2.6.1 函数的单调性-【成才之路·练案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步新课程学习指导(北师大版)

练案[18] 第二章 导数及其应用 §6[6.1函数的单调性] b组·基础自测 三、解答题 9.求下列函数的单调 一、选择题 (1)fx)=3x2-2ln 1.下列函数中，在(0，+0)内为增函数的是 (2)f(x)=x2·e A.y=sin x B.y=xe2 C.y=x-x D.y=In x-x 2.若函数h(x)=2x-在(1，+0)上是增函 数，则实数k的取值范围是 A.[-2,+∞) B.[2,+0) C.（-∞，-2] D.(-0,2] 3.设f(x)在定义域内可导，其图象如图所示，则 导函数f'(x)的图象可能是 10.讨论函数f(x)=kx 4.已知函数f(x)=-lnx,则有 A.f(2)<f(e)<f(3)B.f(e)<f(2)<f(3) C.f(3)<f(e)<f(2)D.f(e)<f(3)<f(2) 5.(多选)若函数ef(x)(e=2.71828…是自 然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增， 则称函数f(x)具有M性质，下列函数中具有 M性质的是 A.f(x)=2- B.f(x)=x2+2 C.f(x)=3 D.f(x)=cos x 二、填空题 6.函数y=x-x2-x的单调增区间为 7.函数f(x)=x+2cosx(0≤x≤2m)的单调递减 区间为 8.若函数f(x)=e-ax-1在区间(-2,3)上为 减函数，则a的取值范围为 —136 间： -lnx的单调区间. 乃组·能力提升 三、解答题 一、选择题 6.(2023·北京卷)设函数f(x)=x-x3em+,曲 线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y= 1.已知定义在R上的函数f(x)=3ax+x+ -x+1. ax+1有三个不同的单调区间，则实数a的取 (1)求a,b的值； 值范围是 (2)设函数g(x)=f'(x),求g(x)的单调 A.(-∞，-1)U(1,+0) 区间. B.[-1,0)U(0,1] C.(-1,1) D.(-1,0)U(0,1) 2.若函数f(x)=-cosx+ax为增函数，则实数a 的取值范围为 A.[-1,+∞) B.[1,+∞) C.(-1,+0) D.(1,+o) 3.已知定义在0，)上的函数f(x)f'(x)是它 的导函数，且恒有f(x)<f'(x)tanx成立，则 ( A)>) B.1)<2）sin1 c）>) D.< 二、填空题 4.在R上可导的函数f(x)的图象如图所示，则 关于x的不等式xf'(x)<0的解集为 组·创新拓展 设f八x)是定义在R上的奇函数，f(2)=0,当x>0 5.已知函数人x)=3-心在区间(m,m+2)上单 时，有'(x）<0恒成立，则不等式x) 调递减，则实数m的取值范围为 >0的解集是 137令x=g可得f'(g）=f'(9）×3cos号-3sim3 =f（(母）-3x解得（号）=3 5.2y'=er·(ax）'=ae“ ∴.曲线y=e"在点(0，I)处的切线的斜率k=a,由题意得a× (-)-1…a=2 6.y'=(e"cos 3x)'=(e")'cos 3x+e2 cos 3x)' =2e"cos 3x+e2 (-3sin 3x)=e (2cos 3x-3sin 3x), 得y1x=0=2,则切线方程为y-1=2(x-0),即2x-y+1=0. 若直线I与切线平行，可设直线I的方程为2x-y+c=0, 两平行线间的距离d=1c=5,得c=6或c=-4 5 故直线1的方程为2x-y+6=0或2x-y-4=0. C组·创新拓展 2由题可得 (e*+e-2)' =lin (1-cos x) n - =2 练案[18] A组·基础自测 1.B对于B,y=xe2,则y=e2,.y=xe2在R上为增函数，在 (0,+0)上也为增函数，选B. 2A根据条件得'()=2+仁=2士≥0在(1，+∞)上恒 x 成立，即k≥-2x2在(1，+∞)上恒成立，所以k∈[-2， +0). 3.B由f(x)的图象可得，在y轴的左侧，图象下降，代x)递减， 即有导数小于0，可排除C,D; 再由y轴的右侧，图象先下降再上升，最后下降， 函数(x)递减，再递增，后递减， 即有导数先小于0，再大于0，最后小于0， 可排除A;则B正确。 故选B. 4.C因为在区间(0,4)上，f'(x)= 11 <0,所以f(x)在 (0,4)上是减函数， 所以有f(2)>f代e)>f(3) 5.AB设g(x)=e·fx), g()=·2(兮)广在定义域R上是增函数，故A正确： g(x)=(x+2)e*,g'(x)=(x2+2x+2)e*=[(x+1)2+1]e >0,所以g(x)在定义域R上是增函数，故B正确； g(x)=。·3=(兮）在定义域R上是减函数，C不正确； g(x)=e·cosx,则g'(x)=2eco(x+4）,g'(x)>0在定 义域R上不恒成立，D不正确. 6(-0,写）1，+0）由y=--,f'()=3 2x-1=3(x+3）(x-1) 19 令f'()>0,解得x>1或<-行 函数fx)的单调递增区间是(-0，-了)，（山，+0. .( 函数y=x+2cosx,y'=1-2simx<0, sin 1 又xe[0,2m], ()故答案为} 8.[e3,+∞)由题意知，f'(x)=e-a≤0在(-2,3)上恒 成立. a≥e*在xe（-2,3)上恒成立 -2<x<3,.e2<e<e3,只需a≥e 当a=e3时f'(x)=e*-e3在xe(-2,3)上f'(x)<0, 即f(x)在(-2,3)上为减函数， ∴.a≥e3. 9.(1)函数的定义域为D=(0,+∞). f'(x)=6x- 2,'(x)=0,得=5 -(舍去. 3 用x1分割定义域D,得下表： 3 3+如 f'(x) 0 + f(x) 函数()的单潤递减区间为0， ,单调递增区间 为停+小 (2)函数的定义域为D=(-∞，+0). f'(x)=(x2)'e*+x2(e*)'=2xe-x2e* =e(2x-x2), 令f'(x)=0,由于e*>0,x1=0,x2=2. 用x,2分割定义域D,得下表： (-0,0) 0 (0.2) 2 (2,+0) f'(x) 0 × 0 f(x) ..f(x)的单调递减区间为(-∞，0)和(2，+∞)，单调递增区 间为(0,2) 10.函数f(x)=x-lnx的定义域为(0，+0)， f'(x)=k-L=x-1 当k≤0时，kx-1<0,∴.f'(x)<0, 则f(x)在(0，+∞)上单调递减. 当k>0时，'(x)<0,即-1<0， 解得0<x<右 '()>0即>0，解得> ·当k>0时x)的单调递减区间为(0，)： 单调递培区间为（大，+ 综上所述，当k≤0时，f(x)的单调递减区间为(0，+∞)，无 单调递增区间； 当k>0时，(x)的单调递减区间为0，），单调递增区间 为（片+如} B组·能力提升 1 1.D根据题意知，f'(x)=ar2+2x+a,若函数fx)=3ax+ x2+ax+1有三个不同的单调区间，则f'(x)=ax2+2x+a=0 有两个不相等的实根，△=4-4a2>0,且a≠0， 解得-1<a<1,且a≠0. 故实数a的取值范围是(-1,0)U(0,1). 2.B由题意可得，f'(x)=sinx+a≥0恒成立，枚a≥-sinx恒 成立.因为-1≤-sinx≤1，所以a≥1.故选B. 3D格迹函数)品则 g'(x)=t'()sinxx)cos sin'x 由已知可得，当x∈(0，受）时f"(x)simx-f)csx>0, 所以g'(x)>0,g(x)为增函数， 所引 所以石）<)} 4（-”,-1)U(0,1)由xf'(x)<0,可得>0： 或 Lf'(x)<0 )>0.由题图可知当-1<x<1时，(x)单调递减。 「x<0, f'(x)<0,当x<-1或x>1时，f(x)单调递增f'(x)>0,则 「x>0, ,或∫x<0, 解得0<x<1或x<-1, -1<x<1lx<-1或x>1, xf'(x)<0的解集为(-0，-1)U(0,1). 5[-1,1]f'(x)=x-3)(x+2 e 令f'(x)<0,解得：-1<x<3, 故fx)在(-1,3)上递减，故(m,m+2)C(-1,3), 故m≥-1 解得：-1≤m≤1，故答案为[-1,1]. m+2≤3 6.(1)因为f代x)=x-xem+h,xeR, 所以f'(x)=1-(3x2+ax3)e+6 因为f(x)在(1，f(1)处的切线方程为y=-x+1, 所以f(1)=-1+1=0.f'(1)=-1, 则-1Pxe=0, l1-(3+a)e+b=-1, 所以a=-1,b=1. -20 (2)由(1)得g(x)=f'(x)=1-(3x2-x2)e+(xeR), 则g'(x)=-x(x2-6x+6)e+1, 令x2-6x+6=0,解得x=3±5，不妨设：1=3-√5，x2=3+ 5,则0<x1<x2, 易知e1>0恒成立， 所以令g'(x)<0,解得0<x<x1或x>x2 令g'(x)>0,解得x<0或<x<x2 所以g(x)在(0，x1),(x2,+0)上单调递减，在(-0,0)， (x1,2)上单调递增， 即g(x)的单调递减区间为(0,3-√3)和(3+5，+)，单调递增 区间为(-0,0)和(3-5,3+5). C组·创新拓展 （-,-2)U(0,2)当x>0时，]='x)山 x <0, (x)=在(0，+0)上为减函数， 又f2)=0,即p(2)=0, ∴.在(0，+0)上，当且仅当0<x<2时，p(x)>0, 此时xf(x)>0.又f(x)为奇函数，.h(x)=x2f(x)也为奇 函数， 由数形结合知x∈（-∞，-2)时f代x)>0. 故xf(x)>0的解集为(-∞，-2)U(0,2). 练案[19] A组·基础自测 1.B根据导数的性质可知，若函数y=f(x)在这点处取得极 值，则f'(x)=0,即必要性成立；反之不一定成立，如函数f(x) =x3在R上是增函数，f'(x)=3x2,则f'(0)=0,但在x=0处 函数不是极值，即充分性不成立， 故函数y=f(x)在某点处的导数值为0是函数y=f(x)在这 点处取得极值的必要不充分条件，故选B. 2.Bf'(x)=1-2sinx令f'(x)=0, 因为xe[0,引，所以x=石，当xe(石，受)时 f'(x)<0,当xe(0,石)时f'()>0 所以石是x)在[0，受]上的极大值点 3.C:函数f(x)在R上可导，其导函数为f'(x),且函数f(x) 在x=-2处取得极小值， 当x>-2时，f'(x)>0;当x=-2时，f'(x)=0;当x<-2 时，f'(x)<0. 当x>0时，f'(x)>0;当-2<x<0时，f'(x)<0;当x= -2或0时，对'(x)=0;当x<-2时，对'(x)>0.因此y= f'(x)的图象应为选项C. 4.D函数fx)=x(x-c)2的导数为f'(x)=(x-c)2+2x(x- c)=(x-c)(3x-c), 由f(x)在x=2处有极大值，即有f'(2)=0,即(c-2)(c-6) =0,