精品解析：湖北省随州市2025-2026学年高一上学期期末数学试题

湖北省随州市2025-2026学年高一上学期期末数学试题 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列函数为奇函数，且在上单调递减的函数是（ ） A B. C D. 3. 已知弧长为的弧所对的圆心角为，则该弧所在的扇形面积为（ ） A. B. C. D. 4. 方程的解所在的区间为： A. B. C. D. 5. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 6. “（）”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 下列命题为真命题是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 8. 某数学兴趣小组在研究常用对数值时设计了下面表格，下表中给出的常用对数值有一个是错误的，它是（ ） 1.125 2 3 75 A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 正实数a，b满足，则下列说法正确的是（ ） A. ab有最大值，且最大值为9 B. ab有最小值，且最小值为9 C. 有最大值，且最大值为6 D. 有最小值，且最小值为6 10. 当时，下列不等式可能成立的有（ ） A. B. C D. 11. 已知函数对任意实数a，b均有，则称为“保积函数”，则下列说法正确的有（ ） A. 若函数为保积函数，则 B. 对任意正实数，保积函数恒成立 C. 若保积函数的图象经过点，则函数为偶函数 D. 若保积函数，且当时，总有，则在上单调递减 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的定义域为_________． 13. 若，使得，则实数的取值范围为________________． 14. 函数，其图象经过点，函数，则关于的不等式的解集为_______________． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）化简； （2）若为第二象限角，，求的值． 16. 某科技公司根据多年的经营数据，发现该公司每年的利润（单位：万元）与研发投入（单位：万元）满足函数关系式，且当时，． （1）求值； （2）若该公司想要明年的利润相比今年增加100万元，则明年的研发投入需要增加到今年的多少倍？ 17. 已知函数． （1）当时，判断的奇偶性； （2）若实数为方程的两根，求的值． 18. 设矩形的周长为12cm，把沿AC向折叠，AB折过去后交DC于点． （1）求的周长； （2）求PC的最小值； （3）求面积的最大值． 19. 记双曲正弦函数，双曲余弦函数，其中e为自然对数的底数． （1）证明为定值，并求出该值； （2）若函数的最小值为0，求实数的值； （3）若函数在上只有1个零点，求实数的取值范围． （注： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖北省随州市2025-2026学年高一上学期期末数学试题 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用集合交集的定义，计算即可. 【详解】，， ． 故选：C 2. 下列函数为奇函数，且在上单调递减的函数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由奇偶性的定义和幂函数的单调性可得结论． 【详解】选项A：函数的定义域为，关于原点对称， ，可得奇函数，函数在上单调递减，符合题意． 选项B：函数的定义域为，定义域不关于原点对称， 既不是奇函数也不是偶函数，不符合题意． 选项C：函数的定义域为，关于原点对称， ，可得为偶函数，不是奇函数，不符合题意． 选项D：函数的定义域为，关于原点对称， ，可得为奇函数， 函数在上单调递增，并非单调递减，不符合题意． 故选：A． 3. 已知弧长为的弧所对的圆心角为，则该弧所在的扇形面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先求出半径，再根据扇形的面积公式计算可得. 【详解】因为弧长为的弧所对的圆心角为， 所以半径，则该弧所在扇形面积. 故选：B 4. 方程的解所在的区间为： A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】构造函数，再利用零点存在性定理判断作答. 【详解】令，则函数在R上单调递增，而，， 即函数的唯一零点在区间内，所以方程的解所在的区间为. 故选：A 5. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用指数函数、对数函数的性质确定的范围，根据特殊角的三角函数计算的值，即可. 【详解】对数函数在单调递增， ，即， 指数在单调递增， ， ， ， . 故选：D 6. “（）”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角函数求得的值，结合充分，必要条件的定义判断即可． 【详解】若，则（）或（），推不出（）； 反过来，若（），可推出. 故“（）”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 7. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据作差法、举反例、不等式性质和指数函数的图象与性质判断各个选项. 【详解】对于A，，因为， 但的大小关系不确定，当时，，则，即，A错误； 对于B，当时满足，此时，则，B错误； 对于C，若，所以，则，根据不等式的可加性，可得，C正确； 对于D，若，所以，对于指数函数和， 当时，的图象在图象的下方，即，所以，D错误. 故选：C. 8. 某数学兴趣小组在研究常用对数值时设计了下面表格，下表中给出的常用对数值有一个是错误的，它是（ ） 1.125 2 3 75 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据对数的运算法则计算后判断． 【详解】假设，，正确. 由得. 由，解得. 检验，与表格数据相符. 故的数据正确，题中只有一个数据错误，因此的数据错误. 故选：C. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 正实数a，b满足，则下列说法正确的是（ ） A. ab有最大值，且最大值为9 B. ab有最小值，且最小值为9 C. 有最大值，且最大值为6 D. 有最小值，且最小值为6 【答案】BD 【解析】 【分析】利用，得出关于或的一元二次不等式求解. 【详解】因为，所以，等号成立时， 即，得，得， 故ab有最小值，且最小值为9，故B正确；A错误； 因为，所以，等号成立时， 即，得， 故有最小值，且最小值为6，故D正确；C错误. 故选：BD 10. 当时，下列不等式可能成立的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】对ABD举例判断即可；对C，对分段讨论即可判断. 【详解】对于A，，当时，， ，， ， A正确； 对于B，当时， ，即， ，即， ，B正确； 对于C，时，， ，， 不满足； 时， 不满足； ，， 不满足； ，，即， ，， 不满足； ，即， ，， 不满足； 综上，不满足； 对于D，，，， ， ，D正确. 故选：ABD 11. 已知函数对任意实数a，b均有，则称为“保积函数”，则下列说法正确的有（ ） A. 若函数为保积函数，则 B. 对任意正实数，保积函数恒成立 C. 若保积函数的图象经过点，则函数为偶函数 D. 若保积函数，且当时，总有，则在上单调递减 【答案】BCD 【解析】 【分析】举反例判断A；根据题干法则赋值判断B；结合题意分析求得，，令，由偶函数定义判断C；由单调性的定义判断D. 【详解】对于A，当时，为常数函数0， 显然，满足， 但是，故A错误； 对于B，由题意，令，则，故B正确； 对于C，令，则或， 若，则对，取，都有， 此时函数为常数函数0，不满足， 故； 令，则或， 若，取，则，所以， 结合选项B可知，，所以， 令，则， 又定义域为R，则函数为偶函数，故C正确； 对于D，设任意的，则，所以，由B选项可知， 所以， 所以在上单调递减，故D正确. 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的定义域为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据对数真数大于0，建立的不等量关系，求解即可. 【详解】函数有意义， 需，解得或， 所以函数的定义域为. 故答案：. 【点睛】本题考查对数函数的定义域以及一元二次不等式的求解，考查数学计算能力，属于基础题. 13. 若，使得，则实数的取值范围为________________． 【答案】 【解析】 【分析】由得：，利用时，，计算即可. 【详解】， ， ， ， 令则，， ，即， ，解得：， 实数的取值范围为． 故答案为： 14. 函数，其图象经过点，函数，则关于的不等式的解集为_______________． 【答案】 【解析】 【分析】根据图象经过点求出函数解析式，再代入化简不等式，分情况讨论求解即可. 【详解】由函数的图象经过点， 将代入对应的解析式得，解得， 则， 又，原不等式， 可化为，即. 结合的分段定义，分与两种情况代入的解析式展开化简， 1.当（即）时： （1）若，则，， 代入不等式得， 化简得，恒成立，故. （2）若，则，， 代入不等式得化简得， 即，解得. 2.当（即或）时， （1）若，则，， 代入不等式得：， 化简得，即，解得. （2）若，则，， 代入不等式得， 化简得，无解. 综合以上情况，整理得不等式的解集为， 即原不等式的解集为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）化简； （2）若为第二象限角，，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由三角函数诱导公式结合任意角即可化简； （2）由（1）的结果，结合三角函数同角关系与角所在的象限，联立后即可求得的值. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 由题意得，即，， 且为第二象限角，故， 联立，解得. 16. 某科技公司根据多年的经营数据，发现该公司每年的利润（单位：万元）与研发投入（单位：万元）满足函数关系式，且当时，． （1）求的值； （2）若该公司想要明年的利润相比今年增加100万元，则明年的研发投入需要增加到今年的多少倍？ 【答案】（1） （2）2倍. 【解析】 【分析】（1）根据当时，求值； （2）根据以及对数的运算法则求解. 【小问1详解】 当时，，解得； 【小问2详解】 设今年的研发投入为，利润为，明年的研发投入为，利润为， 依题意可得 ， 故，则， 故明年的研发投入需要增加到今年的2倍. 17. 已知函数． （1）当时，判断奇偶性； （2）若实数为方程的两根，求的值． 【答案】（1）奇函数 （2） 【解析】 【分析】（1）求解与根据奇函数与偶函数的定义即得； （2）由韦达定理得到相关式子，代入化简即可. 【小问1详解】 当时，，定义域R， ， 故为奇函数． 【小问2详解】 依题意可得：， ， 故 18. 设矩形的周长为12cm，把沿AC向折叠，AB折过去后交DC于点． （1）求的周长； （2）求PC的最小值； （3）求面积的最大值． 【答案】（1）6 （2） （3） 【解析】 【分析】(1)利用折叠证，将周长转化为矩形半周长，直接得定值. (2)勾股定理列方程得表达式，用基本不等式求最小值. (3)代入面积公式化简，结合基本不等式求得面积最大值. 【小问1详解】 设点折叠后的对应点为，如图： 由矩形及折叠性质可知：，，， ，， 的周长为. 【小问2详解】 设，则， 设，则， 在中，由勾股定理可得，解得， 则，当且仅当即时等号成立， 所以最小值为. 【小问3详解】 由(2)可知的面积， 当且仅当即时等号成立， 所以的最大面积为. 19. 记双曲正弦函数，双曲余弦函数，其中e为自然对数的底数． （1）证明为定值，并求出该值； （2）若函数的最小值为0，求实数的值； （3）若函数在上只有1个零点，求实数的取值范围． （注： 【答案】（1）证明见解析， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用函数定义化简即可； （2）化简，令，将问题转化为在上的最小值为0，再分类讨论对称轴即可； （3）利用，化简，再令，将问题转化为在上只有1个零点，再结合一元二次函数的性质求解或参变分离求解. 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 故 令，等号成立时， 依题意可得，在上的最小值为0， ①当对称轴，即时，在上单调递增， 此时，解得或（舍）； ②当对称轴，即时， 此时，无解． 综上所述，的值为； 【小问3详解】 因为， ， 所以 ， 令，则 若，则， 因为在上单调递增，所以， 依题意可得，在上只有1个零点， ①当即时， 此时的唯一零点，不符题意； ②当即时，只需， 即，解得， 综上所述，的取值范围为． 另解，在上只有1个零点， 则方程在上只有1个实根， 即在上只有1个实根，故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $