“8+3+3”小题强化训练（3）-2026届高三数学二轮复习（新高考地区专用）

2026届高三二轮复习“8+3+3”小题部分章节融合强化训练(3) 一、小题知识归纳 单选1：交集与指数不等式融合 单选2：复数的运算与复数的几何意义融合 单选3：平面垂直以及平面向量数量积的运算性质 单选4：充分必要条件与二倍角公式融合 单选5：圆柱与椭圆的融合 单选6：排列组合 单选7：直线与圆的位置关系 单选8：新定义与导数的融合 多选9：统计、概率与排列数的融合 多选10：三角函数图像与性质与导数几何意义融合 多选11：空间向量与立体几何的综合 填空12：三角恒等变换 填空13：古典概型 填空14：轨迹方程 二、小题强化训练 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2．若复数满足，则在复平面内所对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3．设平面向量满足，，，则（ ） A. 3 B. 2 C. D. 1 4．设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 5．用一个与圆柱底面成角的平面截这个圆柱得到一个椭圆，则该椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 6．甲、乙、丙3人去食堂用餐，每个人从这5种菜中任意选用2种，则菜有2人选用、菜有1人选用的情形共有（ ） A. 54 B. 81 C. 135 D. 162 7．若圆上有且仅有2个点到直线（）的距离为1，则的取值范围（ ） A. B. C. D. 8．已知点，，定义为的“镜像距离”．若点在曲线上，则的最小值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列选项正确的是（ ） A. 对A，B，C三类个体按3:1:2的比例进行分层抽样，已知从类个体中抽取了9个，则样本容量为30 B. 若随机变量，则 C. 恒成立 D. 一组数1，2，2，2，3，3，3，4，5，6的第80百分位数为4.5 10．已知函数的图像关于对称，则（ ） A. 直线是的对称轴 B. 在上有两个极值点 C. 在上单调递减 D. 直线是的切线 11．在直角梯形中，，，，将沿翻折，形成一个二面角.则（ ） A. 在翻折的过程中，存在某个位置，使得 B. 若二面角的大小为，则异面直线与所成角的余弦值为 C. 在翻折的过程中，存在某个位置，使得三棱锥外接球的体积为 D. 若二面角的大小为，点为线段上的动点，则最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知，则________ 13.一个盒中有标号为1，2，3，4，5的5张标签，随机地依次选取两张标签，记事件“两张标签上的数字之和为6”．若标签的选取是不放回的，记；若标签的选取是有放回的，记，则______． 14.四边形ABCD中，已知，，，，若C，D两点关于y轴对称，则________． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届高三二轮复习“8+3+3”小题部分章节融合强化训练(3) 一、小题知识归纳 单选1：交集与指数不等式融合 单选2：复数的运算与复数的几何意义融合 单选3：平面垂直以及平面向量数量积的运算性质 单选4：充分必要条件与二倍角公式融合 单选5：圆柱与椭圆的融合 单选6：排列组合 单选7：直线与圆的位置关系 单选8：新定义与导数的融合 多选9：统计、概率与排列数的融合 多选10：三角函数图像与性质与导数几何意义融合 多选11：空间向量与立体几何的综合 填空12：三角恒等变换 填空13：古典概型 填空14：轨迹方程 二、小题强化训练 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】先解指数不等式求出集合，然后根据集合的交运算即可求解. 【解析】由得，所以， 又，所以. 故选：B. 2．若复数满足，则在复平面内所对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【分析】求出，根据复数的几何意义即可求出答案. 【解析】由得， 所以复数在复平面内对应的点为， 所以在复平面内所对应的点位于第一象限. 故选：A. 3．设平面向量满足，，，则（ ） A. 3 B. 2 C. D. 1 【答案】C 【分析】根据平面向量垂直的性质，结合平面向量数量积的运算性质进行求解即可. 【解析】， 所以. 故选：C 4．设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分条件、必要条件的定义结合二倍角公式即可得解. 【解析】当，，， 所以可以推出， 当，，即， 当，得；当，得， 推不出. 故选：A. 5．用一个与圆柱底面成角的平面截这个圆柱得到一个椭圆，则该椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】结合图形分析椭圆的长半轴和短半轴与圆柱底面圆半径的关系，求出得到离心率. 【解析】设圆柱的底面半径为，则底面圆的直径为， 椭圆的短半轴平行于截面与底面交线的方向，长度等于底面圆的半径，即， 长半轴垂直于截面与底面交线的方向，由二面角的几何关系可得， 所以， 所以该椭圆的离心率， 故选：D. 6．甲、乙、丙3人去食堂用餐，每个人从这5种菜中任意选用2种，则菜有2人选用、菜有1人选用的情形共有（ ） A. 54 B. 81 C. 135 D. 162 【答案】C 【分析】先选出选择菜的两人，再分两人中有1人选用了B菜和都没有选择B菜两种情况讨论求解即可. 【解析】菜有2人选用有种，比如甲、乙选用了菜， ①甲、乙之中有1人选用了B菜，有种，比如甲用了B菜，则乙从中任意选用1种，有种，丙从C，D，E中任意选用2种，有种，故共有 ②丙选用了B菜，丙再从中任意选用1种，有种，甲、乙再从中各任 意选用1种，有种，故共有 由①②可知所有情形是. 故选：C 7．若圆上有且仅有2个点到直线（）的距离为1，则的取值范围（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】根据圆的方程确定圆心和半径再结合直线与圆的位置关系，通过圆心到直线的距离与半径的关系可知，然后解不等式可得的取值范围. 【解析】由题意可得：圆心为，半径，且直线过定点， 因为圆上有且仅有2个点到直线的距离为1， 则圆心到直线的距离满足， ，结合，解得， 故选： D. 8．已知点，，定义为的“镜像距离”．若点在曲线上，则的最小值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】D 【分析】依题意求出的反函数，将“镜像距离”转化成一对反函数图象上两点之间的距离，利用导数求出最值即可求得结果. 【解析】由函数可得，即， 所以的反函数为， 由点在曲线上，可知点在其反函数上， 所以 相当于上的点到曲线上点的距离， 即， 利用反函数性质可得与关于对称， 的最小值相当于点到直线的距离最小值的2倍， 点到直线的距离，由于恒在下方， 所以， ，求导得：，令 得，又在上单调递增， 所以可得对恒成立，对恒成立， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以， 所以. 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列选项正确的是（ ） A. 对A，B，C三类个体按3:1:2的比例进行分层抽样，已知从类个体中抽取了9个，则样本容量为30 B. 若随机变量，则 C. 恒成立 D. 一组数1，2，2，2，3，3，3，4，5，6的第80百分位数为4.5 【答案】BD 【分析】A选项，根据类个体中抽取的个数和比例得到样本容量；B选项，由正态分布的对称性可得B正确；C选项，举出反例可得C错误；D选项，利用百分位数的计算公式得到D正确. 【解析】A选项，从类个体中抽取了9个，则样本容量为,A错误； B选项，由正态分布的对称性可知，B正确； C选项，当时，，C错误； D选项，，故从小到大，选取第8个数和第9个数的平均数作为第80百分位数， 故1，2，2，2，3，3，3，4，5，6第80百分位数为，D正确. 故选：BD 10．已知函数的图像关于对称，则（ ） A. 直线是的对称轴 B. 在上有两个极值点 C. 在上单调递减 D. 直线是的切线 【答案】ABD 【分析】利用图像关于对称，求得，进而求得解析式，利用余弦函数的单调性判断A；结合极值点的概念利用余弦函数性质判断B；利用余弦函数的对称性判断C；利用导数的几何意义求解切线方程判断D. 【解析】因为函数的图像关于对称， 所以即，又，所以， 所以， 因为，所以直线是的对称轴，故A正确； 因为，所以，所以有两个极值点，故B正确； 令，又，所以，所以不单调，故C错误； 因为，令，即， 所以或， 解得或，又 所以时的切线方程为，即， 所以直线是的切线，故D正确. 故选：ABD. 11．在直角梯形中，，，，将沿翻折，形成一个二面角.则（ ） A. 在翻折的过程中，存在某个位置，使得 B. 若二面角的大小为，则异面直线与所成角的余弦值为 C. 在翻折的过程中，存在某个位置，使得三棱锥外接球的体积为 D. 若二面角的大小为，点为线段上的动点，则最小值为 【答案】BCD 【分析】对于A项，应用空间向量研究即可判断；对于B项，结合二面角大小，应用空间向量求，进而可求出异面直线与所成角的余弦值；对于C项，研究外接球半径的取值范围，进而可判断C项的正误；对于D项，可建立空间直角坐标系，应用坐标运算求的最小值即可. 【解析】对于A项，因为在直角梯形中，，，，所以可得，. 设的中点为，连接（如图1）， 因为且， 所以且， 又因为, 所以， 其中，所以， 所以在翻折的过程中，不会垂直，故A错误； 对于B项，因为，，所以. 因为， 所以， 所以， 又因为异面直线与所成角在，所以异面直线与所成角的余弦值为，故B正确； 对于C项，取的中点，连接（如图1）， 设直线过点且垂直于平面， 因为点是直角三角形的斜边的中点，再结合球的截面性质， 所以外接球的球心在直线上. 设直线过点且垂直于平面，同理可知外接球的球心也在直线上. 同时可证直线，直线均平面内. 作截面（如图2），其中为二面角的平面角， 设，外接球的球心为, 则外接球的半径为， 且 （当，即二面角为直角时取最小值）， 所以三棱锥外接球的体积最小为， 所以在翻折的过程中，三棱锥外接球的体积可以为，故C正确； 对于D项，可建立空间直角坐标系（如图3所示）， 则, 设点且， 所以， 所以， 所以 所以当时，取最小值，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知，则________ 【答案】 【分析】通过换元将已知角与目标角关联，利用诱导公式把转化为，再用二倍角公式代入已知值计算. 【解析】令，则，且； 代入目标表达式：； 利用诱导公式，得：； 用二倍角公式，代入，则. 故答案为： 13.一个盒中有标号为1，2，3，4，5的5张标签，随机地依次选取两张标签，记事件“两张标签上的数字之和为6”．若标签的选取是不放回的，记；若标签的选取是有放回的，记，则______． 【答案】## 【分析】根据不放回和放回的不同方式特点，结合古典概型运算公式进行求解即可. 【解析】当标签的选取是不放回的，共有方式， 其中事件A有共4种方式， 所以； 当标签的选取是放回的，共有方式， 其中事件A有，5种方式， 所以, 所以. 故答案为： 14.四边形ABCD中，已知，，，，若C，D两点关于y轴对称，则________． 【答案】 【分析】设，依题意可得，即，整理即可得到的顶点C的轨迹方程，由，设，求出的轨迹方程，再将D的轨迹方程沿y轴翻折得到，与双曲线求交点坐标，即可得解； 【解析】解：设，，由得， 当点C在x轴上方时，，故有 当点C在x轴下方时，，故有 两者都有，所以 则，化简得 的顶点C的轨迹方程为 由，设，得点D的轨迹方程为 ，把圆沿y轴翻折得到，与联立消元，得到 解得或（舍去），所以 故答案为： 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $