5.1轴对称及其性质寒假预习讲义-2025-2026学年北师大版七年级下学期数学（知识点归纳+题型精讲+综合测试）

5.1轴对称及其性质寒假预习讲义（北师大版） ✅ 课前预习★目标 1.认识轴对称图形和两个图形成轴对称，能说出两者的区别与联系； 2.掌握轴对称的基本性质：对应线段相等、对应角相等、对称轴垂直平分对应点的连线； 3.能判断常见图形是否为轴对称图形，并找出其对称轴,会根据轴对称性质，找出图形的对应点、对应边、对应角； 4.初步学会利用轴对称性质进行简单推理。 💦 重点知识★梳理归纳 【知识点1】轴对称图形 如果一个平面图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫作轴对称图形，这条直线叫作对称轴． 【知识点2】两个图形成轴对称 1.两个图形成轴对称：如果两个平面图形沿一条直线折叠后能够完全重合，那么称这两个图形成轴对称，这条直线叫作这两个图形的对称轴． 2.两者的区别与联系： 区别： ●轴对称图形是一个具有特殊形状的图形，对象是一个图形，对称点在同一个图形上，对称轴可能有一条、多条或无数条； ●两个图形成轴对称是两个图形的特殊位置关系，对象是两个图形，对称点分别在两个图形上，对称轴一般只有一条． 联系： ●都是沿着某条直线折叠后能重合； ●若把成轴对称的两个图形看作一个整体，则这个整体就是轴对称图形； ●若把轴对称图形沿对称轴分成两部分，则这两部分关于这条直线成轴对称． 【知识点3】轴对称的性质 ●对应线段相等 对称点所连的线段相等，对应边相等. ●对应角相等 对折后重合的角大小一样. ●对称轴垂直平分对称点的连线 对称轴是任意一对对称点连线的垂直平分线. ●两个成轴对称的图形一定全等 ☘ 核心考点★精讲精练 题型1轴对称图形的识别 例1．数学之美，美不胜收，如图所示的4个图案中，属于轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 变式1．围棋起源于中国，古代称为“弈”．如图是两位同学的部分对弈图，轮到白方落子，观察棋盘，白方如果落子于点 的位置，则所得的对弈图（不考虑颜色）是轴对称图形．（填写A，B，C，D中的一处即可，A，B，C，D位于棋盘的格点上） ． 变式2．找出下面图形中的轴对称图形，并画出它们的对称轴． 题型2成轴对称的两个图形识别 例2．如图，图中编号为②，③，④的三角形能与编号为①的三角形成轴对称图形的有（    ） A．②，④ B．②，③ C．③，④ D．②，③，④ 变式1．如图所示的每组中的两个图形，成轴对称的是 （填序号）． 变式2．如图，和关于直线成轴对称，请写出对应角和对应线段． 题型3根据成轴对称图形的特征进行判断 例3．作出一个图形的轴对称图形后，若新图形与原图形不重合，则这两个图形的（    ） A．形状不同 B．大小不同 C．位置不同 D．以上都对 变式1．如图，与阴影三角形成轴对称的三角形有 个． 变式2．如图，阴影三角形与哪些三角形成轴对称？它们分别以哪条直线为对称轴的？ 题型4根据成轴对称图形的特征进行求解 例4．如图，与关于直线对称，P为上任一点（P不与共线），下列结论中错误的是（ ） A．是等腰三角形 B．垂直平分 C．与的面积相等 D．直线，的交点不一定在上 变式1．如图，内一点，分别是点关于的对称点，交于，交于，若，则的周长是 ． 变式2．如图，在正方形网格纸中，每个小正方形的边长均为1，的三个顶点均在格点上． (1)在图中作关于直线对称的； (2)若直线上有一点，请标出使的值最小时的位置，并求出的最小值． 题型5求对称轴条数 例5．下列图形中，对称轴条数最多的是（    ） A． B． C． D． 变式1．请你根据图形对称轴的条数按照从多到少的顺序，在括号里填上适当的图形名称． 圆、 、 、长方形． 变式2．指出下列轴对称图形各有几条对称轴，并把它们作出来． 题型6折叠问题 例6．如图，将一张长方形纸片按如图方式折叠，，为折痕，点、折叠后对应的点分别为、，若，则（    ） A． B． C． D． 变式1．如图，已知长方形纸片，点E、F、G分别为线段、、上的一点，将纸片沿着、折叠，使得点A落在点H处，点B落在点I处，若，则的大小为 ． 变式2．按图所示的方法折纸，然后回答下列问题： (1)与垂直吗？为什么？ (2)与有何关系？ (3)与，与分别有何关系？ 题型7画对称轴 例7．如图是一个轴对称图形，对称轴是直线（　　） A． B． C． D． 变式1．下列图形中的五边形都是正五边形，则这些图形中的轴对称图形有 个． 变式2．如图，和关于直线对称，和关于直线对称． (1)画出直线； (2)直线与相交于点O，试探究与直线所夹锐角的数量关系． 题型8画轴对称图形 例8．如图，在的正方形网格中，网格线的交点称为格点．以格点为顶点的三角形称为格点三角形，如为格点三角形，与成轴对称的格点三角形可以画出（ ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 变式1．在的方格中有四个同样大小的正方形如图摆放，再添涂一个空白正方形，使它与原来的四个正方形组成的新图形是一个轴对称图形，这样的添加方法共有 种． 变式2．（1）如图①，画出关于轴对称的； （2）如图②，已知线段，，分别以，为两条直角边，作直角三角形，使，，（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． 题型9设计轴对称图案 例9．图中阴影部分是由4个完全相同的正方形拼接而成的，若要在①，②，③，④，⑤五个区域中的某个区域处添加一个同样的正方形，使它与阴影部分组成的新图形是轴对称图形，则这个正方形可添加的区域有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 变式1．下列图案均可看作由一个大写英文字母经过适当变换得到的．通过找出这组图形符号中所蕴含的内在规律，在空白处的横线上填上恰当的图形． 变式2．如图，这是由两个等腰三角形构成的图形，它是轴对称图形吗？如果不是，请绕点O旋转其中的一个三角形，使它与另一个三角形一起构成轴对称图形． 题型10车牌号码的镜面对称 例10．小明同学从镜子中看到的一组号码（如图），该号码表示的实际号码应该是（    ） A．2653 B．5623 C．3562 D．3265 变式1．从镜子中看到的这个号码  ，实际上是 ． 变式2．某一车牌号码在路面水坑中的倒影为，请猜测该车的车牌号．晓华猜测该车的车牌号为M80608．请问晓华的猜测正确吗？如果不正确，请写出正确的车牌号． 题型11钟表的镜面对称 例11．李明从镜子里看到自己身后的钟表上的时间是8点35分，请问钟表上显示的实际时间是(    ) A． B． C． D． 变式1．墙面上镶嵌的钟面在镜子中看到的时间如图所示，则实际时间是 ． 题型12电子钟显示的镜面对称 例12．小明从平面镜里看到镜子对面电子钟的示数的像如图所示，这时的时刻是（    ） A． B． C． D． 变式1．小林同学在照镜子的时候发现自己的学号牌在镜子中的数字显示为如下图案，请问他的学号应该是 ． 题型13台球桌面上的轴对称问题 例13．如图，桌球的桌面上有两个球，若要将球射向桌面的一边，反弹一次后击中球，则四个点中，可以反弹击中球的是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 变式2．如图所示，长方形是台球台面，有白、黑两球分别位于点M，N处，试问：怎样撞击白球M，才能使白球M碰撞台边反弹后击中黑球N？ 题型14轴对称中的光线反射问题 例14．如图，一束光贴着正方形网格背景布射向平面镜，由物理学知识可知，入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角，则其反射光线为（    ） A． B． C． D． 变式1．如图，小华将小球放在两平行镜和之间，其球心为点A，点A在平面镜中的像为，在平面镜中的像为．已知点到的距离为，到的距离为，则 ． 变式2．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C在小正方形的顶点上． (1)在图中画出与关于直线l成轴对称的； (2)的面积为__________； (3)在直线l上找一点P，使的值最小．（在图中标出点P，保留作图痕迹） ✍ 强化巩固★综合测试 一、单选题 1．下列四个图案中，是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．一个车牌号在平面镜中的图象是，则实际车牌号为（    ） A．JM—G9329 B．JM—G6356 C．JM—C6326 D．JM—G6326 3．如图所示的图形，对称轴的条数有（    ） A．1条 B．3条 C．5条 D．10条 4．小华在镜中看到身后墙上的钟，你认为实际时间最接近8点的是（　　） A． B． C． D． 5．电子钟示数“”在平面镜中的像为（    ） A． B． C． D． 6．如图，在2×2的正方形网格中，网格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，是一个格点三角形，图中与成轴对称的格点三角形共有（    ）    A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 7．如图，P是外一点，D，E分别是两边上的点，点P关于的对称点恰好落在线段上，点P关于的对称点恰好落在的延长线上．若，，，则线段的长为（    ） A．4 B．6 C．7 D．12 8．将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，为折痕，折叠后点在同一直线上，已知，则的度数为（    ） A． B． C． D． 9．如图，弹性小球从点出发，沿所示方向运动，每当小球碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第次碰到长方形的边时，落脚点为；第次碰到长方形的边时落脚点为；第次落脚点为（    ） A． B． C． D． 10．如图，水平地面上放置一平面镜，从激光笔的点发出的光线照射到平面镜的处，反射光线为，且点恰好落在与地面垂直的墙面上．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．如图所示，两个图形成轴对称的有 只填写序号 12．如图，线段与关于直线对称，连与直线相交于点，则线段 （填＞、、）． 13．如图，将长方形纸片沿折叠，使点D，C落在点，处，的延长线与交于点G，若，则 °． 14．如图，在3×3的正方形网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形．图中的为格点三角形，在图中最多能画出 个格点三角形与成轴对称． 15．雨后从地面水洼处观察到一辆小汽车的车牌号为，它的实际车牌号是 ． 16．数学在我们的生活中无处不在，就连小小的台球桌上都有数学问题，如图所示，，若，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保证为 ．    三、解答题 17．如图． (1)哪些图形是轴对称图形？你是怎样判断的？ (2)请把轴对称图形的对称轴画出来． 18．如图，、是平面镜前同一发光点S发出的经平面镜反射后的反射光线，请通过画图确定发光点S的位置，并将光路图补充完整． 19．如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，有如下三个由阴影部分构成的图案． (1)请写出以上三个图案都具备的3个特征：①__________；②___________；③__________． (2)请你借助下面的网格设计出三个由阴影部分构成的图案，使它们也具备你所写出的上述特征． 20．如图，在平面直角坐标系中，点，，． (1)在图中画出关于轴对称的； (2)连接和，求证． 21．点分别是长方形纸片边上的点，沿翻折，点A落在点处，点B落在点处． (1)如图1，当点恰好落在线段上时，求的度数； (2)如图2，当点落在的内部时，若，求的度数． 22．如图是由相同的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．长方台球桌的顶点都是格点，台球桌上有两个小球，分别位于格点处．    (1)在图1中，先在边上画点，使，再在边上画点，使； (2)在图2中，先在边上画点，连接，使，再画一条路径，使球两次撞击台球桌边，经过两次反弹（反射角等于入射角）后，正好撞到球． 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.1轴对称及其性质寒假预习讲义（北师大版） ✅ 课前预习★目标 1.认识轴对称图形和两个图形成轴对称，能说出两者的区别与联系； 2.掌握轴对称的基本性质：对应线段相等、对应角相等、对称轴垂直平分对应点的连线； 3.能判断常见图形是否为轴对称图形，并找出其对称轴,会根据轴对称性质，找出图形的对应点、对应边、对应角； 4.初步学会利用轴对称性质进行简单推理。 💦 重点知识★梳理归纳 【知识点1】轴对称图形 如果一个平面图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫作轴对称图形，这条直线叫作对称轴． 【知识点2】两个图形成轴对称 1.两个图形成轴对称：如果两个平面图形沿一条直线折叠后能够完全重合，那么称这两个图形成轴对称，这条直线叫作这两个图形的对称轴． 2.两者的区别与联系： 区别： ●轴对称图形是一个具有特殊形状的图形，对象是一个图形，对称点在同一个图形上，对称轴可能有一条、多条或无数条； ●两个图形成轴对称是两个图形的特殊位置关系，对象是两个图形，对称点分别在两个图形上，对称轴一般只有一条． 联系： ●都是沿着某条直线折叠后能重合； ●若把成轴对称的两个图形看作一个整体，则这个整体就是轴对称图形； ●若把轴对称图形沿对称轴分成两部分，则这两部分关于这条直线成轴对称． 【知识点3】轴对称的性质 ●对应线段相等 对称点所连的线段相等，对应边相等. ●对应角相等 对折后重合的角大小一样. ●对称轴垂直平分对称点的连线 对称轴是任意一对对称点连线的垂直平分线. ●两个成轴对称的图形一定全等 ☘ 核心考点★精讲精练 题型1轴对称图形的识别 例1．数学之美，美不胜收，如图所示的4个图案中，属于轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查轴对称图形的定义（轴对称图形，是指在平面内沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形），熟练掌握和理解轴对称图形的特征是解题的关键． 直接利用轴对称图形的定义逐项判断即可． 【详解】解：A，C，D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； B选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：B． 变式1．围棋起源于中国，古代称为“弈”．如图是两位同学的部分对弈图，轮到白方落子，观察棋盘，白方如果落子于点 的位置，则所得的对弈图（不考虑颜色）是轴对称图形．（填写A，B，C，D中的一处即可，A，B，C，D位于棋盘的格点上） ． 【答案】A 【分析】本题主要考查轴对称图形，掌握轴对称图形的定义是解题的关键． 根据轴对称图形的定义判断白方落子的位置即可． 【详解】解：根据轴对称的性质可知：当白方落子于点A时，可以构成轴对称图形， 故答案为：A． 变式2．找出下面图形中的轴对称图形，并画出它们的对称轴． 【答案】见解析 【分析】本题考查了画对称轴，轴对称图形的识别，解题关键是识别出轴对称图形． 先识别图，确定是轴对称图形，再找出所给图的对称轴，然后画出所给图的对称轴． 【详解】解：如图所示：第三个图和第七个图不是轴对称图形． 题型2成轴对称的两个图形识别 例2．如图，图中编号为②，③，④的三角形能与编号为①的三角形成轴对称图形的有（    ） A．②，④ B．②，③ C．③，④ D．②，③，④ 【答案】A 【分析】本题主要考查了成轴对称图形的识别，根据成轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果两个平面图形沿一条直线折叠，两个图形能够互相重合，那么这两个图形叫做成轴对称图形． 【详解】解：由成轴对称图形的定义可知，编号为②和④的三角形都可以与编号为①的三角形成轴对称图形， 编号为③的三角形不可以与编号为①的三角形成轴对称图形， 故选：A． 变式1．如图所示的每组中的两个图形，成轴对称的是 （填序号）． 【答案】③ 【分析】本题考查了对轴对称概念的理解和应用，如果两个图形沿着某一条直线对折后能够重合，那么这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线叫做对称轴，据此即可得出答案． 【详解】解：对折后不能重合， ③对折后能重合， 故答案为：③． 变式2．如图，和关于直线成轴对称，请写出对应角和对应线段． 【答案】对应角是和和和．对应线段是和和和 【分析】本题考查了成轴对称图形的定义，熟练掌握成轴对称图形的定义是解答本题的关键．如果一个图形沿着一条直线对折后与另一个图形能够互相重合，那么这两个图形就叫做成轴对称图形，这条直线叫做对称轴，能够重合的角叫对应角，能够重合的线段叫对应线段． 【详解】解：对应角是和和和．对应线段是和和和． 题型3根据成轴对称图形的特征进行判断 例3．作出一个图形的轴对称图形后，若新图形与原图形不重合，则这两个图形的（    ） A．形状不同 B．大小不同 C．位置不同 D．以上都对 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称性质，理解轴对称图形变换后，图形全等，形状和大小不变，但位置改变，即可解题． 【详解】解：∵轴对称变换保持图形的形状和大小不变，仅改变其位置， ∴原图形与轴对称图形形状相同、大小相同，但位置不同． 故选：C． 变式1．如图，与阴影三角形成轴对称的三角形有 个． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称的性质，根据正方形的四条对称轴分别找到与阴影三角形成轴对称的三角形，即可求解． 【详解】解：如图，与阴影三角形成轴对称的三角形有个， 故答案为：． 变式2．如图，阴影三角形与哪些三角形成轴对称？它们分别以哪条直线为对称轴的？ 【答案】三角形1，3，5，7与阴影三角形成轴对称，对称轴分别为直线，直线，直线，直线． 【分析】本题考查的是轴对称的识别，根据轴对称的性质即可得出结论． 【详解】解：由轴对称的性质可知，阴影三角形与三角形1，3，5，7可形成轴对称图形，阴影三角形与1关于直线为对称轴，阴影三角形与3关于直线为对称轴，阴影三角形与5关于直线为对称轴，阴影三角形与7关于直线为对称轴． 题型4根据成轴对称图形的特征进行求解 例4．如图，与关于直线对称，P为上任一点（P不与共线），下列结论中错误的是（ ） A．是等腰三角形 B．垂直平分 C．与的面积相等 D．直线，的交点不一定在上 【答案】D 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，根据轴对称的性质解答即可，解题的关键是掌握轴对称的性质． 【详解】解：∵与关于直线对称，P为上任意一点， ∴，垂直平分，与的面积相等，故B、C选项正确； ∴是等腰三角形，故A选项正确； 直线，关于直线对称，因此交点一定在上，故D选项错误； 故选：D． 变式1．如图，内一点，分别是点关于的对称点，交于，交于，若，则的周长是 ． 【答案】 【分析】此题考查了轴对称，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． 由轴对称的性质得到，，，由此可得到的周长． 【详解】解：由于轴对称的性质， ∴，， 的周长为， 故答案为：． 变式2．如图，在正方形网格纸中，每个小正方形的边长均为1，的三个顶点均在格点上． (1)在图中作关于直线对称的； (2)若直线上有一点，请标出使的值最小时的位置，并求出的最小值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析， 【分析】本题考查了作图-轴对称变换：几何图形都可看作是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的．也考查了最短路径问题． （1）利用网格特点和轴对称的性质画出A、B、C的对应点即可； （2）连接交直线于点P，利用两点之间线段最短判断P点满足条件．再运用勾股定理可求最短距离． 【详解】（1）解：如图，即为所作图形和所作点： （2）解：如图，点P为所作． 根据题意得， 由勾股定理得． 题型5求对称轴条数 例5．下列图形中，对称轴条数最多的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查轴对称图形的对称轴的条数，熟练掌握此知识点是关键．逐项分析轴对称图形的对称轴的条数，即可得出答案． 【详解】解：A.是轴对称图形，共有4条对称轴； B.是轴对称图形，共有3条对称轴； C.是轴对称图形，共有4条对称轴； D.是轴对称图形，共有6条对称轴， 对称轴条数最多的是D选项的图形． 故选：D． 变式1．请你根据图形对称轴的条数按照从多到少的顺序，在括号里填上适当的图形名称． 圆、 、 、长方形． 【答案】 正方形（答案不唯一） 等边三角形（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了求轴对称图形的对称轴条数问题，圆有无数条对称轴，长方形有2条对称轴，因此需要填写两个轴对称图形，使它们的对称轴条数按顺序依次减少，且均介于圆（无数条）和长方形（2条）的对称轴条数之间. 【详解】圆有无数条对称轴，对称轴条数最多； 正方形有4条对称轴，条数次之； 等边三角形有3条对称轴，条数再次之； 长方形有2条对称轴，条数最少． 因此，从多到少的顺序为圆、正方形、等边三角形、长方形． 故答案为：正方形（答案不唯一）、等边三角形（答案不唯一）． 变式2．指出下列轴对称图形各有几条对称轴，并把它们作出来． 【答案】对称轴的条数分别为1条、2条、2条、4条，图见解析 【分析】本题主要考查画轴对称图形的对称轴，解题的关键是熟练掌握轴对称的定义．如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．根据轴对称图形的定义进行逐一解答即可． 【详解】解：4个图形对称轴的条数分别为1条、2条、2条、4条．如答图所示． 题型6折叠问题 例6．如图，将一张长方形纸片按如图方式折叠，，为折痕，点、折叠后对应的点分别为、，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查长方形的性质，折叠的性质．利用数形结合的思想找到角之间的关系是解题关键．由长方形和折叠的性质结合题意可求出．再根据，即可求出答案． 【详解】解：由长方形的性质可知： ， ∴， 即， 由折叠的性质可知，， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 变式1．如图，已知长方形纸片，点E、F、G分别为线段、、上的一点，将纸片沿着、折叠，使得点A落在点H处，点B落在点I处，若，则的大小为 ． 【答案】/105度 【分析】本题考查了折叠的性质，角的和差运算，掌握折叠的性质是关键；由折叠知，，由题意得，即可求解． 【详解】解：由折叠知，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 变式2．按图所示的方法折纸，然后回答下列问题： (1)与垂直吗？为什么？ (2)与有何关系？ (3)与，与分别有何关系？ 【答案】(1)垂直．理由见解析 (2)与互余 (3)与互为邻补角，与也互为邻补角 【分析】本题主要考查余角和补角及角的计算，解题的关键是掌握折叠前后对应角相等；相加得的角互为余角；相加得的角互为补角． （1）由图中第三个图形可知，折叠后，再根据三点共线可求得结论； （2）根据（1）可知，两角之和为，两角互余； （3）由三点共线，以及图中的第四个图形中的角的关系可得出结论． 【详解】（1）解：垂直．理由如下： 由折叠可知，． 又， ， ． （2）解：由（1）知，， 故与互余． （3） 解：与互为邻补角，与也互为邻补角． 题型7画对称轴 例7．如图是一个轴对称图形，对称轴是直线（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的定义． 如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，能使图形完全重合的直线叫做该图形的对称轴，据此即可解题． 【详解】解：由图知，该图形的对称轴是直线． 故选：A． 变式1．下列图形中的五边形都是正五边形，则这些图形中的轴对称图形有 个． 【答案】4 【分析】此题主要考查了轴对称图形，正确把握轴对称图形的定义是解题关键．直接利用轴对称图形的性质画出对称轴得出答案． 【详解】解：如图所示：直线即为各图形的对称轴． 故轴对称图形有4个． 故答案为：4． 变式2．如图，和关于直线对称，和关于直线对称． (1)画出直线； (2)直线与相交于点O，试探究与直线所夹锐角的数量关系． 【答案】(1)作图见解析 (2) 【分析】本题考查轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的性质，是解题的关键： （1）连接，画出线段的垂直平分线即可； （2）根据角的和差关系和轴对称图形的性质，进行推导即可． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求； （2）解：连接， 则， ∵和关于直线对称，和关于直线对称， ∴， ∴， ∴． 题型8画轴对称图形 例8．如图，在的正方形网格中，网格线的交点称为格点．以格点为顶点的三角形称为格点三角形，如为格点三角形，与成轴对称的格点三角形可以画出（ ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】D 【分析】本题考查了作图—轴对称变换，根据网格结构以及轴对称图形的性质作出对称三角形即可，画出对应的图形是解此题的关键． 根据网格特点及题的要求，把所有可能的图形画出即可得答案． 【详解】解：如图，与成轴对称的格点三角形可以画出6个， ， 故选：D． 变式1．在的方格中有四个同样大小的正方形如图摆放，再添涂一个空白正方形，使它与原来的四个正方形组成的新图形是一个轴对称图形，这样的添加方法共有 种． 【答案】4 【分析】本题考查的是利用轴对称设计图案，熟知轴对称的性质是解答此题的关键．根据题意再添加一个正方形，使它与原来的四个正方形组成的新图形是一个轴对称图形即可． 【详解】解：如图所示： 故答案为：4． 变式2．（1）如图①，画出关于轴对称的； （2）如图②，已知线段，，分别以，为两条直角边，作直角三角形，使，，（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】本题考查了作图作轴对称图形和三角形，熟练掌握作图方法是解题的关键． （1）根据轴对称的性质作出A、B、C关于y轴对称的对应点、、，顺次连接即可； （2）作直线l，在直线l上取点C，以点C为圆心，适当长度画弧，交直线l于点M，N，然后作出线段的垂直平分线，以点C为圆心，b为半径画弧，交于点A，以点C为圆心，a为半径画弧，交直线l于点B，连接，则直角三角形即为所求． 【详解】解：（1）如图所示，即为所求； （2）如图所示，即为所求； 题型9设计轴对称图案 例9．图中阴影部分是由4个完全相同的正方形拼接而成的，若要在①，②，③，④，⑤五个区域中的某个区域处添加一个同样的正方形，使它与阴影部分组成的新图形是轴对称图形，则这个正方形可添加的区域有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】本题主要考查了轴对称图形的设计，根据轴对称图形的定义设计求解即可，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴． 【详解】解：如图所示，一共有如下两种添加方法， 故选：C． 变式1．下列图案均可看作由一个大写英文字母经过适当变换得到的．通过找出这组图形符号中所蕴含的内在规律，在空白处的横线上填上恰当的图形． 【答案】 【分析】本题考查图形的规律探究，掌握通过观察图案特征，对应英文字母的轴对称变形规律是解题的关键． 观察这组图案，发现它们是按大写英文字母的顺序，对每个字母关于某条直线对称后所得的图形，据此找出规律并补全空白处的图案． 【详解】解：第一个图案：字母的上下轴对称变形； 第二个图案：字母的左右轴对称变形； 第四个图案：字母的左右轴对称变形； 第五个图案：字母的上下轴对称变形； 第六个图案：字母的左右轴对称变形； ∴横线上的图形应该是由字母经过上下对称得到， 故答案为： 变式2．如图，这是由两个等腰三角形构成的图形，它是轴对称图形吗？如果不是，请绕点O旋转其中的一个三角形，使它与另一个三角形一起构成轴对称图形． 【答案】它不是轴对称图形，旋转后的图形见解析 【分析】本题考查了轴对称图形，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫对称轴．根据轴对称图形的定义即可判断，再根据等腰三角形的对称轴为底边上的高所在的直线，据此将两个等腰三角形底边上的高所在的直线旋转到重合即可得到轴对称图形． 【详解】解：它不是轴对称图形， 绕点O旋转其中的一个三角形，使它与另一个三角形一起构成轴对称图形如下图所示，即为所求： 或 题型10车牌号码的镜面对称 例10．小明同学从镜子中看到的一组号码（如图），该号码表示的实际号码应该是（    ） A．2653 B．5623 C．3562 D．3265 【答案】D 【分析】本题考查了镜面对称的性质，解题的关键是正确将镜像号码进行水平翻转并转换对应字符．把镜子中的号码水平翻转（左右镜像），同时转换每个字符的镜像对应，得到实际号码． 【详解】 解：镜面对称为水平翻转（左右镜像），将镜子里的号码进行水平翻转后，字符的镜像对应为，即组合得到实际号码为3265． 故选：D． 变式1．从镜子中看到的这个号码  ，实际上是 ． 【答案】 【分析】本题考查了镜面对称，正确理解轴对称的性质是解题的关键，注意体会物体与镜面平行放置和垂直放置的不同．根据镜面对称的性质：在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称；据此解答即可得． 【详解】解：由镜面对称的性质可知，这个号码实际上是， 故答案为：． 变式2．某一车牌号码在路面水坑中的倒影为，请猜测该车的车牌号．晓华猜测该车的车牌号为M80608．请问晓华的猜测正确吗？如果不正确，请写出正确的车牌号． 【答案】不正确，M80908 【分析】此题主要考查了镜面对称，易得所求的牌照与看到的牌照关于水平的一条直线成轴对称，作出相应图形即可求解． 【详解】解：晓华的猜测不正确．如图所示． 故该车的车牌号应是M80908． 题型11钟表的镜面对称 例11．李明从镜子里看到自己身后的钟表上的时间是8点35分，请问钟表上显示的实际时间是(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了镜面对称的知识，画出草图，根据镜面对称的性质，分析可得答案． 【详解】解：如图， 根据对称性可得：与时的指针指向成轴对称，故实际时间是， 故选：C． 变式1．墙面上镶嵌的钟面在镜子中看到的时间如图所示，则实际时间是 ． 【答案】 【分析】本题考查镜面对称，掌握镜面对称的性质是解题的关键． 图中表盘数字的顺序与实际表盘的数字顺序正好左右相反，据此作答即可． 【详解】根据轴对称性质得，实际钟表如下： ∴实际时间是． 故答案为：． 题型12电子钟显示的镜面对称 例12．小明从平面镜里看到镜子对面电子钟的示数的像如图所示，这时的时刻是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了镜面对称的性质，掌握镜面对称的性质是解决本题的关键． 根据镜面对称的性质求解，在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右或上下顺序颠倒，且关于镜面对称． 【详解】解：根据镜面对称的性质，与成轴对称， ∴此时实际时刻为． 故选D． 变式1．小林同学在照镜子的时候发现自己的学号牌在镜子中的数字显示为如下图案，请问他的学号应该是 ． 【答案】70625 【分析】本题考查了轴对称的性质．直接根据镜面对称的性质求解即可． 【详解】解：根据镜面对称性质，数字在镜中左右相反且部分数字会对称转换， 故他的学号为70625． 故答案为：70625． 题型13台球桌面上的轴对称问题 例13．如图，桌球的桌面上有两个球，若要将球射向桌面的一边，反弹一次后击中球，则四个点中，可以反弹击中球的是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称，掌握相关知识点是解题的关键． 过直线作点N的对称点，连接，根据图形，即可求解． 【详解】解：根据题意可知球的两段运动轨迹与直线的夹角相等， 如图，过直线作点N的对称点，连接， 根据图形可知经过点C，且，， 符合题目要求， 反弹击中球的是点C． 故选：C． 变式1．如图，桌球的桌面上有M，N两个球，若要将M球射向桌面的一边，反弹一次后击中N球，则A，B，C，D，4个点中，可以反弹击中N球的是 点． 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称的知识，注意结合图形解答，不要凭空想象，实际操作一下． 【详解】解：如图， 可以瞄准点击球． 故答案为：． 变式2．如图所示，长方形是台球台面，有白、黑两球分别位于点M，N处，试问：怎样撞击白球M，才能使白球M碰撞台边反弹后击中黑球N？ 【答案】见解析 【分析】本题是日常生活中常见的台球问题，通过感知并描述台球的运动规律，想象出小球被撞击后的运动路线，可利用轴对称的性质作出图形，培养了空间观念和应用意识．要使白球M碰撞台边反弹后击中黑球N，可画点M关于的对称点，连接交于点O，则沿方向撞击白球可满足要求． 【详解】解：如图所示，画点M关于的对称点；连接交于点O，则白球M沿碰撞台边，必沿反弹击中黑球N． 理由：由轴对称性质得． 又∵， ∴． ∴白球M沿碰撞台边，必沿反弹击中黑球N． 题型14轴对称中的光线反射问题 例14．如图，一束光贴着正方形网格背景布射向平面镜，由物理学知识可知，入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角，则其反射光线为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了判断反射光线． 根据入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角判断即可． 【详解】∵入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角， ∴其反射光线为， 故选：C． 变式1．如图，小华将小球放在两平行镜和之间，其球心为点A，点A在平面镜中的像为，在平面镜中的像为．已知点到的距离为，到的距离为，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是镜面反射的性质．根据经过反射后，，得出，即可求解． 【详解】解：经过反射后，， 故， 根据题意可得，， 故，， ∴． 故答案为：． 变式2．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C在小正方形的顶点上． (1)在图中画出与关于直线l成轴对称的； (2)的面积为__________； (3)在直线l上找一点P，使的值最小．（在图中标出点P，保留作图痕迹） 【答案】(1)图见解析 (2) (3)图见解析 【分析】本题主要考查了画轴对称图形，三角形的面积公式，轴对称—最短路线问题等知识点，熟练掌握轴对称图形的作法及轴对称的性质是解题的关键． （1）按照画轴对称图形的方法画出关于直线l成轴对称的即可； （2）利用割补法求解即可； （3）连接，交直线l于点，即可得解． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：由图可知：的面积， 故答案为：； （3）解：如图，连接，交直线l于点，则点即为所求． ✍ 强化巩固★综合测试 一、单选题 1．下列四个图案中，是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查轴对称图形．将一个图形沿着某条直线对折，直线两旁的图形能够互相重合，那么这个图形就是轴对称图形．据此逐项判断即可． 【详解】解：A、它不是轴对称图形； B、它不是轴对称图形； C、它不是轴对称图形； D、它是轴对称图形． 故选：D． 2．一个车牌号在平面镜中的图象是，则实际车牌号为（    ） A．JM—G9329 B．JM—G6356 C．JM—C6326 D．JM—G6326 【答案】D 【分析】本题考查了镜面反射的性质，解决本题的关键是得到对称轴，进而得到相应数字和字母．根据镜面对称的性质，在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称． 【详解】解：根据镜面对称性质得出实际车牌号为JM—G6326， 故选：D． 3．如图所示的图形，对称轴的条数有（    ） A．1条 B．3条 C．5条 D．10条 【答案】C 【分析】本题考查轴对称图形的定义，如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能完全重合，这个图形就是轴对称图形，这条直线是对称轴． 过正五边形和五角星的顶点作对边的垂线，可得对称轴，即可解答． 【详解】解：如图，它的对称轴的条数是5条． 故选：C． 4．小华在镜中看到身后墙上的钟，你认为实际时间最接近8点的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查镜面对称，根据镜面对称的性质，在平面镜中的钟面上的时针、分针的位置和实物应关于过12时、6时的直线成轴对称． 【详解】解：实际时间为8点的时针关于过12时、6时的直线的对称点是4点， 那么8点的时钟在镜子中看来应该是4点的样子， 所以应该是A或D答案之一，这两个答案中更接近八点的应该是第四个图形． 故选：D． 5．电子钟示数“”在平面镜中的像为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了镜面对称的性质．根据镜面对称的性质，像与物左右颠倒，将物体中的数字2左右翻转为5，数字1不变，再将整体顺序左右颠倒，即可得到其在平面镜中的像为． 【详解】解：电子钟示数为“”，在平面镜中的像是． 故选：A． 6．如图，在2×2的正方形网格中，网格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，是一个格点三角形，图中与成轴对称的格点三角形共有（    ）    A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】A 【分析】本题主要考查利用轴对称来设计轴对称图形，直接利用轴对称图形的性质分别得出符合题意的答案． 【详解】符合题意的三角形如图所示：    满足要求的图形有5个 故选：A． 7．如图，P是外一点，D，E分别是两边上的点，点P关于的对称点恰好落在线段上，点P关于的对称点恰好落在的延长线上．若，，，则线段的长为（    ） A．4 B．6 C．7 D．12 【答案】B 【分析】此题主要考查了轴对称图形的性质，利用轴对称图形的性质得出，进而得出，即可得出结果． 【详解】解：∵点P关于的对称点恰好落在线段上，点P关于的对称点恰好落在的延长线上， ， ， ， ， ， 故选：． 8．将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，为折痕，折叠后点在同一直线上，已知，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了折叠的性质，角的计算，解决此类问题的关键，应结合题意，最好实际操作图形的折叠，易于找到图形间的关系． 根据折叠的性质和角平分线的定义即可得到结论． 【详解】解：由题意知，， ，， ， ∴． 故选：B． 9．如图，弹性小球从点出发，沿所示方向运动，每当小球碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第次碰到长方形的边时，落脚点为；第次碰到长方形的边时落脚点为；第次落脚点为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了台球桌面上的轴对称问题，根据题意画出图形，可得弹性小球经过次碰到长方形的边后回到出发点，据此解答即可求解，找出弹性小球的反弹规律是解题的关键． 【详解】解：如图所示， 可知弹性小球经过次碰到长方形的边后回到出发点， ∵， ∴弹性小球第次落脚点为图中的点， 故选：． 10．如图，水平地面上放置一平面镜，从激光笔的点发出的光线照射到平面镜的处，反射光线为，且点恰好落在与地面垂直的墙面上．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和性质，反射角等于入射角，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 先得出，，根据反射角等于入射角，即得． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵从激光笔的点发出的光线照射到平面镜的处，反射光线为， ∴， 故选：C． 二、填空题 11．如图所示，两个图形成轴对称的有 只填写序号 【答案】 【分析】本题考查了两个图形成轴对称，两个图形成轴对称的关键是寻找对称轴，两个图形折叠后可重合．根据两个图形成轴对称的概念求解即可． 【详解】解：根据两个图形成轴对称的概念可得：的两个图形成轴对称， 故答案为： 12．如图，线段与关于直线对称，连与直线相交于点，则线段 （填＞、、）． 【答案】 【分析】本题考查轴对称的性质，解题的关键是掌握轴对称图形中对应点所连线段被对称轴垂直平分这一性质． 根据线段与关于直线对称这一条件，利用轴对称性质判断与的关系． 【详解】因为线段与关于直线对称，点与点是关于这条直线的对应点， 根据轴对称的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线， 所以直线是线段的垂直平分线，点O在对称轴上，即． 故答案为：． 13．如图，将长方形纸片沿折叠，使点D，C落在点，处，的延长线与交于点G，若，则 °． 【答案】 【分析】本题主要考查两直线平行的性质、折叠的性质以及矩形的性质，重点在于利用已知条件找到角度之间的关系． 由，，根据两直线平行，内错角相等，可求得的度数，然后由折叠的性质，可得的度数，进而再利用两直线平行内错角相等得到的度数． 【详解】解：∵，， ∴， ， 由折叠的性质可得， ∴． 故答案为：． 14．如图，在3×3的正方形网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形．图中的为格点三角形，在图中最多能画出 个格点三角形与成轴对称． 【答案】6 【分析】本题考查了利用轴对称变换作图，熟练掌握网格结构并准确找出对应点的位置是解题的关键，本题难点在于确定出不同的对称轴． 根据网格结构分别确定出不同的对称轴，然后作出轴对称三角形即可得解． 【详解】解：如图，最多能画出6个格点三角形与成轴对称． 故答案为：6． 15．雨后从地面水洼处观察到一辆小汽车的车牌号为，它的实际车牌号是 ． 【答案】GFT2567 【分析】本题考查了镜面反射的性质；解决本题的关键是得到对称轴，进而得到相应数字．关于倒影，相应的数字应看成是关于倒影下边某条水平的线对称． 【详解】解：实际车牌号是：GFT2567． 故答案为：GFT2567． 16．数学在我们的生活中无处不在，就连小小的台球桌上都有数学问题，如图所示，，若，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保证为 ．    【答案】 【分析】本题考查了台球桌上的轴对称问题，根据图形得出的度数，即可求出的度数．利用数形结合的思想解决问题是解题关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为： 三、解答题 17．如图． (1)哪些图形是轴对称图形？你是怎样判断的？ (2)请把轴对称图形的对称轴画出来． 【答案】(1)（1）、（4）是轴对称图形 (2)见解析 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，解题的关键在于熟练掌握：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． （1）根据轴对称图形的概念即可求解； （2）根据对称轴的概念即可作图． 【详解】（1）解：根据轴对称图形的概念可得（1）、（4）是轴对称图形； （2）解：对称轴如图所示： 18．如图，、是平面镜前同一发光点S发出的经平面镜反射后的反射光线，请通过画图确定发光点S的位置，并将光路图补充完整． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了轴对称作图，解题的关键是熟练掌握光在入射时，入射角等于反射角；两条入射光线的交点处是点光源所在处．作出和的入射光线，相交处即为点S所在位置． 【详解】解：如图所示： 19．如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，有如下三个由阴影部分构成的图案． (1)请写出以上三个图案都具备的3个特征：①__________；②___________；③__________． (2)请你借助下面的网格设计出三个由阴影部分构成的图案，使它们也具备你所写出的上述特征． 【答案】(1)①都是轴对称图形  ②面积都为4  ③对称轴都有4条（答案不唯一） (2)见解析 【分析】此题主要考查了利用轴对称图形设计图案，关键是掌握利用轴对称的作图方法来作图，通过变换对称轴来得到不同的图案． （1）观察发现三个图形都是轴对称图形，对称轴的数量相等，且面积相等； （2）根据三个特征解决问题即可． 【详解】（1）解：①都是轴对称图形 ；②面积都为；③对称轴都有条． （2）解：如图所示． 20．如图，在平面直角坐标系中，点，，． (1)在图中画出关于轴对称的； (2)连接和，求证． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了作图——作轴对称图形，全等三角形的判定和性质，熟练掌握轴对称图形的作法是解题关键． （1）作出两个点关于轴的对称点，依次连接三点，即可得到所作的； （2）由得到，，，证明即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，连接和， 由（1）得：， ，，． ， ， ． 在和中， ， ， ． 21．点分别是长方形纸片边上的点，沿翻折，点A落在点处，点B落在点处． (1)如图1，当点恰好落在线段上时，求的度数； (2)如图2，当点落在的内部时，若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了折叠的性质、几何图形中角度的计算，熟练掌握折叠的性质是解此题的关键． （1）由折叠的性质，得到，，然后根据即可求解； （2）先求出，由折叠的性质，得到，，求出，然后根据即可求解． 【详解】（1）解：由折叠的性质，得到，， 因为， 所以， 即． （2）解：因为， 所以， 由折叠的性质，得， 所以， 所以． 22．如图是由相同的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．长方台球桌的顶点都是格点，台球桌上有两个小球，分别位于格点处．    (1)在图1中，先在边上画点，使，再在边上画点，使； (2)在图2中，先在边上画点，连接，使，再画一条路径，使球两次撞击台球桌边，经过两次反弹（反射角等于入射角）后，正好撞到球． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图—应用与设计作图，生活中的轴对称现象等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）取格点，连接交于点，连接，构造等腰直角三角形，取格点，连接，将平移，使点与点重合，交于，交于点，点，点即为所求； （2）作点关于的对称点，连接交一点，连接，点即为所求，作点关于的对称点，连接分别交于点，连接，路径即为所求． 【详解】（1）解：如图1中，点，点即为所求；   ， 由勾股定可得：，，，，，， ，，， 、、是等腰直角三角形， ，， 由平移的性质可得， 是等腰直角三角形， ， ； （2）解：如图2中，点即为所求，路径即为所求．   ． 学科网（北京）股份有限公司 $