精品解析：河北沧州市沧衡八县联考2026届高三上学期2月期末巩固训练数学试题

2025-2026高三巩固训练 数学 （时间：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名及考号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，集合，，则的元素个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】由并集，补集定义结合题设可得答案. 【详解】由题可得，于是，其中共4个元素. 故选：B. 2. 在复平面内，复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的除法运算，结合复数的几何意义即可判断. 【详解】，其对应的点为，位于第二象限， 故选：B. 3. 为发展旅游业以带动民生经济，某市文旅采用线上直播的方式进行景色展示与农产品售卖，已知其在5天内每天售卖的农产品的数量分别为210，224，202，244，252，则这组数据的第60百分位数为（ ） A. 202 B. 223 C. 224 D. 234 【答案】D 【解析】 【分析】由百分位数计算方法可得答案. 【详解】将数据从小到大排列为：. 由，故这组数据的第60百分位数为从小到大排第三个数与第四个数的平均值，即. 故选：D. 4. 已知是边长为4的等边三角形，点，满足，，则（ ） A. B. 0 C. 3 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】利用三角形中位线得到，从而得到，则有，故计算得解. 【详解】解析：如图，作，垂足为， 是边长为4的等边三角形，是的中点，， ，是的中点， ，，， . 故选：C. 5. 已知抛物线：的焦点为，该抛物线可看作由抛物线向左平移一个单位所得，上有一点，则当时，点的横坐标为（ ） A. 2024 B. 2025 C. 2026 D. 2027 【答案】A 【解析】 【分析】由准线方程结合题干信息可得的准线方程为，然后由抛物线定义可得答案. 【详解】抛物线的准线方程为，故的准线方程为，记点的横坐标为，由抛物线的定义知，解得， 故选：A. 6. 设函数，则曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出，利用导数的公式求出，从而求出，利用点斜式得到在点处的切线方程. 【详解】， ， ， ， 曲线在点处的切线方程为， 即. 故选：A. 7. 已知，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据，，，，利用平方关系求得，，再利用二倍角公式和两角差的余弦公式求解. 【详解】因为，，，， 所以，， 所以，， ，， 所以， 故选：C. 8. 已知定义在上的函数满足是奇函数，是偶函数，且当时，，则（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】应用奇偶性及对称性结合赋值法计算，再应用分段函数解析式得出函数值. 【详解】由是奇函数，得①， 令，得， 设， 因为是偶函数，所以为偶函数，即， 即，故②， 由①知，故③， ③中令，即， ②中令，即， ③中令，即， 解得， 故， 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知双曲线：的左、右焦点分别为，，其焦距为4，渐近线方程为，点在上，则（ ） A. 的离心率为 B. C. 与有交点 D. 与无交点 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，由题可得，据此可判断选项正误；对于B，由A选项可得，然后由双曲线定义可判断选项正误；对于C，将与双曲线方程联立可判断选项正误；对于D，将与联立可判断选项正误． 【详解】对于A，记的半焦距为，则离心率，故A正确； 对于B，，，，，故B正确； 对于C，，：，代入得，无解，故C错误； 对于D，由，即，与联立，得，这与矛盾，即两曲线无交点，故D正确. 故选：ABD. 10. 记为等差数列的前项和，已知，且，，成公比不为1的等比数列，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】设等差数列公差为，根据等比中项可得，直接代入运算即可；对于B：可得，即可得分析判断；对于C：举反例说明即可；对于D：可得当时，则，利用裂项相消法分析判断. 【详解】因为，，成公比不为1的等比数列，则， 设等差数列公差为，则， 整理可得，解得， 所以. 对于选项A：，故A正确； 对于选项B：因为，所以， 因为， 所以，故B正确； 对于选项C：因为，，即当时，，故C错误； 对于选项D：当时，则， 所以，故D正确. 故选：ABD. 11. 如图，在正三棱锥中，，为中点，点满足，，则（ ） A. 平面 B. 三棱锥的体积为 C. D. 直线与平面所成角的正弦值为 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，由题设结合反证法可判断选项正误；对于B，记为中点，为中心，为中点，设，由题设及勾股定理可得，据此可得体积；对于C，由余弦定理结合B分析可判断选项正误；对于D，由题可得点到底面的距离与与平面所成角，据此可判断选项正误． 【详解】对于A，若平面，则，又三棱锥为正三棱锥， 则，与矛盾，故平面不成立，故A错误； 对于B，记为中点，为中心，为中点，显然， 于是，设，则，， 由勾股定理得，即，解得， 于是，所以， 故三棱锥的体积，故B正确； 对于C，，，，， 由余弦定理得，由知，，故C正确； 对于D，显然点到底面的距离，记直线与平面所成角为，则，故D错误. 故选：BC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知扇形（为圆心）的周长为4，弧的长为2，则该扇形的面积为______. 【答案】1 【解析】 【分析】由扇形周长及对应弧长可得扇形半径，据此可得答案. 【详解】设扇形的半径为，弧长为，周长为. 由题意可得，则该扇形的面积. 故答案为：. 13. 已知函数若，，则______. 【答案】2 【解析】 【分析】由题设可得，据此可得答案. 【详解】注意到， 由，得或，又，故. 故答案为：. 14. 对于数字的结果可借助二项式的展开式进行计算，由此请写出的后三位数为______. 【答案】 【解析】 【分析】将转化为，利用二项式定理展开，分析展开式中会对百位、十位、个位产生影响的项，当时，必为的倍数，则只需要考虑当的情况进行求解. 【详解】由题意可知， ， 当时，必为的倍数， 所以只需要考虑当的情况， 首先考虑，此时该项为， 由于的末位为0， 所以的末三位均为0， 依然不会对结果的百位、十位、个位产生影响， 故只需考虑的情况. 当时，， 当时，， 所以将这两项相加得到，取后三位即. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 从1，2，3，4中随机抽取个不同的数，记它们的和为. （1）求； （2）求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）当时列出所有可能的取法，即可得到的分布列，从而求出期望； （2）列出的可能取值及相应的概率，从而得到的分布列，即可求出其数学期望. 【小问1详解】 当时，有如下等可能的取法：①1，2，3；②1，2，4；③1，3，4；④2，3，4. 即的可取值为6，7，8，9. 此时， 故的分布列如下： 6 7 8 9 故. 【小问2详解】 当时，有如下等可能的取法：①1，2；②1，3；③1，4；④2，3；⑤2，4；⑥3，4. 即的可取值为3，4，5，6，7. 此时，. 于是可得的分布列如下： 9 16 25 36 49 故. 16. 在中，内角，，的对边分别为，，，且的面积，. （1）求的外接圆半径； （2）若，，求中边上的高的值. 【答案】（1）7 （2）或. 【解析】 【分析】（1）设的外接圆半径为，利用三角形面积公式有及正弦定理得到的值. （2）利用正弦定理求出，由得到，利用同角关系式求出.利用余弦定理建立关于的方程，解得的值，利用公式求出边上的高，从而得解. 【小问1详解】 设的外接圆半径为， 由三角形面积公式有，故，则， 又，故，即. 故的外接圆半径为7. 【小问2详解】 由，且， 所以，所以. 在中，由余弦定理， 解得或， 所以边上的高或. 17. 记为各项均为正数的数列的前项和，已知，. （1）求的通项公式； （2）若等差数列满足，，，求的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由结合题设可得，然后由与关系可得答案； （2）记的公差为，由题设并验证可得，然后由错位相减法可得答案. 【小问1详解】 由，可知是公比为2的等比数列，故， 当时，，，故 由得，又，所以， 故； 【小问2详解】 记的公差为，由可知， 由得，即， 整理得，即，解得或， 当时，，不合题意，舍去， 当时，，符合题意， 故的通项公式为.所以. 当时，， , 两式相减，得到. 又注意到时，. 故. 18. 已知函数是增函数. （1）求实数的取值范围； （2）当时，证明：； （3）当取得最小值时，若在上恒成立，求整数的最小值. 参考数据：，. 【答案】（1） （2） 证明：时显然成立，下面考虑. 由可知，则， 而， 故只需证明， 即证， 注意到（当且仅当时取等号），故只需证. 设，则， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 于是， 于是，即成立， 综上可得，当时，. （3） 【解析】 【分析】（1）求出函数的导函数，分和两种情况讨论，当时，即可求出参数的取值范围； （2）当时显然成立，考虑时，利用放缩法只需证，构造函数，利用导数说明函数的单调性，即可证明； （3）由（1）知，结合（2）只需考虑时的情况，令，，结合函数的单调性，确定时的范围，即可得解. 【小问1详解】 函数的定义域为， 又， 当时，则当时，，所以在上单调递减，不符合题意； 当时，由是增函数，故恒成立（且不恒成立）， 所以恒成立，所以，解得， 所以实数的取值范围是. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（1）知，此时， 由（2）知当时，，不等式恒成立，当时，只需考虑时的情况. 由得，即. 设函数，，则， 可知在上单调递减，所以只需即可. 而，， 故存在使得， 可知当时恒有， 又为整数，所以的最小值为. 19. 如图，平面，，，，，，记点的轨迹为，点的轨迹为，点满足. （1）证明：是圆，是椭圆. （2）与交于，两点，，在上，，，，在同侧. （ⅰ）求； （ⅱ）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1） 以为坐标原点，的方向为轴正方向，过点且垂直于平面的直线为轴，的方向为轴正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系. 于是，，，， 则，. 设，则， 而，整理得， 即为点的轨迹方程，故点的轨迹为圆. 设，则， 而， 即，于是， 整理得，即为点的轨迹方程，故点的轨迹为椭圆. （2）（ⅰ）（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）设，利用得到的等式，整理得到点的轨迹方程，设，利用得到的等式，整理得到点的轨迹方程；从而得到证明. （2）（ⅰ）圆和椭圆联立方程组，求出的值，计算即可得解.（ⅱ）求出的坐标，求出平面与平面的法向量，利用向量的数量积公式得到平面与平面夹角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （ⅰ）如图，不妨先单独考虑内情况. 联立得，， 由知， 于是. （ⅱ）：，，在上， 由得，由得. 由对称性不妨设，， 于是，，. 记平面与平面的法向量分别为，， ，即，可取， ，即，可取. 记平面与平面的夹角为， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026高三巩固训练 数学 （时间：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名及考号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，集合，，则的元素个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 2. 在复平面内，复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 为发展旅游业以带动民生经济，某市文旅采用线上直播的方式进行景色展示与农产品售卖，已知其在5天内每天售卖的农产品的数量分别为210，224，202，244，252，则这组数据的第60百分位数为（ ） A. 202 B. 223 C. 224 D. 234 4. 已知是边长为4的等边三角形，点，满足，，则（ ） A. B. 0 C. 3 D. 6 5. 已知抛物线：的焦点为，该抛物线可看作由抛物线向左平移一个单位所得，上有一点，则当时，点的横坐标为（ ） A. 2024 B. 2025 C. 2026 D. 2027 6. 设函数，则曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知定义在上的函数满足是奇函数，是偶函数，且当时，，则（ ） A. B. C. 2 D. 4 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知双曲线：的左、右焦点分别为，，其焦距为4，渐近线方程为，点在上，则（ ） A. 的离心率为 B. C. 与有交点 D. 与无交点 10. 记为等差数列的前项和，已知，且，，成公比不为1的等比数列，则（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在正三棱锥中，，为中点，点满足，，则（ ） A. 平面 B. 三棱锥的体积为 C. D. 直线与平面所成角的正弦值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知扇形（为圆心）的周长为4，弧的长为2，则该扇形的面积为______. 13. 已知函数若，，则______. 14. 对于数字的结果可借助二项式的展开式进行计算，由此请写出的后三位数为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 从1，2，3，4中随机抽取个不同的数，记它们的和为. （1）求； （2）求. 16. 在中，内角，，的对边分别为，，，且的面积，. （1）求的外接圆半径； （2）若，，求中边上的高的值. 17. 记为各项均为正数的数列的前项和，已知，. （1）求的通项公式； （2）若等差数列满足，，，求的前项和. 18. 已知函数是增函数. （1）求实数的取值范围； （2）当时，证明：； （3）当取得最小值时，若在上恒成立，求整数的最小值. 参考数据：，. 19. 如图，平面，，，，，，记点的轨迹为，点的轨迹为，点满足. （1）证明：是圆，是椭圆. （2）与交于，两点，，在上，，，，在同侧. （ⅰ）求； （ⅱ）求平面与平面夹角的余弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $