2.6.2 函数的极值-【成才之路·学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步新课程学习指导(北师大版)

由函数f代x)在(-2，+∞)内单调递减知，f'(x)≤0在(-2， +)内恒成立，即a2≤0在(-2，+∞)内恒成立，因此 2x+1 又当a=分时八)=+2宁为常数函数。 所以不符合题意，所以a的取值范围是(-，)} 6.2 函数的极值 必备知识探新知 知识点 (1)小于(2)大于极值点极值 想一想： 不一定 练一练： 1.Dy'=3-3x2=3(1+x)(1-x). 令y’=0得x1=-1,x2=1. 当x<-1时，y'<0,函数y=1+3x-x3在(-0，-1)上单 调递减：当-1<x<1时，y'>0,函数y=1+3x-x在(-1,1) 上单调递增；当x>1时，y<0,函数y=1+3x-x在(1，+0) 上单调递减.所以当x=-1时，函数y=1+3x-x3有极小值 -1:当x=1时，函数y=1+3x-x3有极大值3. 2.DA.因为函数y=e*是实数集上的增函数，所以函数y =e没有极值；B.因为函数y=nx是正实数集上的增函数，所 以函数y=lnx没有极值：C.因为函数y=2在区间(0，+0）， x (-0,0)上是减函数，所以函数y=2没有极值：D.因为y= -2x=(x-1)2-1,所以该函数在(1，+0)上是增函数，在 (-∞，1)上是减函数，因此1是函数的极小值点，符合题意. 知识点二 (3)①左正右负②左负右正③相同 练一练： 1.(1)×(2)×(3)×(4)V 2.8y=3-3x2=3(1+x)(1-x),令y'=0得x1=-1,x2 =1,经判断知x=1是极大值点 故f1）=2+m=10,m=8. 关键能力攻重难 例1：(1)B由于f()=-1=1(x>0), 令f'(x)>0,则0<x<1,所以f(x)在(0,1)上单调递增： 令f'(x)<0,则x>1,所以f代x)在(1，+∞)上单调递减；所 以f代x)极大值为f1)=-1,无极小值 (2)AD由题可知f(x)=xnx+x的定义域为(0，+∞)， 对于A"()=ix+2n+1,则f(日)=l是+2h名+1 e e =1-2+1=0,故A正确；对于B,D,f'(x)=ln2x+2nx+1= (nx+1)2≥0，所以函数f代x)单调递增，故无极值点，故B错误， D正确；对于C,f(x)=xn2x+x=x(lnx+1)>0,故函数f(x)不 存在零点，故C错误. 对点训练1：(1)B因为三次函数过原点，故可设为y=x +br2+cx,所以y'=3x2+2bx+c. 又x=1,3是y=0的两个根， 「1+3= 3 所以 即，6=-6， 1×3=3: C c=9, 7 所以y=x3-6x2+9x, 又y=3x2-12x+9=3(x-1)(x-3),且当x=1时，y极大值=4， 当x=3时，y极小放=0，满足条件。 (2)2由f'(x)=3x2-6x=0, 解得x=0或x=2. 列表： x (-0,0)》 0 (0,2) 2 (2,+0) f'(x) 0 0 + f(x) 极大值 极小值 所以当x=2时，f(x)取得极小值 例2：f'(x)=[x2+(a+2)x-2a2+4a]e 令f'(x)=0,解得x=-2a或x=a-2, 由a≠号知-2a≠a-2 分以下两种情况讨论： ①若a>子则-2<a-2 当x变化时，f'(x)f(x)的变化情况如下表： (-, (a-2, -2a (-2a, a-2 -2a) a-2) +0) f'(x) + 0 0 f(x) 极大值 极小值 所以f(x)在(-o,-2a),(a-2,+∞)上是增函数，在 (-2a,a-2)上是减函数，函数f(x)在x=-2a处取得极大值 f(-2a),且f代-2a)=3ae2“,函数f代x)在x=a-2处取得极小 值fa-2),且fa-2)=(4-3a)e-2. ②若a<号，则-2a>a-2. 当x变化时f'(x)fx)的变化情况如下表： (- (a-2, -2a (-2a, a-2) a-2 -2a) +0) f'(x) 0 一 0 × f(x) 极大值 极小值 所以f代x)在(-∞，a-2),（-2a,+∞)上是增函数，在(a -2,-2a)上是减函数，函数f(x)在x=a-2处取得极大值f(a -2),且f代a-2)=(4-3a)e-2,函数f代x)在x=-2a处取得极 小值f-2a),且f代-2a)=3ae. 对点训练2：由题意，函数x)=lnx+a2+(a+1)x的定 义城为0，+)，且f'()=+ax+a+1=a+山+山 若a≥0，则当xe(0,+∞)时，f'(x)>0, 故函数f(x)在(0，+∞)上单调递增，函数f代x)无极值；若a <0,当xe(0,-)时，f'(x)>0:当xe(-a+时. '(x)<0, 故函数x)在(0，日上单调递增，在(-，+如上单 调递减，所以函数x)有极大值(-日)=(-日）六-山， 无极小值。 综上，当a≥0时，函数f(x)无极值；当a<0时，函数fx)有 极大值为山(-日）。-1，无板小值 例3：(1)f'(x)=3ax2+2bx+c 0 .·x=±1是函数f代x)的极值点 .x=±1是方程'(x)=3ar2+2bx+c=0的两根， 2b-0,① 3 由根与系数的关系，得 品=-1，② 又f1)=-1,.a+b+c=-1.③ 由023解得a=分6=0，c=-2 (2)fx)= 23、3 t, 0=-是=-141. 当x<-1或x>1时f'(x)>0, 当-1<x<1时，f'(x)<0, 函数f代x)在(-∞，-1)和(1+o)上是增函数， 在(-1,1)上是减函数， 当x=-1时，函数取得极大值f(-1)=1, 当x=1时，函数取得极小值f1)=-1. 对点训练3：(0,1)由f代x)=x3-3ax+1可得f'(x)=3x2 -3a,当a≤0时，f'(x)=3x2-3a>0恒成立，所以fx)在(0,1) 上单调递增，无极值； 当a>0时，令f'(x)=3x2-3a>0可得x>√a或x<-√a; 令f'(x)=3x-3a<0可得-a<x</a,所以当a>0时，f(x)》 =x3-3ax+1在x=√a处取得极小值，若函数f代x)=x3-3ar+1 在区间(0,1)内有极小值，则0<√a<1,解得0<a<1, 综上所述，a的取值范围为(0,1). 例4：f'(x)=3x2+12mx+4n, 依题意有广'(-2)=0， f-2)=0, 即12-24m+4n=0. 1-8+24m-8n+8m2=0, 解得m或m=2, n=3n=9. 当m=1,n=3时，f'(x)=3x2+12x+12=3(x+2)2≥0， 所以f(x)在R上单调递增，无极值，不符合题意： 当m=2,n=9时，f'(x)=3x2+24x+36=3(x+2)(x+ 6),当-6<x<-2时f'(x)<0,当x>-2时f'(x)>0, 故f代x)在x=-2处取得极值，符合题意. 综上所述，m=2,n=9,所以m+4n=38. 课堂检测固双基 1.A由图象可知，满足f'(x)=0且导函数函数值左负右正的 只有一个，故f(x)在(a,b)内的极小值点只有一个 2.BC由题得f'(x)=e*[(x-1)2(x-2)+2(x-1)(x-2)+(x -1)2]=e*(x+5)(x-5)(x-1). 令f'(x)>0,解得xe（-5,1)U(3,+∞)； 令f'(x)<0,解得xe(-0,-√5)U(1,√3)， 即xe(-5,1),（√5，+o)f(x)单调递增， xe（-0,-5),(1,w5)fx)单调递减. 于是±√5是极小值点，1是极大值点，则f(x)有2个极小值，1 是极大值点 3.Df'(x)=3x2+2ax+a+6. ,代x)既有极大值又有极小值 ..方程3x+2ax+a+6=0有两个不相等的实数根，那么△= (2a)2-4×3×(a+6)>0,解得a>6或a<-3. 4③断'()的图象可见在(-”，-2)和(2,4上f(x)< 7 0x)单调减，在(-号2和(4，+)上f'()>0x)单 调增.只有③正确。 6.3函数的最值 必备知识探新知 知识点一 (1)不超过(2)不小于(3)最值 练一练： C根据函数的极值与最值的概念知，代x)的极值点不一定 是最值点，代x)的最值点不一定是极值点，可能是区间的端点， 连续可导函数在闭区间上一定有最值，所以选项A,B,D都不正 确，若函数f(x)在区间[a,b]上单调，则函数f八x)在区间[a,b] 上没有极值点，所以C正确. 知识点二 最大值最小值 想一想： 极值是函数在极值点的一个小领域的性质，最值是函数在 定义域上的性质 练一练： 1.(1)V(2)V(3)×(4)× 2Af)=1-子，令f田=0得：-2 当-3≤x≤-√2时，f'(x)≥0，函数f代x)单调递增： 当-2≤x≤-1时，f'(x)≤0，函数f(x)单调递减， 所以，函数f(x)的最大值是f代-2)=-22. 关键能力攻重难 例1：(1)f'(x)=3x2-6x+6=3(x2-2x+2)=3(x-1)2 +3, f'(x)在[-1,1]内恒大于0，f(x)在[-1,1]上为增函 数.故当x=-1时，f(x)min=-12; 当x=1时，f(x)m=2. 即f代x)的最小值为-12，最大值为2， (2f'()=7+eos,令f'()=0,又xe[0,2m],解得x =号或x=经计算得0)=02m)=)=号+ ）-罗-孕所以当x=0时)有最小值0)=0：当x= 2π时f(x)有最大值f2π）=π. 对点训练1：(1)f'(x)=6x2-12x=6x(x-2). 令f'(x)=0,得x=0或x=2. 当x变化时，f'(x),x)的变化情况如下表 -2(-2,0) 0 (0,2) 2 (2,4) f'(x) 0 0 极大值 极小值 f(x) -37 35 3 -5 ·.当x=4时，f(x)取最大值35； 当x=-2时，f代(x)取最小值-37. 即f代x)的最大值为35，最小值为-37. 2'w=(》-(ey-亡-e= 当xe[0,a]时，f'(x)<0恒成立， 即f(x)在[0，a]上是减函数. 故当x=a时，f代x)有最小值f代a)=e“-e“;082 6.2函数的极值 素养目标定方向 学习目标 核心素养 1.通过实例了解极值的概念 1.借助函数的导数与极值关系的探究，培养数学 2.了解函数在某点取得极值的必要条件与充 抽象与逻辑推理素养。 分条件 2.通过利用导数求函数的极大值、极小值，培养数 3.会利用导数求函数的极大值、极小值， 学运算素养。 必备知识 探新知 知识点一 极值点与极值的概念 极值是函数的一种局部性质 (1)极大值：在包含x,的一个区间(a,b)内，函数y=f(x)在任何不为x的一点处的函数值都 点x。处的函数值，称x为函数y=(x)的极大值点，其函数值f(x。)为函数的极大值， (2)极小值：在包含x。的一个区间(a,b)内，函数y=f(x)在任何不为x。的一点处的函数值都 x处的函数值.称点x。为函数y=f(x)的极小值点，其函数值f(x。)为函数的极小值. 函数的极大值点与极小值点统称为 ,极大值与极小值统称为 [提醒](1)极值点是指自变量x的值，即横坐标，极值是指函数值y,即纵坐标 (2)极值点一定在区间的内部，端点不可能为极值点. 想一想： 函数的极大值一定比极小值大吗？ 练一练： 1.函数y=1+3x-x3有 () A.极小值-2，极大值2 B.极小值-2，极大值3 C.极小值-1，极大值1 D.极小值-1，极大值3 2.下列函数中，存在极值的函数为 A.y=e B.y=Inx 2 C.y= D.y=x2-2x 083 知识点二求函数y=f八x)极值点的步骤 般情况下，在极值点x。处，函数y=f(x)的导函数f'(x)=0,因此可以通过如下步骤求出函 数y=f(x)的极值点 (1)求出导数f'(x). (2)解方程f'(x)=0. (3)对于方程f'(x)=0的每一个实数根x分析∫'(x)在x附近的符号（即f(x)的单调性）确 定极值点 ①若f'(x)在附近的符号“ ”,则x。为极大值点； ②若f'(x)在x,附近的符号“ ”,则x。为极小值点； ③若f'(x)在x附近的符号“ ”,则不是极值点.设是f(x)的一个极值点，并求出 了f(x)的导数f'(x),则f'(x)=0,反之不一定成立 练一练： 1.思考辨析（正确的画“√”，错误的画“×”） (1)x=0是函数y=x3的极值点. (2)可导函数一定存在极值. (3)若∫'(x)=0,则x=xo是函数y=f(x)的极值点. (4)若x=xo是可导函数y=f(x)的极值点，则f'(x)=0. 2.已知函数y=3x-x3+m的极大值为10，则m的值为 关键能力攻重难 ●题型探究 题型一求函数的极值（点） 规律方法： 例1I)函数)=n-x有 利用导数求函裁极值 的步骤： A.极小值为0，极大值为-1 B.极大值为-1，无极小值 （1)确定函戴的定 C.极小值为-1，极大值为0 D.极小值为-1，无极大值 义域 (2)求导数∫'(x). (2)(多选)设函数f(x)=xlnx+x的导函数为f'(x),则 (3)解方程∫'(x)= Af'日=0 B.。是f()的极值点 0得方程的根 (4)利用方程∫'(x) =0的根将定义域分成 C.f(x)存在零点 Dx)在。，+上单调递增 若千个小开区间，列 表，判定导函数在各个 [规律方法] 小开区间的符号 】对点训练1 (5)确定函数的极 (1)当x=1时，三次函数有极大值4，当x=3时有极小值0，且函数过原 值，如果∫'(x)的符号 在处由正（负）变 点，则此函数是 负（正)，则f(x)在xo A.y=x3+6x2+9x B.y=x3-6x2+9x 处取得极大（小）值 C.y=x3-6x2-9x D.y=x3+6x2-9x (2)函数f(x)=x3-3x2+1的极小值点为 084 题型二 求含参数函数的极值 例2已知函数八x)=(?+m-2+3a)e(:eR),当实数a≠号时，求函数 f(x)的单调区间与极值. 规律方法： 求解析式中含有参数的 函数极值时，有时需要 用分类与整合的思想才 能解决问题.讨论的依 据有两种：一是看某数 是否对∫(x)的零点有 影响，若有影响，则需要 分类讨论；二是看 f'(x)在其零点附近的 符号的确定是否与参裁 有关，若有关，则需要分 类讨论 [规律方法] 》对点训练2○ 已知函数f(x)=lnx+2ar+(a+1)x.讨论函数f八x)的极值 ●085 题型三利用函数极值求参数的值 例3已知函数e)=a+b+a(a0在x=±1处取得极值，且)=-1 (1)求常数a,b,c的值； (2)判断x=±1是函数的极大值点还是极小值点，试说明理由，并求出 极值. 规律方法： 已知函数极值，确定函 数解析式中的参裁时， 注意以下两点： (1)根据极值点的导数 为0和极值这两个条件 列方程组，利用待定系 ·[规律方法] 数法求解 】对点训练3 (2)因为导数值等于零 若函数f(x)=x3-3ax+1在区间(0,1)内有极小值，则a的取值范围为 不是此点为极值点的充 要条件，所以利用待定 ●易错警示 系数法求解后女须验证 充分性 忽视极值存在的条件致误 例4已知函数代x)=t+6m+4x+8m在x=-2处取得极值，且极值为0， 求m+4n的值. [误区警示]可导函数的极值点一定是导数为零的点.在某点导数为零仅是 该点为极值点的必要条件，其充要条件是该点两侧的导数异号 [正解] [点评]由于“f'(x)=0”是“f(x)为极值”的必要不充分条件，因此由 f'(x,)=0求得m,n的值后，要验证在x=x左、右两侧导数值的符号是否相反，才 能确定是否真正在点x。处取得极值，忽视了这一检验过程，就会导致错解， 086 课堂检测固双基 1.函数f(x)的定义域为开区间(a,b),其导函数 C.（-∞，-1)U(2,+∞) f'(x)在(a,b)内的图象如图所示，则函数f(x)在 D.(-∞，-3)U(6,+0) 开区间(a,b)内极小值点的个数为 )4.如图是函数y=fx)的导函数y=∫'(x)的图象， y=f气x 对此图象，有如下结论： ①在区间(-2,1)内f(x)是增函数； ②在区间(1,3)内f(x)是减函数； A.1 B.2 C.3 D.4 ③x=2时，f(x)取到极大值； 2.(多选)对于函数f(x)=e(x-1)2(x-2),以下 ④在x=3时，f(x)取到极小值. 选项正确的是 ( A.有2个极大值 B.有2个极小值 -302式345 C.1是极大值点 D.1是极小值点 3.已知f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1有极大值和极 其中正确的是 (将你认为正确的序号填在 横线上) 小值，则a的取值范围为 ( A.(-1,2) 夯基提能作业 B.（-3,6) 请同学们认真完成练案[19] 6.3函数的最值 素养目标定方向 学习目标 核心素养 1.能够通过函数的图象区分函数的极值与 1.结合实例培养学生的直观想象素养。 最值， 2.通过求闭区间上函数的最大值、最小值，培养数 2.会求闭区间上函数的最大值、最小值 学运算素养。 必备知识 探新知 知识点一最值点 (1)最大值点：函数y=f(x)在区间[a,b]内的最大值点xo指的是：函数f(x)在这个区间内所 有点处的函数值都 f(x). (2)最小值点：函数y=f(x)在区间[a,b]内的最小值点x。指的是：函数f(x)在这个区间内所 有点处的函数值都 f(x). (3)函数的 或在极值点（也是导数的零点）取得，或者在区间的端点取得. 练一练： 设f(x)是区间[a,b]上的连续函数，且在(a,b)内可导，则下列结论中正确的是 A.f(x)的极值点一定是最值点 B.f(x)的最值点一定是极值点 C.f(x)在区间[a,b]上可能没有极值点 D.f(x)在区间[a,b]上可能没有最值点