精品解析：山西晋城市阳城县2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题

2025-2026学年度九年级数学期末考试卷 考试时间：120分钟；满分：120分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题（共30分） 1. 如图，是三个完全相同的小正方体搭成的几何体，它的左视图为（ ） A. B. C. D. 2. 如图是拦水坝的横断面，斜坡的水平宽度为米，斜面坡度为，则斜坡的长为（  ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 3. 如图，在中，，于点D，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 琪琪在地面上画出等边，先把三根等长、等粗的木棍分别钉在三个顶点处，然后以三根木棍为支架做一个圆形茶桌，如图，经测量．则圆形茶桌面的最小面积是（ ） A. B. C. D. 5. 在贺州市遭遇大暴雨时，龟石水库的水位持续上涨，工作人员在水库岸边的直角三角形观测台处监测水位．如图，龟石水库堤坝横断面迎水坡的坡角为，，堤坝高，则迎水坡面的长度为（ ） A. B. C. D. 6. 活动课上，创新小组根据“伐木工十字法”设计了如下测高方法： ①将两根小木棍，垂直摆放； ②将水平木棍的端点D放在眼睛H的正下方，移动位置，直到树根F与点B重合，树冠E与点A重合； ③测量此时树与人之间的水平距离． 若测得两根小木棍与的长度比为，的长度为，则树的高度为（ ） A. B. C. D. 7. 二次函数均为常数，且中x，y的部分对应值如下表： … 0 1 3 … … 7 0 … 则关于这个二次函数的结论正确的是（ ） A. 图象开口向下 B. 图象的对称轴是直线 C. 当时，的值随值的增大而增大 D. 图象与轴的交点坐标为和 8. 如图，将线段绕它的中点O逆时针旋转得到线段，A，B的对应点分别是点C，D，依次连接，，，则下列结论不一定正确的是（ ） A. B. 对于任意，四边形都是矩形 C. D. 当时，四边形是正方形 9. 对于反比例函数，下列说法不正确的是（ ） A. 图象分布在第二、四象限 B. 当时，随的增大而增大 C. 图像经过点 D. 若点，都在图象上，且，则 10. 如图，在中，，点在轴上，点为的中点，反比例函数的图象经过点，交于点，且，则（ ） A. 8 B. C. D. 第II卷（非选择题） 二、填空题（共15分） 11. 已知点，在反比例函数的图象上，如果，那么的值为_____（写出一个符合条件的的值即可）． 12. 已知，若与的相似比为，则其对应的面积比为____________． 13. 在中，，，则______． 14. 如图，正方形的顶点的坐标为，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，的中点在轴上，则的值为_____________． 15. 一个的矩形，点、、、分别在、、、边上的点，如图所示．已知、、、、、、、的长度都是正整数单位长，且为矩形，则矩形的面积的最大值是________． 三、解答题（共75分） 16. 计算 （1）解方程：； （2）计算： 17. 计算：． 18. 如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点，与y轴相交于点C． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）若点D与点C关于x轴对称，求的面积． 19. 已知：如图，是等边三角形，点、分别在边、上，． （1）求证：； （2）如果，，且，求的长． 20. 如图，在中，点D、E分别在、上，，，、交于点F． （1）判断与是否相似，并说明理由； （2）若，，的长． 21. 如图，在四边形中，平分，，．若，，求的长． 22. 模型再现：如图1，在中，，，，，垂足分别为E，D，探究图中DE与BE，AD之间的数量关系． 小王同学探究此问题的方法是：先根据同角的余角相等得，再证明，得到，，从而可以得出结论． （1）请你根据小王得到的结论填空：已知，，则________； （2）如图2，在中，，，过点B作，过点A作，垂足分别为E，D． ①猜想DE与BE，AD之间的数量关系，并说明理由； ②已知，，求四边形ADBE的面积； （3）如图3，在等腰中，，，则B点坐标为________，若点P（不与点B重合）在坐标平面内，若与全等，则点P的坐标为________． 23. 某数学兴趣小组对函数图象抱有浓厚兴趣，继而深入探究图形变换对反比例函数图象所产生的影响，他们尝试采用以下方式开展研究． 方式一：先作函数图象关于直线的对称图形，再向右平移1个单位长度； 方式二：先将函数图象向右平移1个单位，再作关于直线的对称图形． 【问题提出】 小林认为： 按照方式一的变换，的图象关于的对称图形是其本身，再向右平移1个单位长度，较容易画出的图象； 按照方式二的变换，向右平移1个单位长度后的图象不是关于的轴对称图形，进一步作图变得困难．那么，经历方式二变换后，函数的关系式和图象是怎样的呢? 【问题探究】 （1）小林建议从特殊情况入手，发现规律． ①如图1所示，兴趣小组已画出线段（、在格点上）关于的对称线段，请你在图1的网格中，分别画出线段按照方式一变换得到的线段和按照方式二变换得到的线段； ②观察线段和的位置关系，小林大胆猜测：“先将函数图象向右平移1个单位，再作关于直线的对称图形．”等同于“先作关于直线的对称图形”，再向______平移______个单位；随后，小组成员通过多次实践和严密推理，验证了猜想的正确性． 【问题解决】 （2）请根据猜想，按照方式二的要求对进行变化，所得到的新函数的关系式为______（不需要写自变量的取值范围）． 【问题延伸】 （3）按照方式一变换得到的图象记为，如图2所示，按照方式二变换得到的图象为．已知点是第一象限内一点，将点按照方式一、方式二进行变换，分别得到和，当直线与图象、有且只有两个交点时，请求出关于的函数表达式（不需要写自变量的取值范围）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度九年级数学期末考试卷 考试时间：120分钟；满分：120分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题（共30分） 1. 如图，是三个完全相同的小正方体搭成的几何体，它的左视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了简单几何体的三视图，掌握从左面看得到的图形是左视图是解题关键． 找到从左面看所得到的图形即可． 【详解】解：从左面看易得出有2个正方形，并排排列． 故选：B． 2. 如图是拦水坝的横断面，斜坡的水平宽度为米，斜面坡度为，则斜坡的长为（  ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，理解坡度的定义是解题关键． 先根据坡度定义求出斜坡的垂直高度，再利用勾股定理计算斜坡的长度． 【详解】解：斜坡的坡度是垂直高度与水平宽度的比， 斜坡的水平宽度为米，斜面坡度为， ，米， 米， 据勾股定理可得米． 答：米． 3. 如图，在中，，于点D，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形中正弦、余弦及正切的定义．根据题意在直角三角形内结合各选项表示出不同的正弦、余弦及正切角的表示方式，通过比较选择正确表示选项即可． 【详解】解：A项：在中，， 在中，， 以上均不符合选项，故A错误； B项：在中，， 在中，， 以上均不符合选项，故B错误； C项：在中，， 在中，， 其中符合选项，故C正确； D项：在中，， 在中，， 以上均不符合选项，故D错误， 故选：C． 4. 琪琪在地面上画出等边，先把三根等长、等粗的木棍分别钉在三个顶点处，然后以三根木棍为支架做一个圆形茶桌，如图，经测量．则圆形茶桌面的最小面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，圆周角定理，三角函数． 当圆为等边外接圆时，达到最小值，设圆心为O，连接，，作交于D，则，根据三线合一得到，，根据圆周角定理得到，即，根据三角函数求出的值，进而根据圆的面积公式计算即可． 【详解】解：当圆为等边外接圆时，达到最小值，设圆心为O，连接，，作交于D， ∴， 则，， ∵等边， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴圆形茶桌面的最小面积是． 故选：B． 5. 在贺州市遭遇大暴雨时，龟石水库的水位持续上涨，工作人员在水库岸边的直角三角形观测台处监测水位．如图，龟石水库堤坝横断面迎水坡的坡角为，，堤坝高，则迎水坡面的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握正弦函数的定义是解题的关键． 先明确题目中的直角三角形模型，已知角的正弦值和对边的长度，利用正弦函数的定义对边斜边来计算斜边的长度． 【详解】解：∵在中，，，， 又∵， ∴， ∴， 故选：． 6. 活动课上，创新小组根据“伐木工十字法”设计了如下测高方法： ①将两根小木棍，垂直摆放； ②将水平木棍的端点D放在眼睛H的正下方，移动位置，直到树根F与点B重合，树冠E与点A重合； ③测量此时树与人之间的水平距离． 若测得两根小木棍与的长度比为，的长度为，则树的高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． 利用相似三角形原理测高，根据木棍长度比和水平距离，直接计算树高即可． 【详解】解：， ， ， ， 故选：B． 7. 二次函数均为常数，且中x，y的部分对应值如下表： … 0 1 3 … … 7 0 … 则关于这个二次函数的结论正确的是（ ） A. 图象开口向下 B. 图象的对称轴是直线 C. 当时，的值随值的增大而增大 D. 图象与轴的交点坐标为和 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求解函数解析式，解题的关键是正确求出函数解析式． 先由待定系数法求解函数解析式，再根据二次函数的图象与性质一一判断即可． 【详解】解：由表格可得，，；；； 代入函数解析式得，， 解得， ∴二次函数解析式为， ∵， ∴抛物线开口向上，故A错误； ∵， ∴对称轴为直线，故B错误； ∵抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大，故时也成立，故C正确； ∵抛物线与轴一个交点为，而对称轴为直线，得另一交点为，故D错误， 故选：C． 8. 如图，将线段绕它的中点O逆时针旋转得到线段，A，B的对应点分别是点C，D，依次连接，，，则下列结论不一定正确的是（ ） A. B. 对于任意，四边形都是矩形 C. D. 当时，四边形是正方形 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，矩形的判定和性质，正方形的判定，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 根据旋转的性质得到，再结合矩形的判定和性质，正方形的判定进行分析判断，即可解题． 【详解】解：线段绕它的中点O逆时针旋转得到线段， ， 四边形是矩形，且当时，四边形是正方形， ， 当旋转角度不确定时，不能推出， 故A、B、D结论正确，不符合题意，C结论不一定正确，符合题意； 故选：C． 9. 对于反比例函数，下列说法不正确的是（ ） A. 图象分布在第二、四象限 B. 当时，随的增大而增大 C. 图像经过点 D. 若点，都在图象上，且，则 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，掌握反比例函数的性质是解题的关键．根据反比例函数的性质，当时，图象在第二、四象限，在每个象限内随的增大而增大，逐项分析即可求解． 【详解】解：∵反比例函数，， ∴图象分布在第二、四象限，故A选项正确； ∵，当 时，随的增大而增大，故B选项正确； 当时，，故图象经过点，故C选项正确； 对于D选项，若，则，此时成立；但若，则，故不一定成立，因此D选项不正确． 故选：D． 10. 如图，在中，，点在轴上，点为的中点，反比例函数的图象经过点，交于点，且，则（ ） A. 8 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、直角三角形以及角平分线，用含的代数式表示出点的坐标是解题的关键． 由点的坐标结合为直角三角形可得出点、的坐标，根据角平分线的性质可得出，由此可得出点的坐标，再根据反比例函数图象上点的坐标特征即可得出关于的方程，解之即可得出、的值． 【详解】解：点为的中点， 点，． ， 点，，． ， 点到和距离相等， 根据三角形面积公式可得， 即， ， 点， 反比例函数的图象经过点、， ， ，即， ， 解得：或（舍去）， ． 故选：B． 第II卷（非选择题） 二、填空题（共15分） 11. 已知点，在反比例函数的图象上，如果，那么的值为_____（写出一个符合条件的的值即可）． 【答案】1（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据反比例函数的性质，由点A和点B的横坐标大小关系及，可知函数图象在每个象限内y随x的增大而减小，故． 【详解】解：∵点，在反比例函数的图象上，且，， ∴在同一象限内，y随x的增大而减小， ∴， ∴k可取任意正数，如． 故答案为：1（答案不唯一）． 12. 已知，若与的相似比为，则其对应的面积比为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的性质，熟练掌握该知识点是关键． 根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方计算． 【详解】解：， ． ∴对应面积比为． 故答案为：． 13. 在中，，，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形，熟练掌握三角函数的定义是关键．设，由正切函数的定义表示出，再使用勾股定理计算出，最后使用余弦函数的定义求出． 【详解】解：如下图，设， 在直角中，， ∴， 由勾股定理可得，， 由余弦函数的定义可得，． 故答案为：． 14. 如图，正方形的顶点的坐标为，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，的中点在轴上，则的值为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合问题，涉及了正方形的性质，以及全等三角形的判定与性质．作轴，轴，设，证得即可求解． 【详解】解：作轴，轴，如图所示： 设， ∵的中点在轴上， ∴， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即：，， 解得：， 故答案为：． 15. 一个的矩形，点、、、分别在、、、边上的点，如图所示．已知、、、、、、、的长度都是正整数单位长，且为矩形，则矩形的面积的最大值是________． 【答案】150 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的基本性质，相似三角形的判定和性质，求二元方程组的整数解及三角形的面积等知识的运用，在图形中找出相似三角形是解题的关键． 如图，根据矩形的性质，可知，得到，的关系式，再由题意，是正整数，得到的，的整数解，从而求出矩形的面积，取最大值即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ，，． ∵四边形是矩形， ，，． ，，， ，，，， ． ，． ∴设，，，． ，， ． ，即， ， 又，是正整数， 当时，，此时无正整数解； 当时，，此时无正整数解； 当时，，解得或9； 当时，，此时无正整数解； 当时，，此时无正整数解； 当时，，此时无正整数解； 当时，，此时无正整数解； 当时，，此时无正整数解； 当时，，此时无正整数解； 当时，，此时无正整数解； 当时，，此时无正整数解； 当时，，此时无正整数解； 当时，，此时无正整数解； 当时，，此时无正整数解； 当时，，解得或9； 当时，，此时无正整数解； 当时，，此时无正整数解； 当时，，； 当时，，； 当时，，； 当时，，； ∴矩形的面积的最大值是150． 故答案为：150． 三、解答题（共75分） 16. 计算 （1）解方程：； （2）计算： 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程和特殊角三角函数的计算； （1）先利用去括号、移项、合并同类项将方程整理成一般式，再用公式法解一元二次方程即可； （2）先代入特殊的三角函数值，再计算即可． 【详解】（1）解： 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， ， ， ， ； （2）解： ， ， ． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了绝对值的性质和特殊角的三角函数值，解题的关键是熟练掌握绝对值的性质和特殊角的三角函数值．先牢记特殊角的三角函数值代入表达式，再按“绝对值化简分母有理化整式加减运算”的顺序逐步计算，最终得出结果． 【详解】解： ． 18. 如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点，与y轴相交于点C． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）若点D与点C关于x轴对称，求的面积． 【答案】（1）一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为 （2）3 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数交点问题，轴对称的性质． （1）将代入求出，即；将代入求出，把A，B两点的坐标分别代入中求出即可； （2）先求出，再根据轴对称的性质求出，可知轴，，点A到的距离为，根据三角形面积公式计算即可． 【小问1详解】 解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， 即； ∵点在的图象上， ∴， ∴． 把A，B两点的坐标分别代入中， 得， 解得， ∴一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为； 【小问2详解】 解：当时，， 即． ∵点D与点C关于x轴对称， ∴． 又∵， ∴轴，， ∴点A到的距离为， ∴． 19. 已知：如图，是等边三角形，点、分别在边、上，． （1）求证：； （2）如果，，且，求的长． 【答案】（1） 证明：∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质、相似三角形的判定和性质、一元二次方程的求解等知识； （1）根据等边三角形的性质可得，根据三角形的内角和定理结合平角的定义可得，进而证得结论； （2）设，则，根据相似三角形的性质构建方程求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵是等边三角形， ∴， 设，则， ∵， ∴， 即， 整理可得：， 解得或（不合题意，舍去） ∴． 20. 如图，在中，点D、E分别在、上，，，、交于点F． （1）判断与是否相似，并说明理由； （2）若，，的长． 【答案】（1） ，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）4 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答的关键． （1）利用等腰三角形的性质和相似三角形的判定可得结论； （2）先求得，再根据相似三角形的对应边成比例性质求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 21. 如图，在四边形中，平分，，．若，，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的判定与性质，灵活运用相似三角形的判定定理是解题的关键．先利用勾股定理求出的长度，再结合已知条件推出三角形相似，进而得到对应边成比例，最终求出的长． 【详解】解：，，， ， ， ， 平分， ， ， ， ， 的长是． 22. 模型再现：如图1，在中，，，，，垂足分别为E，D，探究图中DE与BE，AD之间的数量关系． 小王同学探究此问题的方法是：先根据同角的余角相等得，再证明，得到，，从而可以得出结论． （1）请你根据小王得到的结论填空：已知，，则________； （2）如图2，在中，，，过点B作，过点A作，垂足分别为E，D． ①猜想DE与BE，AD之间的数量关系，并说明理由； ②已知，，求四边形ADBE的面积； （3）如图3，在等腰中，，，则B点坐标为________，若点P（不与点B重合）在坐标平面内，若与全等，则点P的坐标为________． 【答案】（1）16 （2） ①． 理由：， ， ， ， ， ， ， ， ． ②64 （3）；或或 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、线段和差： （1）根据线段之间的关系得到即可； （2）①通过证明得出线段关系，进而得出三者之间的关系； ②先求四个三角形的面积，则就是； （3）利用等腰三角形的性质得出，进而证明，求出点的坐标，再分三种情况讨论：当公共边为时，与全等；当为公共边时，且；当为公共边时，且． 【小问1详解】 解：， ， ． 故答案为：． 【小问2详解】 解：①略 ②，， ，， ． 【小问3详解】 解：如图所示，过点作轴于点， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 如图所示， 当公共边为时， 与全等，则是等腰直角三角形， ， 同理， ， ； 当为公共边时，且时， 同理可得， ， ； 当为公共边时，且时， 同理可得， ， ， ； 综上所述，的坐标为：或或． 故答案为：；或或． 23. 某数学兴趣小组对函数图象抱有浓厚兴趣，继而深入探究图形变换对反比例函数图象所产生的影响，他们尝试采用以下方式开展研究． 方式一：先作函数图象关于直线的对称图形，再向右平移1个单位长度； 方式二：先将函数图象向右平移1个单位，再作关于直线的对称图形． 【问题提出】 小林认为： 按照方式一的变换，的图象关于的对称图形是其本身，再向右平移1个单位长度，较容易画出的图象； 按照方式二的变换，向右平移1个单位长度后的图象不是关于的轴对称图形，进一步作图变得困难．那么，经历方式二变换后，函数的关系式和图象是怎样的呢? 【问题探究】 （1）小林建议从特殊情况入手，发现规律． ①如图1所示，兴趣小组已画出线段（、在格点上）关于的对称线段，请你在图1的网格中，分别画出线段按照方式一变换得到的线段和按照方式二变换得到的线段； ②观察线段和的位置关系，小林大胆猜测：“先将函数图象向右平移1个单位，再作关于直线的对称图形．”等同于“先作关于直线的对称图形”，再向______平移______个单位；随后，小组成员通过多次实践和严密推理，验证了猜想的正确性． 【问题解决】 （2）请根据猜想，按照方式二的要求对进行变化，所得到的新函数的关系式为______（不需要写自变量的取值范围）． 【问题延伸】 （3）按照方式一变换得到的图象记为，如图2所示，按照方式二变换得到的图象为．已知点是第一象限内一点，将点按照方式一、方式二进行变换，分别得到和，当直线与图象、有且只有两个交点时，请求出关于的函数表达式（不需要写自变量的取值范围）． 【答案】（1）①如图所示， ②上，1；（2）；（3） 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数交点问题，函数图象的平移变换与轴对称变换； （1）①根据题意画出线段，； ②根据两种变换可得平移方式和平移距离； （2）根据方式二的变换，向上平移1个单位，则； （3）设所在直线表达式为：；代入，得，依题意当且仅当与、各有一个交点，且两交点关于对称时成立；联立得出所在直线与仅有1个交点，令，结合图象经过第一象限；得出，则，代入得出，即可求解． 【详解】解：（1）① 略 ②“先将函数图象向右平移1个单位，再作关于直线的对称图形．”等同于“先作关于直线的对称图形”，再向上平移1个单位； 故答案为：上，1． （2）按照方式二的要求对进行变化，所得到的新函数的关系式为 故答案为：． （3）由题意得， 设所在直线表达式为：； 则 解得 ∴所在直线表达式为：； 又由题意得：与关于对称； 关于对称且所在直线与、共有2个交点 当且仅当与、各有一个交点，且两交点关于对称时成立； 联立 整理得：； ∵所在直线与仅有1个交点 有两个相等的根， 即 解得： ∵图象经过第一象限； 所在直线表达式为：； 代入得： 整理得： 与之间的函数表达式： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $