精品解析：福建宁德市2025-2026学年第一学期期末质量检测九年级数学试题

宁德市2025-2026学年度第一学期期末九年级质量检测 数学 （考试时间120分钟，满分150分） 注意事项： 1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题答案用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上答题无效． 3．作图可先使用2B铅笔画出，确定后必须用0.5毫米黑色签字笔描黑． 4．考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 如图是物理中经常使用的U型磁铁示意图，其左视图是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，公路互相垂直，公路的中点与点被湖隔开，若测得的长为，则，两点间的距离是（ ） A. B. C. D. 3. 一元二次方程的解是（ ） A. B. C. D. ， 4. 如图，在中，点，分别在，上，．若，则（ ） A. B. C. D. 5. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值是（ ） A. -4 B. -1 C. 1 D. 4 6. 如图，是四边形的外接圆，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 为执行国家药品降价政策，给群众带来实惠，某药品经过两次降价，每盒零售价由元降为元，设平均每次降价的百分率是，则可列出的方程是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，是某款发动机的内部结构图，中间“转子”的形状是“莱洛三角形”，它的三“边”分别是以等边三角形的三个顶点为圆心，边长为半径的三段圆弧．若该等边三角形的边长为，则这个“莱洛三角形”的周长（单位：）是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，矩形是一个装有水的水杯的截面图，，杯中水面与的交点为，当水杯侧面与水平面夹角为时，杯中水面宽等于（ ） A. B. C. D. 10. 已知点都在二次函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 若，则的值是___________． 12. “满堂守岁欢声聚，一室围炉影共亲”呈现了除夕夜一家人在灯光下围炉煮茶、喜乐融融的温馨场景．其中，亲人身影映于墙上的现象属于___________．（填“中心投影”或“平行投影”） 13. 如图，是的弦，于点．若，则半径的长是______． 14. 关于的方程的解是，，则抛物线的对称轴是直线___________． 15. 如图，是三个全等的等腰三角形，底边在同一直线上．分别交于点，．小明发现与位似，其位似中心是___________． 16. 如图，在矩形中，是边上的一点（不与重合），将沿对折，使得点恰好落在边上，交于点交于点交于点．以下结论一定成立的是___________． ①； ②； ③； ④． 三、解答题：本题共9小题，共86分． 17. 计算：． 18. 解方程：x2﹣6x+6=0． 19. 如图，在中，点分别是边上的点，．求证：． 20. 如图，正方形的边长为是中点，反比例函数的图象经过点，与交于点． （1）求的值； （2）若点也在该反比例函数图象上，其横坐标为，纵坐标大于点的纵坐标，求的取值范围． 21. 紫色石蕊试液是常用的酸碱指示剂，遇到酸性溶液变红，遇到碱性溶液变蓝．化学实验课上，老师要求大家用石蕊试液检测A，B，C，D四种无色溶液的酸碱性．当小明用石蕊试液检测时，A，B，C，D四种溶液依次变色，颜色分别为红色、红色、蓝色、蓝色． （1）若小亮从A，B，C，D四种溶液中随机选出一种进行检测，请直接写出检测到碱性溶液的概率； （2）小颖从A，B，C，D四种溶液中随机选出两种进行检测，求这两种都是碱性溶液的概率． 22. 如图，在菱形中，，点在边上，以为对角线作菱形，使点在边上． （1）在图1中作出满足条件的菱形；（保留作图痕迹，不写作法） （2）如图2，当菱形是正方形时，求的值． 23. 如图，已知是的直径，点在上，的平分线交于点，交于点，点在的延长线上，是的切线，切点为与的延长线交于点． （1）求证：； （2）若，求证：． 24. 背越式跳高是一项技术复杂的田径运动，运动员通过弧线助跑、单脚起跳后，身体背对横杆，通过形成“背弓”姿势使身体各部位依次越过横杆．在此过程中，其身体重心的运动轨迹可近似看作一条抛物线． （1）在某次试跳中，测得运动员起跳瞬间，身体重心离地高度为米；当重心水平移动米时达到最高点，此时重心离地2米．如图，以起跳时重心在地面的正投影为原点，水平向前运动的方向为轴正方向，竖直向上为轴正方向，建立平面直角坐标系． ①求本次试跳中，运动员身体重心所在抛物线的表达式； ②已知在本次试跳中，横杆高度为2米，运动员起跳时，其重心在地面的正投影到横杆的水平距离为米．运动员在空中通过调整姿势，形成“背弓”，使过杆时的重心在其臀部下方米．问：本次试跳，当重心水平到达横杆时，重心离地多少米？本次试跳臀部是否能越过横杆？ （2）根据以往的经验，运动员臀部须在重心下降阶段过杆，且当重心水平到达横杆时，如果臀部能超过横杆米，身体的其他部位就能越过横杆．若该运动员下次试跳，重心抛物线不变，且仍能保持在过杆时重心在其臀部下方米．问：他应如何调整起跳点，使该次试跳能顺利越过高度为2米横杆． 25. 如图，矩形和正方形面积相等，，．将正方形绕点旋转（点在直线的上方），连接，． （1）求证：； （2）求证：在旋转过程中，，，，不可能在同一直线上； （3）在旋转过程中，是否存在？若存在，求出线段的长度；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宁德市2025-2026学年度第一学期期末九年级质量检测 数学 （考试时间120分钟，满分150分） 注意事项： 1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题答案用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上答题无效． 3．作图可先使用2B铅笔画出，确定后必须用0.5毫米黑色签字笔描黑． 4．考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 如图是物理中经常使用的U型磁铁示意图，其左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：物理中经常使用的U型磁铁其左视图是B ． 2. 如图，公路互相垂直，公路的中点与点被湖隔开，若测得的长为，则，两点间的距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，解题的关键是掌握“直角三角形斜边中线等于斜边的一半”这一结论． 先根据题意判断为直角三角形，再利用斜边中线的性质，求出、两点间的距离． 【详解】解：， 是直角三角形，． 是AB的中点， 是斜边AB上的中线． 根据直角三角形斜边中线的性质， ． ， ． 故选：C． 3. 一元二次方程的解是（ ） A. B. C. D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，根据因式分解法求出方程的解，即可． 【详解】解： ∴或 解得，． 故选：D． 4. 如图，在中，点，分别在，上，．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，关键是找到对应的比例线段；由可得即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 即：， 故选：C ． 5. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值是（ ） A. -4 B. -1 C. 1 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的意义，熟练掌握一元二次方程根的判别式的意义是解题的关键．，当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根．根据一元二次方程根的判别式，即可求解． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴，即， 解得． 故选：D． 6. 如图，是四边形的外接圆，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，熟练掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 根据圆内接四边形的对角互补即可得到结论． 【详解】解：∵四边形内接于，， ， 故选：B 7. 为执行国家药品降价政策，给群众带来实惠，某药品经过两次降价，每盒零售价由元降为元，设平均每次降价的百分率是，则可列出的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，关键是找到列方程的相等关系；根据增长率的等量关系列方程． 【详解】解：∵原价为元，平均每次降价的百分率是， ∴第一次降价后的价格为：元 ∴第二次降价后的价格为：元 又∵两次降价后零售价为：元 ∴可列方程为：， 故选：A． 8. 如图，是某款发动机的内部结构图，中间“转子”的形状是“莱洛三角形”，它的三“边”分别是以等边三角形的三个顶点为圆心，边长为半径的三段圆弧．若该等边三角形的边长为，则这个“莱洛三角形”的周长（单位：）是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查弧长的计算，等边三角形的性质，关键是掌握弧长的计算公式． 弧长的计算公式：（弧长为，圆心角度数为，圆的半径为），由此即可求解． 【详解】解：如图，是等边三角形， ，， 的长的长的长， 这个“莱洛三角形”的周长是． 故选：C． 9. 如图，矩形是一个装有水的水杯的截面图，，杯中水面与的交点为，当水杯侧面与水平面夹角为时，杯中水面宽等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，关键是灵活使用锐角三角函数表示直角三角形的边；根据可求的值． 【详解】解：∵， ∴， 在中，， ∴， 故选：B ． 10. 已知点都在二次函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，关键是灵活应用知识点解题；先确定二次函数的开口方向与对称轴，再根据点的横坐标位置，结合二次函数的增减性及点到对称轴的距离判断函数值大小． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大， ∵当时，， 即点、均在对称轴右侧， ∴， 故选项B正确，A错误； 当时： ①若，则，点、均在对称轴左侧， 此时随的增大而减小 ∵， ∴； ②若，点在对称轴左侧，点在对称轴右侧， 点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为 当时，，则； 当时，，则； 当时，，则； ∴当时，与的大小关系不确定， 故选项C、D错误， 故答案选：B． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 若，则的值是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，由已知比例式变形，求出的值，再代入所求表达式计算，熟练掌握比例的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 12. “满堂守岁欢声聚，一室围炉影共亲”呈现了除夕夜一家人在灯光下围炉煮茶、喜乐融融的温馨场景．其中，亲人身影映于墙上的现象属于___________．（填“中心投影”或“平行投影”） 【答案】中心投影 【解析】 【分析】本题考查了中心投影的定义，关键是熟练应用定义判断；根据光源进行判断即可． 【详解】解：灯光是点光源，光线从光源点向四周发散，物体在墙上的影子是由这些发散的光线形成的， 因此属于中心投影， 故答案为：中心投影． 13. 如图，是的弦，于点．若，则半径的长是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，由垂径定理可得，再根据勾股定理解答即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵是的弦，于点， ∴，， ∴， 故答案为：． 14. 关于的方程的解是，，则抛物线的对称轴是直线___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系及抛物线对称轴的计算，解题的关键是利用方程的两根求出抛物线的对称轴． 方程的解即为抛物线与轴交点的横坐标，根据抛物线的对称性，对称轴为两根横坐标的平均数． 【详解】解： 方程的解是，， 抛物线与轴的交点为，． 对称轴为直线． 故答案为：． 15. 如图，是三个全等的等腰三角形，底边在同一直线上．分别交于点，．小明发现与位似，其位似中心是___________． 【答案】点F 【解析】 【分析】本题主要考查了求两个位似图形的位似中心，相似三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，平行四边形的判定和性质，熟练掌握相关的判定和性质，是解题的关键．证明，得出点A与点D为对应点，点B与点Q为对应点，证明， ，根据底边在同一直线上，且过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，得出与在同一直线上，即可证明结论． 【详解】解：连接，，如图所示： ∵是三个全等的等腰三角形， ∴，， ∴，，， ∴，， ∴， ∴点A与点D为对应点，点B与点Q为对应点， ∵，， ∴为平行四边形， ∴， 同理：四边形为平行四边形， ∴， ∵底边在同一直线上，且过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行， ∴与在同一直线上， ∴与交于点F， ∴与的位似中心为点F． 故答案为：点F． 16. 如图，在矩形中，是边上的一点（不与重合），将沿对折，使得点恰好落在边上，交于点交于点交于点．以下结论一定成立的是___________． ①； ②； ③； ④． 【答案】①④ 【解析】 【分析】①根据翻折可知①正确；②若，结合翻折得．,,由折叠可知, 得出,即F为的三等分点，与题干矛盾；故不一定正确；③先判定E，B，C，F四点共圆，FC为直径．则．同理判定．则，假设，可证明∽，有．进一步推出，结合翻折得．,,由折叠可知, 得出,即F为的三等分点，与题干矛盾；故不一定正确；④根据矩形的性质得，进一步得到，则，结合翻折可证明∽，有，得到即可证明∽． 【详解】解：①由翻折知：，故①正确； ②若， 由翻折知：， ∴． ∴, ∴, 由折叠可知, ∴,即F为的三等分点， 这与题目是边上的一点矛盾，故②不一定成立； ③∵， ∴E，B，C，F四点共圆，为直径． ∴． ∵， ∴E，D，C，P四点共圆，为直径． ∴． ∴ 若，则． 则∽． ∴． ∴． ∵E，P，C，D四点共圆，为直径． ∴． ∴． 由翻折知：． ∴． ∴, ∴, 由折叠的性质可知：, ∴, ∴, 由折叠可知 , ∴,即F为的三等分点， 这与题目是边上的一点矛盾，故③不一定正确． ④∵在矩形中，， ∴． ∴． 又∵， ∴． ∵在矩形中，， ∴． 由翻折知：， ∴． ∴． ∴∽． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴∽，故④正确； 故答案为：①④． 【点睛】本题主要考查矩形的性质、翻折的性质、四点共圆的判定和性质、相似三角形的判定和性质、解直角三角形的应用等知识点，解题的关键是使用假设法推出矛盾和熟悉相似三角形的性质． 三、解答题：本题共9小题，共86分． 17. 计算：． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，解题的关键是掌握算术平方根、特殊角的三角函数值和绝对值的化简方法． 【详解】解： 故答案为：． 18. 解方程：x2﹣6x+6=0． 【答案】 【解析】 【分析】对题目进行配方，再利用直接开平方法求解 【详解】解： . . . . . ∴ 【点睛】对解一元二次方程中配方法的考察．应熟练掌握完全平方公式 19. 如图，在中，点分别是边上的点，．求证：． 【答案】 证明：，， ， 又∵为公共角， ． 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定问题，由两个角相等可判定其相似，而题中而公共角，所以再求解一对应角相等即可，根据已知条件，即求解． 【详解】略 20. 如图，正方形的边长为是中点，反比例函数的图象经过点，与交于点． （1）求的值； （2）若点也在该反比例函数图象上，其横坐标为，纵坐标大于点的纵坐标，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，正方形的性质等知识． （1）利用正方形的性质得出，．再结合是的中点，即可得出，进而可得出F点的坐标，再根据点F在反比例函数的图象上即可得出K的值． （2）由点E的坐标结合反比例函数的图象和性质即可求解． 【小问1详解】 解：∵正方形的边长为4． ∴，． ∵是的中点． ∴， ∴点坐标为． ∵反比例函数的图象过点． ∴ 解得：． 【小问2详解】 解：依题意得，点的纵坐标为4． 由（1）得，点在反比例函数图象上． ∴，解得． 对于函数， 当，的值随值的增大而减小． ∵点M也在函数图象上，其纵坐标大于点E的纵坐标，即． ∴，即． 又∵， ∴． 21. 紫色石蕊试液是常用的酸碱指示剂，遇到酸性溶液变红，遇到碱性溶液变蓝．化学实验课上，老师要求大家用石蕊试液检测A，B，C，D四种无色溶液的酸碱性．当小明用石蕊试液检测时，A，B，C，D四种溶液依次变色，颜色分别为红色、红色、蓝色、蓝色． （1）若小亮从A，B，C，D四种溶液中随机选出一种进行检测，请直接写出检测到碱性溶液的概率； （2）小颖从A，B，C，D四种溶液中随机选出两种进行检测，求这两种都是碱性溶液的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）直接根据概率公式求解即可； （2）由树状图可得出所有等可能的结果数以及两瓶溶液恰好都变蓝的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：∵共有A，B，C，D四种溶液， ∴从这四种溶液中随机选出一种进行检测，检测到碱性溶液的概率为； 【小问2详解】 解：所有可能出现的结果为： 由树状图可得，一共有12种结果，每种结果出现的可能性相同，其中两种都是碱性溶液的结果有2种． 所以，P（两种都是碱性溶液）=． 22. 如图，在菱形中，，点在边上，以为对角线作菱形，使点在边上． （1）在图1中作出满足条件的菱形；（保留作图痕迹，不写作法） （2）如图2，当菱形是正方形时，求的值． 【答案】（1） 菱形为所求作： （2） 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图，锐角三角函数、勾股定理、菱形的性质、正方形的性质，关键是灵活应用知识点解题； （1）利用对角线互相垂直且平分的四边形是菱形； （2）在直角三角形中，根据，得出，设进而得到，即可求得． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形是正方形， ∴， ， ∴， 在中，， 可设，，则， 由勾股定理得 ， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴． 23. 如图，已知是的直径，点在上，的平分线交于点，交于点，点在的延长线上，是的切线，切点为与的延长线交于点． （1）求证：； （2）若，求证：． 【答案】（1） 证明：连接， ∵是的切线， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵平分， ∴， ∴． （2） 证明：∵， ∴． 由（1）得， ∴，． 又∵， ∴． ∵是和D的外角， ∴， ∴． 连接． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ． 【解析】 【分析】本题考查了圆的切线的性质，圆周角定理，等腰三角形的判定与性质，三角形的外角定理等知识点． （1）根据圆的切线的性质以及圆周角定理得到，然后根据互余关系以及等边对等角得到，再结合角平分线的定义即可求证； （2）由等边对等角得到．由（1）得，故，．由是和D的外角，得到．连接，由圆周角定理得到，则，故，即可求证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 24. 背越式跳高是一项技术复杂的田径运动，运动员通过弧线助跑、单脚起跳后，身体背对横杆，通过形成“背弓”姿势使身体各部位依次越过横杆．在此过程中，其身体重心的运动轨迹可近似看作一条抛物线． （1）在某次试跳中，测得运动员起跳瞬间，身体重心离地高度为米；当重心水平移动米时达到最高点，此时重心离地2米．如图，以起跳时重心在地面的正投影为原点，水平向前运动的方向为轴正方向，竖直向上为轴正方向，建立平面直角坐标系． ①求本次试跳中，运动员身体重心所在抛物线的表达式； ②已知在本次试跳中，横杆高度为2米，运动员起跳时，其重心在地面的正投影到横杆的水平距离为米．运动员在空中通过调整姿势，形成“背弓”，使过杆时的重心在其臀部下方米．问：本次试跳，当重心水平到达横杆时，重心离地多少米？本次试跳臀部是否能越过横杆？ （2）根据以往的经验，运动员臀部须在重心下降阶段过杆，且当重心水平到达横杆时，如果臀部能超过横杆米，身体的其他部位就能越过横杆．若该运动员下次试跳，重心抛物线不变，且仍能保持在过杆时重心在其臀部下方米．问：他应如何调整起跳点，使该次试跳能顺利越过高度为2米横杆． 【答案】（1）①；②当重心水平到达横杆时，重心离地米；不能越过横杆 （2）他应从原来的起跳点沿运动方向往前移动至米 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，解题的关键是根据题意建立抛物线模型，利用顶点式求函数表达式，并结合函数性质解决实际问题． （1）① 由题意可知抛物线顶点坐标为，且过点，用顶点式设出表达式，代入点坐标求出参数，得到抛物线解析式； ② 将横杆对应的水平距离代入抛物线，求出此时重心高度，再结合重心与臀部的高度关系，判断臀部是否能越过横杆． （2）根据臀部需超过横杆米的要求，先算出对应的最低重心高度，代入抛物线解析式求出符合条件的范围，再结合“臀部在重心下降阶段过杆”的条件，确定的最终取值范围，从而得出起跳点的调整距离． 【小问1详解】 解：（1）①依题意得，抛物线的顶点坐标为，且过点， ∴设． 当时，． ∴． ∴运动员身体重心所在抛物线的表达式为：． ②当时，． ∴当重心水平到达横杆时，重心离地米． ∵ ∴本次试跳臀部不能越过横杆． 【小问2详解】 解：∵横杆高度2米， ∴臀部高度至少为米． ∴重心高度至少为米． 当时，． 解得，． 根据抛物线的性质得 ． ∵运动员臀部须在重心下降阶段过杆， ∴． ，． ∴他应从原来的起跳点沿运动方向往前移动至米． 25. 如图，矩形和正方形面积相等，，．将正方形绕点旋转（点在直线的上方），连接，． （1）求证：； （2）求证：在旋转过程中，，，，不可能在同一直线上； （3）在旋转过程中，是否存在？若存在，求出线段的长度；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） 证明：矩形和正方形的面积相等， ，． ， ∵， ∴． ． （2） 证明：假设，，，在同一直线上， 由（1）， ， ． 由（1）， ，， ． ，这与相矛盾． 所以假设不成立，因此在旋转过程中，，，，不可能在同一直线上． （3）存在， 【解析】 【分析】（1）由题意可得，，从而得出，再证明，即可得证； （2）假设，，，在同一直线上，由（1），得出，从而得出，由（1），计算得出，从而得出，这与相矛盾，所以假设不成立； （3）延长分别交，于M，N，过A作于，由，得出．由（1）得，则．从而得出，由等角对等边得出，进而得出，结合勾股定理计算得出，解直角三角形得出，从而可得，求出，再由相似三角形的性质即可得出结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，延长分别交，于M，N，过A作于， ， ． 由（1）得， ． ． ． ． 在中，，，， 根据勾股定理得：． ， ． ． ． ． 由（1）得 ． ． ． 【点睛】本题考查了正方形的性质、矩形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、解直角三角形等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $