2.3 导数的计算-【成才之路·练案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步新课程学习指导(北师大版)

4.-2由导数的概念和几何意义知 四0+-仙=f'()=6a=9-音=-2 △x y=x,x=1, 5.(1,1)x-2y+1=0由{1得{ (s y=1, 所以两曲线的交点坐标为(1,1) 由f代x)=,得f'(1)=lim 个+△x-1 △x 1 1 lim- 40/1+△x+12’ 所以y=)在点(1,1)处的切线方程为y-1=之(x-1), 即x-2y+1=0. 6.'f'()limAy Ar-0△x =a+A°t-(a+D=2s. △x ∴f'(1)=2a,即切线斜率k,=2a. g0=出 =lim+Ax）+6(x+A）-（x+b=32+b, △x ∴.g'(1)=3+b,即切线斜率k2=3+b. .在交点(1，c)处有公共切线，∴.2a=3+b. 义：a+1=1+6,即a=6,故可得=3， b=3. C组·创新拓展 2由导数的定义，得 f'(0)=1im△）f0=lma(Ax)2+bAr+c-c △x =lim（a·△x+b)=b. 因为对于任意实数x,有f代x)≥0， 则4=b-4ac≤0. la>0, 所以ac≥ ,所以c>0, 所以=a+h+c≥b+2@c≥2=2，当且仅当a=c= f'(0)b b b 夕时，等号成立 练案[15] A组·基础自测 1D当y=范时y(面'22，D不正 确.故应选D. 2.By=(x)'=ex-l,故选B. 3.C f'(x)=a'ln a,f'(1)=aln a =In 27, 解得a=3,则f"(e)=33,放f(-)=3 4B由于y=压，所以了2左于是，=1，所以线在点 (行，2)处的切线的斜率等于1，切线方程为4x-4+1=0 故选B. 5.AC “曲线y=在点P的切线的斜率为-4， 1 =-4，=±2 y=±2. 即点P分，2或(-2，-2，选AC 子是因为)=源=子 6.1 所以W'()=子 7.x+y-号=0因为c0s乏=0，即求曲线y=c0sx在点 (受，0处的切线方程， y'=-sinx,当x=刀时，y'=-1. 所以切线方程为y=-1·(x-受） 即x+y-=0 80方法-=（停+号 =2mx+牙） 所以④）=2inz-5, 所以[4}=(wD)'=0. 方法二：因为（平）为常数，y=c(常数）的导函数为y=0,所 以[川=0 9.(1)因为fx)=√=x2,x>0,(x“)'=a·x-1, 所以f"()=(y=2+-39>0 (2y=(=(x)y=-44=-4x3=-x0 (3)因为y=-2sin5(1-2eas24） =2n（(2s2-）=2nmos7=sinx, 所以y'=(sinx)'=cosx,xeR (4)因为y=logx2-log2x=log2x,x>0, 所以y=(gx)'= h2t>0 10.()因为P(号a在圃线=6msx上，所以a=ms号=分 (2)因为y'=-sinx, 所以k,=y儿号m号=- 2 又因为所求直线与直线！垂直， 1-23 所以所求直线的斜率为方了， 所以所求直线方程为y子气：号） 即22+分 9 B组·能力提升 1Cy=nx的导数y=,令丈=分，得x=2切点为 (2,h2),代入直线y=2x+b,得b=血2-1. 2.A因为y=cosx,而cosx∈[-1,1].所以直线l的斜率的 范围是[-1,1]，所以直线1倾斜角的范围是 [o,]子 3.ABC若存在互相垂直的切线，则其斜率之积为-1，或一条 切线的斜率不存在，另一条切线的斜率为0.A中，f'(x)= 。>0,B中f'()=3x≥0，C中f'(x)=(x>0),故ABC 中均不存在互相垂直的切线.而D中f'(x)=cosx,其可正可 负，一定存在使cosx1·cosx2=-1的情形 4(号戌（等 ）y'=(simx)'=cosx=2, 因为xe(0,2m),所以=号或号 所以正弦曲线y=sinx(xe(0,2m)上切线斜率等于？的点 为号戌(-》 5.4方法一：对于y=e+x+a,其导数为y'=e+1, 因为直线y=2x+5是曲线的切线，直线的斜率为2， 令y'=e+1=2,即e=1,解得x=0, 将x=0代入切线方程y=2x+5,可得y=2×0+5=5, 所以切点坐标为(0,5)， 因为切点(0,5)在曲线y=e*+x+a上， 所以5=e°+0+a,即5=1+a,解得a=4. 方法二：对于y=e*+x+a,其导数为y'=e*+1, 假设y=2x+5与y=e+x+a的切点为(x,yo), e0+1=2, 则o=2x+5,解得a=4. Lyo=e+xo+a, 6.(1)设切点为(m,logm)(m>0). 因为f(x)=log2x,x>0, 1 所以f'()=n2>0. 由题意可得1。=lg,m min 2 m 解得m=e, 1 所以切线方程为y-loge=n2x-e), 即ys, eln 2t (2)过点A(分-，8(2,1)的直线的斜率为ka=号 4 19 假设存在点P,使得过点P的切线与直线AB平行，设点P(n, logm),7≤n≤2， 有=号得=品 3 2<he=1, 所以3、 33 4<4ln2<2 所以在曲线y=x)(2≤x≤2上存在点P,使得过点P的切线 与直线AB平行，且点P的横坐标为4m2 3 C组·创新拓展 y=x-1202 2023 由y=nx得=子，所以在点(1,0)处的 切线斜率k=1,则切线方程为y=x-1; 由题意知lnx≈x-1, 所以1n2e≈2e-1, 即lne20z≈e20z-1, 2023 所以e≈lne+1=202+1-202, 5-282 练案[16] A组·基础自测 1.cy=() =(c0sx)'-c0sx·x x =-xsin cosx =_sin x cos 2.D.f(x)=(x-a)(x-b)=x2-(a+b)x+ab, ∴.f'(x)=2x-(a+b), ∴.f'(a)=2a-(a+b)=a-b,故应选D. 3.B设过点P(x,%)的切线与直线2x-y=0平行，因为 '()=人+a故f'o)=+a=2,得a=2-,由题意 知0>0，所以a=2-上<2. 4.Af'(x)=(e)'+(xsin x)'-(7x)' =e*+sin x +xcos x-7, 所以f'(0)=e-7=-6. 5.AB因为(0,0)在直线1上，当O(0,0)为f(x)的切点时，因 为f'(0)=2,所以直线l的方程为y=2x, 又直线1与y=x2+a相切， 所以x2+a-2x=0满足4=4-4a=0,得a=1: 当0(0,0)不是fx)的切点时， 设切点为(x,x后-3x后+2x)(≠0)， 则f'(x0)=3x6-6x0+2, 所以6-36+2=36-6，+2， 6练案[15] 第二章 导数及其应用 §3导数的计算 化组·基础自测 8.设函数f(x)=sinx+cosx,则[④]'= 一、选择题 1.下列结论不正确的是 三、解答题 A.若y=0,则y'=0 9.求下列函数的导数： B.若y=5x,则y'=5 (1)/(x)=√e,x>0: C.若y=x1,则y'=-x2 D.若y=x,则y=2 1 2y= 2.函数y=x的导数是 (3y=-2sin51-2cos4: A.y'=x B.y'=ex"-1 (4)y=logzx2-log.x. C.y'=ex D.y'=In x 3.若指数函数f(x)=a(a>0,a≠1)满足 f'(1)=ln27,则f'(-1)= A.2 B.In 3 C.In3 3 D.-In 3 4血线)=在点任，)处的切线方程为 A.4x-4W3y+2W3-1=0 B.4x-4y+1=0 C.43x-4y+2-W3=0 D.4x+4y-3=0 5.(多选)函数y=1在点P处的切线斜率为 2 -4,则P的坐标为 A(32刘 B2) c(--2 D.(-2,-2） 二、填空题 6.函数fx)=,则f'(x)= 7.曲线y=c0sx在x=牙处的切线方程为 130 10.已知点P写，在曲线y=cosx上，直线1是3.（多选）下列曲线的切线中，不存在两条互相 垂直的切线的曲线是 以点P为切点的切线， A.f(x）=e B.f(x）=x3 (1)求a的值； C.f(x)=In x D.f(x)=sin x (2)求过点P与直线垂直的直线方程. 二、填空题 4.正弦曲线y=sinx(x∈(0,2π)上切线斜率等 于)的点为 5.(2025·全国一卷)若直线y=2x+5是曲线 y=e+x+a的切线，则a= 三、解答题 6.已知点A2,-,B(2,1),函数)=lgx (1)过坐标原点O作曲线y=(x)的切线，求 切线的方程； (2)在曲线y=f(x)(2≤x≤2上是否存在点 P,使得过点P的切线与直线AB平行？若存 在，求出点P的横坐标；若不存在，请说明 理由. 8组·能力提升 一、选择题 1.直线y=2x+b是曲线y=lnx(x>0)的一条 切线，则实数b的值为 A.2 B.In 2+1 C.In 2-1 D.In 2 组·创新拓展 2.正弦曲线y=sinx上一点P,以点P为切点的 “以直代曲”是微积分中最基本、最朴素的思 切线为直线1，则直线1的倾斜角的范围是 想方法，如在切点附近，可用曲线在该点处的 切线近似代替曲线.曲线y=lnx在点(1,0) 处的切线方程为 利用上述“切线 A[o]u[πm B.[0,m） 近似代替曲线”的思想方法计算2ē所得结果 c[罕， D.0. 为 (结果用分数表示). 131