2.5 简单复合函数的求导法则-【成才之路·练案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步新课程学习指导(北师大版)

练案[17] 第二章导数及其应用 §5简单复合函数的求导法则 名组·基础自测 1 (2)y=- 一、选择题 (3)y=sin 2x-cos 2x; 1.下列函数不是复合函数的是 (4)y=c0sx2. A.y=-x2-L+1 B.y=cos+4 C.y=Inx 1 D.y=(2x+3)4 2.设f(x)=log(x-1),则f'(2)= A.In 3 B.-In 3 c 业店 3.函数f(x)=x(1-ax)2(a>0),且f'(2)=5, 则a= ( 10.已知a>0,f(x）=ax2-2x+1+ln(x+1),l A.1 B.-1 C.2 D.-2 是曲线y=f(x)在点P(0,f(0))处的切线，求 切线1的方程. 4.曲线y=c0(2x+)在x=石处切线的斜率为 ( A.2 B.-2 c D.- 1 2 5.（多选)下列结论中不正确的是 A.若y=cos1,则y'=-1sin B.若y=sinx2,则y'=2 xcos x C.若y=cos5x,则y'=-sin5x 分组·能力提升 D.若y=2sin2x,则y=xsin2x 一、选择题 二、填空题 1.已知某函数的导数为y2(x-),则这个函 6.曲线y=2ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程 为 数可能是 1 7.若函数f(x)=em+n(x+1),f'(0)=4,则a= A.y=In 1-x B.y=In- 1-x 8.已知直线y=x+1与曲线y=ln(x+a)相切， C.y=In(1-x) D.y=In-1 1x-1 则a的值为 2已知x)=则财'分 () 三、解答题 √/2x 9.求下列函数的导数： A.-2-ln2 B.-2+ln2 (1)y=(1+2x2)8; C.2-In2 D.2 +In 2 134 3.设f(x)=ln√x+1,则f'(2)= 组·创新拓展 青 B.5 c号 D.3 我们把分子，分母同时趋近于0的分式结构称 二、填空题 为8型，比如：当0时，的极限即为日 4.已知函数f(x)的导函数f'(x),若f(x)= 型，两个无穷小之比的极限可能存在，也可能 f'g）·sin3x+cs3x,'g)= 不存在.早在1696年，洛必达在他的著作《无 限小分析》一书中创造一种算法（洛必达法 5.设曲线y=e在点(0,1)处的切线与直线x+ 则)，用以寻找满足一定条件的两函数之商的 2y+1=0垂直，则a= 极限，法则的大意为：在一定条件下通过对分 三、解答题 子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的 6.曲线y=e2cos3x在点(0,1)处的切线与直线 方法 1平行，且与l的距离为√5，求直线l的方程. 如：lim sin=lim sin)'=lim cos=l,则 x 1 e*+e-*-2 lin 1-cos x 135得6=2所W'(3)=子 所以直线1的方程为y=-子 y=-4得2++a=0 1 由 Ly=x2+a, 由题意得4=6-4a=0,所以a 64 综上得a=1或a= 6 f'(x)=f'(-2)e-2x f'(-2)=f'(-2)·e2-2·(-2); 解得f(-2)=。- 4e2 7.0因为f'(x)=simx+xcos x-sinx=xcos, 所以W(）=0 &2因为=(2}=（分m-打2 所以当=时，= =2 9.(1)y'=x'·e+x·(e)'=e+xe=(1+x)e. 2y-() =（2x)'(x2+1)-2x(2+1) (x2+1)2 2(+1)-4-2-2x (x2+1)2 (x2+1)2 3y=(n-(品 =sin x+xcosx2sin cosx 10因为)=兰，所以c)=号 又因为f'()=e·t=e-c(x-) x 所以'(c)=e(c-1) c 依题意知f(c)+f'(c)=0, 所以g+e(c:卫=0. c2 所以2c-1=0,得c=2 B组·能力提升 1.A函数x)=子+0心， f'()=交-imxf'(-x)=2-sim(-)=-f'(x) 所以f'(x)为奇函数，排除B、D, 当=合时（石）晋分<0排除C,放选A 2C设曲线)=年在点(1，号)处的切线方程为)-号=4 -1), 因为y= 所以y=e(x+1)-e xe (x+1)2 (x+1)2, 所以=y1=子 所以y-受=(x-1), 所以线于千在点个号)处的切线方程为y=子+号 故选C. 3.D在等比数列{an}中，a1=2,a4=8,所以a1a4=a2a3=16. 函数f(x)展开式是一个关于x的多项式，x的幂指数最高为 5,x的幂指数最低为1，且含x的系数为a1a2a3a4, 故f'(0)=aa2a3a4=(a1·a4）2=l62=2 4.x-y-1=0f1)=0, f'(x)=(xln x)'=x'In x+x(In x)' =Inx +1. ·切线的斜率k=f'(1)=1, .切线方程为y=x-1,即x-y-1=0. 5.01由题意得f'(x)=x2-ax+b, 由切点P00)既在函数x)=号：-分2+b+e上又 在切线y=1上，得/'(0)=0， f0)=1, r02-a·0+b=0, 四专x0-号0+6.0+6= 解得b=0,c=1. 6.设fx)=ar2+bx+c(a≠0)， 则f'(x)=2a+b. 所以x2f'(x)-(2x-1)fx)=x2(2ax+b)-(2x-1)·(a2 +bx+c) =(a-b)x2+(b-2c)x+c=1, ra-b=0, ra=2, 所以b-2c=0,解得b=2, Lc=1, Lc=1, 所以fx)=2x2+2x+1. C组·创新拓展 0/"()=1+是，g()=-,所以曲线y=)在x=1 2 处的切线的斜率为f'(1)=3,曲线y=g(x)在x=1处的切线 的斜率为g'(1)=-a, 由已知，得f'(1)=g'(1),得a=-3 （2)由题意，得1+是-(>0. 则a=-x- 2≤-2万，当且仅当x=2时，等号成立，故实数 a的取值范围为(-∞，-22]. 练案[17] A组·基础自测 (x1.AA中的函数是一个多项式函数，B中的函数可看作函数山 197 =x+开，y=msu的复合函数，C中的函数可看作函数u=h y=的复合函数，D中的函数可看作函数u=2x+3,y 的复合函数，故选A 2.cf'(w)=e-n3x-1)'=(x-1n3 f'(2)=1n3 1 3.Af'(x)=(1-ax)2-2ax(1-ax), f'(2)=12a2-8a+1=5,a>0,解得a=1. 4By=-n(2+）(2x+君) =-2sin2x+若） 在x=君处切线的斜率k=-2m(2×晋+若）=-2 5AD对于A7女则y=宁如二成错误： 对于B,y=sinx2,则y'=2 COs2,故正确； 对于C,y=cos5x,则y'=-5sin5x,故错误： 对于D,y=2xsin2x,则y=2sin2x+xcos2x,故错误 6y=2xy=名k=0品=2，所以切线方程为y-0 2 2(x-0),y=2x 7.3由f(x)=e“m+n(x+l), ()=ae+中 f'(0)=4,f'(0)=a+1=4, .a=3. 8.2设切点为(xoo),则o=xo+1,且o=ln(+a), 所以x+1=ln(x+a).① 对y=ln(x+a)求导得y=1,则1=1， x+a xo +a 即x+a=1.② ②代人①可得x=-1, 所以a=2. 9.(1)设y=w8,u=1+2x2, .y=(w)'(1+2x2)'=8u.4x =8(1+2x2)7·4x=32x(1+2x2)7. (2)设y=u7,u=1-x2, 则y.=(u)'(1-x2) =(-)(-2)=1-)含 (3)y,'=(sin 2x-cos 2x)' =(sin 2x)'-(cos 2x)' =2cos2x+2sin2x=22sin2x+年） (4)设y=cosu,u=x2, 则y.=(cosu)'·(x2) =(-sinu)·2x=(-sinx2)·2x =-2xsin a2. 10.fx)=ax2-2x+1+ln(x+1)f0)=1. f到=2s-2+ -2a+(2a-2)x-1 x+1 .f'(0)=-1, .切点P的坐标为(0,1)，l的斜率为-1， 切线l的方程为x+y-1=0. B组·能力提升 1.A函数y=n√1-x可以看作y=lnu,u=和v=1-x的复 合函数， =w=(w)((1-x0y=女 (3)(-) =-I 后‘2不后（-12-2-A符合： 1 -1 1 y=ln=-n个-x, 1-x y2六B不特合： y=ln(1-x)可以看作y=nu和u=1-x的复合函数， y.=y.=(h)y01-y=(-1=C不特合： u y=h占-n-y=D不符合 2.D方法一：依题意有f'(x)= ·万-2…分(2)nx 2x 12x-(2x)÷hx -_ 2x 故'(）2n2-2+h2 方法三)）是=号·hf”()= 2x2 x 1 :,1-2,2x2-2×2×n2=2+n2 3.Cf'(x)= 1 三·(+I)” 2+ 1 ·(x2+1) 2+12+1 2x 2(2+1)2+ f(2)=号 4.35:)=f'(gin3x+os3x, f'(x)=f'(号）：3eos3x-3ain3x, 198 令x=g可得f'(g）=f'(9）×3cos号-3sim3 =f（(母）-3x解得（号）=3 5.2y'=er·(ax）'=ae“ ∴.曲线y=e"在点(0，I)处的切线的斜率k=a,由题意得a× (-)-1…a=2 6.y'=(e"cos 3x)'=(e")'cos 3x+e2 cos 3x)' =2e"cos 3x+e2 (-3sin 3x)=e (2cos 3x-3sin 3x), 得y1x=0=2,则切线方程为y-1=2(x-0),即2x-y+1=0. 若直线I与切线平行，可设直线I的方程为2x-y+c=0, 两平行线间的距离d=1c=5,得c=6或c=-4 5 故直线1的方程为2x-y+6=0或2x-y-4=0. C组·创新拓展 2由题可得 (e*+e-2)' =lin (1-cos x) n - =2 练案[18] A组·基础自测 1.B对于B,y=xe2,则y=e2,.y=xe2在R上为增函数，在 (0,+0)上也为增函数，选B. 2A根据条件得'()=2+仁=2士≥0在(1，+∞)上恒 x 成立，即k≥-2x2在(1，+∞)上恒成立，所以k∈[-2， +0). 3.B由f(x)的图象可得，在y轴的左侧，图象下降，代x)递减， 即有导数小于0，可排除C,D; 再由y轴的右侧，图象先下降再上升，最后下降， 函数(x)递减，再递增，后递减， 即有导数先小于0，再大于0，最后小于0， 可排除A;则B正确。 故选B. 4.C因为在区间(0,4)上，f'(x)= 11 <0,所以f(x)在 (0,4)上是减函数， 所以有f(2)>f代e)>f(3) 5.AB设g(x)=e·fx), g()=·2(兮)广在定义域R上是增函数，故A正确： g(x)=(x+2)e*,g'(x)=(x2+2x+2)e*=[(x+1)2+1]e >0,所以g(x)在定义域R上是增函数，故B正确； g(x)=。·3=(兮）在定义域R上是减函数，C不正确； g(x)=e·cosx,则g'(x)=2eco(x+4）,g'(x)>0在定 义域R上不恒成立，D不正确. 6(-0,写）1，+0）由y=--,f'()=3 2x-1=3(x+3）(x-1) 19 令f'()>0,解得x>1或<-行 函数fx)的单调递增区间是(-0，-了)，（山，+0. .( 函数y=x+2cosx,y'=1-2simx<0, sin 1 又xe[0,2m], ()故答案为} 8.[e3,+∞)由题意知，f'(x)=e-a≤0在(-2,3)上恒 成立. a≥e*在xe（-2,3)上恒成立 -2<x<3,.e2<e<e3,只需a≥e 当a=e3时f'(x)=e*-e3在xe(-2,3)上f'(x)<0, 即f(x)在(-2,3)上为减函数， ∴.a≥e3. 9.(1)函数的定义域为D=(0,+∞). f'(x)=6x- 2,'(x)=0,得=5 -(舍去. 3 用x1分割定义域D,得下表： 3 3+如 f'(x) 0 + f(x) 函数()的单潤递减区间为0， ,单调递增区间 为停+小 (2)函数的定义域为D=(-∞，+0). f'(x)=(x2)'e*+x2(e*)'=2xe-x2e* =e(2x-x2), 令f'(x)=0,由于e*>0,x1=0,x2=2. 用x,2分割定义域D,得下表： (-0,0) 0 (0.2) 2 (2,+0) f'(x) 0 × 0 f(x) ..f(x)的单调递减区间为(-∞，0)和(2，+∞)，单调递增区 间为(0,2) 10.函数f(x)=x-lnx的定义域为(0，+0)， f'(x)=k-L=x-1 当k≤0时，kx-1<0,∴.f'(x)<0, 则f(x)在(0，+∞)上单调递减. 当k>0时，'(x)<0,即-1<0， 解得0<x<右 '()>0即>0，解得>