精品解析：云南省楚雄第一中学2025-2026学年上学期期中考试高二年级数学

云南省楚雄第一中学2025-2026学年秋季学期期中考 高二年级数学 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题 1. 已知，则（ ） A. B. C. D. 2. 将一枚质地均匀的骰子抛掷一次，出现“正面向上的点数大于3”的概率是（ ） A. B. C. D. 3. 已知平面向量，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 4. 正方体中为棱的中点，求异面直线与所成角的余弦值（ ） A. B. C. D. 5. 已知两条直线,,若与平行,则为（ ） A. B. C. 或 D. 6. 已知直线l过定点，且与以，为端点的线段有交点，则直线l的斜率k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知圆和圆有公共点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知椭圆的右焦点为，且过点，为上一动点，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 在直三棱柱中，，，为棱的中点，为棱上的动点（与端点不重合）.以为坐标原点，垂直于平面的直线为轴，直线、分别为、轴建立如图所示的空间直角坐标系，则下列说法正确的是（ ） A. 点关于平面的对称点的坐标为 B. 的取值范围为 C. 存在点，使得平面的一个法向量为 D. 若，则点到平面的距离为 10. 已知直线与圆相交于两点，则（ ） A. 是圆的一条对称轴 B. 圆的半径为 C. 圆心到的距离为 D. 的面积为 11. 已知椭圆，且两个焦点分别为，是椭圆上任意一点，以下结论正确的是（　　） A. 椭圆的离心率为 B. 的周长为12 C. 的最小值为3 D. 的最大值为16 三、填空题 12. 不论为何实数，直线恒过定点______.（请写出该定点坐标） 13. 已知向量，若，则__________. 14. 如图，已知函数的图象是圆心在原点的单位圆的两段弧，则不等式的解集为_____． 四、解答题 15. 已知点A、B、C的坐标分别为（0，1，2），（1，2，3），（1，3，1）. （1）若，且，求y的值； （2）若D的坐标为（x，5，3），且A、B、C、D四点共面，求x的值. 16. 已知，，且 （1）求的单调区间. （2）在中，，，的对边分别为，，，当，，，求的面积. 17. 如图，在直三棱柱中，分别是与的中点. （1）求证:平面; （2）若，求直线与平面所成角的余弦值. 18. 的三个顶点分别是，，. （1）求边上的中线所在直线的方程，求边上的高所在直线的方程； （2）（ⅰ）求的外接圆（为圆心）的标准方程； （ⅱ）若点的坐标是，点是圆上的一个动点，点满足，求点的轨迹方程，并说明轨迹的形状. 19. 已知和为椭圆上两点. （1）求椭圆的方程； （2）若点在椭圆上，、是椭圆的两焦点，且，求的面积； （3）过点的直线与椭圆交于、两点，证明：为定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 云南省楚雄第一中学2025-2026学年秋季学期期中考 高二年级数学 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题 1. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的乘法、除法运算法则，求得，结合复数模的计算公式，即可求解. 【详解】因为，所以， 所以，则. 故选：B. 2. 将一枚质地均匀的骰子抛掷一次，出现“正面向上的点数大于3”的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据离散型随机变量概率公式求出结果. 【详解】抛掷一次骰子有6种结果,分别为1,2,3,4,5,6.大于3的结果有4,5,6. 所以“正面向上的点数大于3”的概率. 故选：A. 3. 已知平面向量，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用向量的坐标运算及投影向量的定义求解. 【详解】由向量，得，，则， 所以向量在向量方向上的投影向量为. 故选：C 4. 正方体中为棱的中点，求异面直线与所成角的余弦值（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将异面直线平移到同一平面中，构成一等腰三角形，应用余弦定理求值. 【详解】 取的中点为E点，的中点为G点，连接AG，AE，EG，EG平行于，平行于，故EG平行于，则三角形AEG中，角AEG或其补角为所求，设正方形边长为2，根据三角形的三边关系得到，故AE =3，，故AG=3，GE=，由余弦定理得到角AEG的余弦值为，. 故答案为B. 【点睛】本题主要考查异面直线所成角的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养；异面直线的夹角常用方法有：将异面直线平移到同一平面中去，达到立体几何平面化的目的. 5. 已知两条直线,,若与平行,则为（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据两直线平行,得出关系求出值. 【详解】解：由题知,两条直线,, 若与平行,则且, 由解得或, 当时故舍去, 所以. 故选:A． 6. 已知直线l过定点，且与以，为端点的线段有交点，则直线l的斜率k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用斜率公式求得直线，的斜率结合图象可得则直线的斜率的取值范围． 【详解】解：直线的斜率为，直线的斜率为， 结合图象可得则直线的斜率的取值范围是， 即则直线的斜率的取值范围是，， 故选：． 7. 已知圆和圆有公共点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由两圆位置关系构造不等式求解即可. 【详解】由题可得， 解得：． 故选：B 8. 已知椭圆的右焦点为，且过点，为上一动点，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题目条件求椭圆的方程，进而由椭圆的定义及两点间线段最短求两线段长度之和的最大值 【详解】设半焦距为，因为，故. 又过点，故. 由椭圆得，代入解得，.即，. 所以的方程为. 设的左焦点为，故. 根据椭圆的几何性质可知， 由于两点之间线段最短，所以. 因此. 当且仅当，，在一条直线上时，等号成立. 故选： 二、多选题 9. 在直三棱柱中，，，为棱的中点，为棱上的动点（与端点不重合）.以为坐标原点，垂直于平面的直线为轴，直线、分别为、轴建立如图所示的空间直角坐标系，则下列说法正确的是（ ） A. 点关于平面的对称点的坐标为 B. 的取值范围为 C. 存在点，使得平面的一个法向量为 D. 若，则点到平面的距离为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用点关于坐标平面的对称性可判断A选项；设，其中，利用空间向量数量积的坐标运算可判断B选项；利用平面法向量的概念可判断C选项；利用空间向量法可判断D选项. 【详解】在中，，， 由余弦定理可得， 因为，故， 由图可得、、、、、、， 对于A选项，点关于平面的对称点的坐标为，A对； 对于B选项，， 设点，其中，则， 所以，B错； 对于C选项，假设存在点，使得平面的一个法向量为， 则，解得，符合题意，C对； 对于D选项，若，则，由C选项可知，此时平面的一个法向量为， 且，则点到平面的距离为，D对. 故选：ACD. 10. 已知直线与圆相交于两点，则（ ） A. 是圆的一条对称轴 B. 圆的半径为 C. 圆心到的距离为 D. 的面积为 【答案】BD 【解析】 【分析】根据圆的方程可得圆心和半径，知A、B正误；利用点到直线距离公式和垂径定理可求得C、D正误. 【详解】对于AB，由圆方程知：圆心，半径，B正确； 直线不过圆心，不是圆的对称轴，A错误； 对于C，圆心到直线的距离，C错误； 对于D，，，D正确. 故选：BD. 11. 已知椭圆，且两个焦点分别为，是椭圆上任意一点，以下结论正确的是（　　） A. 椭圆的离心率为 B. 的周长为12 C. 的最小值为3 D. 的最大值为16 【答案】BD 【解析】 【分析】根据离心率的公式可判断A；根据椭圆的定义可判断B；根据焦半径的范围可判断C；根据基本不等式和椭圆的定义可判断D. 【详解】椭圆，则， ， . 对于A，离心率，故A错误； 对于B，的周长为，故B正确； 对于C，的最小值为，故C错误； 对于D，，当且仅当时等号成立，所以的最大值为16，故D正确. 故选：BD 三、填空题 12. 不论为何实数，直线恒过定点______.（请写出该定点坐标） 【答案】； 【解析】 【分析】将直线方程变形,解方程组即可求得所过定点的坐标. 【详解】直线 变形可得 当满足时,不论为何实数,直线恒过定点 解方程组可得 所以不论为何实数,直线恒过定点的坐标为 故答案为: 【点睛】本题考查了直线过定点的坐标求法,属于基础题. 13. 已知向量，若，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据向量垂直得到，再利用向量夹角的坐标表示即可得到答案. 【详解】依题意，由，有， 解得，所以. 故答案为：. 14. 如图，已知函数的图象是圆心在原点的单位圆的两段弧，则不等式的解集为_____． 【答案】或 【解析】 【分析】根据函数图象可知函数是奇函数，因此找到与的交点即可. 【详解】 由图象可知，函数为奇函数，故原不等式， 在同一坐标系中画出函数的函数图象，当时，求解方程得， 结合图象可得在第一象限， 同理，根据图形对称性，可得在第三象限部分，满足条件， 综上所述，解集为或. 故答案为：或. 四、解答题 15. 已知点A、B、C的坐标分别为（0，1，2），（1，2，3），（1，3，1）. （1）若，且，求y的值； （2）若D的坐标为（x，5，3），且A、B、C、D四点共面，求x的值. 【答案】（1）； （2）0 . 【解析】 【分析】（1）利用，可得，解得即可． （2），，，四点共面，可得存在唯一一对实数，，使得，解出即可． 【详解】（1）因为，，且，所以，解得． （2）因为，，，与不共线， 由，，，四点共面，可得存在唯一一对实数，，使得， 所以，解得，故． 【点睛】本题主要考查向量垂直的坐标表示，向量的数量积，平面向量基本定理的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题． 16. 已知，，且 （1）求的单调区间. （2）在中，，，的对边分别为，，，当，，，求的面积. 【答案】（1）在（）单调递增；在（）单调递减；（2）. 【解析】 【分析】 【详解】（1）， 令 所以函数在，（）单调递增； 令 所以函数在，（）单调递减. （2）由（1）可知 角为锐角， 由正弦定理， 即三角形为直角三角形， 则 17. 如图，在直三棱柱中，分别是与的中点. （1）求证:平面; （2）若，求直线与平面所成角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）取中点，连接与，证得四边形是平行四边形，得到，结合线面平行的判定定理，即可证得平面； （2）以为原点，建立空间直角坐标系，设，分别求得平面的法向量和向量，结合向量的夹角公式，即可求解. 【小问1详解】 证明：取中点，连接， 在中，因为分别是与的中点，所以，且， 又因为在直三棱柱中，为的中点， 所以，所以， 所以四边形是平行四边形，所以， 因为平面，且平面，所以平面. 【小问2详解】 解：因为平面，且，所以平面， 又因为为等腰直角三角形，则两两垂直， 以为原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，设，则， 所以， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 设直线与平面所成的角为， 则， 所以，所以直线与平面所成的角的余弦值为. 18. 的三个顶点分别是，，. （1）求边上的中线所在直线的方程，求边上的高所在直线的方程； （2）（ⅰ）求的外接圆（为圆心）的标准方程； （ⅱ）若点的坐标是，点是圆上的一个动点，点满足，求点的轨迹方程，并说明轨迹的形状. 【答案】（1）， （2）（ⅰ）；（ⅱ），轨迹是以为圆心，半径为的圆． 【解析】 【分析】（1）设线段的中点为，求得直线的方程为，由，得到直线的斜率为，结合直线的点斜式方程，即可求解； （2）（ⅰ）设圆的方程为，根据三点都在圆上，列出方程组，求得的值，即可得到圆的方程； （ⅱ）设，点，由，求得，根据在圆上运动，得到，代入，即可求解. 【小问1详解】 解：设线段的中点为，则， 因为，则边上的中线的方程为，即直线的方程为， 又因为直线的斜率为，所以上的高所在直线的斜率为， 所以上的高所在直线的方程为，即直线的方程为. 【小问2详解】 解：（ⅰ）设圆的方程为（其中） 因为三点都在圆上，可得， 解得，满足， 所以所求圆的方程为，即 （ⅱ）设的坐标是，点的坐标是， 因为的坐标是，且， 所以，解得， 又因为点在圆上运动，所以点的坐标满足圆的方程，即， 代入得，整理得， 点的轨迹方程是，轨迹是以为圆心，半径为的圆． 19. 已知和为椭圆上两点. （1）求椭圆的方程； （2）若点在椭圆上，、是椭圆的两焦点，且，求的面积； （3）过点的直线与椭圆交于、两点，证明：为定值. 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由题意可得出关于、的方程组，解出、的值，即可得出椭圆的方程； （2）利用余弦定理结合椭圆的定义求出的值，然后利用三角形的面积公式可求得的面积； （3）当直线的斜率为零时，直接计算出的值；当直线不与轴重合时，设直线的方程为，、，将直线的方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，结合弦长公式可求出的值，即可证得结论成立. 【小问1详解】 由题意得，解得，所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 由题可知，. 在中，由勾股定理得， 则，即， 所以，故的面积是. 【小问3详解】 当的斜率为时，； 当不与轴重合时，设直线的方程为，、， 联立得， 所以，， 由韦达定理可得，. ， 故为定值. 【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种： （1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； （2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $