2.4.1 导数的加法与减法法则&2.4.2 导数的乘法与除法法则-【成才之路·练案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步新课程学习指导(北师大版)

练案[16] 第二章导数及其应用 §4[4.1 导数的加法与减法法则4.2导数的乘法与除法法则] 名组·基础自测 三、解答题 一、选择题 9.求下列函数的导数： (1)y=xe; 1.函数y=c0sx的导数是 2x (2)y= x2+1 A.y'=-sinx (3)y=xsin x-- 2 B.y'=-sin x cos x C.y'=xsin x+cosx D.y'=-xcos x cosx 2.函数y=(x-a)(x-b)在x=a处的导数为 A.ab B.-a(a-b) c.0 D.a-b 3.若过函数f(x)=lnx+ax上的点P的切线与 直线2x-y=0平行，则实数a的取值范围是 10.若函数八x)=在x=c处的导数值与函数 ( 的值互为相反数，求c的值， A.（-∞，2] B.（-∞，2) C.(2,+0) D.(0,+∞) 4.函数f(x)=e+xsin x-7x在x=0处的导数 等于 A.-6 B.6 C.-4 D.-5 5.（多选)若存在过点0(0,0)的直线1与曲线 f(x)=x2-3x2+2x和y=x2+a都相切，则a 的值可以是 A.1 B.od c D.6 二、填空题 乃组·能力提升 、选择题 6.已知函数f(x)=f'(-2)e-x2,则f'(-2)= 1.已知f八x)=4+cosf'(x)为f代x)的导函 7.已知函数f(x)=xsin+cosx,则f'()的值 数，则f'(x)的图象是 为· 8.函数y=血c0s在x=于处的导数为 ￥ 2cos x 132 2(2023·全同甲卷)l线y=÷1在点 号组·创新拓展 1,)处的切线方程为 已知两数)=- ,g(x)=a(2-In x). (1)若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在x=1处 B.y ! 的切线的斜率相同，求a的值； C)=字+量 心y=分+9 (2)若存在曲线y=f八x)与曲线y=g(x)在同 一点处的切线的斜率相同，求实数α的取值 3.在等比数列{an}中，a1=2,a4=8,函数f(x)= 范围。 x(x-a)(x-a2)…(x-a4),则f'(0)= A.0 B.2° C.24 D.28 二、填空题 4.曲线f(x)=xlnx在点(1，f(1))处的切线方程 为 5.设函数)=写2-受+x+e,其中a>0, 曲线y=f(x)在点P(0,f(0))处的切线方程为 y=1,则b=,c=, 三、解答题 6.已知函数f(x)是关于x的二次函数，f'(x)是 f(x)的导函数，对一切x∈R,都有xf'(x)- (2x-1)·f(x)=1成立，求函数(x)的解 析式 —133又因为所求直线与直线！垂直， 1-23 所以所求直线的斜率为方了， 所以所求直线方程为y子气：号） 即22+分 9 B组·能力提升 1Cy=nx的导数y=,令丈=分，得x=2切点为 (2,h2),代入直线y=2x+b,得b=血2-1. 2.A因为y=cosx,而cosx∈[-1,1].所以直线l的斜率的 范围是[-1,1]，所以直线1倾斜角的范围是 [o,]子 3.ABC若存在互相垂直的切线，则其斜率之积为-1，或一条 切线的斜率不存在，另一条切线的斜率为0.A中，f'(x)= 。>0,B中f'()=3x≥0，C中f'(x)=(x>0),故ABC 中均不存在互相垂直的切线.而D中f'(x)=cosx,其可正可 负，一定存在使cosx1·cosx2=-1的情形 4(号戌（等 ）y'=(simx)'=cosx=2, 因为xe(0,2m),所以=号或号 所以正弦曲线y=sinx(xe(0,2m)上切线斜率等于？的点 为号戌(-》 5.4方法一：对于y=e+x+a,其导数为y'=e+1, 因为直线y=2x+5是曲线的切线，直线的斜率为2， 令y'=e+1=2,即e=1,解得x=0, 将x=0代入切线方程y=2x+5,可得y=2×0+5=5, 所以切点坐标为(0,5)， 因为切点(0,5)在曲线y=e*+x+a上， 所以5=e°+0+a,即5=1+a,解得a=4. 方法二：对于y=e*+x+a,其导数为y'=e*+1, 假设y=2x+5与y=e+x+a的切点为(x,yo), e0+1=2, 则o=2x+5,解得a=4. Lyo=e+xo+a, 6.(1)设切点为(m,logm)(m>0). 因为f(x)=log2x,x>0, 1 所以f'()=n2>0. 由题意可得1。=lg,m min 2 m 解得m=e, 1 所以切线方程为y-loge=n2x-e), 即ys, eln 2t (2)过点A(分-，8(2,1)的直线的斜率为ka=号 4 19 假设存在点P,使得过点P的切线与直线AB平行，设点P(n, logm),7≤n≤2， 有=号得=品 3 2<he=1, 所以3、 33 4<4ln2<2 所以在曲线y=x)(2≤x≤2上存在点P,使得过点P的切线 与直线AB平行，且点P的横坐标为4m2 3 C组·创新拓展 y=x-1202 2023 由y=nx得=子，所以在点(1,0)处的 切线斜率k=1,则切线方程为y=x-1; 由题意知lnx≈x-1, 所以1n2e≈2e-1, 即lne20z≈e20z-1, 2023 所以e≈lne+1=202+1-202, 5-282 练案[16] A组·基础自测 1.cy=() =(c0sx)'-c0sx·x x =-xsin cosx =_sin x cos 2.D.f(x)=(x-a)(x-b)=x2-(a+b)x+ab, ∴.f'(x)=2x-(a+b), ∴.f'(a)=2a-(a+b)=a-b,故应选D. 3.B设过点P(x,%)的切线与直线2x-y=0平行，因为 '()=人+a故f'o)=+a=2,得a=2-,由题意 知0>0，所以a=2-上<2. 4.Af'(x)=(e)'+(xsin x)'-(7x)' =e*+sin x +xcos x-7, 所以f'(0)=e-7=-6. 5.AB因为(0,0)在直线1上，当O(0,0)为f(x)的切点时，因 为f'(0)=2,所以直线l的方程为y=2x, 又直线1与y=x2+a相切， 所以x2+a-2x=0满足4=4-4a=0,得a=1: 当0(0,0)不是fx)的切点时， 设切点为(x,x后-3x后+2x)(≠0)， 则f'(x0)=3x6-6x0+2, 所以6-36+2=36-6，+2， 6 得6=2所W'(3)=子 所以直线1的方程为y=-子 y=-4得2++a=0 1 由 Ly=x2+a, 由题意得4=6-4a=0,所以a 64 综上得a=1或a= 6 f'(x)=f'(-2)e-2x f'(-2)=f'(-2)·e2-2·(-2); 解得f(-2)=。- 4e2 7.0因为f'(x)=simx+xcos x-sinx=xcos, 所以W(）=0 &2因为=(2}=（分m-打2 所以当=时，= =2 9.(1)y'=x'·e+x·(e)'=e+xe=(1+x)e. 2y-() =（2x)'(x2+1)-2x(2+1) (x2+1)2 2(+1)-4-2-2x (x2+1)2 (x2+1)2 3y=(n-(品 =sin x+xcosx2sin cosx 10因为)=兰，所以c)=号 又因为f'()=e·t=e-c(x-) x 所以'(c)=e(c-1) c 依题意知f(c)+f'(c)=0, 所以g+e(c:卫=0. c2 所以2c-1=0,得c=2 B组·能力提升 1.A函数x)=子+0心， f'()=交-imxf'(-x)=2-sim(-)=-f'(x) 所以f'(x)为奇函数，排除B、D, 当=合时（石）晋分<0排除C,放选A 2C设曲线)=年在点(1，号)处的切线方程为)-号=4 -1), 因为y= 所以y=e(x+1)-e xe (x+1)2 (x+1)2, 所以=y1=子 所以y-受=(x-1), 所以线于千在点个号)处的切线方程为y=子+号 故选C. 3.D在等比数列{an}中，a1=2,a4=8,所以a1a4=a2a3=16. 函数f(x)展开式是一个关于x的多项式，x的幂指数最高为 5,x的幂指数最低为1，且含x的系数为a1a2a3a4, 故f'(0)=aa2a3a4=(a1·a4）2=l62=2 4.x-y-1=0f1)=0, f'(x)=(xln x)'=x'In x+x(In x)' =Inx +1. ·切线的斜率k=f'(1)=1, .切线方程为y=x-1,即x-y-1=0. 5.01由题意得f'(x)=x2-ax+b, 由切点P00)既在函数x)=号：-分2+b+e上又 在切线y=1上，得/'(0)=0， f0)=1, r02-a·0+b=0, 四专x0-号0+6.0+6= 解得b=0,c=1. 6.设fx)=ar2+bx+c(a≠0)， 则f'(x)=2a+b. 所以x2f'(x)-(2x-1)fx)=x2(2ax+b)-(2x-1)·(a2 +bx+c) =(a-b)x2+(b-2c)x+c=1, ra-b=0, ra=2, 所以b-2c=0,解得b=2, Lc=1, Lc=1, 所以fx)=2x2+2x+1. C组·创新拓展 0/"()=1+是，g()=-,所以曲线y=)在x=1 2 处的切线的斜率为f'(1)=3,曲线y=g(x)在x=1处的切线 的斜率为g'(1)=-a, 由已知，得f'(1)=g'(1),得a=-3 （2)由题意，得1+是-(>0. 则a=-x- 2≤-2万，当且仅当x=2时，等号成立，故实数 a的取值范围为(-∞，-22]. 练案[17] A组·基础自测 (x1.AA中的函数是一个多项式函数，B中的函数可看作函数山 197