精品解析：安徽岳西县部分学校2025-2026学年上学期九年级2月期末数学试卷

安徽岳西县部分学校联考2025-2026学年上学期九年级2月期末数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列函数中，一定是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 3. 抛物线与直线交于两点，其中一个交点的横坐标大于，另一个交点的横坐标小于，则下列结论正确的是( ) A. B. C. D. 4. 如图1是一只葡萄酒杯，酒杯的上半部分是以抛物线为模型设计而成，且成轴对称图形.从正面看葡萄酒杯的上半部分是一条抛物线，若，，以顶点为原点建立如图2所示的平面直角坐标系，则抛物线的表达式为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，于点，有下列条件：①；②；③；④．其中能判断是直角三角形的有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 6. 如图，以点为位似中心的与的相似比为，若的长为，则的长为（ ） A. B. C. D. 7. 如图是一个常见的铁夹的剖面图，，表示铁夹的剖面的两条边，点是转动轴的位置，，垂足为，，，，且铁夹的剖面图是轴对称图形，则，两点间的距离为（ ） A B. C. D. 8. 如图，在中，，，，点D为边上一点，且，以点D为圆心，以为半径作弧，交于点E，连接，再分别以B、E为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于点M、N，作直线交于点F，则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 9. 如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点C，与反比例函数，在第一象限内的图像交于点B，连接，若，，则m的值是（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 10. 如图，矩形的顶点B在上，点A、C在弦上，且，则（　　） A B. C. D. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 11. 如图，正比例函数与反比例函数的图象交于点，，过点作轴，交反比例函数于点．若，则______． 12. 已知，则的值为_______． 13. 定义一种运算；，．例如：当，时，，则的值为_______． 14. 某公司需要员工上班时通过门禁，在门禁上方设置了人脸扫描仪，已知扫描仪（线段）的竖直高度2.7米，某人（线段）身高为1.8米，扫描仪测得，那么该人与扫描仪的水平距离为________米．（备用数据：，，，精确到米） 三、计算题：本大题共2小题，共16分． 15. 已知抛物线y＝x2+bx+c经过点A（－1，0），B（0，－3），求抛物线的解析式和顶点坐标． 16. 计算：； 四、解答题：本题共7小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 已知函数，其中为常数． （1）当取什么值时，它为二次函数？ （2）当取什么值时，它为一次函数？ 18. 抛物线经过点A(3,0) 和点B（0,3）,且这个抛物线的对称轴为直线l，顶点为C. （1）求抛物线的解析式； （2）连接AB、AC、BC，求△ABC的面积. 19. 已知抛物线． （1）小明发现当取不同的值时，抛物线的顶点在抛物线的一部分上运动，请直接写出抛物线的表达式，并在如图所示的平面直角坐标系中画出抛物线． （2）已知点，．  ①当抛物线经过点时，求的值，并通过计算判断此时点在抛物线的上方还是下方．  ②若抛物线与线段只有一个交点，求的取值范围． 20. 如图，在平行四边形中，过点B作，垂足为E，连接，F为上一点，且． （1）求证：． （2）若，，求长． 21. 为了测量路灯的高度，小明从灯杆底部点沿人行道垂直方向拉一卷尺到处，在，之间水平放置一平面镜；移动镜子的位置，当镜子在点时，小明能在镜中看到灯的点；当镜子在点，小明能在镜中看到灯的点；其视线如图所示；，，三点共线，且，．已知小明的眼睛离地面的高度，，，，． （1）求线段和灯杆的高度； （2）求长． 22. 下图是某古村的景观灯的平面示意图．现测得，，，，均垂直于地面，，，均平行于地面，且，，，． （1）若与在同一直线上，为多少度 （2）若，，矩形灯箱的高为．求灯箱底部到地面的距离．参考数据：，，，．结果精确到) 23. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线：经过，，三点． （1）求抛物线函数表达式； （2）记抛物线的顶点为，对称轴与轴的交点为，点是轴上任意一点，若抛物线与抛物线关于点中心对称，且抛物线的顶点为，其对称轴与轴交于点，当以，，，为顶点的四边形的面积为时，请求出抛物线的表达式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 安徽岳西县部分学校联考2025-2026学年上学期九年级2月期末数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列函数中，一定是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的识别，根据二次函数的定义，形如的函数是二次函数，逐项分析判断即可． 【详解】解：∵二次函数需满足最高次项为且系数不为0， A.，最高次项为，不是二次函数，不符合题意； B.，若，则，不是二次函数，不符合题意； C. ，∵，∴，恒满足二次函数定义，符合题意； D.，若，则，不是二次函数，不符合题意． 故选：C． 2. 一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】逐一分析四个选项，根据二次函数图象的开口方向以及对称轴与y轴的位置关系，即可得出a、b的正负性，由此即可得出一次函数图象经过的象限，即可得出结论． 【详解】A. ∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧， ∴a<0，b<0， ∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，故本选项错误； B. ∵二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧， ∴a>0，b<0， ∴一次函数图象应该过第一、三、四象限，故本选项错误； C. ∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧， ∴a<0，b<0， ∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，故本选项正确； D. ∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧， ∴a<0，b<0， ∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，故本选项错误． 故选C． 【点睛】本题主要考查二次函数图象与一次函数图象的综合，掌握二次函数与一次函数系数与图象的关系，是解题的关键． 3. 抛物线与直线交于两点，其中一个交点的横坐标大于，另一个交点的横坐标小于，则下列结论正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数图象和性质．掌握根与系数的关系是解题的关键．依据题意，抛物线与直线交于两点，分别为和，且，再根据解得即可． 【详解】解：抛物线与直线交于两点，分别为和，其中一个交点的横坐标大于，另一个交点的横坐标小于， 设， ，， ， ． 是方程的两根 ， ， ． 故选：C． 4. 如图1是一只葡萄酒杯，酒杯的上半部分是以抛物线为模型设计而成，且成轴对称图形.从正面看葡萄酒杯的上半部分是一条抛物线，若，，以顶点为原点建立如图2所示的平面直角坐标系，则抛物线的表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可知C(0,0)，且过点(2,3)，设该抛物线的解析式为y=ax2，将两点代入即可得出a的值，进一步得出解析式. 【详解】根据题意，得 该抛物线的顶点坐标为C(0,0)，经过点(2,3). 设该抛物线的解析式为y=ax2. 3=a22. a=. 该抛物线的解析式为y=x2. 故选A. 【点睛】本题考查了二次函数应用，根据题意得出两个坐标是解题的关键. 5. 如图，在中，于点，有下列条件：①；②；③；④．其中能判断是直角三角形的有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】D 【解析】 【分析】①可利用三角形内角和求得：则；②条件不足，无法求证；③由，，可证得，再进行推导即可；④由，得，可证得，可得． 【详解】解：①，， ，故本命题成立，符合题意； ②条件不足，无法求证，故本命题错误，不符合题意； ③，， ， ； ， ， ， ；故本命题正确，符合题意； ④， ， ， ， ，故本命题成立，符合题意； 故正确的有3个． 故选：D． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质及相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 6. 如图，以点为位似中心的与的相似比为，若的长为，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了位似的性质，掌握位似的性质是解题的关键．根据位似的性质求解即可． 【详解】解：与的相似比为， ，即， ， 故选：． 7. 如图是一个常见的铁夹的剖面图，，表示铁夹的剖面的两条边，点是转动轴的位置，，垂足为，，，，且铁夹的剖面图是轴对称图形，则，两点间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，轴对称的性质，连接，延长交于，由勾股定理得出，根据轴对称的性质得出，，证明，由相似三角形的性质计算即可得出答案． 【详解】解：如图，连接，延长交于， ， 在中，， ∵铁夹的剖面图是轴对称图形， ∴，， ∴ ∵， ∴， ∴，即， 解得：， ∴， 故选：A． 8. 如图，在中，，，，点D为边上一点，且，以点D为圆心，以为半径作弧，交于点E，连接，再分别以B、E为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于点M、N，作直线交于点F，则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查尺规作图——作线段，作垂直平分线，解直角三角形，等腰三角形的性质． 由作图可知，是的垂直平分线，在中，解直角三角形得到，，．过点D作于点H，设与的交点为G，在中，，由等腰三角形的性质得到，从而，在中，解直角三角形即可． 【详解】解：由作图可知，是的垂直平分线， ∵，，， ∴在中，， ， ． 过点D作于点H，设与的交点为G， ∴在中，， ∵，， ∴， ∴， ∵是的垂直平分线， ∵， ∴在中，． 故选：C 9. 如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点C，与反比例函数，在第一象限内的图像交于点B，连接，若，，则m的值是（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】先根据直线求得点C的坐标，然后根据求得，然后利用正切的定义求得，从而求得点B的坐标，求得结论． 【详解】解：∵直线与y轴交于点C，当时，， ∴点C的坐标为， ∴， 过B作轴于D， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点B的坐标为， ∵反比例函数，在第一象限内的图像经过点B， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点坐标，正切的含义，解题的关键是作辅助线构造直角三角形． 10. 如图，矩形的顶点B在上，点A、C在弦上，且，则（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是证明，推出．连接，过点O作于H．首先证明，推出，解直角三角形求出，可得结论． 【详解】解：连接OB，过点O作于H． ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 11. 如图，正比例函数与反比例函数的图象交于点，，过点作轴，交反比例函数于点．若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数于一次函数的交点问题、三角形面积，根据反比例函数k值的几何意义解答即可． 【详解】解：如图，设交y轴于点E，连接， ∵正比例函数与反比例函数的图象交于点A，B，过点A作轴，， ∴， ∵点A在反比例函数的图象上， ∴， ∴． ∴， ∵反比例函数图象在第二象限， ∴． 故答案为：． 12. 已知，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了比例的性质，正确将已知变形是解题关键．直接利用已知条件，将原式变形化简求出答案． 【详解】解：∵， ∴， 则， 则， 故答案为：． 13. 定义一种运算；，．例如：当，时，，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据代入进行计算即可． 【详解】解： = = = =． 故答案为：． 【点睛】此题考查了公式的变化，以及锐角三角函数值的计算，掌握公式的转化是解题的关键． 14. 某公司需要员工上班时通过门禁，在门禁上方设置了人脸扫描仪，已知扫描仪（线段）的竖直高度2.7米，某人（线段）身高为1.8米，扫描仪测得，那么该人与扫描仪的水平距离为________米．（备用数据：，，，精确到米） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，过点作于点，由题意，得，线段的和差求出的长，解，求出的长即可．添加辅助线构造直角三角形，是解题的关键． 详解】解：过点作于点，则：米， ∵米， ∴米， 在中，， ∴米； 故答案为：． 三、计算题：本大题共2小题，共16分． 15. 已知抛物线y＝x2+bx+c经过点A（－1，0），B（0，－3），求抛物线的解析式和顶点坐标． 【答案】， 【解析】 【分析】把，代入解方程组即可得到结论． 【详解】解：把，代入得， ， 解得， ∴抛物线的解析式为， ∵， ∴顶点坐标为． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，熟练掌握待定系数法求函数的解析式的方法是解题关键． 16. 计算：； 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算，掌握零指数幂与熟记特殊角三角函数值是解题的关键． 先计算乘方与开方，化简绝对值，并把特殊角三角函数值代入，再合并同类二次根式即可． 【详解】解：原式 ． 四、解答题：本题共7小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 已知函数，其中为常数． （1）当取什么值时，它为二次函数？ （2）当取什么值时，它为一次函数？ 【答案】（1）； （2）或． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义，一次函数的定义，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据二次项系数不等于零是二次函数，可得答案； （）根据二次项系数等于零且一次项系数不等于零是一次函数，可得答案． 【小问1详解】 解：根据题意，得， 解得； 【小问2详解】 解：当，即时，原函数为，是一次函数；  当即时，原函数为，也是一次函数， 综上所述，当或时，是一次函数． 18. 抛物线经过点A(3,0) 和点B（0,3）,且这个抛物线的对称轴为直线l，顶点为C. （1）求抛物线的解析式； （2）连接AB、AC、BC，求△ABC的面积. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式； （2）利用割补法求△ABC的面积. 【详解】（1）抛物线经过、 由上两式解得 抛物线的解析式为：； （2）由（1）抛物线对称轴为直线 把代入，得 则点坐标为， 设线段所在直线为： 解得解析式为： 线段所在直线经过点、 抛物线的对称轴于直线交于点 设点的坐标为 将点代入，解得 点坐标为， 过点作于点 【点睛】本题考查二次函数待定系数法、用割补法求三角形面积，解答时注意数形结合. 19. 已知抛物线． （1）小明发现当取不同的值时，抛物线的顶点在抛物线的一部分上运动，请直接写出抛物线的表达式，并在如图所示的平面直角坐标系中画出抛物线． （2）已知点，．  ①当抛物线经过点时，求的值，并通过计算判断此时点在抛物线的上方还是下方．  ②若抛物线与线段只有一个交点，求的取值范围． 【答案】（1），见解析 （2）①，上方；②或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数综合、二次函数与一次函数的交点问题，理解题意是解决本题的关键． （1）对抛物线进行配方，可得顶点坐标，再设的顶点坐标为，进行比较即可得到答案； （2）①将代入，求出抛物线表达式，再当时，进行求解即可得到解答； ②设直线的表达式为，将，代入求出直线的解析式，先令进行求解得出一种情况，再分为当抛物线经过点时或当抛物线经过点时，进行分类讨论求解即可． 【小问1详解】 解：对抛物线进行配方， 得，， ∴其顶点坐标为， 设的顶点坐标为，则，． ∴抛物线的表达式为， ∴抛物线如图（1）所示． 【小问2详解】 解：将代入， 得 解得， 抛物线的表达式为． 对于，当时，． ， 当抛物线经过点时，点在抛物线的上方； 设直线的表达式为， 将，分别代入， 得， 解得， 直线的表达式为． 由题意知抛物线开口向下，且其顶点在抛物线位于轴及轴右侧的部分上运动． 当抛物线与直线只有一个交点时，如图（2）． 令 ， ， ， 解得，（舍去）． 当时，， 解得，符合题意， 当抛物线经过点时，由得． 当抛物线经过点时，将代入， 得 解得． 结合图象分析可知，若抛物线与线段只有一个交点，则的取值范围是或． 20. 如图，在平行四边形中，过点B作，垂足为E，连接，F为上一点，且． （1）求证：． （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定，含直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握相关图形的性质是解决问题的关键． （1）由平行的性质结合条件可得到和，可证得结论； （2）由平行可知，在中，由含直角三角形的性质结合勾股定理可求得． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 ∵，， ∴， ∵，， ∴， 由勾股定理得：． 21. 为了测量路灯的的高度，小明从灯杆底部点沿人行道垂直方向拉一卷尺到处，在，之间水平放置一平面镜；移动镜子的位置，当镜子在点时，小明能在镜中看到灯的点；当镜子在点，小明能在镜中看到灯的点；其视线如图所示；，，三点共线，且，．已知小明的眼睛离地面的高度，，，，． （1）求线段和灯杆的高度； （2）求长． 【答案】（1），； （2）路灯的长约为． 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形应用，矩形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据反射知识和等腰直角三角形的判定与性质得到，； （）过作于，则，，证明，求得，进而求得即可． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴， ∴， 根据反射可得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图，过作于，则四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴， 答：路灯的长约为． 22. 下图是某古村景观灯的平面示意图．现测得，，，，均垂直于地面，，，均平行于地面，且，，，． （1）若与在同一直线上，为多少度 （2）若，，矩形灯箱的高为．求灯箱底部到地面的距离．参考数据：，，，．结果精确到) 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，勾股定理的应用，锐角三角函数的定义，把实际问题转化为数学问题是解题的关键． （1）过点作交的延长线于点，连接．先证四边形是矩形，然后求，，最后利用平行线的性质求解即可； （2）利用三角函数的定义求出，现由求出灯箱底部到地面的距离． 【小问1详解】 解：如图，过点作交的延长线于点，连接． 垂直于地面，平行于地面， 与在同一直线上， , 四边形是矩形， ， ， ． 由题意知， ． 【小问2详解】 如图，过点作交的延长线于点． 在中，， ， 灯箱底部到地面的距离为， 故灯箱底部到地面的距离约为． 23. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线：经过，，三点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）记抛物线的顶点为，对称轴与轴的交点为，点是轴上任意一点，若抛物线与抛物线关于点中心对称，且抛物线的顶点为，其对称轴与轴交于点，当以，，，为顶点的四边形的面积为时，请求出抛物线的表达式． 【答案】（1）； （2）或 【解析】 【分析】此题主要考查二次函数综合，解题的关键是熟知二次函数的图象与性质及待定系数法的运用． （1）根据题意待定系数法即可求解； （2）作出简图分析，得到平行四边形的对称性求得的长，求出抛物线的顶点，根据对称性得到a互为相反数，故可求解． 【小问1详解】 解：∵抛物线：经过，，三点， ∴， 解得， ∴抛物线L的函数表达式为； 【小问2详解】 解：∵， ∴顶点，对称轴为， ∴， ∴， ∵以，，，为顶点的四边形面积为9， ∴，即， ∴， ∴的坐标为或， 当的坐标为时，顶点的坐标为， ∵抛物线与抛物线L关于点Q中心对称，且抛物线的顶点为， ∴抛物线的表达式为， 当的坐标为时，顶点的坐标为， 则抛物线的表达式为， 综上，抛物线的表达式为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $