2.3 导数的计算-【成才之路·学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步新课程学习指导(北师大版)

关键能力攻重难 1:B方法-5+》西- h =linif(xo +h)-Fxo)+o-fo-h) =++》- )+-1- h h -h =f'(o)+f'(xo) =2f'(x). 方法二：西+-西- h =四[2×八+)--】 2h =2+-高- 2h =2f'(x). 对点训线1：Cf()=)-2△ 2△x 分ד-2a2.含-2 △x 例2：(1)B由y=f(x)的图象及导数的几何意义可知，当 x<0时f'(x)>0:当x=0时f'(x)=0;当x>0时，f'(x)<0, 故B符合 (2)B从函数图象上看，要求图象在[0，T]上越来越陡峭， 在各选项中，只有B项中图象的切线斜率在不断增大，即运输效 率（单位时间内的运输量）逐步提高： 对点训练2：A依题意，y=f'(x)在[a,b]上是增函数，则 在函数y=(x)的图象上，各点的切线的斜率随着x的增大而增 大，观察四个选项的图象，只有A满足， 例3：(1)：P(2,4在曲线y=宁2+专上， .曲线在点P(2,4)处切线的斜率为 [写2+4)+-（宁×2+） k-ji △x =m[4+2Ax+3(4)] =4. 曲线在点P(2,4)处的切线方程为y-4=4(x-2)， 即4x-y-4=0. (2)设曲线y=子+号与过点P(2,4)的切线相切于点 A(,写+号)，则切线的斜率为 lim- Ax 切线方程为y-(3号+)=(x-), 即y=2-子+号 :点P(2,4)在切线上， 4=2G-子+号，即后-36+4=0 ∴.x号+x6-4x后+4=0， x(x0+1)-4(0+1)(x0-1)=0, .(x+1)(x0-2)2=0, 解得x0=-1,或x0=2. 故所求的切线方程为x-y+2=0,或4x-y-4=0. 16 对点训练3：(1)x+2y+4=0 f'(-2)=im-2+Ax)-f-22 Ar10 △x 2 =lim-2t Ar 1 =i-2+a9- 所以切线方程为) +1=(x+2),即x+2y+4=0 (2)设切点为Q(a,a2+1), k=a+4以-A@=(2a+4)=2a △x 所以在Q点处的切线方程为y-(a2+1)=2a(x-a).(*) 把点(1,0)代人(*)式得-(a2+1)=2a(1-a). 解得a=1±√2. 再把a=1±2代入到(*)式中，即得切线方程为y=(2+ 22)x-(2+22)或y=(2-22)x-(2-22). 例4：经验证点(2,0)不在曲线y=上的图象上，则设切点为 P(o6),令f0)=元 1 1 1 )=马+五 -△x -1 1 0Ax·(6+A)·(+4）=- lim -lim- 得所求直线方程为y-%=-(x-). 因为点(2,0)在切线上，所以x。=2-x 又点P(,6)在曲线x)=上，所以6=1， x 联立可解得xo=1,yo=1, 故所求直线方程为x+y-2=0. 课堂检测固双基 1.B由题图可知，曲线在点A处的切线的斜率比曲线在，点B处的 切线的斜率小，结合导数的几何意义知f'(x)<f'(x),选B. 子2+4)2- 2.A f'(2)=lim 4大4 △x =(4r+1)=1, ∴.过点(2,1)的切线方程为y-1=1×(x-2), 即x-y-1=0.故选A. 3.B:函数y=f代x)在x=x处的导数为1， 如±- nfo+△x)-f(xo) 4r0 2△x △x =2'(x=2 4-a+a-山 △x △x -a(Ax)2+2a(△r)=a(Ar）+2a,lim Ay=2ax, △x 40△x 设切点为(0o),则2ax=1, 1 1 六。=20：切点在直线y=x上，心%=2后 1 代人y=am+1得2元=4+1，.a=4 §3导数的计算 必备知识探新知 知识点 +42- △x 想一想： 不正确.由导数定义可知f(x)=e*+C(其中C为任意实 数)，都有f'(x)=e 练一练： 1.C因为f孔x)=x2,所以f'(x)=2x, 所以f'(3)=6. 2.①②③④对于①，f代x)=x2,f'(x)=2x,由x2=2x,解 得x=0或x=2,因此此函数有“巧值点”； 对于②，fx)=e,f(x)=e,由e=e,得x∈R,因此此函 数有“巧值点”； 对于③，代x)=血x∫'(x)=,分别画 y 出图象y=n,y=(x>0),由图象可知。 两函数图象有交点，因此此函数有“巧值 点”； 0 对打④0=()= x2 由士=之，解得x=-1, 因此此函数有“巧值点”. 知识点二 0 as"a'ln a cos x -sinx cosx 练一练： 1.(1)×(2)×(3)V(4)V 2.A先利用诱导公式化简，再根据求导公式求导. 关键能力攻重难 例1：0y-(=ay= ②=…派=y=(r=手= ③y'=(3)'=3*1n3. ④y=(ogsx)'=n5 (2)①y'=0. 2=(2)n-(2n2 2x 对点训练1：(1)Df(x)=a(a>0,a≠1)是常数函数， 所以f'(x)=0.所以f'(2)=0. (2)C因为f'(x)=10ln10, 所以f'(1)=10ln10. (3)①y=(lgt'=n8-3xn2 1 1 ②因为y=i血之0s2=2imx, 所以y=(宁小=x 例2：(1)By=元， 1 y=(= .切线的斜率k=-4, 切线方程为y-2=-4(x-2): 即4x+y-4=0. (2)函数y=nx的定义域为(0，+0). y=(hy= 设切点坐标P(e,y),则o=lne=1,所以切点为P(e,l), -16 曲线y=lnx在x=e处的切线斜率k=。,所以所求切线方 程为y-1=名（x-e,即x-y=0 对点训练2：(1)y=xn3+1f(x)=3,f'(x)= 3ln3, ∴.f'(0)=n3, .所求切线方程为y=n3+1. (2)C.y'=3x, ∴.点(2,8)处的切线斜率k=f'(2)=12, .切线方程为y-8=12(x-2),即y=12x-16, ∴.k=12,b=-16,∴.k-b=28. (3)D切线的斜率k=m子m=-1"()=- 设切点为(0)，则r'(o)=-1,-之=-1， .0=1或-1， ∴.切点坐标为(1,1)或(-1，-1). 例3：(1)Df'(x)=1+2x-6, 3 0)=古+6262 1 当且仅当b=1时取等号，因此切线斜率的最小值是2，选D. (2)如图，设1是与直线y=x平行， y=e 且与曲线y=e相切的直线，则切点到直 线y=x的距离最小 设直线l与曲线y=e*相切于点 P 11 P(xo,Yo). 因为y'=e,所以e0=1,所以xo 01 =0. 代人y=e,得yo=1,所以P(0,1) 所以点P到直线y=x的最小距离为0-山=巨 2 -2 对点训练3：。设切点坐标为名0。 由题意得f'(xo)==k,又0=，而且o=n,从而 可得0=e,=1,则k=。 1 例4：易知P点在曲线y=x3上，当P点为切点时，由上面解 法知切线方程为12x-y-16=0. 当P点不是切点时，设切点为A(x。,y。),由定义可求得切 线的斜率为k=3x后 A在曲线上%=心-8- -23x6, .x后-3x后+4=0.(x0+1)(x0-2)2=0x0=-1或x0 =2(舍去)， ∴y%=-1,k=3,此时切线方程y+1=3(x+1),即3x-y+ 2=0. 故经过点P的曲线的切线有两条，方程分别为12x-y-16 =0和3x-y+2=0. 课堂检测固双基 1.Df()=f(}-名-9 2.Af代x)=e+2simx 1+x2 则f'(x)= (e*+2cosx)(1+)-(e*+2sin x)2x (1+x2) 故f'(0)=3, 所以曲线y=f代x)在点(0,1)处的切线为y=3x+1, 6 令x=0,解得y=1, 令y=0,解得x=分 故所求三角形的面积为S=分×号×1=石故选A 3.C由y=e-x,得y'=e-1,设切点为(x,eo-x),则 ylx==e0-1, .切线方程为y-e0+x=(e0-1)(x-x), 切线过点(e,-e), .(e+1)eo=xe'o,解得=e+1, .切线方程为y-e1+e+1=(e1-1)(x-e-1),整理得 y=(e1-1)x-e2 4.3x2- xln 3 f(x)=38)=3 f'(x）-g(x)=3x-n 1 §4导数的四则运算法则 4.1导数的加法与减法法则 4.2导数的乘法与除法法则 必备知识探新知 知识点 f(x)+8(x)f(x)-g(x)(x)g()-R)g(x) g(x) 想一想： 两个函数的导数存在，则它们的和、差、积、商（商分母不为 零)必存在；若两个函数的导数不存在，则它们的和、差、积、商不 一定不存在 练一练： 1B求导得f()=-2)x+2. 所以f'(1)=1-2f'(1)+2,解得f'(1)=1, 则fx)=lnx-x2+2x-1, 所以f代1)=n1-1+2-1=0. 2.Df(x)=(x+1)2(x-1)=x3+x2-x-1,f'(x)=3x2 +2x-1,f'(1)=3+2-1=4. 3.Bf(x)=(2πx)2=4m2x2, 所以f'(x)=8πxf'(-1)=8π2×(-1)=-8π2. 关键能力攻重难 例1：(1)方法一：可以先展开后再求导： y=(2x2-1)(3x+1)=6x3+2x2-3x-1, .y'=(6x3+2x2-3x-1)'=18x2+4x-3. 方法二：可以利用乘法的求导法则进行求导： y'=(2x2-1)'(3x+1)+(2x2-1)(3x+1)'=4x(3x+1) +3(2x2-1）=12x2+4x+6x2-3=18x2+4x-3. (2)把函数的解析式整理变形可得： y-+2++1:2红=1- 2x x+x+1x+x+1 +x+1' y=-2x+x+1)-2x(2x+12x2-2 (x2+x+1)2 (x2+x+1)7 (3)根据求导法则进行求导可得： y'=(3e)'-(2)'=(3)'e+3(e)'-(2)'=3ln3· e +3e*-2*In 2 =(3e)ln(3e)-21n2. (4)利用除法的求导法则，进行求导可得： y=血)'(x+1)-nx·(x+) (x2+1)2 1(2+1)-lnx·2x =2(1-2nx)+1 (x2+1) x(x2+1)2 16 对点训练1：(1)y=(x2+1)(x-1)=x3-x2+x-1, .y=3x2-2x+1. (2)y=(3)'+(gx)'=3l血3+xn10 (3)y=e)'(x+1)-(x+1)'e (x+1)2 a 例2：(1)：fx)=x3+ax+b的导数f'(x)=3x2+a, 由题意可得f'(2)=12+a=13,f2)=8+2a+b=-6, 解得a=1,b=-16. (2):切线与直线y=-年+3垂直， ∴.切线的斜率k=4. 设切点的坐标为(x,yo),则f'(x)=3x+1=4, .x=±1. 由f(x)=x+x-16,可得%=1+1-16=-14，或y。=-1-1 -16=-18.即切点坐标为(1，-14)或(-1，-18). 则切线方程为y=4(x-1)-14或y=4(x+1)-18. 即y=4x-18或y=4x-14. 对点训练2：1f'(x)=a- 龙f'(1)=a-1. 又.f1)=a .切线l的斜率为a-1,且过点(1，a), ∴.切线l的方程为y-a=(a-1)(x-1). 令x=0,得y=1,故l在y轴上的截距为1. 例3：y=3-xE+5E-91 =-5款 =(3x2)'-(x)'+(5)'-(9xz)' 2x2 学 一1 课堂检测固双基 Af-+=+(=1- 2.D函数的导数为f'(x)=1+e,故选D. 3.D由已知得f'(x)=e"cos-e'sinx e*(cos x-sin ) ..f'(1)=e(cos 1-sin 1). 受>1>牙 而由正、余弦函数性质可得cos1<sinl. ∴f'(1)<0.即f(x)在(1，f1)处的切线的斜率k<0..切 线倾斜角是钝角. 4.(e,e)设P(o,yo),则y=xnx在x=o处的导数为lno+ 1=2,所以xo=e,则yo=e,则P点坐标为(e,e). §5简单复合函数的求导法则 必备知识探新知 知识点一 y=f(u)u=o(x)y=f(o(x)) 想一想： 由内函数u=p(x)的值域包含于外函数y=f代u)的定义域 所求得的x的取值集合就是复合函数y=f代p(x)的定义域. 练一练： (1)×(2)×(3)×(4)V●065 §3导数的计算 素养目标定方向 学习目标 核心素养 L.能根据定义求函数y=c,y=x,y=x2,y= =的导数 1 通过基本初等函数的导数公式的应用，培养数学 2.掌握基本初等函数的导数公式，并能进行 运算素养。 简单的应用. 必备知识探新知 知识点一导函数的概念 般地，如果一个函数y=f代x)在区间(a,b)的每一点x处都有导数f'(x)= 那么∫'(x)是关于x的函数，称∫'(x)为y=f(x)的导函数，也简称为导数，有时也将导数记 作y. 想一想： 若f'(x)=e,则f(x)=e这种说法正确吗？ 练一练： 1.已知f(x)=x2,则f'(3)等于 () A.0 B.2x C.6 D.9 2.已知函数f(x)及其导数f'(x),若存在xo,使得f(x)=f'(xo),则称xo是f(x)的一个“巧值 点”.下列函数中，有“巧值点”的是 .（填序号) ①f(x)=x2 ②f(x)=e ③f(x)=lnx ④)= 知识点二导数公式 函数 导数 y=c(c是常数) y'= y=x(a是实数) y'= y=a(a>0,a≠1) y'= 特别地(e)'=e y=logx(a>0,a≠1) y”-一特别地（山x)= y=sinx y'= y=cos x y'= y=tan x y'= 066 练一练： 1.思考辨析（正确的画“V”,错误的画“×”） (1)(sin}'=cos罗 (2)(cos x)'=sin x. ( (a= (4)(x223)'=2023x202 2.下列各式中，正确的是 A.c0s=c0s B[sn(受-=sinx C.[cos=sin D-[sim受-x=esx 关键能力 攻重难 ●题型探究 题型一公式法求导数 例1.(1)求下列函数的导数： ①y=:②y=x·派：③y=3:④y=l0gx （2)求下列函数的导数：①y=s血：②=（分③=云 规律方法： 运用基本初等函数的 导戴公式求导的注意 事项 [规律方法] (1)对于简单的函 】对点训练1 裁，直接套用公式 (2)对于较为复杂， (1)f(x)=a(a>0,a≠1)，则f'(2)= 不能直接套用公式 A.8 B.12 C.8In 3 D.0 的，可先把题中函裁 (2)若函数f(x)=10,则f'(1)等于 ( 恒等变形为基本初等 A1O 1 B.10 C.10ln10 D.101n10 函数，再求导 (3)求下列函数的导数： ①y=lg*;②r=sin2os号 ●067 题型二利用导数公式求切线方程 例2.(1)函数y=在点(22处的切线方程是 A.y=4x B.y=-4x+4 C.y=4x+4 D.y=2x-4 (2)求曲线y=lnx在x=e处的切线方程. 规律方法： 解决切线问题的步骤 (1)求函数f(x)的定 义域； (2)公式法求导函数 f'(x); (3)设切点坐标P(, Yo); (4)列方程（组）： ①切点在曲线上，即 yo=f(xo); ②切线斜率等于函数 [规律方法] 在切点处的导数，即飞 )对点训练2 =∫'(xo); (1)曲线f(x)=3在点(0,1)处的切线方程是 ③切点在切线上，即 (2)已知曲线y=x3在点(2,8)处的切线方程为y=kx+b,则k-b= 切线为y-yo=k(x- ( A.4 B.-4 C.28 D.-28 (5)解方程（组）. (3)若曲线)=上某点处的切线的倾斜角为子m,则该点的坐标为 () A.(1,1) B.(-1,-1) C.(-1,1) D.(1,1)或(-1，-1) 068 题型三与切线有关的问题 例3.（)西数)=lhx+-:+a(b>0,aeR)的图象在点(6，b)处 的切线斜率的最小值是 () A.22 B.5 C.1 D.2 (2)设P是曲线y=e上任意一点，求点P到直线y=x的最小距离 规律方法： 利用导裁的几何意义 ·[规律方法] 解决切线问题的两种 》对点训练3 情况 已知y=x是曲线f(x)=lnx的一条切线，则k= (1)若已知点是切点， ●易错警示 则在该点处的切线斜 不能正确理解切点的实质而致误 率就是该点处的 例1经过点P(2.8)作曲线y=的切线，求切线方程 导数. [错解]设f代x)=x3,由定义得f'(2)=12,.所求切线方程为y-8= (2)若已知点不是切 点，则应先设出切点， 12(x-2), 再借助两点连线的斜 即12x-y-16=0. 率公式进行求解 [误区警示]曲线过点P的切线与在点P处的切线不同. [正解] [点评]在求切线方程的过程中，关键是寻找两个条件：一是切点，二是 切线的斜率.其中切点又是关键，需要找清切点，如本例中点P(2,8)不一定是 切点，做题时要高度关注 069 课堂检测 固双基 1.若)=sin,则f君）= ()3.过点(e,-e)作h线y=e-的切线，则切线 方程为 A.-2 C. D.③ A.y=(-1-e)x+e2 B.y=(e-1)x-e2 2.设函数代)=e+2sinx,则曲线y=(x)在点 C.y=(e+1-1)x-e+2 1+x2 D.y=(e°-1)x-e+1 (0,1)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积4.若f(x)=x,g()=logx,则f'(x)-名(x)= 为 ( 2 6 0.2 夯基提能作业 请同学们认真完成练案[15] §4导数的四则运算法则 4.1导数的加法与减法法则 4.2导数的乘法与除法法则 素养目标定方向 学习目标 核心素养 1.掌握导数的四则运算法则. 通过利用导数的四则运算法则求导函数，培养数 2.能利用导数的四则运算法则求导函数 学运算素养 必备知识 探新知 知识点导数的四则运算法则 若两个函数f(x)和g(x)的导数分别是∫'(x)和g'(x),则 两个函数的和的导数 [f(x)+g(x)]'= 两个函数的差的导数 [f(x)-g(x)]'= [f(x)·g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x) 两个函数的积的导数 特别地，[f(x)]'=f'(x),k∈R 两个函数的商的导数 [}—(g)0) [提醒]注意区分两个函数积与商的求导公式中符号的异同，积的导数公式中是“+”，而商 的导数公式中分子上是“-”