2.2.1 导数的概念&2.2.2 导数的几何意义-【成才之路·学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步新课程学习指导(北师大版)

第二章导数及其应用 §1平均变化率与瞬时变化率 1.1平均变化率 1.2瞬时变化率 必备知识探新知 知识点 (1)）-2 (2)之比(3)快慢 X2一X1 想一想： 函数代x)在区间[1，x2]上的平均变化率可以等于0，这时 f代x)=f(x2):平均变化率等于0，不能说f(x)在区间[x,名]上 一定为常数，例如f(x)=x2在区间[-1,1]上. 练一练： 1.BAg-3山-1,3=-1 △x 3-1 2D平均速度为1+△)-s_5-31+△)2-2 (1+△t)-1 △t -3△t-6. 知识点二 （1八+△-）(3)快慢 △x 想一想： 平均速度岩与路程和时间都有关系，它反陕的是物体在一 段时间内的平均运动状态；瞬时速度是物体在某一时刻的速度， 是在这一时刻附近时间差△t趋于0时平均速度的极限值. 练一练： 1.B因为A-33+△-3×3_8△4+3（△=18+34， △t △t △t 所以当△趋于0时是趋于18 27兰-2u+28-0+80=7a+1h.4趋于0 △t 时，会趋于14，即14=1，=话 1 关键能力攻重难 例1：(1)Bfx)=x2+2c,.该函数在区间[1,3]上的 平均变化率为Ay=f3）-山=(3+2c）,1+20=4,故 △x 3-1 3 选B. (2)A列车从开始运行到10秒时，列车距离的增加量为 s(10)-s(0)=100-0=100(米)，则列车运行10秒的平均速度 为(10）=0)=10（米/秒）. 10-0 对点训练1：2因为4y=专m×2-手×1-2 3 28T 所以A业 -3 例2：因为△=o（6+△)-方g(6+A)2 (6-7)-(-8%)a-743, 所以分=0--之s4 当4趋于0时，趋于-品， 故物体在时刻t。处的瞬时速度为，一go .16 对点训练2：设这辆汽车在t=2附近的时间改变量为△t,则 位移的改变量△s=[2(2+△t)2+3]-(2×22+3)=8△t+ 2(△)，则会=8+20.当△趋于0时，平均变化率会趋于8。 所以，这辆汽车在t=2时的瞬时速度为8/s. 例3：B由题可知，A机关单位所对应的图象比较陡峭，B 机关单位所对应的图象比较平缓，且用电量在[0，t。]上的平均 变化率都小于0，故一定有A机关单位比B机关单位节能效果 好.故选B. 课堂检测固双基 1.AAy-f11）=f=021=2.1. △x1.1-10.1 2.C Ay=f1+A）=1=2(1+△2-4+2 △x △x △x 2(△x)2+4Ax=2Ax+4 △ 3.(△x)2+6Ax+12因为△y=(2+△x)3-2-6=(△x)3+ 6(△x)2+12Ax,所以A=(Ax)2+6Ax+12 △x 4.1x+）=_2x+x=2x+1 .当x趋近于0时，2x+1趋近于1， y=f(x)在x=1处的瞬时变化率为1. §2导数的概念及其几何意义 2.1 导数的概念 2.2导数的几何意义 必备知识探新知 知识点一 (2)固定的值(3)瞬时变化率lim 八xo+△x)-f八xo) △x 想一想： f'(x)与f'(xo)不相同.f'(x)是函数f(x)的导函数， f'(xo)是函数f(x)在x=x处的导数值，是函数f'(x)在x=xo 时的函数值 练一练： 1.Cy=x2在x=1处的导数为 f'(1)=1im1+Ax)2-1=2 △x 2.4函数f(x)=ax+b在x=1处的导数为 f'(1)=lim1+4)-f1) △x -典a0+1-ab-器=a, △x 又f'(1)=2,得a=2,而f1)=2,有a+b=2,于是b=0, 所以f代x)=2x,所以f代2)=4. 