专题01分式寒假预习讲义(知识梳理+题型精析+强化巩固专练+寒假预习)2025-2026学年华东师大版八年级数学下册

专题01分式寒假预习讲义 · 会识别：知道分母含字母的式子叫分式，能区分分式与整式 · 会判断：分式有意义 → 分母≠0 · 会计算：分式值为 0 → 分子 = 0 且 分母≠0 预习必备 知识点梳理 1.分式的定义 2.分式有意义的条件 3.分式的值为零的条件 4.常见题型总结 常考题型 精讲精炼 1.分式的判断 2.分式的规律性问题 3.按要求构造分式 4.分式无意义的条件 5.分式有意义的条件 6.分式值为零的条件 7.分式的求值 8.求分式值为正负数时未知数的取值范围 9.求使分式值为整数时未知数的整数值 强化题型 (解答题4题) 知识点01:分式的定义 一般地，如果A、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子BA​叫做分式。 A 叫做分子 B 叫做分母 关键点： 分式 ≠ 整式 判断标准：分母里必须有字母 知识点02:分式有意义的条件 分式有意义 ⇔ 分母 ≠ 0 分母 = 0 ⇒ 分式无意义 分母 ≠ 0 ⇒ 分式有意义 知识点03:分式的值为 0 的条件 =0⟺ 必须同时满足两个条件： 分子等于 0 分母不等于 0 知识点04:常见题型总结 1.判断分式：看分母是否含字母 2.求有意义的 x 取值：列不等式 分母 ≠ 0 3.求值为 0 的 x：解方程 分子 = 0，再检验分母≠0 【题型1.分式的判断】 【典例】下列各式：，，，，，，其中分式共有 个． 【答案】3 【分析】根据分式的定义逐个判断即可． 【详解】解：分式有 ，，共3个， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了分式的定义，注意：判断一个式子是否是分式，关键看分母中是否含有字母，当分母中含有字母时，式子就是分式． 【跟踪专练1】下列各式中，属于分式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的定义，解题的关键是理解分式的概念，即形如、B是整式，B中含有字母且的式子叫做分式． 根据分式的定义，判断每个选项的分母是否含有字母；分母不含字母的是整式，分母含有字母的是分式，由此对各选项进行分析判断． 【详解】解：分式的定义为：形如、B是整式，B中含有字母且的式子叫做分式． 选项，式子中没有分母含字母的形式，属于整式． 选项，分母是常数，不是字母，属于整式． 选项，分母为其中含有字母a和符合分式的定义，属于分式． 选项，式子中没有分母含字母的形式，属于整式． 故选：C． 【跟踪专练2】下列各式：（1﹣x），，，+x，，其中是分式的有 个． 【答案】2 【分析】看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式． 【详解】解：（1﹣x），，，分母中都不含字母，因此它们是整式，而不是分式． +x，，分母中含有字母，因此是分式． 分式有两个， 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查分式的定义，注意不是字母，是常数，所以，不是分式，是整式． 【题型2.分式的规律性问题】 【典例】观察下列等式，，，…根据其中的规律，猜想 （用含的代数式表示）． 【答案】 【分析】根据题意分别用含x的式子表示出a1、a2、a3、a4，从而得出数列的循环周期为3，据此即可得解答． 【详解】解：∵， ∴， ， ， …… ∴每3个数为一周期循环， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查数字的变化规律，根据已知数列的计算公式得出其循环周期是解题的关键． 【跟踪专练1】给定下面一列分式：，，，……，（其中）根据你发现的规律，其中第7个分式应是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知分式知，分子的指数是3，5，7，9…是连续奇数，分母的指数是大于0的自然数，奇数项的符号是正号． 【详解】解：第奇数个式子是正数，偶数个是负数， 分母是第几个式子就是y的几次方； 分子是第几个式子就是x的（第几×2+1）次方． 所以第七个分式是． 故选：D． 【点睛】本题考查了分式的定义．注意观察每一个分式的分子、分母的变化，然后找出变化规律． 【跟踪专练2】已知即当 为大于1的奇数时，；当 为大于1的偶数时，．则 ． 【答案】 【分析】本题考查分式的规律性问题，根据定义求出至，可知从开始，的值每6个一循环，结合，可知，找出规律是解题的关键． 【详解】解：由题意知：， ， ， ， ， ， ， …… 以此类推，可知从开始，的值每6个一循环， ， ， 故答案为：． 【题型3.按要求构造分式】 【典例】请写出一个有意义的条件是的分式 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据分式有意义的条件，得出 ，将作为分母即可． 【详解】解：要使分式有意义的条件， ， 可用其中均可作为分母， 取一个简单的分式：． 故答案：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了分式有意义的条件：分母不等于零，掌握有意义的条件是解题的关键． 【跟踪专练1】一辆汽车以60千米/时的速度行驶，从A城到B城需小时，如果该车的速度每小时增加千米，那么从A城到B城需要（    ）小时． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意求出全程，及后来行驶的速度，相除即可得到时间． 【详解】解：一辆汽车以60千米/时的速度行驶，从A城到B城需小时，故全程为60t千米， 该车的速度每小时增加千米后的速度为每小时（60+v）千米， 则从A城到B城需要小时， 故选：B． 【点睛】此题考查了分式的实际应用，正确理解题意是解题的关键． 【跟踪专练2】请阅读关于“乐数”的知识卡片，并回答问题： 乐数：我们将同时满足下列条件的分数称为“乐数”． a．分子和分母均为正整数； b．分子小于分母； c．分子、分母均为两位数，且分子的个位数字与分母的十位数字相同； d．去掉分子的个位数字与分母的十位数字后，得到的分数与原来的分数相等． 例如：去掉相同的数字6之后，得到的分数恰好与原来的分数相等，则是一个“乐数”． （1）判断： （填“是”或“不是”）“乐数”； （2）写出一个分子的个位数字与分母的十位数字同为9的“乐数” ． 【答案】 不是 （答案不唯一） 【分析】本题考查了了分式的定义，因式分解的应用． （1）根据“乐数”的定义可以判断不是“乐数”； （2）设分子的十位数字为，分母的个位数字为，由题意得，推出，由，为正整数，得到或5或10，据此求解即可． 【详解】解：（1）去掉相同的数字3之后，得到的分数为，而，， 故不是“乐数”； （2）设分子的十位数字为，分母的个位数字为， 由题意得， 整理得，即， ∵，为正整数， ∴或5或10， ∴或4或9（舍去）， ∴分子的个位数字与分母的十位数字同为9的“乐数”可以是或． 故答案为：不是，． 【题型4.分式无意义的条件】 【典例】当时，分式无意义，求的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式有意义的条件．（1）分式有意义的条件是分母不等于零．（2）分式无意义的条件是分母等于零．分式无意义是分母等于零，所以，由此可以求得． 【详解】解：∵当时，分式无意义， ∴当时，分母，即， 所以． 故答案为：． 【跟踪专练1】根据下列表格中的信息，代表的分式可能是（   ） … 0 1 2 … … 0 无意义 * * * … A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式有无意义，及分式的值为0， 根据分式的分子等于0时，分式的值为0，可得分式的分子，再根据分式的分母等于0时，分式无意义得出分母即可. 【详解】解：当时，，可知分式的分子中含有因式； 当时，分式无意义，可知分式的分母中含有因式， 所以y代表的分式可能是. 故选：B. 【跟踪专练2】已知时，分式 无意义，时，分式 的值为，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式无意义的条件、分式的值为的条件，代数式求值，根据分式无意义的条件可得，根据分式的值为可得，求出的值，再把的值代入代数式计算即可求解，掌握分式无意义的条件、分式的值为的条件是解题的关键． 【详解】解：∵时，分式 无意义， ∴， ∴， ∵时，分式 的值为， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型5.分式有意义的条件】 【典例】若分式有意义，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D．且 【答案】A 【分析】本题考查了分式有意义的条件．根据分式有意义的条件，由，解答即可． 【详解】解：根据题意得：， ∴． 故选：A． 【跟踪专练1】函数中自变量的取值范围是 ． 【答案】 【分析】此题考查分式有意义的条件，熟练掌握分式的分母不为零是解题的关键． 根据分式有意义的条件，分母不能为零，从而确定x的取值范围． 【详解】解：使分式有意义的条件是分母不为0， 因此， 解得． 故答案为：． 【跟踪专练2】对于分式，下列说法正确的是（    ） A．当时，分式有意义 B．当时， C．当时， D．当时，越大，的值越接近于1 【答案】D 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，分式的求值，根据分式有意义的条件及将分式变成真分式加整数的形式，进行分析，逐一判断即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：、当时，分式有意义，故本选项不符合题意； 、当时，原式，故本选项不符合题意； 、， ∴当时，，即， 当时，无意义， 时，， 故本选项不符合题意； 、当时，越大，的值越接近于，故本选项符合题意； 故选：． 【题型6.分式值为零的条件】 【典例】若分式 的值为零，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式值为零的条件，根据分式值为零的条件得到，，然后求出a的值即可． 【详解】解：∵分式 的值为零， ∴，， 解得， 故答案为：． 【跟踪专练1】若分式的值为零，则的值为（   ） A．4 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是分式的值为零的条件，分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．根据分式的值为零的条件解答即可． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴且， ∴． 故选：D． 【跟踪专练2】若分式的值为0，则 ． 【答案】 【分析】本题考查分式值为零的条件，理解当分子为零且分母不等于零时分式的值为零是解题关键．根据分式值为零及分式有意义的条件列方程及不等式求解． 【详解】解：由题意可得 ， 解得：， 故答案为： 【题型7.分式的求值】 【典例】已知：，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查求分式的值，根据比例关系设参数表示变量，再代入所求表达式计算． 【详解】解：由 ，设 ，（）， 则 ． 故答案为 ． 【跟踪专练1】若，则的值是（ ） A．1 B．5 C．4 D．3 【答案】B 【分析】本题考查的是分式的求值，由比例关系设参数k，将x、y、z用k表示，代入分式化简即可. 【详解】解：设，则，，， 代入分式： 分子：， 分母：， ∴； 故选：B 【跟踪专练2】设，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查完全平方公式及分式的值，熟练掌握完全平方公式及分式的值是解题的关键；由可变形为，则有，然后利用整体思想及完全平方公式可进行求解． 【详解】解：由可变形为， ∴，即， ∴； 故答案为． 【题型8.求分式值为正负数时未知数的取值范围】 【典例】对于分式的值，下列说法错误的是（    ） A．当时，该分式的值是正数 B．当且时，该分式的值是负数 C．当时，该分式的值为0 D．无论x取何值，该分式的值都不可能为整数 【答案】D 【分析】A、B、C转化为分别求当分式大于0、小于0、等于0，再利用特殊值法判断D选项即可求得解． 【详解】解：A、当时，，则该分式的值是正数，故正确，不合题意； B、当且时，，则该分式的值是负数，故正确，不合题意； C、当时，，则该分式的值为0，故正确，不合题意； D、当时，，为整数，故错误，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了分式的值，掌握分式的值为0，为正，为负的条件是解题的关键． 【跟踪专练1】若分式的值为正数，请写出一个满足条件的x的值为 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】要使分式的值为正数，根据分式的性质，分子是（正数），那么分母也得是正数，由此确定的取值范围，再在范围内找一个值即可．本题主要考查了分式值的符号确定以及一元一次不等式的求解，熟练掌握分式的性质和一元一次不等式的解法是解题的关键． 【详解】解：∵ 分式的值为正数，分子 ∴ 分母，即， 解得 取（满足 ） 故答案为：（答案不唯一，只要 即可 ） ． 【跟踪专练2】若分式表示的数是负数，则x的取值范围在数轴上表示正确的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】本题考查了分式的值，不等式的解集在数轴上表示，根据分式表示的数是负数，得，转化为不等式问题求解即可． 【详解】根据题意，得， 解得， x的取值范围在数轴上表示如下：      故选：C． 【题型9.求使分式值为整数时未知数的整数值】 【典例】请写出一个满足条件的m值，使得分式的值为整数： ． 【答案】1（不唯一） 【分析】本题主要考查了求分式的值， 将的值代入分式，求出结果为整数即可． 【详解】解：当时，，其值为整数， 所以． 故答案为：1（答案不唯一）． 【跟踪专练1】能使分式值为整数的整数x有（    ）个． A．0 B．1 C．2 D．8 【答案】D 【分析】此题主要考查了分式的值，正确化简分式是解题关键．将转化为，进一步求解即可． 【详解】解：， ∵分式的值为整数， ∴的值为整数， ∴， ∵也是整数， ∴， 解得：； 故选D． 【跟踪专练2】若分式的值为整数，则整数x的值为 ． 【答案】或或或 【分析】本题考查了求使分式值为整数时未知数的整数值问题，将分式化为，分别代值计算，即可求解；掌握这类典型问题的解法是解题的关键． 【详解】解： ， 分式的值为整数，且x是整数， 或 或或， 解得：或或或， 故答案：或或或． 1．解答下列问题： (1)某项工程，甲队需t天完成，该队每天完成的工作量是多少？ (2)一段长的路，小明步行需，骑自行车所用的时间比步行所用时间的一半少．骑自行车的平均速度是多少？ (3)某商品降价后的售价为a元，该商品的原价是多少元？ 【答案】(1) (2) (3)元 【分析】本题主要考查了列分式，正确理解题意是解题的关键． （1）把工作总量看做单位“1”，根据工作效率等于工作总量除以工作时间即可得到答案； （2）由题意得骑自行车需要的时间为，再根据速度等于路程除以时间即可得到答案； （3）根据题意可得现价是原价的，据此列式求解即可． 【详解】（1）解：∵某项工程，甲队需t天完成， ∴该队每天完成的工作量是； （2）解：由题意得，骑自行车的平均速度是； （3）解：∵某商品降价后的售价为a元， ∴该商品的原价是元． 2．当x取什么数时，分式有意义？当x取什么数时，该分式无意义？ 【答案】且，或 【分析】本题考查分式有无意义的条件，根据分式的分母不为0时，分式有意义，分式的分母为0时，分式无意义，进行求解即可． 【详解】解：当有意义时：， ∴且； 当无意义时：， ∴或． 3．已知． (1)若y的值为正数，求x的取值范围； (2)若y的值为整数，求整数x的所有可能值． 【答案】(1) (2)或或或或或 【分析】本题考查了分式的值，正确计算是解题的关键． （1）根据分式的值为正数得出，即可求出x的取值范围； （2）根据y的值为整数得出或或或或或，即可求出整数x的所有可能值． 【详解】（1）解：的值为正数， ， ； （2），y的值为整数， 或或或或或， 或或或或或． 4．阅读下列材料： 通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数，如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如，，，，这样的分式就是假分式； 再如：，，，这样的分式就是真分式． 类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）． 如：；， 再如：． 解决下列问题： (1)分式是________分式（填“真”或“假”）； (2)先将假分式化为带分式________，再当的值为整数，求x的整数值．（写出过程） (3)将假分式化为带分式，当时，试求的最小值． 【答案】(1)真 (2)，的值为或或或 (3)最小值为 【分析】本题考查分式和新定义问题，解题的关键是正确理解新定义以及分式的运算，本题属于中等题型． （1）根据定义即可求出答案； （2）根据分式的性质进行化简，然后根据的值为整数求解即可； （3）先化为带分式，然后根据题意求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得，分式是真分式； 故答案为：真； （2）解：， 的值为整数，且为整数， 的值为或或或， 的值为或或或； （3）解： ， 当时，这两个式子的和有最小值．最小值为， 则的最小值为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $专题01分式寒假预习讲义 1 预习目标 ·会识别：知道分母含字母的式子叫分式，能区分分式与整式 ·会判断：分式有意义→分母0 ·会计算：分式值为0→分子=0且分母≠0 预习内容概览 预习必备 1.分式的定义 2.分式有意义的条件 知识点梳理 3.分式的值为零的条件 4常见题型总结 1.分式的判断 2.分式的规律性问题 3.按要求构造分式 4.分式无意义的条件 常考题型 5.分式有意义的条件 6.分式值为零的条件 精讲精炼 7.分式的求值 8.求分式值为正负数时未知数的取值范围 9.求使分式值为整数时未知数的整数值 强化题型 (解答题4题) 3 知识点梳理 知识点01：分式的定义 般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子BA叫做分式。 A叫做分子 B叫做分母 关键点： 分式≠整式 试卷第1页，共3页 判断标准：分母里必须有字母 知识点02：分式有意义的条件 分式有意义台分母卡0 分母=0今分式无意义 分母≠0今分式有意义 知识点03：分式的值为0的条件 鲁-0 A=0 B≠0 分子等于0 分母不等于0 知识点04：常见题型总结 1.判断分式： 看分母是否含字母 2.求有意义的x取值：列不等式分母≠0 3.求值为0的x: 解方程分子=0，再检验分母0 常考题型精讲精练 【题型1.分式的判断】 【奥1下列式g,是·世京方买神分式共有 y+1’3’ m7’4 个 【跟踪专练1】下列各式中，属于分式的是() A. B.5+y C.atb 3 π a-b D.2” 跟踪专练2】下列各式：5(1-)， ,3r2 4xx2-y21 -3’2’x 其中是分式的有个 【题型2.分式的规律性问题】 【典例】观察下列等式a,=x,a,=1-L, 4=1-1 ,a,=1-1 根据其中的规律，猜想 a a, a, 02022= (用含x的代数式表示). 【跟馨专练门给定下面一列分式子芳·多，手…（失中：0）夜据你发 y’ 现的规律，其中第7个分式应是() A. C. D. v8 B. y 6 y 试卷第1页，共3页 【跟除专纸2】已知a>0名=8-=--山…即当防大于1 1 1 的奇数时，5：当为大于1的偶数时.，=-51.则S一 【题型3.按要求构造分式】 【典例】请写出一个有意义的条件是x≠3的分式 【跟踪专练1】一辆汽车以60千米/时的速度行驶，从A城到B城需t小时，如果该车的速 度每小时增加千米，那么从A城到B城需要()小时. A.60 60t t vt B. C. D. v v+60 v+60 60 【跟踪专练2】请阅读关于“乐数”的知识卡片，并回答问题： 乐数：我们将同时满足下列条件的分数称为“乐数”. a.分子和分母均为正整数； b.分子小于分母； c.分子、分母均为两位数，且分子的个位数字与分母的十位数字相同； d.去掉分子的个位数字与分母的十位数字后，得到的分数与原来的分数相等. 例如： 去掉相同的数字6之后，得到的分数！恰好与原来的分数相等，则是一个“乐 64 64 数” (1)判断： 13 (填“是”或“不是”)“乐数”； 39 (2)写出一个分子的个位数字与分母的十位数字同为9的“乐数” 【题型4.分式无意义的条件】 【典例】当x=1时，分式 2x无意义，求m的值为 x-2m 【跟踪专练1】根据下列表格中的信息，y代表的分式可能是() -2 0 0 无意义 A x-1 B.+2 C.+2 D.x-2 x+2 x+1 x-1 x+1 【跟踪专练2】已知x=1时，分式+2无意义，=4时，分式+2必 x-a x-a 的值为0，则 a+b= 试卷第1页，共3页 【题型5.分式有意义的条件】 【典例】若分式2有意义，则x的取值范国是() A.x≠2 B.x≠0 C.x=0 D.x≠0且x≠2 【跟踪专练1】函数y=2,中自变量x的取值范围是」 x-3 【跟踪专练2】对于分式 x中'下列说法正确的是() A.当x≠0时，分式有意义 B.当x=1时，七= x+13 C.当x<3时，x<3 x+14 D.当x>0时，越大，本的值越接近于1 【题型6.分式值为零的条件】 【典例】若分式a-4的值为零，则a=一 4a 【跟踪专练1】若分式4-4的值为零，则a的值为() a-2 A.4 B.2 C.±2 D.-2 【限紧专练2】若分式云午日的位为0，则a 【题型7.分式的求值】 【奥创1已：名子，则 的值是 a-b 【跟默专练】省行专号则三的值是() x+y-z A.1 B.5 C.4 D.3 【限除专栋2】设41兮则号 x+x2+1 【题型8.求分式值为正负数时未知数的取值范围】 【集例】对于分式子的，下列说法错灵的尼() A.当x>2时，该分式的值是正数 B.当x<2且x≠0时，该分式的值是负数 C.当x=2时，该分式的值为0 D.无论x取何值，该分式的值都不可能为整数 【《银踪专练若分式3水一2的值为正数，请写出一个满足条件的x的值为一 试卷第1页，共3页 【跟踪专练2】若分式 1。表示的数是负数，则x的取值范围在数轴上表示正确的是（） x-2 -2-1012 B. -2-101 C D -2-101 -2-101 【题型9.求使分式值为整数时未知数的整数值】 【典例】请写出一个满足条件的m值，使得分式1 式m一2的值为整数： 【跟踪专练1】能使分式6r+21 值为整数的整数x有()个. 2x-3 A.0 B.1 C.2 D.8 【跟踪专练2】若分式10x- 的值为整数，则整数x的值为」 2x-1 05 强化巩固 1.解答下列问题： (I)某项工程，甲队需t天完成，该队每天完成的工作量是多少？ (2)一段长10km的路，小明步行需2xh,骑自行车所用的时间比步行所用时间的一半少0.2h ·骑自行车的平均速度是多少？ (3)某商品降价x%后的售价为α元，该商品的原价是多少元？ x+3 2.当x取什么数时，分式x+x-可有意义？当x取什么数时，该分式无意义？ 3.已如y (I)若y的值为正数，求x的取值范围： (②)若y的值为整数，求整数x的所有可能值. 4.阅读下列材料： 通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数，如： 8_6+2=2+?=2名.我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数 33 33 大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称 之为“真分式”. 试卷第1页，共3页 如，，，二，二这样的分式就是贺分式： x+1’x-2’x+2x-1 如：一31x，2x这样的分式就是真分 +i’x-2'x2-’X+1 类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）. 如：=-x+-2=1-2,+↓x-2+3=1+3 x+1x+1 1-x+3x-2x-2 -2 再：-区+1414 x-1x-1 x-1 x-1 解决下列问题： ①分式2是 分式（填“真”或“假”)； ②先将假分式2化为带分式，再当的值为整数，求x的整数值。《写出 x+1 x+1 过程) ③)将假分式-6r+8化为带分式，当-1<x<1时，试求-6r+8的最小值. -x2+1 -x2+1 试卷第1页，共3页