2.4.1 导数的加法与减法法则&2.4.2 导数的乘法与除法法则-【成才之路·学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步新课程学习指导(北师大版)

069 课堂检测 固双基 1.若)=sin,则f君）= ()3.过点(e,-e)作h线y=e-的切线，则切线 方程为 A.-2 C. D.③ A.y=(-1-e)x+e2 B.y=(e-1)x-e2 2.设函数代)=e+2sinx,则曲线y=(x)在点 C.y=(e+1-1)x-e+2 1+x2 D.y=(e°-1)x-e+1 (0,1)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积4.若f(x)=x,g()=logx,则f'(x)-名(x)= 为 ( 2 6 0.2 夯基提能作业 请同学们认真完成练案[15] §4导数的四则运算法则 4.1导数的加法与减法法则 4.2导数的乘法与除法法则 素养目标定方向 学习目标 核心素养 1.掌握导数的四则运算法则. 通过利用导数的四则运算法则求导函数，培养数 2.能利用导数的四则运算法则求导函数 学运算素养 必备知识 探新知 知识点导数的四则运算法则 若两个函数f(x)和g(x)的导数分别是∫'(x)和g'(x),则 两个函数的和的导数 [f(x)+g(x)]'= 两个函数的差的导数 [f(x)-g(x)]'= [f(x)·g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x) 两个函数的积的导数 特别地，[f(x)]'=f'(x),k∈R 两个函数的商的导数 [}—(g)0) [提醒]注意区分两个函数积与商的求导公式中符号的异同，积的导数公式中是“+”，而商 的导数公式中分子上是“-” 070 想一想： 若两个函数的导数存在，那么这两个函数的和、差、积、商（商分母不为零）的导数是否存在？ 练一练： 1.已知函数f(x)=lnx-f'(1)x2+2x-1,则f(1)的值为 A.-1 B.0 C.1 D.2 2.函数f(x)=(x+1)2(x-1)在x=1处的导数等于 A.1 B.2 C.3 D.4 3.若函数f代x)=(2πx)2,则f'(-1)= A.8m2 B.-8m2 C.4m2 D.-4m2 关键能力攻重难 ●题型探究 题型一利用导数的运算法则求函数的导数 规律方法： 例1求下列函数的导数 应用导数的四则运算 法则的思路方法及注 (1)y=(2x2-1)(3x+1); (2)y=￥-x+1 意事项 x2+x+19 (1)熟记导数的四则 运算法则，尤其是 (3)y=3e-2+e; 积、商的求导法则 (4)y=2+了 In x (2)应用和、差、积、 商的求导法则求导数 [分析]若所给函数解析式较为复杂，可先对函数解析式进行适当的变 时，在可能的情况 化与化简，再用相关公式和法则求导. 下，应尽量少用甚至 不用积或商的求导法 则，应在求导之前， 先利用代裁、三角恒 等变形等知识对函裁 进行化简，然后再求 导，这样可以减少运 算量，提高运算速 度，避免出错 (3)对于三个以上函 数的积、商的导裁， 依次转化为“两个“ 函裁的积、商的导裁 计算 ·[规律方法] ●071 》对点训练1 求下列函数的导数： (1)y=(x2+1)(x-1): (2)y=3+lgx; 3y4 题型二求导法则的综合应用 例2已知曲线x)=+a+b在点P(2,-6)处的切线方程是13x-y 32=0. (1)求a,b的值： (2)如果曲线了=x)的某一切线与直线4y=-子+3垂直，求切点 规律方法： 1.导数的应用中，求 坐标与切线的方程， 导数是一个基本解题 [分析](1)由f(x)在，点P处的切线方程可知f'(2),及f(2)=-6,得环节，应仔细分析函 到a,b的方程组，解方程组可求出a,b; 数解析式的结构特 (2)由曲线y=f代x)的切线与l垂直，可得切线斜率k=∫'(x),从而解出 征，根据导裁公式及 xo,求得切点坐标和k. 运算法则求导裁，不 具备导数运算法则的 结构形式时，先恒等 变形，然后分析题目 特点，探寻条件与结 论的联系，选择解题 途径. 2.求参数的问题一般 依据条件建立参数的 方程求解 [规律方法] 》对点训练2 已知aeR,设函数f(x)=ax-lnx的图象在点(1，f(1))处的切线为l,则 U在y轴上的截距为 072 ●易错警示 不能正确应用导数的运算法则而致误 例 .求函数y=3-x6+5压-9的导数 √x [错解]y= 3x-xE+5E-9=(3-x氏+5E-9) (√x) 3x)”二('+5@6t-2+5x7克6x3 2* 5 (x)' 2压=12xE-3x+5. 1 2 [正解] [点评] 本题错解中，将商的导数公式误记为}=x致误 [g(x)g'(x) 课堂检测固双基 1.函数f(x)=x+1的导数f'(x)= 3.若函数f(x)=e'cos x,则此函数图象在点 ( (1,f(1))处的切线的倾斜角为 A1-克 B.1-1 A.0 B.锐角 C.直角 D.钝角 C.1+ 1 D.1+1 4.若曲线y=xlnx上点P处的切线平行于直线 2x-y+1=0,则点P的坐标为 2.函数f(x)=x+e的导数是 1 A.f'(x)=e* B.f'(x)=1+ 夯基提能作业 C.f'(x)=1+xex-1 D.f'(x)=1+e 请同学们认真完成练案[16]令x=0,解得y=1, 令y=0,解得x=分 故所求三角形的面积为S=分×号×1=石故选A 3.C由y=e-x,得y'=e-1,设切点为(x,eo-x),则 ylx==e0-1, .切线方程为y-e0+x=(e0-1)(x-x), 切线过点(e,-e), .(e+1)eo=xe'o,解得=e+1, .切线方程为y-e1+e+1=(e1-1)(x-e-1),整理得 y=(e1-1)x-e2 4.3x2- xln 3 f(x)=38)=3 f'(x）-g(x)=3x-n 1 §4导数的四则运算法则 4.1导数的加法与减法法则 4.2导数的乘法与除法法则 必备知识探新知 知识点 f(x)+8(x)f(x)-g(x)(x)g()-R)g(x) g(x) 想一想： 两个函数的导数存在，则它们的和、差、积、商（商分母不为 零)必存在；若两个函数的导数不存在，则它们的和、差、积、商不 一定不存在 练一练： 1B求导得f()=-2)x+2. 所以f'(1)=1-2f'(1)+2,解得f'(1)=1, 则fx)=lnx-x2+2x-1, 所以f代1)=n1-1+2-1=0. 2.Df(x)=(x+1)2(x-1)=x3+x2-x-1,f'(x)=3x2 +2x-1,f'(1)=3+2-1=4. 3.Bf(x)=(2πx)2=4m2x2, 所以f'(x)=8πxf'(-1)=8π2×(-1)=-8π2. 关键能力攻重难 例1：(1)方法一：可以先展开后再求导： y=(2x2-1)(3x+1)=6x3+2x2-3x-1, .y'=(6x3+2x2-3x-1)'=18x2+4x-3. 方法二：可以利用乘法的求导法则进行求导： y'=(2x2-1)'(3x+1)+(2x2-1)(3x+1)'=4x(3x+1) +3(2x2-1）=12x2+4x+6x2-3=18x2+4x-3. (2)把函数的解析式整理变形可得： y-+2++1:2红=1- 2x x+x+1x+x+1 +x+1' y=-2x+x+1)-2x(2x+12x2-2 (x2+x+1)2 (x2+x+1)7 (3)根据求导法则进行求导可得： y'=(3e)'-(2)'=(3)'e+3(e)'-(2)'=3ln3· e +3e*-2*In 2 =(3e)ln(3e)-21n2. (4)利用除法的求导法则，进行求导可得： y=血)'(x+1)-nx·(x+) (x2+1)2 1(2+1)-lnx·2x =2(1-2nx)+1 (x2+1) x(x2+1)2 16 对点训练1：(1)y=(x2+1)(x-1)=x3-x2+x-1, .y=3x2-2x+1. (2)y=(3)'+(gx)'=3l血3+xn10 (3)y=e)'(x+1)-(x+1)'e (x+1)2 a 例2：(1)：fx)=x3+ax+b的导数f'(x)=3x2+a, 由题意可得f'(2)=12+a=13,f2)=8+2a+b=-6, 解得a=1,b=-16. (2):切线与直线y=-年+3垂直， ∴.切线的斜率k=4. 设切点的坐标为(x,yo),则f'(x)=3x+1=4, .x=±1. 由f(x)=x+x-16,可得%=1+1-16=-14，或y。=-1-1 -16=-18.即切点坐标为(1，-14)或(-1，-18). 则切线方程为y=4(x-1)-14或y=4(x+1)-18. 即y=4x-18或y=4x-14. 对点训练2：1f'(x)=a- 龙f'(1)=a-1. 又.f1)=a .切线l的斜率为a-1,且过点(1，a), ∴.切线l的方程为y-a=(a-1)(x-1). 令x=0,得y=1,故l在y轴上的截距为1. 例3：y=3-xE+5E-91 =-5款 =(3x2)'-(x)'+(5)'-(9xz)' 2x2 学 一1 课堂检测固双基 Af-+=+(=1- 2.D函数的导数为f'(x)=1+e,故选D. 3.D由已知得f'(x)=e"cos-e'sinx e*(cos x-sin ) ..f'(1)=e(cos 1-sin 1). 受>1>牙 而由正、余弦函数性质可得cos1<sinl. ∴f'(1)<0.即f(x)在(1，f1)处的切线的斜率k<0..切 线倾斜角是钝角. 4.(e,e)设P(o,yo),则y=xnx在x=o处的导数为lno+ 1=2,所以xo=e,则yo=e,则P点坐标为(e,e). §5简单复合函数的求导法则 必备知识探新知 知识点一 y=f(u)u=o(x)y=f(o(x)) 想一想： 由内函数u=p(x)的值域包含于外函数y=f代u)的定义域 所求得的x的取值集合就是复合函数y=f代p(x)的定义域. 练一练： (1)×(2)×(3)×(4)V