知识点二 (2)相切(3)斜率 想一想： 不相同.曲线y=f(x)在某点处的切线只是在切点P。附近 区域上只有一个公共点，但该切线与这条曲线公共点可能不止 一个，因此，直线l是曲线y=f代x)在切，点P。处的切线，但在点A 处不是曲线的切线. 练一练： 1.D根据导数的几何意义：f'(-5)>0,f'(-4)>0, f(-2)=0,f'(0)<0,f'(1)f'(2)<0,判断可知D错误. 2.x+y-3=0切线的斜率为k=-1. 所以点A(1,2)处的切线方程为y-2=-(x-1), 即x+y-3=0. 关键能力攻重难 1:B方法-5+》西- h =linif(xo +h)-Fxo)+o-fo-h) =++》- )+-1- h h -h =f'(o)+f'(xo) =2f'(x). 方法二：西+-西- h =四[2×八+)--】 2h =2+-高- 2h =2f'(x). 对点训线1：Cf()=)-2△ 2△x 分ד-2a2.含-2 △x 例2：(1)B由y=f(x)的图象及导数的几何意义可知，当 x<0时f'(x)>0:当x=0时f'(x)=0;当x>0时，f'(x)<0, 故B符合 (2)B从函数图象上看，要求图象在[0，T]上越来越陡峭， 在各选项中，只有B项中图象的切线斜率在不断增大，即运输效 率（单位时间内的运输量）逐步提高： 对点训练2：A依题意，y=f'(x)在[a,b]上是增函数，则 在函数y=(x)的图象上，各点的切线的斜率随着x的增大而增 大，观察四个选项的图象，只有A满足， 例3：(1)：P(2,4在曲线y=宁2+专上， .曲线在点P(2,4)处切线的斜率为 [写2+4)+-（宁×2+） k-ji △x =m[4+2Ax+3(4)] =4. 曲线在点P(2,4)处的切线方程为y-4=4(x-2)， 即4x-y-4=0. (2)设曲线y=子+号与过点P(2,4)的切线相切于点 A(,写+号)，则切线的斜率为 lim- Ax 切线方程为y-(3号+)=(x-), 即y=2-子+号 :点P(2,4)在切线上， 4=2G-子+号，即后-36+4=0 ∴.x号+x6-4x后+4=0， x(x0+1)-4(0+1)(x0-1)=0, .(x+1)(x0-2)2=0, 解得x0=-1,或x0=2. 故所求的切线方程为x-y+2=0,或4x-y-4=0. 16 对点训练3：(1)x+2y+4=0 f'(-2)=im-2+Ax)-f-22 Ar10 △x 2 =lim-2t Ar 1 =i-2+a9- 所以切线方程为) +1=(x+2),即x+2y+4=0 (2)设切点为Q(a,a2+1), k=a+4以-A@=(2a+4)=2a △x 所以在Q点处的切线方程为y-(a2+1)=2a(x-a).(*) 把点(1,0)代人(*)式得-(a2+1)=2a(1-a). 解得a=1±√2. 再把a=1±2代入到(*)式中，即得切线方程为y=(2+ 22)x-(2+22)或y=(2-22)x-(2-22). 例4：经验证点(2,0)不在曲线y=上的图象上，则设切点为 P(o6),令f0)=元 1 1 1 )=马+五 -△x -1 1 0Ax·(6+A)·(+4）=- lim -lim- 得所求直线方程为y-%=-(x-). 因为点(2,0)在切线上，所以x。=2-x 又点P(,6)在曲线x)=上，所以6=1， x 联立可解得xo=1,yo=1, 故所求直线方程为x+y-2=0. 课堂检测固双基 1.B由题图可知，曲线在点A处的切线的斜率比曲线在，点B处的 切线的斜率小，结合导数的几何意义知f'(x)<f'(x),选B. 子2+4)2- 2.A f'(2)=lim 4大4 △x =(4r+1)=1, ∴.过点(2,1)的切线方程为y-1=1×(x-2), 即x-y-1=0.故选A. 3.B:函数y=f代x)在x=x处的导数为1， 如±- nfo+△x)-f(xo) 4r0 2△x △x =2'(x=2 4-a+a-山 △x △x -a(Ax)2+2a(△r)=a(Ar）+2a,lim Ay=2ax, △x 40△x 设切点为(0o),则2ax=1, 1 1 六。=20：切点在直线y=x上，心%=2后 1 代人y=am+1得2元=4+1，.a=4 §3导数的计算 必备知识探新知 知识点 +42- △x060 课堂检测 固双基 1.设函数(x)=-1,当自变量x由1变为1.13.已知函数y=2-2,当x=2时，A= 时，函数的平均变化率为 △x A.2.1 B.1.1C.2 D.0 2.已知函数f(x)=2x2-4的图象上一点(1， 4.已知f(x+1)-f(1)=2x2+x,则y=f(x)在x -2)及邻近一点(1+A,-2+△y),则等于 =1处的瞬时变化率为 △x ( A.4 B.4x 夯基提能作业 C.4+2△x D.4+2(△x)2 请同学们认真完成练案[13] §己导数的概念及其几何意义 2.1 导数的概念 2.2导数的几何意义 素养目标定方向 学习目标 核心素养 1.了解导数的概念；理解导数的几何意义. 1.通过对导数的概念的学习，培养数学抽象素养. 2.会用导数的定义求导数 2.借助根据导数的几何意义求曲线上某点处的切 3.根据导数的几何意义，会求曲线上某点处 线方程，培养数学运算素养。 的切线方程 必备知识探新知 知识点一 导数的概念 设函数y=f(x),当自变量x从x,变到x,时： (1)平均变化率：Ay_八)-fo）_x+4x)-f】 △x X1一0 △x (2)瞬时变化率：4x趋于0时，A趋于一个 △x (3)导数：函数y=f(x)在xo点的 记作f'(xo)=lim （x1)-fx） %x1-X0 [提醒](1)导数是一个局部概念，它只与函数y=八x)在x=x处及其附近的函数值有关，与 △x无关 (2/'()是-个管数，即当4x0时，+△)-6】与这个固定常数无限接近.如果当 △x 山0时，四产不存花，则称西数在x=处不可票 ●061 想一想： f'（x)与∫'(x,)相同吗？它们之间有何关系？ 练一练： 1.函数y=x2在x=1处的导数为 A.2x B.2+△x C.2 D.1 2.设函数fx)=ax+b,若f1)=∫'(1)=2，则f(2)=一· 知识点二导数的几何意义 (1)割线的定义：过A(xf(xo))和B(x。+△x,f(x。+△x))两，点的直线是曲线y=f(x)在A点处 的一条刺线，其斜率为 (2)切线的定义：当△x趋于零时，点B将沿着曲线y=f(x)趋于点A,割线AB将绕点A转动趋 于直线l,直线l和曲线y=f(x)在点A处，称直线l为曲线y=f(x)在点A处的切线. (3)几何意义：函数y=f(x)在x处的导数f'(x),是曲线y=f(x)在点(xof(xo))处的切线的 想一想： 如图所示，直线l是曲线y=代x)在点P。处的切线，这与以前学习的直线与圆相切时，直线与圆 有且仅有一个公共点是否相同？如何理解？ Ax)=x /1 练一练： 1.函数y=f(x)的图象如图所示，下列描述错误的是 个 0 5-43-2- 、12 A.x=-5处比x=-2处变化快 B.x=-4处呈上升趋势 C.x=1和x=2处增减趋势相反 D.x=0处呈上升趋势 2.若函数f(x)在点A(1,2)处的导数是-1，那么过点A的切线方程是 062 关键能力 攻重难 ●题型探究 题型一 导数概念的理解 例1.若函数y在名处可导.则飞+)-们等于( 规律方法： →0 h 导戴的形式化定义的 A.f'(o) B.2f'(o) C.-2f'(x) D.0 本质 [分析]本题考查对导数形式化定义的认识，根据导数的定义来求解， 导戴的形式化计算是 大学数学中的一个重 需明确△x,△y的含义， ·[规律方法] 点内容，但在中学阶 》对点训练1 段，特别是在对极限 -2△)-f）=-2,则f'(x)= 要求不高的前提下，不 设f(x)是可导函数，且lim () 女深入研究，其本质就 △x 是对导数概念f'(xo)= A.2 B.-1 C.1 D.-2 fx+△x)-f(x) 题型二导数几何意义的应用 △x 例21)已知函数)=x)的图象如图所示，则其导函数y=∫"(x)的图象 )-f八o的理 lim x-00 可能是 ( 解。需要说明的是导 裁是一个局部概念， 它只与函裁y=f(x) 在x=x0及其附近的 函数值有关，与△x 无关 (2)某家电制造集团提出四种运输方案，据预测，这四种方案均能在 规定时间T内完成预期的运输任务Q。,各种方案的运输总量Q与时 间的函数关系如图所示.在这四种方案中，运输效率（单位时间内的 规律方法： 导裁几何意义理解中 运输量)逐步提高的是 ( 的两个关键 Q Q Q 关键点一：y=f(x)在 点x=x处的切线斜 率为k,则k>0曰 f'(x)>0;k<0台 [规律方法] f'(x)<0;k=0曰 f'(x。)=0. 对点训练2 关键点二：f'(x)1越 若函数y=f(x)的导函数在区间[a,b]上是增函数，则函数y=f(x)在区 大台在x处瞬时变化 间[a,b]上的图象可能是 越快；lf'(x)I越小台 在处瞬时变化 越慢 ●063 题型三求切线方程 例3.已知曲线y=子+子 (1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程； (2)求曲线过点P(2,4)的切线方程， [分析]求函数在某点处的导数，一种方法是直接求函数在该点的导 数；另一种方法是先求函数在x=x。处的导数表达式，再把x的值代入求导 数值 规律方法： 利用导裁的几何意义 求切线方程的方法 (1)若已知点(xo,%) [规律方法] 在已知曲线上，求在 点(，y0)处的切线方 》对点训练3 程，先求出函裁y= (1)曲线(x)=2在点(-2，-1)处的切线方程为 f(x)在点x处的导 (2)求曲线y=x2+1,x∈R过点P(1,0)的切线方程 数，然后根据直线的 点斜式方程，得切线 方程y-yo=∫'(x) (x-x0). (2)若点(x0,y0)不在 曲线上，求过点(x, yo)的切线方程，首先 应设出切点坐标，然 后根据导数的几何意 义列出等式，求出切 点坐标，进而求出切 线方程 064 ●易错警示 求切线方程时忽视，点是否在曲线上致误 例4.求经过点(2,0)，且与曲线y=相切的直线方程 [误区警示]将(2,0)误认为是切点，直接由导数的几何意义得切线斜率∫'(2)= 1 2+△x2 2+4=子从可待切线方程芳y-0=-2,即x4y-20 =lim [正解] [点评]错解中没有注意到点(2,0)根本不在曲线)=】上，直接求出函数在x=2处的导数作 为曲线切线的斜率，而导致错误.避免这种错误的方法是先判断点是否在曲线上，如果点在曲线上， 那么曲线在该点处的切线的斜率才等于函数在该点处的导数值，如果点不在曲线上，应先另设切 点，再利用导数的几何意义求解 课堂检测 固双基 1.已知y=f(x)的图象如图，则 3.已知函数y=f(x)在x=xo处的导数为1， f'(xA)与f'(xB)的大小关系 则lim (x+△x)-f(x) 是 () 2△x A.f'(xA)>f'(xB) 0 B A.0 B.f'(xA)<f'(xg) 方 C.f'(xA)=f'(xB) C.1 D.2 D.不能确定 4.y=ax2+1的图象与直线y=x相切，则a= 2.抛物线y=子在点Q(2,1)处的切线方程为 夯基提能作业 A.x-y-1=0 B.x+y-3=0 请同学们认真完成练案[14] C.x-y+1=0 D.x+y-1=0