精品解析：四川泸州市龙马潭区2025-2026学年上学期期末评价九年级数学试题

2025年秋期学生学业评价试题 九年级数学 全卷满分为150分；考试时间为120分钟． 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和准考证号填写在答题卡上． 2.答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上无效． 3.每小题答案选出后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案． 4.考试结束，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分，每个小题只有一个选项最符合题目要求． 1. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是中心对称图形的定义，熟知在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形是解题的关键．根据中心对称图形的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、该图形是中心对称图形，符合题意； B、该图形不是中心对称图形，不符合题意； C、该图形不是中心对称图形，不符合题意； D、该图形不是中心对称图形，不符合题意． 故选：A． 2. 下列事件中属于必然事件的是（ ） A. 等腰三角形的三条边都相等 B. 两个偶数的和为偶数 C. 任意抛一枚均匀的硬币，正面朝上 D. 立定跳远运动员的成绩是 【答案】B 【解析】 【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可． 【详解】解：A、等腰三角形的三条边都相等，不是必然事件，不符合题意； B、两个偶数的和为偶数，是必然事件，符合题意； C、任意抛一枚均匀的硬币，正面朝上，是随机事件，不符合题意； D、立定跳远运动员的成绩是，是不可能事件，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 3. 已知点的坐标为，点与点关于原点对称，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标，根据两个点关于原点对称时，它们的横、纵坐标互为相反数可得答案． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标为， 故选：D． 4. 某校机器人编程团队参加广东省创意机器人大赛，7位评委给出的分数为95，92，96，94，95，88，95．这组数据的中位数、众数分别是（ ） A. 92，94 B. 95，95 C. 94，95 D. 95，96 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中位数和众数，熟知中位数和众数的定义是解题的关键．中位数是将数据从小到大排列后位于中间位置的数；众数是出现次数最多的数，据此即可求解． 【详解】解：将7个评委分数从小到大排列为：88，92，94，95，95，95，96， 中位数为第4个数，即95； 数据中出现次数最多的数是95（出现3次），故众数为95； ∴这组数据的中位数、众数分别是95，95． 故选：B． 5. 如图，是的弦，半径于点．若，．则的长是（　　） A. 3 B. 2 C. 6 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，熟悉掌握垂径定理是解题的关键． 由垂径定理得到的长，再由勾股定理解答即可． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵， ∴在中，， 故选：A． 6. 已知点， ， 在二次函数的图象上， 则，，的大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的函数值计算方法是解题的关键． 先确定二次函数的开口方向和对称轴，再通过计算各点的函数值来比较大小． 【详解】解：∵ 二次函数， ∴ 当时，， 当时，， 当时，， ∴ ， 故选：A． 7. 如图，、为的弦，为直径，、相交于点，若，，则( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理及推论，三角形内角和定理． 根据圆周角定理得，根据得，可得，据此计算即可得． 【详解】解：∵是直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 8. 进入12月份来，甲型流感频发．某校有1名学生感染了甲型流感病毒，经过两轮传染后，一共有81人感染了此病毒．设每轮传染中一人可以传染x个人，则所列方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．根据设每轮传染中一人可以传染x个人，可得出在第一轮及第二轮传染中的感染人数，结合“经过两轮传染，共有81名感染者”，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：设每轮传染中一人可以传染x个人， 第一轮传染中有x人被感染，第二轮传染中有人被感染． 根据题意得：． 故选：A． 9. 关于的不等式组恰有3个整数解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元一次不等式组的整数解，解题关键是先求出不等式组的解集，再根据整数解的个数确定参数的取值范围 【详解】解：解不等式，得 ∵解不等式，得 ∴不等式组的解集为 ∵不等式组恰有3个整数解，这3个整数解为 ∴要使能取到且取不到，需满足 故选：A． 10. 如图1所示，动点P从正六边形的A点出发，沿A→B→C→D→E以1cm/s的速度匀速运动到点E，图2是点P运动时，的面积随着时间的变化的关系图象，则图2中的m为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，过点B作于点G，过点A作于点H，则点P运动到C点时，面积最大，根据正六边形的性质得到，即为等边三角形，根据等边三角形的性质求面积即可解题． 【详解】解：连接，过点B作于点G，过点A作于点H， 当点P运动到C点时，面积最大， 由图2知，， ∵六边形为正六边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查正六边形的性质和等边三角形的性质，找到面积最大时的位置是解题的关键． 11. 已知抛物线与抛物线关于直线对称，当时，抛物线的最大值为（ ） A. 6 B. 12 C. 21 D. 42 【答案】A 【解析】 【分析】首先将抛物线转化为顶点式求出顶点坐标，然后根据题意求出抛物线的顶点坐标，进而得到抛物线的表达式，然后根据抛物线的图象和性质求解即可． 【详解】∵抛物线， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵抛物线与抛物线关于直线对称， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线的表达式为， ∵， ∴抛物线的图象开口向上， ∴当时，y随x的增大而减小， ∵， ∴当时，抛物线有最大值． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，正确求出抛物线的解析式是解题的关键． 12. 如果关于的一元二次方程（）有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“双倍方程”，以下关于双倍方程的说法，正确的是（ ） ①方程是双倍方程； ②若是双倍方程，则； ③若、满足，则关于的方程是双倍方程； ④若关于的方程（）是双倍方程，则． A. ①② B. ②③④ C. ①③ D. ①③④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查新定义“双倍方程”的理解，一元二次方程的解法及根的关系，根据新定义和一元二次方程的解法，逐个判断每个说法的正误．解题的关键是利用方程的根满足“一个根是另一个根的2倍”这一条件进行推导． 【详解】解：①解方程， ， 或， ，，即， ∴方程是双倍方程，故①正确； ②若是双倍方程，其根为，， 当时，，得， 当时，，得， ∴不一定只有，故②错误； ③∵，方程， ∴，， ∵， ∴，则， ∴该方程是双倍方程，故③正确； ④设方程的两根为和， 分两种情况： 情况一：， 由求根公式得： ， 两边同乘得：， 移项整理得：， 两边平方：， 展开得：， 整理得：； 情况二：， 同理可得： 整理得：， 平方后同样得：， ∴若方程是双倍方程，则，故④正确． 综上，正确的是①③④， 故选：D． 二、填空题：本小题共5个小题，每小题4分，共20分，将答案填写在答题卡相应的横线上． 13. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握提公因式法因式分解是解题的关键．提公因式进行因式分解即可得到答案． 【详解】解：， 故答案为：． 14. 方程的解为___________． 【答案】 ， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，可通过移项、提取公因式进行因式分解，再利用因式分解法求解一元二次方程． 【详解】解：先移项，得， 提取公因式，得， 根据“若几个因式的积为0，则至少有一个因式的值为0”，可得或， 解得，， 故答案为：，． 15. 如图，将边长为1的正方形绕点顺时针旋转到的位置，则阴影部分的面积是______________； 【答案】 【解析】 【分析】交于点，连接；根据全等三角形性质，通过证明，得；结合旋转的性质，得；根据三角函数的性质计算，得，结合正方形和三角形面积关系计算，即可得到答案． 【详解】解：如图，交于点，连接 根据题意，得：， ∵ ∴ ∴ ∵正方形绕点顺时针旋转到 ∴， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴阴影部分的面积 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形、全等三角形、旋转、三角函数的知识；解题的关键是熟练掌握正方形、全等三角形、旋转、三角函数的性质，从而完成求解． 16. 若一元二次方程的两根为，则的值为____________． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握如果一元二次方程的两根为，，则． 先根据题意得到，，则将变形为，即可求解． 【详解】解：∵一元二次方程的两根为， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：10． 17. 如图．在平面直角坐标系中，点是以点为圆心，1为半径的圆上的动点，若，，，则的面积最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形性质，三角形的面积，点和圆的位置关系等．连接，过点作轴于，可得，则，设交于，过点作圆的切线，可知此时的面积最小，即可求解． 【详解】解：连接，过点作轴于， ，，， ，， ，，， ， 设交于，过点作圆的切线，则切线平行于， 此时的面积最小， 半径为， ， 的面积最小值为 故答案为：． 三、解答题：本大题共7个小题，共82分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，根据二次根式的性质，化简绝对值，零指数幂与负整数指数幂进行计算即可求解． 【详解】解： 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，先算括号里面的加法，再算除法，最后代入求值即可． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 20. 洛阳作为十三朝古都，近年来文旅融合发展成效显著．某景区纪念品商店为迎接牡丹文化节，准备采购两款特色文创产品——牡丹瓷和龙门石窟书签． （1）已知该商店用元购进牡丹瓷和用元购进龙门石窟书签的数量相同．经核算，牡丹瓷的进货单价比龙门石窟书签多元．求这两种文创产品的进货单价； （2）已知牡丹瓷的售价为每件元，龙门石窟书签的售价为每件元．由于销售火爆，该商店计划追加不超过元的预算，再次购进这两种文创产品共件．则该商店应如何安排进货数量，才能使销售总利润最大？并求出最大利润． 【答案】（1）龙门石窟书签的进价为元，牡丹瓷的进价为元 （2）购进牡丹瓷件，龙门石窟书签件时，销售总利润最大，最大利润为元 【解析】 【分析】（）设龙门石窟书签的进货单价为元，则牡丹瓷的进货单价为元，根据题意列出方程即可求解； （）设购进牡丹瓷件，则购进书签件，列出不等式求出的取值范围，设利润为元，求出与的一次函数函数关系，再根据一次函数的性质解答即可求解； 本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，理解题意是解题的关键． 【小问1详解】 解：设龙门石窟书签的进货单价为元，则牡丹瓷的进货单价为元， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解且符合题意， ∴， 答：龙门石窟书签的进价为元，牡丹瓷的进价为元； 【小问2详解】 解：设购进牡丹瓷件，则购进书签件， 由题意得，， 解得， 设利润为元， 由题意得，， ∵， ∴随的增大而增大， ∴当时，的值最大，元， 此时， 答：购进牡丹瓷件，龙门石窟书签件时，销售总利润最大，最大利润为元． 21. 已知矩形的对角线长，且矩形两条边和的长恰好是关于x的一元二次方程的两根． （1）试说明，无论k取任何实数，方程总有两个不相等的实数根． （2）求矩形的周长和面积． 【答案】（1）证明：在中，， ， 无论k取何值，方程总有两个不相等的有实数根； （2）矩形的周长为，面积为 【解析】 【分析】（1）根据题意只需证明即可； （2）由根与系数的关系得到，再有勾股定理和矩形的性质得到，即，进而可得，据此解方程即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：和是方程的两个根， ， 矩形的对角线长， ，即， ， 整理得：， 解得：， ， ， ， 矩形的周长为：， 矩形的面积为：． 【点睛】本题考查了接一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，矩形的性质和勾股定理，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系，根的判别式是解题的关键． 22. 某中学开展“国庆70周年阅兵盛典观看情况”调查活动，随机调查了部分初中生观看阅兵盛典的收视情况，并将调查结果统计后绘制成如图1和图2所示的不完整统计图． （1）被调查初中生的人数为 人； （2）把条形统计图补充完整； （3）若该学校有学生1000人，请估计该校没观看阅兵盛典的学生人数？ （4）某班级3名同学都观看了阅兵盛典，1人完整看完，1人看一多半，一人看一少半，要从这3人中任选2人写观后感在班级交流，请用列表法或画树形图法求选出的2人恰好1人全看完，1人看一多半的概率． 【答案】（1） （2）见解析 （3）估计该校没观看阅兵盛典的学生人数为人 （4） 【解析】 【分析】本题考查了扇形统计图与条形统计图信息关联，样本估计总体，画树状图法求概率； （1）由“看完整”的人数及其所占百分比可得被调查初中生的人数， （2）用总人数减去其它类型人数求得“看一多半”的人数，据此补全图形即可； （3）用总人数乘以样本中“没看”人数所占百分比可得； （4）设甲完整看完，乙看一多半，丙看一少半，根据画树状图法即可求得结果． 【小问1详解】 解：被调查初中生的人数为：（人） 故答案为：． 【小问2详解】 “看一多半”的人数为：（人） 补全条形图如下： 【小问3详解】 （人） 答：估计该校没观看阅兵盛典的学生人数为人； 【小问4详解】 解：设甲完整看完，乙看一多半，丙看一少半 共有种等可能结果，其中恰好1人全看完，1人看一多半的有种， ∴恰好1人全看完，1人看一多半的概率为 23. 如图，某景区内两条互相垂直的道路，交于点，景点，在道路上，景点在道路上．为了进一步提升景区品质，景区管委会在道路上又开发了风景优美的景点．经测得景点位于景点的北偏东方向上，位于景点的北偏东方向上，景点位于景点的南偏西方向上．已知． （1）求的度数； （2）求景点与景点之间的距离．（结果保留根号）； （3）若计划在景点之间栈道上设置一个观景台，使到的距离最短，请求出该最短距离（结果保留根号）． 【答案】（1） （2）景点与景点之间的距离为 （3）到最短距离为 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形的方法是解题的关键． （1）由题意可得，，，，，从而得出，，根据即可求解． （2）根据，得出，由（1）得，则，故．在中，解直角三角形求出，，从而求出，再根据，，求出即可求解． （3）根据垂线段最短可得时，到的距离最短，利用等面积法即可求解． 【小问1详解】 解：如图，设，， 由题意得，，，，， ∴，， ∴． 【小问2详解】 解：∵， ∴， 由（1）得，∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∵，，∴， ∴， ∴景点与景点之间的距离为． 【小问3详解】 解：根据垂线段最短，当时，到的距离最短， ∵， ∴， ∴． 答：到最短距离为． 24. 如图，内接于，为的直径，点是弧的中点，交于，交于，． （1）求证：是的切线； （2）求证：； （3）若，，求的长． 【答案】（1）见解析； （2）见解析； （3） 【解析】 【分析】此题重点考查等腰三角形的性质、圆周角定理、切线的判定、同角的余角相等、勾股定理、角平分线的性质、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． （1）由是的直径，得，由，得，由，，得，所以，即可证明是的切线； （2）由，，得，则； （3）作于点，则，由勾股定理得，则，可求得，所以，即可由，求得． 【小问1详解】 证明：是的直径， ， 点是弧的中点， ， ， ，， ， ， 是的半径，且， 是的切线． 【小问2详解】 证明：， ， ， ， ． 【小问3详解】 解：作于点， ，平分， ， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， 的长是． 25. 如图，二次函数的图象交轴于点，交轴于点，点的坐标为，对称轴是直线，点是轴上一动点，轴，交直线于点，交抛物线于点． （1）求这个二次函数的解析式． （2）若点在线段上运动（点与点、点不重合），求面积的最大值， （3）若点在轴上运动，则在轴上是否存在点，使以为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标：若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）最大值为 （3）Q的坐标为或或 【解析】 【分析】（1）由抛物线对称轴是直线，点B的坐标为，得点A的坐标为，故二次函数解析式为； （2）连接，设，则，得，根据二次函数的性质可得答案； （3）由，得直线解析式为，设，则，，由，知是一组对边；分两种情况：①当为对角线时，的中点重合，且，②当为对角线时，的中点重合，且，分别列出方程组，即可解得答案． 【小问1详解】 解：抛物线对称轴是直线，点B的坐标为， 点A的坐标为， 二次函数解析式为； 【小问2详解】 解：连接，如图： 设，则， 在中，令得， ， ， ， ， 当时，取得最大值，且最大值为； 【小问3详解】 解：在y轴上存在点Q，使以M、N、C、Q为顶点的四边形是菱形，理由如下： 由，得直线解析式为， 设，则，， ， 当M、N、C、Q为顶点的四边形是菱形时，是一组对边； 当为对角线时，的中点重合，且， ， 解得：（此时M，N与C重合，舍去）或， ； ②当为对角线时，的中点重合，且， ， 解得：（舍去）或或， 或； 综上所述，Q的坐标为或或． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，三角形，四边形面积，菱形性质及应用，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋期学生学业评价试题 九年级数学 全卷满分为150分；考试时间为120分钟． 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和准考证号填写在答题卡上． 2.答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上无效． 3.每小题答案选出后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案． 4.考试结束，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分，每个小题只有一个选项最符合题目要求． 1. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列事件中属于必然事件的是（ ） A. 等腰三角形的三条边都相等 B. 两个偶数的和为偶数 C. 任意抛一枚均匀的硬币，正面朝上 D. 立定跳远运动员的成绩是 3. 已知点的坐标为，点与点关于原点对称，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 某校机器人编程团队参加广东省创意机器人大赛，7位评委给出的分数为95，92，96，94，95，88，95．这组数据的中位数、众数分别是（ ） A. 92，94 B. 95，95 C. 94，95 D. 95，96 5. 如图，是的弦，半径于点．若，．则的长是（　　） A. 3 B. 2 C. 6 D. 6. 已知点， ， 在二次函数的图象上， 则，，的大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，、为的弦，为直径，、相交于点，若，，则( ) A. B. C. D. 8. 进入12月份来，甲型流感频发．某校有1名学生感染了甲型流感病毒，经过两轮传染后，一共有81人感染了此病毒．设每轮传染中一人可以传染x个人，则所列方程是（ ） A. B. C. D. 9. 关于的不等式组恰有3个整数解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 如图1所示，动点P从正六边形的A点出发，沿A→B→C→D→E以1cm/s的速度匀速运动到点E，图2是点P运动时，的面积随着时间的变化的关系图象，则图2中的m为（　　） A. B. C. D. 11. 已知抛物线与抛物线关于直线对称，当时，抛物线的最大值为（ ） A. 6 B. 12 C. 21 D. 42 12. 如果关于的一元二次方程（）有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“双倍方程”，以下关于双倍方程的说法，正确的是（ ） ①方程是双倍方程； ②若是双倍方程，则； ③若、满足，则关于的方程是双倍方程； ④若关于的方程（）是双倍方程，则． A. ①② B. ②③④ C. ①③ D. ①③④ 二、填空题：本小题共5个小题，每小题4分，共20分，将答案填写在答题卡相应的横线上． 13. 分解因式：______． 14. 方程的解为___________． 15. 如图，将边长为1的正方形绕点顺时针旋转到的位置，则阴影部分的面积是______________； 16. 若一元二次方程的两根为，则的值为____________． 17. 如图．在平面直角坐标系中，点是以点为圆心，1为半径的圆上的动点，若，，，则的面积最小值为______． 三、解答题：本大题共7个小题，共82分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18. 计算：． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 洛阳作为十三朝古都，近年来文旅融合发展成效显著．某景区纪念品商店为迎接牡丹文化节，准备采购两款特色文创产品——牡丹瓷和龙门石窟书签． （1）已知该商店用元购进牡丹瓷和用元购进龙门石窟书签的数量相同．经核算，牡丹瓷的进货单价比龙门石窟书签多元．求这两种文创产品的进货单价； （2）已知牡丹瓷的售价为每件元，龙门石窟书签的售价为每件元．由于销售火爆，该商店计划追加不超过元的预算，再次购进这两种文创产品共件．则该商店应如何安排进货数量，才能使销售总利润最大？并求出最大利润． 21. 已知矩形的对角线长，且矩形两条边和的长恰好是关于x的一元二次方程的两根． （1）试说明，无论k取任何实数，方程总有两个不相等的实数根． （2）求矩形的周长和面积． 22. 某中学开展“国庆70周年阅兵盛典观看情况”调查活动，随机调查了部分初中生观看阅兵盛典的收视情况，并将调查结果统计后绘制成如图1和图2所示的不完整统计图． （1）被调查初中生的人数为 人； （2）把条形统计图补充完整； （3）若该学校有学生1000人，请估计该校没观看阅兵盛典的学生人数？ （4）某班级3名同学都观看了阅兵盛典，1人完整看完，1人看一多半，一人看一少半，要从这3人中任选2人写观后感在班级交流，请用列表法或画树形图法求选出的2人恰好1人全看完，1人看一多半的概率． 23. 如图，某景区内两条互相垂直的道路，交于点，景点，在道路上，景点在道路上．为了进一步提升景区品质，景区管委会在道路上又开发了风景优美的景点．经测得景点位于景点的北偏东方向上，位于景点的北偏东方向上，景点位于景点的南偏西方向上．已知． （1）求的度数； （2）求景点与景点之间的距离．（结果保留根号）； （3）若计划在景点之间栈道上设置一个观景台，使到的距离最短，请求出该最短距离（结果保留根号）． 24. 如图，内接于，为的直径，点是弧的中点，交于，交于，． （1）求证：是的切线； （2）求证：； （3）若，，求的长． 25. 如图，二次函数的图象交轴于点，交轴于点，点的坐标为，对称轴是直线，点是轴上一动点，轴，交直线于点，交抛物线于点． （1）求这个二次函数的解析式． （2）若点在线段上运动（点与点、点不重合），求面积的最大值， （3）若点在轴上运动，则在轴上是否存在点，使以为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标：若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $