了比赛，现从参加比赛的全体学生中随机抽取100人的成绩作为样本，得到如下频率分布直方图： (1)若规定成绩较高的前30%的学生获奖，请求出a的值并估计获奖学生的最低分数线； (2)现从成绩位于的样本中，按分层随机抽样的方法选取8人，再从这8人中随机选取2人，设这2人中成绩落在内的人数为X，求X的分布列； (3)由频率分布直方图可认为该市全体参赛学生的成绩Z服从正态分布，其中可近似为样本中的100名学生初赛成绩的平均值（同一组数据用该组区间的中点值代替），且.从该市所有参赛学生中任取一人，试估计该生的成绩高于85.6分的概率. ［参考数据：；若，则，，］ 2 学科网（北京）股份有限公司 $