精品解析：山西临汾市尧都区2025-2026学年度第一学期九年级期末 数学试题

2025—2026学年度第一学期九年级期末 数学试题 （满分120分，时间120分钟） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个正确答案，请将正确答案的字母代号填在下表相应位置） 1. 下列各式中，与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的化简，同类二次根式的定义． 同类二次根式需化简后根号内的数相同，比较各选项化简后与的根号内的数是否一致． 【详解】解：A：，根号内3，与不是同类二次根式； B：，无根号，与不是同类二次根式； C：，根号内2，与不是同类二次根式； D：，根号内5，与是同类二次根式； 故选：D． 2. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查比例的运算，理解比例的概念进行变形计算是解题的关键． 由已知比例关系可用未知数表示、，再代入目标表达式进行化简计算即可． 【详解】解：∵ ， 令，，其中， ∴， 故选B． 3. 关于x的一元二次方程2x2－3x＋1=0的根的情况是（ ）． A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的判别式即可求解． 【详解】解：关于x的一元二次方程2x2－3x＋1=0中 ， ∴方程2x2－3x＋1=0有两个不相等的实数根， 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，牢记“当＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键． 4. 如图，四边形内接于，连接，，若，则的大小是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查圆周角定理、圆内接四边形的性质，熟练掌握同弧所对的圆周角是圆心角的一半、圆内接四边形对角互补的性质是解题的关键． 先通过“同弧所对的圆周角是圆心角的一半”求出，再通过“圆内接四边形对角互补”得出即可． 【详解】解：∵，， ∴． ∵四边形内接于， ∴， ∴． 故选：C． 5. 如图，是某学校甲、乙两位同学的综合素质评价结果网状图，以为圆心的五个同心圆分别代表5个维度的五个等级，由低到高分别赋分1至5分，由原点出发的五条线段分别指向能力水平的五个维度，网状图能够更加直观的描述该生的优势和不足，观察图形，有以下几个推断：①甲和乙的动手操作能力都很强；②缺少探索学习能力是甲的不足之处；③与甲相比，乙需要加强沟通合作能力；④乙的各项评分之和比甲要高．其中合理的是（ ） A. ①③ B. ②④ C. ①②③ D. ①②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了统计图表，根据统计图表中的数据对各个选项的问题进行分析即可，根据统计图表及其所反映的信息对各个选项作出分析是解题的关键． 【详解】解：由图形可知： 甲和乙的动手操作能力都是5分，即最高等级，故①合理； 甲的探索学习的能力为1分，故缺少探索学习能力是甲的不足，故②合理； 甲与他人的沟通和合作能力为5分，乙与他人的沟通和合作能力为3分，故与甲相比，乙需要加强沟通合作能力，故③合理； 乙的各项评分之和为：，甲的各项评分之和为：，因此乙的各项评分之和比甲要高．故④合理； 综上，合理的选项有①②③④． 故选：D． 6. 下列说法中，正确的是（） A. 在中，锐角A的两边都扩大3倍，则也扩大3倍 B. 若为锐角，，则 C. D. 三角形的三边长为，则 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角函数的定义和性质，掌握相关知识是解决问题的关键．根据三角函数的定义和性质逐项判断正误． 【详解】解：A∶在中，锐角A的两边都扩大3倍，但是邻边与斜边的比值，∴比值不变，故A错误． B∶， 设对边，邻边， 则斜边， ∴，故B正确． C∶，两者不相等，C错误． D∶不一定是直角三角形，不一定等于，D错误． 故选： 7. 在数学活动课中，小丁用自己做的“直角角尺”测量、计算圆的半径．如图所示是“直角角尺”，，将点O放在圆周上，分别确定与圆的交点C，D，读得数据，，则此圆的半径约为（ ） A. 10 B. 5 C. 8 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，勾股定理，解题的关键是掌握以上两个定理． 连接，根据的圆周角所对的弦为直径，再利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴为圆的直径， ∴由勾股定理得， ∴此圆的半径约为， 故选：B． 8. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度．得到的抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象的平移，先将原二次函数化为顶点式求出原顶点坐标，再根据点的平移规律计算平移后的顶点坐标即可． 【详解】解：∵二次函数为， ∴原抛物线顶点坐标为， ∵将图象向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度， ∴平移后顶点的横坐标为，纵坐标为， ∴所得抛物线的顶点坐标为． 故选：D． 9. 规定以下两种变换：①，如；②，如；按照以上变换有：，那么等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一种新型的运算法则，此类题的难点是判断先进行哪个运算，关键是理解两种运算改变了哪个坐标的符号．根据变换定义，先计算内层函数，再计算外层函数g的结果． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 10. 如图1是山西平遥推光漆器，图2是选取该漆器上的部分图案并且放大后的示意图，四边形是边长为2的正方形，分别以正方形的四个顶点为圆心，对角线长的一半为半径在正方形内画弧，四条弧相交于点．则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质和圆，组合图形阴影部分面积，解题的关键是将不规则图形转化为规则图形面积之间的关系． 由题意得半径为，阴影部分面积=圆的面积-正方形的面积，代入计算即可． 【详解】解：四边形是边长为2的正方形， 正方形的对角线的长为， 半径的长为， ∵阴影部分面积=圆的面积-正方形的面积， ∴阴影部分面积， 故选：A． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 比较大小：4_________．（填“＞”“＜”或“＝”） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的大小比较，正确把4变形是解题的关键． 由题意可得，，由此即可解答． 【详解】∵，， ∴． 故答案为：． 12. 从数学的观点看，成语“水中捞月”描述的是_____（填“必然”“不可能”“随机”）事件． 【答案】不可能 【解析】 【分析】本题考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念，必然事件是指在一定条件下必然会发生的事件；不可能事件是指在一定条件下必然不会发生的事件；随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念进行解答即可． 【详解】解：从数学的观点看，成语“水中捞月”描述的是不可能事件． 故答案为：不可能． 13. 如图，在平面直角坐标系中，一条圆弧经过点A（0，4）、B（4，4）、C（6，2）三点，该圆弧所在的圆心D点坐标为_____． 【答案】（2，0）． 【解析】 【分析】根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心. 【详解】根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，作弦AB和BC的垂直平分线，如图所示，则圆的圆心D点的坐标为D（2，0）， 故答案为：（2，0）； 【点睛】此题主要考查根据垂径定理的推论求圆心坐标，熟练掌握，即可解题. 14. 制作山西特色手擀面时，将面团擀成一块矩形面片，其面积为，然后将其均匀切成6根宽为的面条，且每根面条的长比宽多，则可列一元二次方程为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的实际应用，理解题意是解题的关键． 根据题意得每根面条的长为，再根据6根面条的总面积等于原面片的面积列方程即可． 【详解】解：∵每根面条的宽为， ∴每根面条的长为． ∴每根面条的面积为， ∵6根面条的总面积等于原面片的面积， ∴可列方程：． 故答案为：． 15. 如图，在中，，，分别为边上的点，且则的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形、角平分线性质以及相似三角形的判定与性质，关键是通过作辅助线构造角平分线，再利用角平分线定理和相似三角形建立方程求解． 【详解】解：∵在中，，，， ∴，； 过点作，交于点， ∵， ∴， ∵， ∴，即平分； 设，由角平分线性质，到的距离也为， ∵， 即， 解得，故； ∴． ∵， ∴； 设，则， ∴，解得； 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. （1）计算： （2）解方程： 【答案】（1）；（2）， 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算、负整数指数幂、特殊角三角函数值、解一元二次方程，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）先代入特殊角的三角函数值，再根据完全平方公式、负整数指数幂、绝对值的性质化简，最后合并即可； （2）利用因式分解法解方程即可． 【详解】解：（1） ； （2） 或 解得，． 17. 2025年山西暑期非遗研学活动热度高涨，山西省非遗文创馆推出“亲手传艺“互动体验环节，让青少年近距离感受三晋非遗魅力．游戏规则如下： 现场设置3项山西经典非遗体验任务．对应3张背面完全相同的任务卡，正面分别标注“捏花馍”（晋南特色非遗）、“推光漆器”（太原传统技艺）、“剪纸”（山西广泛流传非遗）．参与者先随机抽取1张卡片．记录任务后放回摇匀，再随机抽取1张卡片，根据两次抽取结果完成对应的非遗体验任务．请用列表法或画树状图的方法．求两次抽取的卡片恰好都是“捏花馍”任务的概率 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了列表法求概率，理解题意是解决本题的关键． 把“捏花馍”记为A，“推光漆器”记为B，“剪纸”记为C，再列表进行求解即可． 【详解】解：把“捏花馍”记为A，“推光漆器”记为B，“剪纸”记为C， ∵是有放回抽取，两次抽取相互独立， ∴所有可能结果如下表： A（捏花馍） B（推光漆器） C（剪纸） A（捏花馍） B（推光漆器） C（剪纸） ∴总共有9种等可能的结果， 两次抽取都是“捏花馍”的结果有1种． ∴概率为：． 18. 如图，已知为的直径，点、均为上一点，过点作交的延长线于点，延长、交于点，若点是弧的中点，连接．求证：是的切线． 【答案】 证明：如图，连接， ∵点是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是半径， ∴是的切线． 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定，熟练掌握切线的判定方法是解题的关键． 连接，由点是弧的中点，可得，由，可得，则，可得，由，可得，即可得结论． 【详解】略 19. 已知函数 （1）填下表并在所给坐标系中画出这个函数的图象． x 0 1 y 0 0 （2）利用函数图象直接写出的解集． （3）当时，的取值范围是_____． 【答案】（1） 填表如下： x 0 1 2 y 0 1 1 0 函数的图象如下： （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，画出正确的函数图象是解决本题的关键． （1）根据求出表格的其余数据即可得解； （2）观察函数的图象即可得解； （3）根据二次函数的性质进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵函数为， ∴当时， 解得或； 当时，； 当时，． 【小问2详解】 解：∵函数图象开口向下，与x轴交于和． ∴当时，图象在x轴上方，对应x的取值范围为； 【小问3详解】 解：由题意得， ∴顶点为， ∴最大值：， 当时，， ∴当时，y的取值范围为：， 故答案为：． 20. 永和红枣作为山西省永和县特产，其种植历史可追溯至唐代，以核小、皮薄、肉厚、无虫蛀、无公害为显著特点．某电商选择了销售永和特产红枣，其进价为每箱40元．按每箱60元出售，平均每天可售出120箱．后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售量可增加20箱．若该电商销售这种红枣，要想平均每天获利2520元． （1）每箱红枣应定价多少元？ （2）在平均每天获利不变的情况下为尽可能让利于顾客赢得市场，应按原售价的几折出售？ 【答案】（1）每箱红枣应定价54元或58元 （2）应按原售价的九折出售 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题目中的等量关系列出方程． （1）设每箱红枣降价x元，利用销售量×每件利润元列出方程求解即可； （2）为了让利于顾客因此应下降6元，求出此时的销售单价即可确定几折． 【小问1详解】 解：设每箱红枣应降价x元， 根据题意，得， 解得，， ∴，， 答：每箱红枣应定价54元或58元； 【小问2详解】 解：由（1）可知每箱红枣可降价2元或6元， ∵要尽可能让利于顾客， ∴每箱红枣应降价6元， 此时，售价为：（元）， ， 答：该店应按原售价的九折出售． 21. 旅游开发是人类的活动之一，传统的观光旅游占有重要地位，某区管委会计划开发风景优美的景点．聘请了技术小组抽象出数学模型如下表： 问题情境 数学模型图（示意图） 该市郊外一条笔直的公路经过点A、B两个景点，景区管委会计划开发景点C 测量数据 ，，， 问题解决： （1）该技术小组将实际问题抽象出数学模型图，然后利用三角函数解决问题，主要运用的数学思想是（ ）（从下面选项中选出一个即可） A．分类讨论 B．转化思想 C．数学建模 D．公理化思想 （2）求出景点A到景点C及景点B到景点C的距离． 【答案】（1）C （2）景点A到C的距离为，景点B到C的距离为 【解析】 【分析】本题考查了三角函数的应用，理解题意是解决本题的关键． （1）根据数学建模思想判断即可； （2）设，根据、和进行求解即可． 【小问1详解】 解：技术小组将实际问题抽象为数学模型，再利用三角函数求解，主要运用的是数学建模思想， 故选：C； 【小问2详解】 解：设， 在中，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴景点A到C的距离为，景点B到C的距离为． 22. 如图1是一座拱桥的示意图，已知当水面宽时，桥洞顶部离水面4m．若桥洞的拱形可以看作抛物线，现以水平方向为x轴，取A点为坐标原点建立平面直角坐标系． （1）请写出抛物线的顶点坐标，并求出函数解析式； （2）如图2，若拱桥上的路面也可以近似看成一条抛物线，且解析式为：． ①求桥上路面最高点离桥洞顶部的距离的长度； ②已知桥上路面起点E的横坐标为，请问：当水面上涨到水面宽度为10米时，点E在水平面的上方还是下方？并说明理由． 【答案】（1），； （2）①； ②将E点横坐标代入，得， 则， 当水面宽为时， 将代入，得， 因为，所以点E在水平面上方． 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，数形结合是解题的关键． （1）根据图象得到顶点坐标，再利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）①抛物线的顶点，得到．②将E点横坐标代入，则，当水面宽为时，将代入，得，比较后即可得到答案． 【小问1详解】 解：由图象可知，顶点C的坐标． 设（）， 代入点，得， 解得， 所以解析式为． 【小问2详解】 ①∵ ∴抛物线的顶点， ∴． ②略 23. 综合与探究 问题情境： 如图1，已知点在正方形的边上，点在边的延长线上．正方形与正方形有公共点．连接、． 问题解决：（1）如图2，连接，则和的位置关系是_____．和的数量关系是_____． 操作探究： （2）如图3，将正方形绕点B按逆时针方向旋转，试探究（1）中和的数量关系是否仍然成立，并说明理由． （3）如图4，将正方形绕点B按逆时针方向旋转，使点、、恰好在同一条直线上，若，求的长． 【答案】（1）； （2）和的数量关系仍然成立，理由如下： 连接， 由（1）知， ， 即， ， ， ； （3） 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，构造辅助线证三角形相似是解题的关键． （1）根据正方形对角线平分内角得出，进而得出的关系；证从而得出的数量关系； （2）连接，证，由即可求解; （3）连接，根据勾股定理求出，再根据求出，最后根据求得即可． 【详解】解：（1）在正方形中，， ， ， 在中，， ，即， 在中，， ，即， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）略 （3）连接， 在中，， ， 在中，， 在正方形中，， ， 由（2）知，， ， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第一学期九年级期末 数学试题 （满分120分，时间120分钟） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个正确答案，请将正确答案的字母代号填在下表相应位置） 1. 下列各式中，与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 3. 关于x的一元二次方程2x2－3x＋1=0的根的情况是（ ）． A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 4. 如图，四边形内接于，连接，，若，则的大小是（　　） A. B. C. D. 5. 如图，是某学校甲、乙两位同学的综合素质评价结果网状图，以为圆心的五个同心圆分别代表5个维度的五个等级，由低到高分别赋分1至5分，由原点出发的五条线段分别指向能力水平的五个维度，网状图能够更加直观的描述该生的优势和不足，观察图形，有以下几个推断：①甲和乙的动手操作能力都很强；②缺少探索学习能力是甲的不足之处；③与甲相比，乙需要加强沟通合作能力；④乙的各项评分之和比甲要高．其中合理的是（ ） A. ①③ B. ②④ C. ①②③ D. ①②③④ 6. 下列说法中，正确的是（） A. 在中，锐角A的两边都扩大3倍，则也扩大3倍 B. 若为锐角，，则 C. D. 三角形的三边长为，则 7. 在数学活动课中，小丁用自己做的“直角角尺”测量、计算圆的半径．如图所示是“直角角尺”，，将点O放在圆周上，分别确定与圆的交点C，D，读得数据，，则此圆的半径约为（ ） A. 10 B. 5 C. 8 D. 6 8. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度．得到的抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 9. 规定以下两种变换：①，如；②，如；按照以上变换有：，那么等于（ ） A. B. C. D. 10. 如图1是山西平遥推光漆器，图2是选取该漆器上的部分图案并且放大后的示意图，四边形是边长为2的正方形，分别以正方形的四个顶点为圆心，对角线长的一半为半径在正方形内画弧，四条弧相交于点．则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 比较大小：4_________．（填“＞”“＜”或“＝”） 12. 从数学的观点看，成语“水中捞月”描述的是_____（填“必然”“不可能”“随机”）事件． 13. 如图，在平面直角坐标系中，一条圆弧经过点A（0，4）、B（4，4）、C（6，2）三点，该圆弧所在的圆心D点坐标为_____． 14. 制作山西特色手擀面时，将面团擀成一块矩形面片，其面积为，然后将其均匀切成6根宽为的面条，且每根面条的长比宽多，则可列一元二次方程为_____． 15. 如图，在中，，，分别为边上的点，且则的长为_____． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. （1）计算： （2）解方程： 17. 2025年山西暑期非遗研学活动热度高涨，山西省非遗文创馆推出“亲手传艺“互动体验环节，让青少年近距离感受三晋非遗魅力．游戏规则如下： 现场设置3项山西经典非遗体验任务．对应3张背面完全相同的任务卡，正面分别标注“捏花馍”（晋南特色非遗）、“推光漆器”（太原传统技艺）、“剪纸”（山西广泛流传非遗）．参与者先随机抽取1张卡片．记录任务后放回摇匀，再随机抽取1张卡片，根据两次抽取结果完成对应的非遗体验任务．请用列表法或画树状图的方法．求两次抽取的卡片恰好都是“捏花馍”任务的概率 18. 如图，已知为的直径，点、均为上一点，过点作交的延长线于点，延长、交于点，若点是弧的中点，连接．求证：是的切线． 19. 已知函数 （1）填下表并在所给坐标系中画出这个函数的图象． x 0 1 y 0 0 （2）利用函数图象直接写出的解集． （3）当时，的取值范围是_____． 20. 永和红枣作为山西省永和县特产，其种植历史可追溯至唐代，以核小、皮薄、肉厚、无虫蛀、无公害为显著特点．某电商选择了销售永和特产红枣，其进价为每箱40元．按每箱60元出售，平均每天可售出120箱．后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售量可增加20箱．若该电商销售这种红枣，要想平均每天获利2520元． （1）每箱红枣应定价多少元？ （2）在平均每天获利不变的情况下为尽可能让利于顾客赢得市场，应按原售价的几折出售？ 21. 旅游开发是人类的活动之一，传统的观光旅游占有重要地位，某区管委会计划开发风景优美的景点．聘请了技术小组抽象出数学模型如下表： 问题情境 数学模型图（示意图） 该市郊外一条笔直的公路经过点A、B两个景点，景区管委会计划开发景点C 测量数据 ，，， 问题解决： （1）该技术小组将实际问题抽象出数学模型图，然后利用三角函数解决问题，主要运用的数学思想是（ ）（从下面选项中选出一个即可） A．分类讨论 B．转化思想 C．数学建模 D．公理化思想 （2）求出景点A到景点C及景点B到景点C的距离． 22. 如图1是一座拱桥的示意图，已知当水面宽时，桥洞顶部离水面4m．若桥洞的拱形可以看作抛物线，现以水平方向为x轴，取A点为坐标原点建立平面直角坐标系． （1）请写出抛物线的顶点坐标，并求出函数解析式； （2）如图2，若拱桥上的路面也可以近似看成一条抛物线，且解析式为：． ①求桥上路面最高点离桥洞顶部的距离的长度； ②已知桥上路面起点E的横坐标为，请问：当水面上涨到水面宽度为10米时，点E在水平面的上方还是下方？并说明理由． 23. 综合与探究 问题情境： 如图1，已知点在正方形的边上，点在边的延长线上．正方形与正方形有公共点．连接、． 问题解决：（1）如图2，连接，则和的位置关系是_____．和的数量关系是_____． 操作探究： （2）如图3，将正方形绕点B按逆时针方向旋转，试探究（1）中和的数量关系是否仍然成立，并说明理由． （3）如图4，将正方形绕点B按逆时针方向旋转，使点、、恰好在同一条直线上，若，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $