“8+3+3”小题强化训练（2）-2026届高三数学二轮复习（新高考地区专用）

2026届高三二轮复习“8+3+3”小题部分章节融合强化训练(2) 一、小题知识归纳 单选1：交集与绝对值不等式、指数不等式融合 单选2：函数性质与常用逻辑用语融合 单选3：利用向量数量积求向量的模 单选4：有限制性条件的排列问题 单选5：线性回归方程 单选6：复数情景题 单选7：双曲线几何性质 单选8：解三角形与基本不等式融合 多选9：三角函数图像与性质 多选10：概率 多选11：数列新定义 填空12：利用函数性质拟合函数 填空13：圆与抛物线融合 填空14：立体几何与导数融合 二、小题强化训练 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，，则（ ） A B. C. D. 2．已知是定义在上奇函数，则“”是“在上单调递增”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3．已知向量满足，，，则（ ） A. B. C. D. 4．有2位老师和3名学生排成一队照相，老师既不能分开也不排在首尾，则不同的排法有（ ） A. 48种 B. 12种 C. 36种 D. 24种 5．我国2016-2024年科幻产业营收（单位：亿元）如下表所示： 年份 2016 2017 2018 2019 2020 2021 2022 2023 2024 时间变量 1 2 3 4 5 6 7 8 9 营收 100.0 140.0 456.4 658.7 551.1 829.6 877.5 1132.9 1089.6 根据表中数据建立与的线性回归方程，预测我国2025年科幻产业营收约为（ ）（参考数据：） A. 1222.1亿元 B. 1310.9亿元 C. 1339.1亿元 D. 1443.4亿元 6． 任意一个复数（，）都可以表示成三角形式，即（）（，）.法国数学家棣莫弗创立的棣莫弗定理是：设两个复数：，，则，已知复数，则（ ） A. B. C. D. 7．在平面直角坐标系中，边长为2的菱形的顶点均在双曲线上，点在边上，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 2 8．已知的内角，，所对的边分别是，，，若，，角的角平分线交于点，则线段的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知函数，则下列说法中正确的有（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 函数的图象关于直线对称 C. 将的图象向左平移个单位得到的函数为奇函数 D. 函数与在上有两个交点 10．“水韵江苏·家门口享非遗”展示活动中，主办方从全省遴选70余项极具地方特色非遗代表性项目，并别出心裁地划分为“指尖非遗”“潮玩非遗”“舌尖非遗”“康养非遗”四大主题板块．甲、乙、丙3名游客每人至少从中选择一个主题体验，每个主题都恰有1人体验，记事件“甲体验指尖非遗”，“甲体验潮玩非遗”，“乙体验舌尖非遗”，则（ ） A. 与对立 B. C. 与相互独立 D. 11．设是数列的前项和，若，不等式恒成立，则称数列为“均增数列”，则下列说法正确的有（ ） A. 若，则数列是“均增数列” B. 若等差数列是“均增数列”，则公差 C. 若是“均增数列”，则 D. 若，则存在负数，使得数列是“均增数列” 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．若定义在上的减函数满足，请写出满足条件的一个函数___________． 13.已知抛物线：的焦点为，以为圆心且半径为2的圆与抛物线相交于、两点，则____________ 14.已知正方体的棱长为2，点均在某圆锥的侧面上，点均在该圆锥的底面上，则该圆锥的体积的最小值为__________. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届高三二轮复习“8+3+3”小题部分章节融合强化训练(2) 一、小题知识归纳 单选1：交集与绝对值不等式、指数不等式融合 单选2：函数性质与常用逻辑用语融合 单选3：利用向量数量积求向量的模 单选4：有限制性条件的排列问题 单选5：线性回归方程 单选6：复数情景题 单选7：双曲线几何性质 单选8：解三角形与基本不等式融合 多选9：三角函数图像与性质 多选10：概率 多选11：数列新定义 填空12：利用函数性质拟合函数 填空13：圆与抛物线融合 填空14：立体几何与导数融合 二、小题强化训练 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，，则（ ） A B. C. D. 【答案】B 【分析】化简集合A，B，根据交集的定义写出即可． 【解析】由，即，即，解得， 所以集合， 又集合， 所以， 即 故选：B 2．已知是定义在上奇函数，则“”是“在上单调递增”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据奇函数的性质，结合函数单调性的定义进行判断即可. 【解析】由， 因此不能判断在上单调递增. 当在上单调递增， 所以 ， 因此“”是“在上单调递增”的必要不充分条件. 故选：B 3．已知向量满足，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】根据向量模的公式得，再求模即可. 【解析】解：因为，，， 所以，， 所以，. 又， 所以. 故选：C 4．有2位老师和3名学生排成一队照相，老师既不能分开也不排在首尾，则不同的排法有（ ） A. 48种 B. 12种 C. 36种 D. 24种 【答案】D 【分析】将2位老师捆绑在一起，看成一个人，此时有种排列法，再求2位老师的内部排列，最后由分步计数原理即可得答案. 【解析】因为2位老师不能分开， 故将2位老师捆绑在一起，看成一个人， 则共有4人排成一排，其中不排首尾， 所以共有种排列法， 又因为2位老师的排列法共有种， 所以共有 5．我国2016-2024年科幻产业营收（单位：亿元）如下表所示： 年份 2016 2017 2018 2019 2020 2021 2022 2023 2024 时间变量 1 2 3 4 5 6 7 8 9 营收 100.0 140.0 456.4 658.7 551.1 829.6 877.5 1132.9 1089.6 根据表中数据建立与的线性回归方程，预测我国2025年科幻产业营收约为（ ）（参考数据：） A. 1222.1亿元 B. 1310.9亿元 C. 1339.1亿元 D. 1443.4亿元 【答案】B 【分析】先利用样本中心点在回归直线上的性质，求出截距，再代入2025年对应的时间变量计算预测值. 【解析】， 所以样本中心点为满足回归方程， 代入得：，计算得： 所以回归方程为. 2025年对应的时间变量，代入回归方程： 因此，预测我国2025年科幻产业营收为1310.9亿元. 故选：B 6． 任意一个复数（，）都可以表示成三角形式，即（）（，）.法国数学家棣莫弗创立的棣莫弗定理是：设两个复数：，，则，已知复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】由棣莫弗定理可知，若，则，求出，代入公式化简即可. 【解析】由棣莫弗定理可知，若，则， 因，所以， 所以， 故选：A. 7．在平面直角坐标系中，边长为2的菱形的顶点均在双曲线上，点在边上，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】C 【分析】利用菱形的性质、双曲线的对称性以及点在双曲线上的条件来求解双曲线的参数，从而得到离心率. 【解析】因为双曲线，点在边上， 所以边平行于轴，点和点关于轴对称， 所以点是的中点，又因为菱形边长为2，所以， 又因为菱形的对角线分别为直线，直线， 根据菱形两条对角线垂直且平分可得： 点和点关于轴对称，点和点关于轴对称， 所以，，，， 将代入，解得，即， 在双曲线中，， 又因为，即 所以离心率. 故选：C. 8．已知的内角，，所对的边分别是，，，若，，角的角平分线交于点，则线段的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】先利用三角形内角和与三角恒等变换，将已知条件 转化，求出,后通过面积法建立角平分线与边的关系，得到 ，再结合余弦定理和基本不等式求出的最大值为. 【解析】由 ,即 ， ,又 , , , 因为为角的角平分线, 所以, 而, 则，又， 则,所以 化简得： 即,，当且仅当时取等号. 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知函数，则下列说法中正确的有（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 函数的图象关于直线对称 C. 将的图象向左平移个单位得到的函数为奇函数 D. 函数与在上有两个交点 【答案】ACD 【分析】选项A，直接利用周期公式计算即可；选项B，先求函数对称轴，进一步分析即可；选项C，先通过平移变换得出新函数，再利用函数的奇偶性进行判断；选项D，将函数交点的个数问题转化为方程根的个数问题，利用三角函数性质解方程即可得出结论. 【解析】由，故A选项正确； 由，即，令， 解得：，故B选项不正确； 由的图象向左平移个单位得到函数： ， 由的定义域为关于原点对称， 且， 所以为奇函数，故C选项正确； 令， 则①，解得：， 又，所以当时，， ②，解得：， 又，所以当时，， 所以函数与在上有两个交点， 故D选项正确； 故选：ACD. 10．“水韵江苏·家门口享非遗”展示活动中，主办方从全省遴选70余项极具地方特色非遗代表性项目，并别出心裁地划分为“指尖非遗”“潮玩非遗”“舌尖非遗”“康养非遗”四大主题板块．甲、乙、丙3名游客每人至少从中选择一个主题体验，每个主题都恰有1人体验，记事件“甲体验指尖非遗”，“甲体验潮玩非遗”，“乙体验舌尖非遗”，则（ ） A. 与对立 B. C. 与相互独立 D. 【答案】BD 【分析】3名游客，4个主题，每人至少从中选择一个主题体验且每个主题都恰有1人体验，则必有1名游客选择2个主题，其余2人选择1个主题，结合排列组合知识依次计算总的样本点数，事件，，，包含的样本点数，依次判断选项即可. 【解析】3名游客，4个主题，每人至少从中选择一个主题体验且每个主题都恰有1人体验，则必有1名游客选择2个主题，其余2人选择1个主题， 则总的样本点总数为：， 对于A选项，甲可能同时体验两个主题，所以事件与不对立，故A错误； 对于B，事件“甲体验指尖非遗”，分两种情况： 当甲只选“指尖非遗”时，则剩余2名游客有名游客选择两个主题，另外1人选择1个主题，所以样本点数为：， 当甲选两个主题，其中一个是“指尖非遗”时，则甲从剩下3个选一个主题，则剩余的2主题分配给乙，丙，所以样本点数为：， 所以事件包含的样本点数为， 故，故B正确； 同理，， 对于C，事件表示甲选“指尖非遗”且乙选“舌尖非遗”，分三种情况讨论： 当甲选2个主题，其中一个是“指尖非遗”，乙只选“舌尖非遗”，此时的样本点数为：， 当甲只选“指尖非遗”，乙选2个主题，其中一个是“舌尖非遗”，此时的样本点数为：， 当甲只选“指尖非遗”，乙只选“舌尖非遗”，则丙选剩下的两个主题，此时样本点数为：1， 所以事件包含的样本点数为：，所以， 由于， 所以与不独立，故C错误； 对于D，，故D正确； 故选：BD 11．设是数列的前项和，若，不等式恒成立，则称数列为“均增数列”，则下列说法正确的有（ ） A. 若，则数列是“均增数列” B. 若等差数列是“均增数列”，则公差 C. 若是“均增数列”，则 D. 若，则存在负数，使得数列是“均增数列” 【答案】ABD 【分析】利用等差数列求和，即可判断A和B，利用等比数列求和，结合二项式定理证明不等式，即可判断C和D． 【解析】由，可得， 则由，显然有，数列是“均增数列”，故A正确； 由等差数列是“均增数列”，且， 则由可得：，故B正确； 当，取时，， 要证明，只需要证明， 即证， 则只需要证明， 当为奇数，不等式显然成立， 当为偶数，要证明， 因为，对任意都成立， 所以，即对任意为偶数也成立， 即原不等式对任意都成立， 所以存在负数，使得数列是“均增数列”，故D正确； 由于是“均增数列”， 由于，，不满足，故C错误； 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．若定义在上的减函数满足，请写出满足条件的一个函数___________． 【答案】（可以是，其中） 【分析】利用定义在上的减函数，可得递减的对数函数满足题意. 【解析】根据定义在上的减函数，结合题意可令， 因为，满足题意， 故答案为：（可以是，其中） 13.已知抛物线：的焦点为，以为圆心且半径为2的圆与抛物线相交于、两点，则____________ 【答案】 【分析】先求出圆的方程，然后与抛物线联立，求得方程的解，进而求得点的坐标，从而求得. 【解析】已知抛物线：的焦点为，所以. 所以以为圆心且半径为2的圆的方程为. 联立圆的方程和抛物线方程得，化简得. 所以解得（舍去） 所以对应的或. 所以，所以. 故答案为： 14.已知正方体的棱长为2，点均在某圆锥的侧面上，点均在该圆锥的底面上，则该圆锥的体积的最小值为__________. 【答案】. 【分析】设圆锥底面半径为，高为，过正方体的一组对棱作圆锥的截面，利用三角形相似对应边成比例列方程得到与关系，把圆锥的体积表示为关于的函数，利用导数求最小值． 【解析】设圆锥底面半径为，高为，则， 过正方体的一组对棱作圆锥的截面，如图所示： 由题意可得：，， 正方体的棱长为2，则， 面对角线，所以， 由，可得，， 即，解得：， 所以圆锥体积， 令，则， 时，，单调递减， 时，，单调递增， 所以，时，圆锥的体积有最小值. 故答案为： 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $