福建厦门市同安实验中学2025-2026学年高二上学期数学校本作业周测5

厦门市同安实验中学2025-2026高二上数学校本作业 周测5解析版 姓名：___________ 班级：___________ 座号：___________ 一、单选题 1．若平面的法向量分别为，则与的位置关系是（    ） A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直 D．无法确定 【答案】B 【分析】先判断法向量的位置关系，进而判断两平面的位置关系. 【详解】∵，则， ∴，故. 故选：B. 2．已知点，，则以线段为直径的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直径求出圆心、半径即可得解. 【详解】因为为直径，所以圆心为， 半径， 所以圆的方程为. 故选：C. 3．已知，直线：，当变化时，点到直线的距离的最大值为，则（   ） A．3或7 B．3或8 C．2或7 D．2或8 【答案】D 【分析】根据题意，直线恒过点，所以点到直线的距离的最大值可转化为点到定点的距离，根据两点间的距离公式，求解即可. 【详解】当变化时，直线恒过定点，所以点到直线的距离的最大值为， 即，解得或. 故选：D． 4．已知为直线的一个方向向量，点，，则点P到直线的距离为（    ）. A．4 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据点到直线的距离的向量求法计算可得结果. 【详解】，故， 所以， 设直线与直线所成角为， 则，可得， 因此点到直线的距离为． 故选：B. 5．已知直线过点，且在两坐标轴上的截距相等，则直线的方程为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】通过对截距的取值是否为进行分类，分别设直线方程为和，代入点，即可求解. 【详解】设直线的横截距为，纵截距为，因为直线在两坐标轴上的截距相等，即， 当时，设直线的方程为， 又直线过点，所以，解得，所以直线的方程为； 当时，设直线的方程为，即， 又直线过点，所以，解得， 所以直线的方程为，即. 综上所述，过点，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为或. 故选：C 6．如图，在三棱锥中，，，，点，，满足，，，则直线与所成的角余弦值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，，，利用空间向量运算得，，利用数量积的运算律求解数量积，即可解答. 【详解】设，，，则    ，， ， ， 所以  ， 故直线与所成的角余弦值为0. 故选： D. 二、多选题 7．下列说法正确的是（    ） A．直线在轴上的截距为 B．直线与直线平行，则平行线间的距离是 C．经过定点的直线都可以用方程表示 D．点关于直线的对称点是 【答案】BD 【分析】根据直线在轴上截距的定义知A错误；由平行关系可求得，结合平行直线间距离公式可求得B正确；当直线斜率不存在时，无法用方程表示，知C错误；采用待定系数法，根据点关于直线对称点的求法可构造方程组求得D正确. 【详解】对于A，直线过点，则其在轴上的截距为，A错误； 对于B，由两直线平行可得：，解得：， 则直线的方程可化为：， 两直线间的距离，B正确； 对于C，当经过的直线斜率不存在时，即方程为时，无法用方程来表示，C错误； 对于D，设关于直线的对称点为， 则，解得：，即关于直线的对称点为，D正确. 故选：BD. 8．在直三棱柱中，，，，为的中点，则（    ）    A． B．平面 C．平面 D．直线与所成角为 【答案】AC 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量判断各选项即可. 【详解】由题意，以为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 可得， 则， 对于A，由，则，故A正确； 对于B，设平面的一个法向量为， 则，取，得， 由于不存在实数，使得，则与不平行，故B错误； 对于C，由，则， 因为平面，所以平面，故C正确； 对于D，由， 则直线与所成角不为，故D错误. 故选：AC． 三、填空题 9．已知，，且，则 ． 【答案】 【分析】直接利用向量垂直的充要条件可求出的值，进而可求出的坐标，结合空间向量的模长公式可求出的值. 【详解】因为，，且， 所以，解得. 故，所以，故． 故答案为：． 10．如图，在三棱柱中，、分别为和的中点，设，，，则 （用表示）． 【答案】 【分析】利用向量加法的三角形法则与向量减法的三角形法则即可求得结果. 【详解】 , 故答案为： 四、解答题 11．已知，两点，直线过点且与直线平行. (1)求直线的方程. (2)若圆C经过、两点，且圆心C在直线上，求圆C的标准方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据直线和直线平行，可求直线的斜率，进而可得所求直线方程； （2）根据圆的几何性质可得圆心的坐标，再求圆的半径，从而得圆的标准方程. 【详解】（1）∵直线的斜率为，且直线， ∴直线的斜率为，且过， 所以直线的方程为，即. 故直线的方程为. （2）设线段的中点为D，由，，可得， 又因，所以线段的垂直平分线的斜率. 因此线段的垂直平分线方程为，即． 因圆心C既在线段的垂直平分线上，又在直线上， 所以解方程组，解得， 所以圆心，圆的半径． 故所求圆的标准方程是． 12．如图，在四棱锥中，底面为梯形，，为等边三角形，为的中点，且平面平面，. (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见详解. (2). 【分析】（1）取中点，由线面垂直证明两两垂直，从而建立空间直角坐标系，然后得到点坐标，由空间向量的数量积证明线线垂直，从而得到线面垂直； （2）由空间直角坐标系得到点坐标，由空间向量求得平面的一个法向量，由空间向量的夹角求得线面角的正弦值. 【详解】（1）如图，取中点，连接，， 在正三角形中，， ∵平面平面，平面平面， ∴平面，且平面， ∴， 在梯形中，，∴四边形为平行四边形， ∴，又∵，∴， 又，平面，平面， ∴平面，平面， ∴， 如图建立空间直角坐标系， 则，，，，， ，，， ∵，， ∴且，且，平面，平面， ∴平面. （2）由（1）可知， ∴，，， 设平面的一个法向量为， 则，令，则，即， 直线与平面所成角， 则， 即直线与平面所成角的正弦值为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 厦门市同安实验中学2025-2026高二上数学校本作业 周测5 姓名：___________ 班级：___________ 座号：___________ 1．若平面的法向量分别为，则与的位置关系是（    ） A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直 D．无法确定 2．已知点，，则以线段为直径的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 3．已知，直线：，当变化时，点到直线的距离的最大值为，则（   ） A．3或7 B．3或8 C．2或7 D．2或8 4．已知为直线的一个方向向量，点，，则点P到直线的距离为（    ）. A．4 B． C． D． 5．已知直线过点，且在两坐标轴上的截距相等，则直线的方程为（   ） A． B． C．或 D．或 6．如图，在三棱锥中，，，，点，，满足，，，则直线与所成的角余弦值为（ ） A． B． C． D． 7．（多选）下列说法正确的是（    ） A．直线在轴上的截距为 B．直线与直线平行，则平行线间的距离是 C．经过定点的直线都可以用方程表示 D．点关于直线的对称点是 8．（多选）在直三棱柱中，，，，为的中点，则（    ） A． B．平面 C．平面 D．直线与所成角为 9．已知，，且，则 ． 10．如图，在三棱柱中，、分别为和的中点，设，，，则 （用表示）． 四、解答题 11．已知，两点，直线过点且与直线平行. (1)求直线的方程. (2)若圆C经过、两点，且圆心C在直线上，求圆C的标准方程． 12．如图，在四棱锥中，底面为梯形，，为等边三角形，为的中点，且平面平面，. (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $