2.6.2 函数的极值-【成才之路·练案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步新课程学习指导(北师大版)

练案[19] 第二章 导数及其应用 §6[6.2函数的极值] b组·基础自测 A.f(x)在(1，+∞)单调递增 一、选择题 B.xf(x)在(1，+∞)单调递减 1.已知函数y=f(x)在定义域内可导，则函数 Cx)在(0，+∞)上有极大值) y=(x)在某点处的导数值为0是函数 y=f(x)在这点处取得极值的 D.x)在(0，+∞)上有极小值) A.充分不必要条件 二、填空题 B.必要不充分条件 C.充要条件 6.函数x)=xe--x的极小值为 D.非充分非必要条件 7已知函数f(x)=3-++1有极值， 2.函数f(x)=x+2casx在[0，引上的极大值 则c的取值范围为 点为 )8.若x=1是函数f(x)=x+的一个极值点， A石+5 B君 则实数a= c D.1+3 三、解答题 : 9.设函数f(x)=(x2+3x+1)e. 3.设函数f(x)在R上可导，其导函数为f'(x), (1)求函数f(x)的单调区间； 且函数f(x)在x=-2处取得极小值，则函数 (2)求函数f(x)的极值 y=x·∫'(x)的图象可能是 4.已知函数f(x)=x(x-c)2,在x=2处取得极 大值，则实数c的值是 A号 B.2 C.2或6D.6 5.（多选)设f'(x)为函数f(x)的导函数，已知 ∫"(x)+x)=nx(1)=),则下列结论 正确的是 —138 10.已知函数f(x)=x-1+a 5.已知函数f(x)=x(lnx-ax)有两个极值点， ! 则实数a的取值范围是 (1)若函数f八x)在点(1，f(1))处的切线平行 三、解答题 于x轴，求a的值； 6.已知函数f(x)=xnx.若函数g(x)=∫'(x)+ (2)求函数f(x)的极值. ax2-(a+2)x(a>0),试研究函数g(x)的极 值情况. 乃组·能力提升 一、选择题 1.已知函数f(x)=2lnx+ax在x=1处取得极 值，则实数a= A.-2 B.2 C.0 D.1 2.已知函数f(x)=x3-px2-qx的图象与x轴切 于点(1,0)，则f(x)的极值为 组·创新拓展 A极大值为号，极小值为0 (2024·全国甲卷理)已知函数f(x)=（1- ax)In(1+x)-x. B.极大值为0，极小值为号 (1)当a=-2时，求f(x)的极值； (2)当x≥0时，f(x)≥0，求a的取值范围 C极小值为-多极大值为0 D.极大值为-号，极小值为0 ,; 3.（多选)设函数f(x)=2x3-3ax2+1,则 A.当a>1时，f(x)有三个零点 B.当a<0时，x=0是f(x)的极大值点 C.存在a,b,使得x=b为曲线y=f(x)的对 称轴 D.存在a,使得点(1，f八1))为曲线y=f(x)的 对称中心 二、填空题 4.若函数f(x）=x3+ax2+bx+a2在x=1处取 得极值10，则a=,b= —139·当k>0时x)的单调递减区间为(0，)： 单调递培区间为（大，+ 综上所述，当k≤0时，f(x)的单调递减区间为(0，+∞)，无 单调递增区间； 当k>0时，(x)的单调递减区间为0，），单调递增区间 为（片+如} B组·能力提升 1 1.D根据题意知，f'(x)=ar2+2x+a,若函数fx)=3ax+ x2+ax+1有三个不同的单调区间，则f'(x)=ax2+2x+a=0 有两个不相等的实根，△=4-4a2>0,且a≠0， 解得-1<a<1,且a≠0. 故实数a的取值范围是(-1,0)U(0,1). 2.B由题意可得，f'(x)=sinx+a≥0恒成立，枚a≥-sinx恒 成立.因为-1≤-sinx≤1，所以a≥1.故选B. 3D格迹函数)品则 g'(x)=t'()sinxx)cos sin'x 由已知可得，当x∈(0，受）时f"(x)simx-f)csx>0, 所以g'(x)>0,g(x)为增函数， 所引 所以石）<)} 4（-”,-1)U(0,1)由xf'(x)<0,可得>0： 或 Lf'(x)<0 )>0.由题图可知当-1<x<1时，(x)单调递减。 「x<0, f'(x)<0,当x<-1或x>1时，f(x)单调递增f'(x)>0,则 「x>0, ,或∫x<0, 解得0<x<1或x<-1, -1<x<1lx<-1或x>1, xf'(x)<0的解集为(-0，-1)U(0,1). 5[-1,1]f'(x)=x-3)(x+2 e 令f'(x)<0,解得：-1<x<3, 故fx)在(-1,3)上递减，故(m,m+2)C(-1,3), 故m≥-1 解得：-1≤m≤1，故答案为[-1,1]. m+2≤3 6.(1)因为f代x)=x-xem+h,xeR, 所以f'(x)=1-(3x2+ax3)e+6 因为f(x)在(1，f(1)处的切线方程为y=-x+1, 所以f(1)=-1+1=0.f'(1)=-1, 则-1Pxe=0, l1-(3+a)e+b=-1, 所以a=-1,b=1. -20 (2)由(1)得g(x)=f'(x)=1-(3x2-x2)e+(xeR), 则g'(x)=-x(x2-6x+6)e+1, 令x2-6x+6=0,解得x=3±5，不妨设：1=3-√5，x2=3+ 5,则0<x1<x2, 易知e1>0恒成立， 所以令g'(x)<0,解得0<x<x1或x>x2 令g'(x)>0,解得x<0或<x<x2 所以g(x)在(0，x1),(x2,+0)上单调递减，在(-0,0)， (x1,2)上单调递增， 即g(x)的单调递减区间为(0,3-√3)和(3+5，+)，单调递增 区间为(-0,0)和(3-5,3+5). C组·创新拓展 （-,-2)U(0,2)当x>0时，]='x)山 x <0, (x)=在(0，+0)上为减函数， 又f2)=0,即p(2)=0, ∴.在(0，+0)上，当且仅当0<x<2时，p(x)>0, 此时xf(x)>0.又f(x)为奇函数，.h(x)=x2f(x)也为奇 函数， 由数形结合知x∈（-∞，-2)时f代x)>0. 故xf(x)>0的解集为(-∞，-2)U(0,2). 练案[19] A组·基础自测 1.B根据导数的性质可知，若函数y=f(x)在这点处取得极 值，则f'(x)=0,即必要性成立；反之不一定成立，如函数f(x) =x3在R上是增函数，f'(x)=3x2,则f'(0)=0,但在x=0处 函数不是极值，即充分性不成立， 故函数y=f(x)在某点处的导数值为0是函数y=f(x)在这 点处取得极值的必要不充分条件，故选B. 2.Bf'(x)=1-2sinx令f'(x)=0, 因为xe[0,引，所以x=石，当xe(石，受)时 f'(x)<0,当xe(0,石)时f'()>0 所以石是x)在[0，受]上的极大值点 3.C:函数f(x)在R上可导，其导函数为f'(x),且函数f(x) 在x=-2处取得极小值， 当x>-2时，f'(x)>0;当x=-2时，f'(x)=0;当x<-2 时，f'(x)<0. 当x>0时，f'(x)>0;当-2<x<0时，f'(x)<0;当x= -2或0时，对'(x)=0;当x<-2时，对'(x)>0.因此y= f'(x)的图象应为选项C. 4.D函数fx)=x(x-c)2的导数为f'(x)=(x-c)2+2x(x- c)=(x-c)(3x-c), 由f(x)在x=2处有极大值，即有f'(2)=0,即(c-2)(c-6) =0, 解得c=2或6，若c=2时'()=0，可得x=2或号， 由代x)在x=2处导数左负右正，取得极小值， 若c=6,f'(x)=0,可得x=6或2， 由(x)在x=2处导数左正右负，取得极大值 综上可得c=6. 5.AD由x2f'(x)+f(x)=lnx得x>0,则xf'(x)+f(x)= ,即[)]'=设g)=9,由g()=>0 得x>1,由g'(x)<0得0<x<1,即g(x)=(x)在(1，+0) 单调递增，在(0,1)单调递减，即当x=1时，函数g(x)= x)取得极小值g)=1)=7,放透AD 6.0f'(x)=e+xe-x-1=(x+1)(e-1),当x>0或x< -1时，f'(x)>0,当-1<x<0时，f'(x)<0,所以函数f(x) 在(0，+∞)和(-∞，-1)上单调递增，在(-1,0)上单调递 减，所以函数)=心-分-x的极小值为0)=0， 7(-0,4)f"()=2-+e且有极值， f'(x)=0有不等的实数根， 即4=1-4c>0,解得c<4 83函数x)=+兰， f'(x)=3x2-g, x2 ·x=1是函数f(x)的一个极值点， ∴f'(1)=0,即3-a=0,a=3.故答案为3. 9.(1).f'(x)=(2x+3)e+(x+3x+1)· e=(x2+5x+4)e=(x+1)(x+4)e, .当xe(-∞，-4)U(-1,+∞)时f'(x)>0; 当x∈(-4，-1)时，f'(x)<0,∴f(x)的单调递增区间为 （-∞，-4)和(-1，+0)，单调递减区间为(-4，-1). (2)由(1)可知f(x)在x=-4处取得极大值，在x=-1处取 得极小值，fx)的极大值为孔-4)=5e=子，极小值为 f-1)=-e'=-1 e 10.(四由)=x-1+是得f()=1-名 er, 由函数f(x)在点(1,1)处的切线平行于x轴，得f'(1)= 1-a=0,解得a=e e (2)f'(x)=1-a e ①当a≤0时，f'(x)>0,f(x)在R上单调递增f(x)无极值； ②当a>0时，令f'(x)=0,解得x=lna, 所以x∈(-o,lna)时，f'(x)<0,xe(na,+o)时，f'(x) >0, 所以函数f代x)在(-o,lna)上单调递减， 在(na,+o)上单调递增. 所以f(x)在x=lna处取得极小值， 2 且极小值为flna)=lna,无极大值， 综上，当a≤0时，函数f代x)无极值； 当a>0时，f代x)在x=lna处取得极小值na,无极大值. B组·能力提升 1.Af'(x)=2+a,若fx)在x=1处取得极值，则f'(1)=2 +a=0,解得a=-2. 放f)=2nx-2xf'(x)=子-2，f"(x)>0,解得0<x< 1,令f'(x)<0,解得x>1,故f(x)在(0,1)上单调递增，在(1， +∞)上单调递减，x=1是极大值点，符合题意.故选A. 2.Af'(x）=3x2-2x-9, 曲"(1)=0 得P2, f1)=0,q=-1. ∴f'(x)=3x2-4x+1. 1 令f'(x)=0得x=3或x=1, 易得x=方时，代)有极大值号=1时x)有极小值0 3.AD由f(x)=2x2-3a2+1,得f'(x)=6x(x-a). 当a>1时，f(x)在(0，a)上单调递减，在 (-o,0)和(a,+∞)上单调递增； f(x)的极大值f(0)=1>0,f(x)的极小值 f代a)=1-a3<0,所以f(x)有三个零点，故A正确； 当a<0时，f(x)在（a,0)上单调递减，在 (-∞，a)和(0，+∞)上单调递增，x=0是极小值点，故B 错误； 任何三次函数不存在对称轴，故C错误； 当a=2时，fx)=2x3-6x2+1=2(x-1)3-6(x-1)-3,关 于点(1，-3)中心对称，故D正确.故选AD. 4.4-11f'(x)=3x2+2ax+b, 依题意得{ 1)=10即a2+a+b=9, f'(1)=0,l2a+b=-3, 解得=4，或a=-3, 1b=-111b=3. 但由于当a=-3,b=3时，f'(x)=3x2-6x+3=3(x-1)2≥ 0,故f(x)在R上单调递增，不可能在x=1处取得极值，所以 [=-3不符合题意，应舍去 b=3 而当=4，时，经检验知符合题意，放4，的值分别为4， 1b=-11 -11. 5(0,）由题知，x>0f()=nx+1-2,由于函数) 有两个极值点，则f'(x)=0有两个不等的正根，即函数y= lnx+1与y=2ax的图象有两个不同的交点(x>0),则a>0: 设函数y=lnx+1上任一点(xo,1+lnx)处的切线为l,则k, =y=上，当1过坐标原点时，上-1+血，=1，令2a=1 0=号0<a<分 6.因为f代x)=xnx,x>0, 所以f'(x)=1+nx, 所以g(x)=f'(x)+a2-(a+2)x=1+lnx+ax2-(a+ 2)x, 所以g(x)=】+2ax-(a+2) 2a-(a+2)x+1-(ax-1)(2x-1 x 令g()=0,解得=。或=分 ①当。>7，即0<a<2时 若g()>0,解得0<x<2或x>,函数g(x)单调递增，若 g()<0,解得7<<。函数8单调递减 所议a=）-1+h+a-(a+2) a -ln a-1 g)=分）=1+n之 4-(a+2)× -=-ln2 ②当<分即a>2时， 若g()>0,解得0<x<。或>分，函数g()单调递增，若 g()<0,解得。<x<分函数g)单调递减 所以()=日）-ha- a g()a=g分）-h2-子 ③当日=，即a=2时，g(x)≥0恒成立，gx)在(0，+) 上单调递增， 所以函数无极值， C组·创新拓展 (1)当a=-2时，fx)=(1+2x)ln(1+x)-x, 故（到=2h1++是-1-21+0-++1. 1+x 因为=21+，y=十+1在(-山+)上为增 函数， 故f'(x)在(-1，+∞)上为增函数，而f'(0)=0, 故当-1<x<0时，f'(x)<0,当x>0时，f'(x)>0, 故f代x)在x=0处取极小值且极小值为f(0)=0,无极大值， (2f"(x)=-an(1+x)++a二1=ah(1+x) (a+1)x,x>0, 1+x 设)=-n1+)-9x>0, -20 则()=-+动 -a+=-a(x+)+a+1= (1+x)2 ax +2a +1 (1+x)2, 百a≤)时，/(x)>0,故s(x)在(0，+∞)上为增函数 故s(x)>s(0)=0,即f'(x)>0, 所以f(x)在[0，+∞)上为增函数，故fx)≥f(0)=0. 当-分<a<0时，当0<<-20。时'()<0， a 放()0,2上为减晒数放在(02。）上( <s(0), 即在(0，-2a+）上甘'(x)<0即x)为减函数， a 故在(0，-2+）上)<f0)=0,不合题意，舍 a 当a≥0，此时s'(x)<0在(0，+o)上恒成立， 同理可得在(0，+∞)上fx)<f(0)=0恒成立，不合题意， 舍综上，as 练案[20] A组·基础自测 1.Ay'=6x2-6x-12,由y'=0=x=-1或x=2(舍去).x= -2时y=1:x=-1时y=12:x=1时y=-8. ym=12,ymin=-8.故选A. 2ABD因为)=2+分-款eR, 所以f'(x)=3x2+x-4, 令f'(x)=3x2+x-4=0,即(3x+4)(x-1)=0,解得x1= 1 所以当xe(-,-号)e(1,+)时"()>0，当e (-号时"()<0， 所以x)的单调递增区间为(-0，-号)和(1，+×)，单调 递减区间为(-号，)，则)有两个极值点，B正确：且当x=1 时，f代x)取得极小值，A正确： 所以极小值为)=-弓，C错误： 又f0)=0,f(2)=2,所以f(x)在[0,2]上的最大值为2，D 正确. 3.By'=e-x·e"=e*(1-x),令y'=0, 六10)=04)=号)=e e, f代1)为最大值.故选B. 4.C依题可知()=ae-士≥0在(1,2)上恒成立，显然 a>0,所以xe≥1， a 设g(x)=xe,xe(1,2),所以g'(x)=(x+1)e*>0,