2.6.3 函数的最值-【成才之路·学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步新课程学习指导(北师大版)

086 课堂检测固双基 1.函数f(x)的定义域为开区间(a,b),其导函数 C.（-∞，-1)U(2,+∞) f'(x)在(a,b)内的图象如图所示，则函数f(x)在 D.(-∞，-3)U(6,+0) 开区间(a,b)内极小值点的个数为 )4.如图是函数y=fx)的导函数y=∫'(x)的图象， y=f气x 对此图象，有如下结论： ①在区间(-2,1)内f(x)是增函数； ②在区间(1,3)内f(x)是减函数； A.1 B.2 C.3 D.4 ③x=2时，f(x)取到极大值； 2.(多选)对于函数f(x)=e(x-1)2(x-2),以下 ④在x=3时，f(x)取到极小值. 选项正确的是 ( A.有2个极大值 B.有2个极小值 -302式345 C.1是极大值点 D.1是极小值点 3.已知f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1有极大值和极 其中正确的是 (将你认为正确的序号填在 横线上) 小值，则a的取值范围为 ( A.(-1,2) 夯基提能作业 B.（-3,6) 请同学们认真完成练案[19] 6.3函数的最值 素养目标定方向 学习目标 核心素养 1.能够通过函数的图象区分函数的极值与 1.结合实例培养学生的直观想象素养。 最值， 2.通过求闭区间上函数的最大值、最小值，培养数 2.会求闭区间上函数的最大值、最小值 学运算素养。 必备知识 探新知 知识点一最值点 (1)最大值点：函数y=f(x)在区间[a,b]内的最大值点xo指的是：函数f(x)在这个区间内所 有点处的函数值都 f(x). (2)最小值点：函数y=f(x)在区间[a,b]内的最小值点x。指的是：函数f(x)在这个区间内所 有点处的函数值都 f(x). (3)函数的 或在极值点（也是导数的零点）取得，或者在区间的端点取得. 练一练： 设f(x)是区间[a,b]上的连续函数，且在(a,b)内可导，则下列结论中正确的是 A.f(x)的极值点一定是最值点 B.f(x)的最值点一定是极值点 C.f(x)在区间[a,b]上可能没有极值点 D.f(x)在区间[a,b]上可能没有最值点 ●087 知识点二最值 函数的 与 统称为函数的最值. 想一想： 函数的极值与最值有何区别？ 练一练： 1.思考辨析（正确的画“V”,错误的画“×”） (1)一般地，连续函数f(x)在[a,b]上既有最大值，又有最小值 (2)函数的极值可以有多个，但最大（小）值最多只能有一个 (3)最大（小）值一定是函数的极大（小）值 (4)极大（小）值一定是函数的最大（小）值 2.函数代)=x+2在区间[-3，-1]上的最大值为 A.-22 B.-3 c号 D.-W5 关键能力攻重难 ●题型探究 题型一求函数的最值 例求下列各函数的最值 (1)fx)=x3-3x2+6x-2,x∈[-1,1]； （2x-方+sme0,2m 规律方法： 求函数最值的四个步 骤：第一步求函裁的 定义域：第二步求 f'(x),解方程∫'(x) =0:第三步列出关于 x,f(x),∫'(x)的变化 表；第四步求极值、端 点值，确定最值 特别警示：不要忽视 将所求极值与区间端 点的函数值比较， [规律方法] 088 》对点训练1 求下列函数的最值： (1)fx)=2x3-6x2+3,x∈[-2,4]： (2)f(x)=e-e,xe[0,a],a为正实数. 题型二含参数的函数最值问题 例2已知函数)=1n-a (1)讨论f(x)的单调性； (2)当a>0时，求f(x)在区间[1,2]上的最大值 规律方法： 1.由于参数的取值范 围不同会导致函裁在 所给区间上的单调性 的变化，从而导致最 值的变化，故含参裁 时，需注意是否分类 讨论. 2.已知函数最值求参 戴，可先求出函裁在 给定区间上的极值及 函数在区间端点处的 函数值，通过北较它 ·[规律方法] 们的大小，判断出娜 个是最大值，哪个是 )对点训练2 最小值，结合已知求 已知函数g(x)=e-2a.x-b,求g(x)在[0,1]上的最小值. 出参数，进而使问题 得以解决 ●089 题型三由函数的最值求参数的值或范围问题 例3.已知函数八)=a-6a+6,是否存在实数u6,使)在[-1,2] 上取得最大值3，最小值-29？若存在，求出α，b的值；若不存在，请说 明理由. [分析]若存在a,b满足题设，则可利用导数求最值，列出关于a,b的 方程组，从而解出a,b的值.求极值时，要注意对a的符号进行分类讨论，否 规律方法： 则容易漏解. 由函数的最值来确定 参裁的值或取值范围 是利用导裁求函裁最 值问题的逆向运用， 这类问题的解题 步骤： (1)求导裁f'(x),并 求校值. (2)利用单调性，将极 值与端点处的函裁值 进行比较，确定函数 的最值.若参数的变 化影响着函数的单调 性，要对参裁进行分 类讨论. (3)利用最值列关于 参戴的方程（组），解 [规律方法] 方程（组）即可， 》对点训练3 已知f(x)=lnx+a(1-x). (1)讨论f(x)的单调性； (2)当f(x)有最大值，且最大值大于2a-2时，求a的取值范围. 090 ●易错警示 没有准确把握条件致误 例4.设1为曲线C:y=n在点(1,0)处的切线 (1)求1的方程； (2)证明：除切点(1,0)之外，曲线C在直线l的下方， [错解](1)设f(x)=血，则f'(x）=1-n￥所以f'(1)=1.所以1的方程为y=x-1. x2 (2)证明：由(1)知y=x-1是曲线(x)=血在点(1,0)处的切线，又当x=2时，有(2)=12 <1,武初找1上的对应点(2.1)，在曲线C上的点2，马)药上方曲线C上除切点1,0)外都在 曲线l下方 [误区警示](1)正确；(2)中错误地认为直线1与曲线C相切，则C上所有点都在直线l的同 侧，从而导致解答错误.错因是受直线与二次曲线相切的迁移影响，没有准确地理解导数的几何意 义所致。 [正解] [点评]由直线与曲线相切的定义知，直线1与曲线C相切于某点P是一个局部定义，当1与 C切于点P时，不能保证1与C无其他公共点，有可能还有其他切点，也有可能还有其他交点. 课堂检测固双基 1.函数x)=2-3x2-9x+6在区间[-4,4]上3.使函数f(x)=x+2cosx在0，上取得最 的最大值为 A.11 B.-70 大值的x为 ) C.-14 D.21 A.0 B.T 2.函数y=xlnx的最小值为 c号 D罗 ( 4.已知函数f(x)=sinx-2x-a,若f(x)在[0， e B.-e π]上的最大值为-1，则实数a的值是 C.e2 D.、l0 3 夯基提能作业 请同学们认真完成练案[20].·x=±1是函数f代x)的极值点 .x=±1是方程'(x)=3ar2+2bx+c=0的两根， 2b-0,① 3 由根与系数的关系，得 品=-1，② 又f1)=-1,.a+b+c=-1.③ 由023解得a=分6=0，c=-2 (2)fx)= 23、3 t, 0=-是=-141. 当x<-1或x>1时f'(x)>0, 当-1<x<1时，f'(x)<0, 函数f代x)在(-∞，-1)和(1+o)上是增函数， 在(-1,1)上是减函数， 当x=-1时，函数取得极大值f(-1)=1, 当x=1时，函数取得极小值f1)=-1. 对点训练3：(0,1)由f代x)=x3-3ax+1可得f'(x)=3x2 -3a,当a≤0时，f'(x)=3x2-3a>0恒成立，所以fx)在(0,1) 上单调递增，无极值； 当a>0时，令f'(x)=3x2-3a>0可得x>√a或x<-√a; 令f'(x)=3x-3a<0可得-a<x</a,所以当a>0时，f(x)》 =x3-3ax+1在x=√a处取得极小值，若函数f代x)=x3-3ar+1 在区间(0,1)内有极小值，则0<√a<1,解得0<a<1, 综上所述，a的取值范围为(0,1). 例4：f'(x)=3x2+12mx+4n, 依题意有广'(-2)=0， f-2)=0, 即12-24m+4n=0. 1-8+24m-8n+8m2=0, 解得m或m=2, n=3n=9. 当m=1,n=3时，f'(x)=3x2+12x+12=3(x+2)2≥0， 所以f(x)在R上单调递增，无极值，不符合题意： 当m=2,n=9时，f'(x)=3x2+24x+36=3(x+2)(x+ 6),当-6<x<-2时f'(x)<0,当x>-2时f'(x)>0, 故f代x)在x=-2处取得极值，符合题意. 综上所述，m=2,n=9,所以m+4n=38. 课堂检测固双基 1.A由图象可知，满足f'(x)=0且导函数函数值左负右正的 只有一个，故f(x)在(a,b)内的极小值点只有一个 2.BC由题得f'(x)=e*[(x-1)2(x-2)+2(x-1)(x-2)+(x -1)2]=e*(x+5)(x-5)(x-1). 令f'(x)>0,解得xe（-5,1)U(3,+∞)； 令f'(x)<0,解得xe(-0,-√5)U(1,√3)， 即xe(-5,1),（√5，+o)f(x)单调递增， xe（-0,-5),(1,w5)fx)单调递减. 于是±√5是极小值点，1是极大值点，则f(x)有2个极小值，1 是极大值点 3.Df'(x)=3x2+2ax+a+6. ,代x)既有极大值又有极小值 ..方程3x+2ax+a+6=0有两个不相等的实数根，那么△= (2a)2-4×3×(a+6)>0,解得a>6或a<-3. 4③断'()的图象可见在(-”，-2)和(2,4上f(x)< 7 0x)单调减，在(-号2和(4，+)上f'()>0x)单 调增.只有③正确。 6.3函数的最值 必备知识探新知 知识点一 (1)不超过(2)不小于(3)最值 练一练： C根据函数的极值与最值的概念知，代x)的极值点不一定 是最值点，代x)的最值点不一定是极值点，可能是区间的端点， 连续可导函数在闭区间上一定有最值，所以选项A,B,D都不正 确，若函数f(x)在区间[a,b]上单调，则函数f八x)在区间[a,b] 上没有极值点，所以C正确. 知识点二 最大值最小值 想一想： 极值是函数在极值点的一个小领域的性质，最值是函数在 定义域上的性质 练一练： 1.(1)V(2)V(3)×(4)× 2Af)=1-子，令f田=0得：-2 当-3≤x≤-√2时，f'(x)≥0，函数f代x)单调递增： 当-2≤x≤-1时，f'(x)≤0，函数f(x)单调递减， 所以，函数f(x)的最大值是f代-2)=-22. 关键能力攻重难 例1：(1)f'(x)=3x2-6x+6=3(x2-2x+2)=3(x-1)2 +3, f'(x)在[-1,1]内恒大于0，f(x)在[-1,1]上为增函 数.故当x=-1时，f(x)min=-12; 当x=1时，f(x)m=2. 即f代x)的最小值为-12，最大值为2， (2f'()=7+eos,令f'()=0,又xe[0,2m],解得x =号或x=经计算得0)=02m)=)=号+ ）-罗-孕所以当x=0时)有最小值0)=0：当x= 2π时f(x)有最大值f2π）=π. 对点训练1：(1)f'(x)=6x2-12x=6x(x-2). 令f'(x)=0,得x=0或x=2. 当x变化时，f'(x),x)的变化情况如下表 -2(-2,0) 0 (0,2) 2 (2,4) f'(x) 0 0 极大值 极小值 f(x) -37 35 3 -5 ·.当x=4时，f(x)取最大值35； 当x=-2时，f代(x)取最小值-37. 即f代x)的最大值为35，最小值为-37. 2'w=(》-(ey-亡-e= 当xe[0,a]时，f'(x)<0恒成立， 即f(x)在[0，a]上是减函数. 故当x=a时，f代x)有最小值f代a)=e“-e“; 当x=0时，f代x)有最大值f代0)=e0-e°=0. 即f(x)的最小值为e“-e“,最大值为0. 例2：(1)由题意得：f(x)的定义域为(0，+∞)， f'(x)=-2ax=1-2a ①当a≤0时，f'(x)>0,所以f(x)在(0，+0)上单调 递增： 1 ②当a>0时，令f'(x)=0得：x=√ 列表如下： x 1 02a 1 1 N2a V2a+∞ f'(x) × 0 f(x) 极大值 所以)在o√品上单制道塔，在（√品+）上单 调递减；综上所述：当a≤0时，f(x)在(0，+∞)上单调递增；当 a>0时)在(0，√易上单调递增，在（√分+上单润 递减 （2)当a>0时.由(1)知：①当，√≤1，即a≥分时.) 在[1,2]上单调递减，则f代x)mm=f1)=-a; ②当1<W层<2，g<a<分时)在[1√会]上 单调递增，在（√2小止单调递减， ③当√公≥2，即0<a≤日时x)在1,2]上单调递增， 则f(x)m=f(2)=ln2-4a; 1 [1n2-4a,0<a≤8， 综上所述：f代x)m= 2 ,1 -a,u≥2 对点训练2：因为g'(x)=e-2a,x∈[0,1]，e∈[1，e], 所以 ①若a≤2，则2a≤1，g(x)=e-2a≥0， 所以函数g(x)在区间[0,1]上单调递增，g(x)m=g(0) =1-b. ②若}<a<号，则1<2a<c, 于是当0<x<ln(2a)时，g'(x)=e-2a<0 当ln(2a)<x<1时，g'(x)=e*-2a>0, 所以函数g(x)在区间[0，ln(2a)]上单调递减，在区间 [ln(2a),1]上单调递增， g(x）in=g(ln(2a)）=2a-2aln(2a）-b. ⑧若a≥分，则2a≥e,g'(x)=e-2a≤0， 所以函数g(x)在区间[0,1]上单调递减， g(x）in=g(1)=e-2a-b. 综上所述，当a≤？时，g(x)在区间[0,1]上的最小值为 17 g(x)min=g(0)=1-6; 当分<a<兮时，g()在区间[0，上的最小值为g(x) =g(ln(2a)）=2a-2aln(2a)-b; 当a≥号时，g(x)在区间[0,1)上的最小值为g(x)m= g(1)=e-2a-b. 例3：存在.依题意，显然a≠0，f'(x）=3ax2-12ax= 3ax(x-4). 令f'(x)=0,解得x1=0,x2=4(舍去). ①若a>0,当x变化时，f'(x)fx)的变化情况如下表： -1 (-1,0)》 0 (0,2) f'(x) + + 0 f(x)-7a+b 极大值 -16a+b 所以当x=0时，f(x)取得最大值， 所以f代0)=b=3. 因为f2)=-16a+3,f代-1)=-7a+3, 所以f代-1)>f(2), 所以当x=2时，f(x)取得最小值， 即-16a+3=-29,解得a=2. ②若a<0,当x变化时，f'(x),fx)的变化情况如下表： x -1 -1,0)0 (0,2) 2 f'(x) 0 × + f(x) -7a+b 极小值 -16a+b 所以当x=0时，f(x)取得最小值， 所以f(0)=b=-29 因为f2)=-16a-29,f代-1)=-7a-29, 所以f代2)>f-1), 所以当x=2时f(x)取得最大值， 即-16a-29=3,解得a=-2. 综上所述，存在符合条件的a,b,且a=2,b=3或a=-2,b =-29. 对点训练3：(1)x)的定义域为(0，+)f'()=-a, 若a≤0，则f'(x)>0,fx)在(0，+∞)上单调递增；若a>0,则 当e(0,)时f')>0,当xe(合+时/)<0. 所以f()在(0，日）)上单调递增，在（合，+如上单调 递减. (2)由(1)知当a≤0时，f(x)在(0，+0)上无最大值；当 a>0附x)在x=二取得最大值，最大值为日)=（日）+ a a-日)=-laa+a-1因此日）》>2a-2oha+a-1< 0.令g(a)=lna+a-1,则g(a)在(0，+o)上单调递增，g(1) =0,于是，当0<a<1时，g(a)<0,当a>1时，g(a)>0,因此a 的取值范围是(0,1). 例4：(1)设fx)=nx,则f'(x)=1-血 x 所以f'(1)=1.所以l的方程为y=x-1. （2)证明：令g(x)=x-1-f(x),则除切点之外，曲线C在 直线1的下方等价于g(x)>0(Hx>0,x≠1). (x)满足(1)=0，且g(x)=1-f'(x)=-1+血 当0<x<1时，x2-1<0,nx<0,所以g'(x)<0,故g(x)单 调递减； 当 x>1 时 $$， x ^ { 2 } - 1 > 0 ， \ln x > 0 ，$$ ，所以 g'(x)>0， ，故 ⊙O (x)单调 递增. 所以， ，g(x)>g(1)=0(∀x>0，x≠1). .所以除切点之外，曲 线C在直线l的下方. 课堂检测固双基 1.A 函数 $$f \left( x \right) = x ^ { 3 } - 3 x ^ { 2 } - 9 x + 6$$ 的导数为f $$c ' ' \left( x \right) = 3 x ^ { 2 } - 6 x$$ -9， 令f' (x)=0 得 x=-1 或 x=3， 由f( (-4)=-70；f(-1)=11； f(3)=-21；f(4)=-14； 所以函数 $$y = x ^ { 3 } - 3 x ^ { 2 } - 9 x + 6$$ 在区间 [-4，4] 1上的最大值 为11. 2.A 因为 y=xlnx， ，定义域是 (0，+∞)， 所以 y'=1+lnx， ，令 y'>0， ，解得 $$_ { i } x > \frac { 1 } { e } ，$$ 令 y'<0， 解得 $$： 0 < x < \frac { 1 } { e } ，$$ 所以函数在 $$\left( 0 ， \frac { 1 } { e } \right)$$ 上递减，在 $$\left( \frac { 1 } { e } ， + \infty \right)$$ 上递增， 故 $$x = \frac { 1 } { e }$$ 时，函数取最小值 $$- \frac { 1 } { e } .$$ 3.B 因为 $$f \left( x \right) = x + \sqrt 2 \cos x ，$$ 所以 $$f ' \left( x \right) = 1 - \sqrt 2 \sin x .$$ 因为 $$x \in \left[ 0 ， \frac { \pi } { 2 } \right] ，$$ f'(x)>0 $$时 x \in \left[ 0 ， \frac { \pi } { 4 } \right)$$ ，且 f'(x)<0 得 $$x \in \left( \frac { \pi } { 4 } ， \frac { \pi } { 2 } \right]$$ 所以f(x)在 $$\left[ 0 ， \frac { \pi } { 4 } \right)$$ 上单调递增， ，f(x) 在 $$\left( \frac { \pi } { 4 } ， \frac { \pi } { 2 } \right]$$ 单调递 减，所以f (x) 在 $$\left[ 0 ， \frac { \pi } { 2 } \right]$$ 上取得最大值的x为 $$\frac { \pi } { 4 }$$ ，故 A，C，D 错 误，B正确. 4.1 由 f(x)=sinx-2x-a， '(x)=cosx-2<0， 所以函数f( (x) 在 [0，π] 上单调递减， 所以 f(x) 的最大值是 f(0)=-a=-1， ，故 a=1. 7 导数的应用 7.1 实际问题中导数的意义 7.2 实际问题中的最值问题 必备知识探新知 知识点一 练一练： 1.A 因为 s'=-6t， 所以 s'(2)=-12. 2.A f'(t) )表示t时刻的降雨强度 知识点二 想一想： (1)在求实际问题的最大(小)值时，一定要考虑实际问题 的意义，不符合实际意义的值应舍去. (2)在解决实际优化问题时，不仅要注意将问题中涉及的 变量关系用函数关系表示，还应确定出函数关系式中自变量的 定义区间. (3)在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点 使 f '(x)=0 的情形，如果函数在这点有极大(小)值，那么不与 端点值比较，也可以知道这就是最大(小)值. 练一练： D设箱底一边的长度为xm,箱子的总造价为y元，根据 题意，得y=15×餐+12×2(3x+终）=20+72(+9)x> 0)y=721-）,令y=0解得x=4度x=-4(含去)，当0 <x<4时，y'<0;当x>4时，y'>0. 故当x=4时，y取得最小值为816. 关键能力攻重难 例1：(1)当：从03变到19时会-9=8=9，所以速 度v关于时间t的平均变化率为9m/s2, 当：从3：变到5s时岩-2号-2mWg,所以速度关 -5-3 于时间t的平均变化率为2m/s2. 它们分别表示在相应的时间内，每经过1s速度增加9/s和 2m/s也就是加速度分别为9m/s和2m/s. (2):ft)=-f+10t,∴f'(t)=-2t+10, ∴.f'(1)=8m/s2,其实际意义是在t=1s这一时刻每经过 1s汽车的速度增加8m/s.即这一时刻汽车的加速度为8m/s2. 对点训练1：(1)当x从1变到8时，y关于x的平均变化率 为8》二-2→-7(m/om) 8-1 （2)f')=3,于是f'(27)=写×7号=7(m/m). 实际意义为当时间为27min时，水流量增加的瞬时速度为 是当时间为27min时，每增加1m 例2：0)由题意，得)=99+5+(+25). 整要，得R=宁红+5P+肾2≤8 (2)f'()=(x+5)-100=x+52-100 (x+5)2 (x+5)2 令f'(x)>0,得x>5,令f'(x)<0,得x<5, 所以f(x)在[2,5)上单调递减，在(5,8]上单调递增 故当x=5时f(x)取得最小值，为150. 答：宿舍应建在离工厂5km处，可使总费用f(x)最小，最小 值为150万元. 对点训练2：(1)Q=P.400 =(2高2+159 1 =(19200-160+15）40 =药-多+6000<0≤10). 20-若 5, 令Q'=0,则v=0(舍去)或v=80, 当0<v<80时，Q'<0: 当80<v≤100时，Q'>0, 所以v=80千米/时时，全程运输成本取得极小值，即最小 值，且0=0(0)-2900（元）. 综上，汽车以80千米/时速度行驶，可使全程运输成本最 少，运输成本最小值为29”元 例3：(1)当x=1时，f代1)=p(1)=37, 3