精品解析：山东省菏泽第一中学2025-2026学年高三上学期2月学情检测数学试题

2026菏泽一中高三上学期2月学情检测数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数 满足（其中为虚数单位），则 的虚部是（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数在上单调递减，则实数 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 已知集合，集合，则等于（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量满足，，与的夹角为，且，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 5. 定义在上的奇函数满足时，若在上恒成立，则实数 的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数的极值点与的零点完全相同，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 7. 设A，B是曲线上关于坐标原点对称的两点，将平面直角坐标系沿x轴折叠，使得上，下两半部分所成二面角为 ，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. D. 4 8. 若函数是单调递增函数，且，则 的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则有2个零点 B. 若，则的解集为 C. 在上有极小值 D. 在上有极大值 10. 已知两种金属元件（分别记为）的抗拉强度均服从正态分布，且，，这两个正态分布密度曲线如图所示，则下列选项中正确的是（参考数据：若，则，）（ ） A. B. C. D. 对于任意的正数t，恒有 11. 法国天文学家乔凡尼•多美尼科•卡西尼在研究土星及其卫星的运动规律时，发现了平面内到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹，并称之为卡西尼卵形线（Cassini Oval）．已知在平面直角坐标系中，，，动点 满足，其轨迹为 ．下列结论中，正确的是（ ） A. 曲线 关于 轴对称 B. 原点始终在曲线 的内部 C. 当时，面积的最大值为 D. 在第一象限的点的纵坐标的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若曲线的切线为，则______． 13. 已知直线 交双曲线于点 ，点，若 的重心恰好落在双曲线的左焦点 上，则直线 的斜率为______． 14. 已知数列的各项均不为零，且，若 表示事件“，”，则________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在 中，角的对边分别为，已知． （1）若，求的值； （2）若，， 的中点为 ，求的长． 16. 在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，右焦点为 ，右顶点为 ，． （1）求椭圆 的标准方程； （2）若过 的直线 交椭圆 于点 （其中点 在 轴上方）， 为椭圆 的左顶点．若与的面积分别为，，求的取值范围． 17. 如图，在三棱柱中，平面 平面，平面平面． （1）求证：平面； （2）若 ，，，求二面角的余弦值． 18. 已知有限集合（ ，），若，则称A为“完美集”. （1）已知，，，，成等差数列，若集合A为“完美集”，求； （2）已知，是否存在首项为3的等比数列，使得集合A为“完美集”，若存在，求集合A；若不存在，说明理由； （3）已知，且集合A为“完美集”，求A. 19. 已知函数. （1）当 时，讨论的单调性； （2）若，讨论方程的根的个数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026菏泽一中高三上学期2月学情检测数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数 满足（其中为虚数单位），则 的虚部是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将复数 利用复数的四则运算求解出来，即可得出虚部. 【详解】由题意，得，所以 的虚部为， 故选：B． 2. 已知函数在上单调递减，则实数 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】的部分利用导数转换成不等式恒成立问题； 的部分利用二次函数的性质即可判定；分段点处也要满足递减的性质，然后取交集即可得出答案. 【详解】因为函数在上单调递减， 所以当时，恒成立，则； 当 时，由在上递减， 若，，合题意， 若 ，则，故; 又分段点处也要满足递减的性质，所以，解得. 综上所述，， 故选：C． 3. 已知集合，集合，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别求出集合A和B，即可得出答案. 【详解】由题意，， 得，，所以． 故选：C． 4. 已知向量满足，，与的夹角为，且，则 的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据，结合数量积的运算律计算可得结果. 【详解】由，得， ∴， ∴，即， ∴． 故选：A． 5. 定义在上的奇函数满足时，若在上恒成立，则实数 的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数为奇函数求出时的解析式，从而发现，再利用函数单调性将恒成立问题转化成不等式组，求解即可. 【详解】易求当时，，所以，故． 所以． 由的图象知在上递增，所以在上恒成立，即在上恒成立． 所以解得． 故选：C． 6. 已知函数的极值点与的零点完全相同，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据的极值点、的零点相同列方程，由此求得. 【详解】， 由，得①， 对于， 由，得， 依题意，所以②， 由于函数的极值点与的零点完全相同， 对比①②可得. 故选：B 7. 设A，B是曲线上关于坐标原点对称的两点，将平面直角坐标系沿x轴折叠，使得上，下两半部分所成二面角为，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】先设，，再根据二面角得出，最后应用，应用数量积化简结合基本不等式计算求最小值. 【详解】 设，， 在平面直角坐标系中，过作轴于点 ，过 作轴于点 ， 则，，，， 折叠后即有， 因为， 所以， 当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为. 故选:C. 8. 若函数是单调递增函数，且，则 的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由函数单调性与导数的关系得到恒成立即可求解； 【详解】， 依题意，恒成立， 令，， 由，可得：，由，可得：， 所以在单调递减，在单调递增； 所以的最小值为， 所以，解得， 故选：B 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则有2个零点 B. 若，则的解集为 C. 在上有极小值 D. 在上有极大值 【答案】ABC 【解析】 【分析】解方程可得选项A正确；根据时解不等式可得选项B正确；讨论 的范围，结合函数的零点及函数的连续性判断选项C正确；求导，讨论 的范围，利用导数判断函数极值点，即可得判断D. 【详解】对于选项A：当时，由得，， 解得或0，所以有且仅有2个零点，故A正确； 对于选项B：当时，，且 ， 由得，解得 ， 所以的解集为，故B正确. 对于选项C：当 时，且 ，由得或， 当时，；当时，. ①若，则，当 时，； 可知在的右侧附近单调递减，在左侧附近单调递增， 所以在内有极小值； ②若，则， 当时，则，可知， 可知在的右侧附近单调递减，在左侧附近单调递增， 所以在内有极小值； ③若，当 时，；当 时，； 可知在的右侧附近单调递增，在左侧附近单调递减， 所以在有极小值； ④若，则， 当时，则，可知， 可知在的右侧附近单调递减，在左侧附近单调递增， 所以在内有极小值； 综上所述：在上有极小值，故C正确. 对于选项D：因为， 构建，可知， 构建，可得， 可知在上单调递增，则， ①若，则，即 ，可知在上单调递增， 则，且， 可知在上存在唯一零点， 当，，即 ；当，，即 ； 可知在内单调递减，在内单调递增， 所以有极小值，无极大值； ②若，且，可知在上存在唯一零点， 当，，即 ；当，，即 ； 可知在内单调递减，在内单调递增， 且，且， 可知在上存在唯一零点， 当，，即 ；当，，即 ； 可知在内单调递减，在内单调递增， 所以有极小值，无极大值； 综上所述：在上无极大值，故D错误 故选：ABC. 10. 已知两种金属元件（分别记为）的抗拉强度均服从正态分布，且，，这两个正态分布密度曲线如图所示，则下列选项中正确的是（参考数据：若，则，）（ ） A. B. C. D. 对于任意的正数t，恒有 【答案】AB 【解析】 【分析】根据给定的正态曲线，结合平均数和标准差的意义，逐项分析判断即可． 【详解】对于A，，A正确； 对于B，由两个正态分布密度曲线知，则，B正确； 对于C，由两个正态分布密度曲线知，则，C错误； 对于D，对于任意的正数t，由图象可知，表示的面积始终小于表示的面积， 则恒有，D错误. 故选：AB 11. 法国天文学家乔凡尼•多美尼科•卡西尼在研究土星及其卫星的运动规律时，发现了平面内到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹，并称之为卡西尼卵形线（Cassini Oval）．已知在平面直角坐标系 中，，，动点 满足，其轨迹为 ．下列结论中，正确的是（ ） A. 曲线 关于 轴对称 B. 原点始终在曲线 的内部 C. 当时，面积的最大值为 D. 在第一象限的点的纵坐标的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】设，由题意求得轨迹方程，将代入方程可判断A；当时，将代入方程计算可判断B；令，则，求得，可求得最大面积判断C；令，可得，利用二次函数的性质可求得最大值. 【详解】设，由，得． 将代入上式，等式仍成立，知曲线 关于 轴对称，所以选项A正确； 当时，将代入等式成立，知原点在曲线上，所以选项B错误； 当时，方程整理得． 令，则， 若方程有两个负根，则，推出 无解，故方程至少有一个正根， 由得，面积的最大值为，所以选项C正确． 由，得． 令，得，所以． 所以．所以．所以选项D正确． 故选：ACD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若曲线的切线为，则______． 【答案】1 【解析】 【分析】根据导数的几何意义求出切线方程，进而对照系数即可. 【详解】设切点为，由，得， 则由题意得 所以，． 所以． 所以． 故答案为：1. 13. 已知直线 交双曲线于点 ，点，若 的重心恰好落在双曲线的左焦点 上，则直线 的斜率为______． 【答案】 【解析】 【分析】设，，先由重心坐标公式求出弦的中点坐标，再由，在双曲线上结合点差法和中点坐标公式以及两点斜率公式即可求解. 【详解】设，， 因为，，由重心坐标公式得，， 所以弦的中点坐标为，，即． 又，在双曲线上，由题意知直线 的斜率存在，则， 故，作差得， 将中点坐标代入得． 故答案为： 14. 已知数列的各项均不为零，且，若表示事件“，”，则________. 【答案】 【解析】 【分析】根据古典概型公式结合组合数及乘法原理计算即可. 【详解】依题意可知事件A为与同号，与异号， 则，，的符号有2种情况，剩下的，，，任意选有， 则. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在 中，角的对边分别为，已知． （1）若，求的值； （2）若，， 的中点为 ，求 的长． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）先利用正弦定理化简，再结合角的范围得出，再利用计算； （2）先利用面积公式求出，进一步得出 ，再在 中利用余弦定理即可. 【小问1详解】 因为，由正弦定理，得， 所以． 所以． 又因为 为 的内角，所以， 所以，从而． 又因为，则， 所以． 【小问2详解】 由题意，，所以． 又，所以． 所以． 因为，所以，从而． 在 中，由余弦定理得， 所以． 16. 在平面直角坐标系 中，已知椭圆的离心率为，右焦点为 ，右顶点为，． （1）求椭圆 的标准方程； （2）若过 的直线 交椭圆 于点 （其中点 在 轴上方）， 为椭圆 的左顶点．若与的面积分别为，，求的取值范围． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）由题意列出关于的方程组，求解即可； （2）当 斜率不存在时，易知；当直线 斜率存在时，设点设直线，联立，韦达定理，然后将面积比表示出来，转换成函数值域问题，即可求解. 【小问1详解】 设椭圆的半焦距为 ，由题意，得，解得， 故椭圆方程为． 【小问2详解】 ①当 斜率不存在时，易知； ②当 斜率存在时，可设，，， 由，得，显然， 所以，． 因为，， 所以． 因为， 又， 设，则，，解得且， 所以． 综上所述，的取值范围为． 17. 如图，在三棱柱中，平面平面 ，平面平面 ． （1）求证：平面 ； （2）若 ，，，求二面角的余弦值． 【答案】（1）证明：如图，取 为 内一点，作，交于点 ，作，交 于点 ． 因为平面平面 且平面平面，平面 ， 所以平面． 因为平面， 所以，同理得． 因为，且平面 ， 所以平面 ． （2）． 【解析】 【分析】（1）根据面面垂直的性质可得平面，进而可得，同理得，即可利用线面垂直的判定求解， （2）建立空间直角坐标系，求解平面法向量，即可利用法向量的夹角求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为 ，，两两垂直，以 为原点，建立空间直角坐标系，如图所示． 由题意，得，，，， 则，，，． 设平面的法向量为，则 令，则，，所以． 设平面的法向量为，则 令 ，则，，所以． 设二面角的平面角为 ，则由图可得． 故二面角的余弦值为． 18. 已知有限集合（ ，），若，则称A为“完美集”. （1）已知，，，，成等差数列，若集合A为“完美集”，求； （2）已知，是否存在首项为3的等比数列，使得集合A为“完美集”，若存在，求集合A；若不存在，说明理由； （3）已知，且集合A为“完美集”，求A. 【答案】（1）－2 （2） 设数列的公比为q，依题意， ，， 因为集合A为“完美集”，所以， 整理得，解得，不符题意， 所以不存在首项为3的等比数列，使得集合A为“完美集”； （3）或 【解析】 【分析】（1）根据“完美集”的定义与等差数列性质即可求得结果. （2）根据“完美集”的定义得到等式，解得，不符合题意，得到结果. （3）根据题干，设，若集合A为“完美集”， 则，再对n分情况讨论即可. 【小问1详解】 依题意，， ，解得； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设，若集合A为“完美集”， 则， 易知，，，当时，， 当时，显然不符题意； 当时，不妨设，，故，所以； 当时，因为，所以，符合题意； 当时，，不符题意； 综上，或. 【点睛】方法点睛：新定义有关的问题的求解策略：通过给出的一个新的定义，或约定一种新的运 算，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息 的迁移，达到灵活解题的目的. 19. 已知函数. （1）当 时，讨论的单调性； （2）若，讨论方程的根的个数. 【答案】（1） 当 时，无递增区间，递减区间为； 当 时，的递增区间为，递减区间为； 当时，的递增区间为，递减区间为； （2） 当时，方程有0个实根； 当或时，方程有1个实根； 当时，方程有2个实根. 【解析】 【分析】（1）应用分类讨论及导数研究函数的单调区间即可； （2）根据已知有，构造并应用导数研究函数的单调性，得到，利用导数研究右侧的单调性和最值，即可得参数范围. 【小问1详解】 的定义域为，则， 因，由，解得， ①当 时，恒成立， 所以的无递增区间，递减区间为； ②当 时，， 令 ，得；令 ，得， 所以的递增区间为，递减区间为； ③当时，， 令 ，得；令 ，得， 所以的递增区间为，递减区间为； 综上所述， 当 时，无递增区间，递减区间为； 当 时，的递增区间为，递减区间为； 当时，的递增区间为，递减区间为； 【小问2详解】 由题设， 令，则，即在上单调递增， 故上式中满足，则有，可得， 令，则，由解得. 当时，，当时，， 在上单调递增，在上单调递减， 当时，且，当时，， 故. 结合图象，可知， 当时，方程有0个实根； 当或时，方程有1个实根； 当时，方程有2个实根. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $