2.5 简单复合函数的求导法则-【成才之路·学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步新课程学习指导(北师大版)

●073 §S简单复合函数的求导法则 素养目标定方向 学习目标 核心素养 1.了解复合函数的求导法则 通过求简单复合函数的导数，培养数学运算素养， 2.能求简单复合函数的导数 必备知识 探新知 知识点一复合函数的概念 对于两个函数y=f(u)和u=p(x),给定x的一个值，就得到了u的值，进而确定了y的值，那 么y可以表示成x的函数，称这个函数为函数 和 的复合函数，记作 ,其中u为中间变量， [提醒]讨论复合函数的构成时，“内层”“外层”函数一般应是基本初等函数，如一次函数、二 次函数、指数函数、对数函数、三角函数等，然后从外向内逐层求导. 想一想： 如何求复合函数y=f(p(x))的定义域？ 练一练： 思考辨析（正确的画“V”,错误的画“×”） (1)复合函数y=f(p(x)的定义域就是内函数u=p(x)的定义域， (2)复合函数y=f代p(x)的定义域就是内函数u=p(x)的值域. (3)复合函数y=f(p(x))的定义域就是外函数y=f(u)的定义域， 41sr- 知识点二复合函数的求导法则 复合函数y=f(p(x)的导数为：y'.= 想一想： 任何两个函数都能复合吗？ 练一练： 1 1.函数y= 3x-1)2的导数是 () 6 A.y=(3x-1) B.y=(3x-1 6 C.y=-(3x-1) D.y'=- 6 (3x-1)2 2.已知函数f(x)=(2x+a)2,且f'(2)=20,则a=一· 074 关键能力攻重难 ●题型探究 题型一复合函数的概念 例1.西数y2x中1)可以看成那两个两数的复合 ·[规律方法] 规律方法： 1,不是任意两个函数 )对点训练1 都能复合，只有内函 函数y=e2-1可以看成哪两个函数的复合？ 戴的值域与外函数的 定义域的交集非空 时，才能复合 2.一个复合函数有不 同的复合形式，要根 据研究的需要进行 选择 ●075 题型二复合函数的求导 例2求下列函数的导数： (1)y=(4-3x)2; (2)y=cos(2x-买月 (3)y=ln(4x-1); (4)y=e. [分析]先分析每个复合函数的构成，再按照复合函数的求 导法则进行求导 规律方法： 求复合函数导数的步骤 [规律方法] 适当选取中间变量，正确 〉对点训练2 分解一 分解复合关系成y=f(u), u=g(x)的形式 (1)函数y=x2cos2x的导数为 ( 分步逐层求导，即先求 A.y'=2xcos 2x-x'sin 2x 求导 ya,再求u B.y'=2xcos 2x -2x sin 2x 计算y。·u,并把u= C.y'=x'cos 2x -2xsin 2x 回代 g(x)代入 D.y'=2xcos 2x +2x sin 2x (2)若f(x)=√ax-1,且f'(1)=1,则a的值为 A.1 B.2C.3 D.4 (3)函数f(x)=(2x+1)3,则f'(0)的值为 题型三与复合函数有关的切线问题 例3.八函数w)=血(t+1)的图象在点(1)处的切线 的倾斜角为 () A.0 B. 2 C. 3 D.T (2)已知直线y=x+2与曲线y=ln(x+a)相切，则a= 规律方法： 解决与复合函数有关的切线问题 [分析](1)先求出函数在切点处的导数值，即为切线的斜的关健有两个： 率，从而求得切线在此处的倾斜角. (1)求复合函戴的导数，这是正 (2)先设出切点坐标，再求函数在切点处的导数值，从而求得 确解答的前提条件，要注意把复 a的值. 合函裁逐层分解，求导时不要有 遗漏. (2）求切线方程，注意切线所过 的点是否为切点 ●[规律方法] 076 》对点训练3 已知f(x)为偶函数，当x≤0时，f(x)=e-1-x,则曲线y=f(x)在点(1,2)处的切线方程是 ●易错警示 对复合函数的求导不完全而致误 在对复合函数求导时，恰当地选择中间变量及分析函数的复合层次是关键.一般从最外层开 始，由外及里，一层层地求导，最后要把中间变量变成自变量的函数 例西数)e产的导数为 [错解]y=e1-2“+x(e-2)'=e-2s+xe-2=(1+x)e-2x [正解] [点评]错解中对é-2“求导数，没有按照复合函数的求导法则进行，导致求导不完全 课堂检测 固双基 1.函数y=(x2-1)”的复合过程正确的是 3.设x)=c0s2x-3x,则r')= A.y=u",u=x2-1 A.-5 B.-3 C.-4 D.-3m B.y=(w-1)",u=x2 4.曲线f(x)=e2x+3在(1，f(1))处的切线的斜 C.y=t,t=(x2-1)“ 率是 D.y=(t-1)",t=x2-1 2.已知f(x)=ln(2x+1)-ax,且f'(2)=-1,则 夯基提能作业 a= 请同学们认真完成练案[17] A写 B. G.-3 D.、4 §6 用导数研究函数的性质 6.1 函数的单调性 素养目标定方向 学习目标 核心素养 1.借助对函数的单调性与导数的关系的探究，培 1.了解函数的单调性与导数的关系. 养数学抽象与逻辑推理素养， 2.能利用导数研究函数的单调性. 2.通过导数在研究函数的单调性中的应用，培养 3.会求函数的单调区间. 数学运算素养.令x=0,解得y=1, 令y=0,解得x=分 故所求三角形的面积为S=分×号×1=石故选A 3.C由y=e-x,得y'=e-1,设切点为(x,eo-x),则 ylx==e0-1, .切线方程为y-e0+x=(e0-1)(x-x), 切线过点(e,-e), .(e+1)eo=xe'o,解得=e+1, .切线方程为y-e1+e+1=(e1-1)(x-e-1),整理得 y=(e1-1)x-e2 4.3x2- xln 3 f(x)=38)=3 f'(x）-g(x)=3x-n 1 §4导数的四则运算法则 4.1导数的加法与减法法则 4.2导数的乘法与除法法则 必备知识探新知 知识点 f(x)+8(x)f(x)-g(x)(x)g()-R)g(x) g(x) 想一想： 两个函数的导数存在，则它们的和、差、积、商（商分母不为 零)必存在；若两个函数的导数不存在，则它们的和、差、积、商不 一定不存在 练一练： 1B求导得f()=-2)x+2. 所以f'(1)=1-2f'(1)+2,解得f'(1)=1, 则fx)=lnx-x2+2x-1, 所以f代1)=n1-1+2-1=0. 2.Df(x)=(x+1)2(x-1)=x3+x2-x-1,f'(x)=3x2 +2x-1,f'(1)=3+2-1=4. 3.Bf(x)=(2πx)2=4m2x2, 所以f'(x)=8πxf'(-1)=8π2×(-1)=-8π2. 关键能力攻重难 例1：(1)方法一：可以先展开后再求导： y=(2x2-1)(3x+1)=6x3+2x2-3x-1, .y'=(6x3+2x2-3x-1)'=18x2+4x-3. 方法二：可以利用乘法的求导法则进行求导： y'=(2x2-1)'(3x+1)+(2x2-1)(3x+1)'=4x(3x+1) +3(2x2-1）=12x2+4x+6x2-3=18x2+4x-3. (2)把函数的解析式整理变形可得： y-+2++1:2红=1- 2x x+x+1x+x+1 +x+1' y=-2x+x+1)-2x(2x+12x2-2 (x2+x+1)2 (x2+x+1)7 (3)根据求导法则进行求导可得： y'=(3e)'-(2)'=(3)'e+3(e)'-(2)'=3ln3· e +3e*-2*In 2 =(3e)ln(3e)-21n2. (4)利用除法的求导法则，进行求导可得： y=血)'(x+1)-nx·(x+) (x2+1)2 1(2+1)-lnx·2x =2(1-2nx)+1 (x2+1) x(x2+1)2 16 对点训练1：(1)y=(x2+1)(x-1)=x3-x2+x-1, .y=3x2-2x+1. (2)y=(3)'+(gx)'=3l血3+xn10 (3)y=e)'(x+1)-(x+1)'e (x+1)2 a 例2：(1)：fx)=x3+ax+b的导数f'(x)=3x2+a, 由题意可得f'(2)=12+a=13,f2)=8+2a+b=-6, 解得a=1,b=-16. (2):切线与直线y=-年+3垂直， ∴.切线的斜率k=4. 设切点的坐标为(x,yo),则f'(x)=3x+1=4, .x=±1. 由f(x)=x+x-16,可得%=1+1-16=-14，或y。=-1-1 -16=-18.即切点坐标为(1，-14)或(-1，-18). 则切线方程为y=4(x-1)-14或y=4(x+1)-18. 即y=4x-18或y=4x-14. 对点训练2：1f'(x)=a- 龙f'(1)=a-1. 又.f1)=a .切线l的斜率为a-1,且过点(1，a), ∴.切线l的方程为y-a=(a-1)(x-1). 令x=0,得y=1,故l在y轴上的截距为1. 例3：y=3-xE+5E-91 =-5款 =(3x2)'-(x)'+(5)'-(9xz)' 2x2 学 一1 课堂检测固双基 Af-+=+(=1- 2.D函数的导数为f'(x)=1+e,故选D. 3.D由已知得f'(x)=e"cos-e'sinx e*(cos x-sin ) ..f'(1)=e(cos 1-sin 1). 受>1>牙 而由正、余弦函数性质可得cos1<sinl. ∴f'(1)<0.即f(x)在(1，f1)处的切线的斜率k<0..切 线倾斜角是钝角. 4.(e,e)设P(o,yo),则y=xnx在x=o处的导数为lno+ 1=2,所以xo=e,则yo=e,则P点坐标为(e,e). §5简单复合函数的求导法则 必备知识探新知 知识点一 y=f(u)u=o(x)y=f(o(x)) 想一想： 由内函数u=p(x)的值域包含于外函数y=f代u)的定义域 所求得的x的取值集合就是复合函数y=f代p(x)的定义域. 练一练： (1)×(2)×(3)×(4)V 知识点二 [f(p(x))]'f'(u)p'(x),其中u=p(x) 想一想： 只有外函数y=f代u)的定义域与内函数u=p(x)的值域的 交集非空时才能复合. 练一练： 1.Gy3-=(3x-), y=-2(3x-1)3·(3x-1) =-6(3x-1)3=3x-1) 6 2.1易得f'(x)=4(2x+a), 又f'(2)=20,即4(4+a)=20 解得a=1. 关键能力攻重难 例1：函数2中1可以看成函数y=女与函数u=(2: +1)2的复合，也可以看成函数y= (a 与函数u=2x+1的 复合 对点训练1：函数y=e2-1可以看成函数y=e“与函数u= 2x-1的复合. 例2：(1)设y=t2,u=4-3x,则y'=2u,4'=-3,于是y =y'·u'=-6(4-3x)=18x-24, 即y'=18x-24. （2)设y=0s,u=2x-平， 则ya'=-sinu,u'=2, 于是，'=y.·4,'=-2m2x-牙） 即y=-2sn2x-4} (3)设y=l血u,u=4x-1,则y'= 4,'=4, 于是y'=y.'·4,'=4x- 4 即y=4x-了 4 (4)设y=e",u=x2,则y.'=e“,4'=2x, 于是y'=y.'·u,'=e2·2x,即y=2xe 对点训练2：(1)By'=(x2)'cos2x+x2(cos2x)' =2xcos2x+x2(-sin2x）·(2x)' 2xcos 2x -2xsin 2x. (2)Bf'(x)=。 1 2√ax-I ·(ax-1)'=a 2 /ax-1 f'(10=2a- a ==1, 解得a=2. (3)10f'(x)=5(2x+1)4·(2x+1)'=10(2x+1), ∴.f'(0)=10. 例3：(1)Df'(x)= +心函数f(x)=ln(2+1)的 2x 图象在点11)处的切线的斜*k=f()=子1=1.设函 数f代x)=l(x2+1)的图象在点(1，f(1)处的切线的倾斜角为 0,则an0=1,0=牙 (2)3设切点为(xo少)， y=h(s+o)n+ar ÷切线的斜率k=1=1, xo +a 16 ∴.0+a=1. 又yo=ln(+a),.yo=0, 又y0=0+2=0.0=-2..a=3. 对点训练3：2x-y=0设x>0,则-x<0,f代-x)=e*-1+x 又f(x)为偶函数，fx)=f(-x)=e-1+ 所以当x>0时f代x)=e-1+x 因此，当x>0时f'(x)=e-1+1f'(1)=e°+1=2. 则曲线y=f(x)在点(1,2)处的切线的斜率为f'(1)=2, 所以切线方程为y-2=2(x-1), 即2x-y=0. 例4：y'=(1-2x)e-2y'=e-2r+x(e-2)'=e-2+ xe1-2(1-2x)'=e1-24+xe1-2·（-2)=(1-2x)e-24 课堂检测固双基 1.A将x-1看作整体，记u=x-1,则y=(x-1)”由y=” 和u=x2-1复合而成. 2 2.Af"(x0=2x+1-a 2 所以f'(2)=5-a=-1,解得a=5 3.Bf'(x）=(cos2x）'-3=-2sin2x-3 f'(）=-2mm-3=3 4.-2ef'(x)=e2m+3·(-2x+3) =-2e-2x+3 f'(1)=-2e, .∴.所求切线的斜率k=-2e. §6用导数研究函数的性质 6.1函数的单调性 必备知识探新知 知识点一 f'(x)>0f'(x)<0 想一想： 1.充分不必要条件 2.是. 练一练： 1.(1)V由常函数的导数为0可知此说法正确 (2)×如(x)=士在定义域上都有f'()<0,但函数 f代x)=】在定义域上不单调递减。 1 (3)×区间A和B应满足B二A. (4)V若在某区间上有有限个点使f'(x)=0,其余的点 恒有f'(x)>0,则f(x)仍为增函数（减函数的情形完全类似）· 2.C因为函数f代x)=3x-x, 所以f'(x)=3-3x=-3(x+1)(x-1) 令f'(x)>0,解得-1<x<1. 所以函数y=3x-x3的单调递增区间是(-1,1). 知识点二 范围陡峭较慢平缓 练一练： B由导数的图象可得，导函数f'(x)的值在[-1,0]上逐 渐增大，故函数f(x)在[-1,0]上增长速度逐渐增大，故函数 f(x)的图象是下凹型的.导函数f'(x)的值在[0,1]上逐渐减 小，故函数f(x)在[0,1]上增长速度逐渐减小，图象是上凸型 的，故选B. 关键能力攻重难 例1：(1)D由题意可知，当x<0和x>2时，导函数f'(x) <0,函数f(x)是减函数；当x∈(0,2)时，导函数f'(x)>0,函数 f(x)是增函数，故函数f(x)的图象如图D.