云南省楚雄彝族自治州部分学校2025-2026学年高二上学期12月期中数学试题

数 学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。 福 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对 应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0,5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答 题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。 4.本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册。 如 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 米 合题目要求的。 1.直线l:y=√3x一3在x轴上的截距为 A-3 B.-5 C.3 D.3 K: 2.抛物线y2=6x的焦点到准线的距离为 A是 B.3 C.4 D.6 製 3.已知A,B,C,D为空间中四点，0为坐标原点，若Oò=号Oi-tOi+合O且A,B,C,D四 点共面，则t= A日 B吉 c号 4.过圆C:x2+(y一1)2=4上的点P(2,1)作圆C的切线，则切线方程为 A.x-y-1=0 B.x-2y=0 C.x+2y-4=0 D.x-2=0 5.已知双曲线号-芳=1(a>0,b>0)的离心率为2厄，则该双曲线的渐近线方程为 A.√7x士y=0 B.x士7y=0 C.3x士y=0 D.x士3y=0 6.若{e,2,e}是空间的一个基底，那么对任意一个空间向量m,存在唯一的有序实数组 (s,t,r),使得m=se1十e2十3，我们把有序实数组(s,t,r)叫做向量m在基底{e1,e2,e3}下 的斜坐标.已知空间向量p在基底{a,b,c}下的斜坐标为(3,1,2)，则p在基底{a一b,a+b,c》 下的斜坐标为 A.(2,1,2) B.(2,-1,2) C.(1,2,2) D.(-1,2,2) 【高二秋季期中考试·数学第1页（共4页）】 26-T-320B 7.已知双曲线C号-芳=1(。>0,6>0)，斜率为2的直线与双曲线C相交于点A,B,且弦AB 的中点坐标为(1,1)，则双曲线C的离心率为 A.2 B.√3 C.√2 D.3 8.已知m∈R,直线l1:mx+y十2m=0与2：x一my+2m=0的交点P在圆C:(x-2)2+ (y一4)2=2(r>0)上，则r的取值范围是 A.（W2,2√2) B.[V2,22] C.（2√2,42) D.[22,42] 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.若点A(m,4)和点B(-1一m,3)关于直线：x十ny-3=0对称，则 AAB的中点坐标为（一司，号） B.n=1 C.直线l的斜率为1 D.m=0 10,已知F,R是椭圆C:苦+y=1的左、右焦点，P是C上一点，若△PRR:是直角三角形， 则|PF|= A号 B.√2 C.2 D32 2 11.如图，在正四棱锥P-ABCD中，PA=AB=2√2，M,N分别是 PB,PD的中点，则下列说法正确的是 A.MN⊥AC B直线AM和CN所成角的余弦值是号 C.点B到直线AN的距离是Y6© 3 D.点M到平面ACN的距离是2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知向量m=(3,1,5),n=(一2，λ，2)，若m⊥n,则λ= 13.已知点P是抛物线C:y=4x上任意一点，若点P到抛物线C的准线的距离为d1,到直线 m:2x一y十3=0的距离为d2,则d1十d2的最小值是 14,已知点A是椭圆C:号+卡=1(a>6>0)的下顶点，F是C的右焦点，延长AP交C于点B, 若A=2FB,则C的离心率为 【高二秋季期中考试·数学第2页（共4页）】 26-T-320B 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 已知直线l:x一2y一3=0. (1)若直线L1过点M(2,一1)，且1⊥l,求直线1的方程； (2)若直线L2∥1，且直线l2与直线l之间的距离为√5，求直线l2的方程， 16.(本小题满分15分) 已知抛物线C:y2=2x(>0)的焦点为F,点A(4,t)(其中t>0)在抛物线C上，|AF|=5. (1)求p和t的值； (2)O为坐标原点，过点A的直线L与抛物线C交于另一点B,OA⊥OB,求直线l的方程. 17.(本小题满分15分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是边长为2的正方形，PA=PD,PA⊥PD,平 面PAD⊥平面ABCD, (1)求证：平面PAB⊥平面PCD; (2)求直线PB与平面PAC所成角的正弦值. 【高二秋季期中考试·数学第3页（共4页）】 26-T-320B 18.(本小题满分17分) 已知圆C经过点（一2,0），且与圆C2:x2+y2一4x十8y=0相切于原点O. (1)求圆C的标准方程； (2)若直线l:ax十by十2a一b=0(a,b不同时为0)与圆C1交于A,B两点，当|AB|取得最小 值时，l与圆C2交于C,D两点，求|CD的值， 19.(本小题满分17分) 已知椭圆C经过点A(-2,0)与点B(2,) (1)求椭圆C的方程； (2)若直线L与椭圆C交于异于A的M,N两点，且∠MAN=受 ①证明：直线l过定点； ②求△AMN的面积的最大值， 【高二秋季期中考试·数学第4页（共4页）】 26-T-320B参考答案、提示及评分细则 1.C令y=0,得x=5,即l在x轴上的截距为3.故选C 2.B由题意知p=3,所以焦点到准线的距离为3.故选B. 3.A由题意可知，若A,B,C,D四点共面，则AD=xAB+yAC,即Oi-OA=x(O克-OA)+y(O心-OA), 所以oò=1-x-y0i+x0成+6心，0ò=号oi-0成+6元，所以1-x-y=号x=-ty=合， 即号+（一0+合=1，所以=-合故选A 4.D圆C:2十(y一1)2=4的圆心为C(0,1),因为点P在圆C上，且c=司=0，所以所求切线与x轴垂 直，故所求切线的方程为x=2.故选D. 5A由双鼬线的离心率为2厄得c=√侣了-√+(2丁=2厄，所以2=厅，又双曲线号-苦-1的 渐近线方程为y=士x,所以渐近线方程为y=士7x,即7x士y=0.故选A 6.C空间向量p在基底{a,b,c}下的斜坐标为(3,1,2)，则p=3a十b+2c,设p在基底{a一b,a十b,c}下的斜坐 x+y=3, 标为(x,y,z),则p=x(a-b)+y(a+b)+c=（x+y)a+(y-x)b+x=3a+b+2c,所以y-x=1,解得 （z=2, rx=1, y=2,所以空间向量p在基底{a一b,a+b,c}下的斜坐标为(1,2,2).故选C 之=2， 7B斜率为2的直线与双曲线C芹-若=1(。>0b6>0)相交于A,B两点，设A()B(),则会 斧-1，①：答-答=1，@，①-@得型=二”十2，则k=为头=号 a b2 -22a2 十，弦AB中点坐标为(1,1)，∴x十2=2十2=2，直线l的斜率为2,2=2a2,2=a2+= y1十y2 3a2,∴.e2=3,则e=√3.故选B. 8.D由直线l1,2的方程知直线l1过定点A(一2,0)，直线l2过定点B(0,2),又m×1+1×(一m)=0,所以 41⊥2，即AP⊥BP,所以点P在以AB为直径的圆D上，即P在圆D:(x十1)2+(y-1)2=2上，又P在圆 C上，所以圆C与圆D有交点，即r-√2≤|CD|≤r+√E,又|CD|=√(-1-2)+(1-4)2=3√2，所 以2√2≤≤4V2,即r的取值范围是[2√2,42].故选D. 9.ABD易知AB的中点坐标为(-号，2)，则点(-号，7)在直线1上，所以-+受-3=0，解得n=1, 所以直线1的斜率为-1又因为ABL,所以-2A×(一1》=-1，解得m=0放选ABD, 10.ABD由题意知F(-1,0),R,(1,0),若PR1FF,令x=-1,得y=±号，所以PF,|=号，放A正 确若PELF,R则IPF-号又FPl=2,所以1PR,=√停+2=32故D正确：当点P 为C的上顶点或下顶点时，|PF1|=|PF2|=√2，又|FF2|=2,所以PF1⊥PF2,故B正确.故选ABD. 【高二秋季期中考试·数学参考答案第1页（共4页）】 26-T-320B 11.ABC连接BD交AC于点O,连结PO,由题意，得PO⊥平面ABCD,因为ACC平面ABCD,所以PO⊥ AC,因为四边形ABCD是正方形，所以BD⊥AC,因为PO∩BD=O,PO,BDC平面PBD,所以AC⊥平面 PBD,因为MNC平面PBD,所以AC⊥MN,故A正确；以OA,OB,OP所在直线分别为x,y,之轴建立空间 ≈ 直角坐标系，如图所示，因为PA=AB=2√2，所以OA=OB=2,OP=2, 所以A(2,0,0),B(0,2,0),C(-2,0,0),D(0,-2,0),P(0,0,2),M(0,1, 1),N(0,-1,1),所以AM=(-2,1,1),C=(2,-1,1),所以 I✉应，a1-密离有若-号所以直线M有cv所 成角的余弦值是号，放B正确：A=(-2,-1,1,A迹=(-2,2.0)，与 AN同向的单位向量为u= 离-(-专9)周以成8乳数 B AN的距离d=√-（忘·w=,放C正确：设m=(,)为平面ACN的法向量，则 m·C=0即2-0令y1,得m=01,D点M到平面ACN的距离d=M·高 即 m·AN=0,即1-2.x-y十z=0, √2，故D错误.故选ABC. 12.-1由m⊥n,m=(3,1,5),n=（λ-2，λ，2)，得3λ-6十λ+10=0，解得1=-1. 13.√5抛物线C:y2=4x的焦点为F(1,0),准线方程为x=一1，过点F作FE⊥m,交直线m于点E,由抛物 线的定义可知，d=|PF|,所以当P在线段EF上时，d1+d2取得最小值，(d十d2)min=|FE|= 12-0+31=5. √5 14写 设椭圆C的焦距为2c,设B(m,n),A(0,-b),F(c,0),所以A市=(c,b),F弦=(m-c,n),因为A市= .3 2F市，所以{=2(m-c), m= 2c, 即B(受c,号)，因为点B在椭圆C上，所以 )() =1 b=2m, b a2 62 2, 所以后=子，所以C的离心率为e=- 15.解：(1)易知直线1的斜率为分，因为411，所以直线1的斜率为一2， 2分 又因为直线4过点M(2,一1)， 所以直线l41的方程为y十1=一2(x一2)，即2x十y一3=0. 6分 (2)直线l2∥l,设直线2的方程为x一2y十m=0, 因为直线2与直线l之间的距离为5， 由平行线间的距离公式可得3=5，解得m=一8或m=2, 10分 √5 因此直线l2的方程为x一2y一8=0或x一2y十2=0.… …13分 16.解：(1)由抛物线的定义及AF=5,知4+=5，解得p=2. …4分 将点A(4,t)的坐标代入抛物线C的方程y2=4x,得2=16， 又t>0,所以t=4, 故力的值为2，t的值为4.…7分 (2)法一：设B点的坐标为（年咖）小， 【高二秋季期中考试·数学参考答案第2页（共4页）】 26-T-320B 因为OA⊥OB,A点的坐标为(4,4)，所以4X+4yn=0, 4 11分 解得yB=一4或yB=0(舍去).… 12分 所以B点的坐标为(4，一4)，所以直线l的方程为x=4.… …15分 法二：由题知l的斜率不为零，设直线l的方程为m(y一4)=x一4，整理得x=y一4m十4.…8分 设点A,B的坐标分别为(x1,y),(x22), 联立方程=4x, {x=my-4m十4，得-4my+16m-16=0. 所以%为=16m-1613=2=161216)2=16(0m-1)2.…10分 16 16 因为0AL0B,所以OA.Oi=x1x2十2=16(m-1)2+16m-16=0,解得m=1或m=0.…12分 当m=1时，直线l的方程为y=x,经过原点O不合题意； …13分 当m=0时，直线l的方程为x=4,满足题意， 故直线l的方程为x=4.… …15分 17.(1)证明：因为四边形ABCD是正方形，所以AB⊥AD.… …1分 因为平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,AB⊥AD,ABC平面ABCD, 所以AB⊥平面PAD.…3分 又PDC平面PAD,所以AB⊥PD,…4分 又PA⊥PD,PA∩AB=A,PA,ABC平面PAB,所以PD⊥平面PAB,·6分 又PDC平面PCD,所以平面PAB⊥平面PCD.…7分 (2)解：分别取AD,BC的中点O,E,连结OP,OE, 因为PA=PD,PALPD,所以OP⊥AD,且OP=AD=1, 8分 因为四边形ABCD是正方形，O,E分别是AD,BC的中点，所以AO=BE,AO∥BE,所以四边形ABEO是 平行四边形，EO∥AB,又AB⊥平面PAD,POC平面PAD,所以AB⊥PO,即EO⊥PO,又AB⊥AD,所以 OE⊥AD, 以点O为坐标原点，直线OA,OE,OP分别为x轴，y轴，≈轴建立如图所示 的空间直角坐标系。… …9分 则P(0,0,1),A(1,0,0),B(1,2,0),C(-1,2,0), PA=(1,0,-1),Pi=(1,2,-1),PC=(-1,2,-1).…11分 m·PA=a-c=0, 设m=(a,b,c)为平面PAC的一个法向量，则{ m.Pt=-a+2b-c=0, 令a=1,得b=1,c=1,所以m=(1,1,1).…13分 设直线PB与平面PAC所成角为0，则sin0=1cosm,P克1=m,斗=1+2-1= ImlPBl √3X√6 3 即直线PB与平面PAC所成角的正弦值为 …………15分 3 18.解：(1)因为圆C与圆C2相切，且点（一2,0）在圆C2的外部，所以圆C与圆C2外切， 则C1,O,C2三点共线，… 2分 圆C2:x2+y2一4x+8y=0化为(x一2)2+(y+4)2=20,所以圆心C2(2,一4)， 故圆心C在直线y=一2x上.… 4分 设圆C的标准方程为(x一t)2+(y十2t)2=2, 又圆C1过原点O(0,0),则=52，…5分 圆C1经过点(-2,0)，则(-2-t)2+(0+2t)2=52,解得t=-1, 6分 故圆C的标准方程为(x十1)2十(y一2)2=5.…7分 【高二秋季期中考试·数学参考答案第3页（共4页）】 26-T-320B (2)由(1)可知，圆C的圆心坐标为（一1,2），… 8分 由直线l:ax+by+2a-b=0化为a(x+2)+b(y-1)=0, 所以直线1恒过点P(一2,1)， 10分 易知点P在圆C的内部， 设点C到直线l的距离为d,则|AB|=2√P一平=25-平，…12分 要使|AB引取得最小值，则d取得最大值，所以PC⊥l,… 13分 此时c=2=1.所以6=-1， 14分 则直线l的方程为y-1=-(x+2),即x+y十1=0. 15分 又圆心C到直线x+y+1=0的距离d=2-4+1山= …16分 √2 21 所以1cD1=2V20-(号)=. 17分 19.(1)解：设椭圆C的方程为Ax2+By2=1(A>0,B>0,A≠B), …1分 4A=1, 由题意可得 2A+B=1.解得A=},B=1, 3分 故椭圆C的方程为气十1，…4 (2)①证明：易知直线MN的斜率不为0，设直线MN的方程为x=ty十m,则m≠一2，…5分 联立C与直线l的方程，得 安+'消去王并整理，得（十)十2my十m-4=0 4 x=ty+m, 则△=4m2t-4(t2+4)(m2一4)>0，所以t2-m2+4>0, 设M.N为.则n+为=一为= 2mt 2+4 …7分 因为∠MAN=受，所以A7.AN=(十2(+2)十y=0,… 8分 即(ty+m+2)(ty2+m+2)+12=0,所以(t+1)y2+t(m+2)(y+2)+(m+2)2=0, 则+1）.+代m叶2》（一名4）+(m+22=0、.9分 2+4 整理，得5m2+16m十12=0，解得m=- (m=-2含去 所以直线1的方程为x=y一号，故直线1过定点（一号，0）小 6 …10分 ②解：由①知m=一号则n+=C平1为=25开0 12t -64 直线1过定点(-号，0），设为D,则AD=号1分 所以△AMN的面积为SA=号IAD1·n-=号+)-4 8√/25t+64 25(t2+4) …12分 设u=V2十6，则≥8，所以Sam=亮×g 8 ,64+4u+36' …13分 25 由函数y=u十的在[8，十o0)上单调递增知u+的≥8+号-空，所以S心≤ 1 25 2 ,当且仅当u=8, 2 即=0时等号成立，… 15分 故△AMN的面积的最大值为号 .16 17分 【高二秋季期中考试·数学参考答案第4页（共4页）】 26-T-320B