1.3.1 第2课时 等比数列的性质及应用-【成才之路·练案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步新课程学习指导(北师大版)

-n),n∈N, 又a1-1=1, 所以数列{an-n是首项为1，且公比为4的等比数列. (2)由(1)可知an-n=4"-1, 于是，数列{an}的通项公式为a=4“-1+n. 练案[8] A组·基础自测 1.A根据题意得a=a2·a6,即(a1+2d)2=(a1+d)(a1+ 5d), 解得d=0(舍去)，d=-2, 所以数列a,的前6项和为s。=6a1+654=1×6+65, 2 2 (-2)=-24 2.A由an}为等比数列，得a2a6=a3a5=6,又a3+a5=5, .a3,a5为方程x2-5x+6=0的两个根， 解得a3=2,a5=3或a3=3,a5=2, 由{an}为递减数列得an>a+1.a3=3,a,=2, g2=%=2 a33 则9↓3 th= ，放选A. 3.Aa3a4=a2a5=32, 又.a2+a5=18, i 或=16， .9>1,∴.a2=2,a5=16,.9=2. a。=a29-2=2·2"-2=2"-1=128, ..n-1=7,..n=8. 4.AD由等比数列的性质，可得a=a1·a5=4,由于奇数项的 符号相同，可得a3=2,因此A正确； 若a1+a3>0,则a2+a4=g(a1+a3),其正负由q确定，因此B 不正确； 若a2>a1,则a(g-1)>0,于是a3-a2=a19(g-1),其正负 由g确定，因此C不正确； 若a>a1>0,则a19>a1>0,可得a1>0,9>1,所以1+q2> 2g,则a1(1+g2)>2a19,即a1+a3>2a2,因此D正确。 5.A根据题意，设衰分比为x%,甲分到a石，0<x%<1, 又由今共有粮食m(m>0)石，按甲、乙、丙、丁的顺序进行“衰 分”， 已知乙分得80石，甲、丙所得之和为164石， 则a(1-x%)=80,a+a(1-x%)2=164, 解得a=100,x=20. 6.3由题意得a4a14=(22)2=8, 由等比数列性质，得a4·a14=a7·a1=8, .logaaz logaau =logz (a au)=log8=3. 7.1设等差数列{an}的公差为d,等比数列{bn}的公比为9，则 由a4=a1+3d, 得d=4a-8-（-山=3 3 3 18 由6=6秘：会：昌-8， 9=-2. 会 方”方法一设等比数列a,的公比为9，由a凸 2 …a.=2m,所以a1a2a…a-1=2a-1,两式相比可得an =2m-m-1. 由{a.}为等比数列，a1=2,a4=16, 所以-合=839=2。 所以aw=2",则b.-bn-1=n(n≥2)， 利用累加法可得6，-6，=2+3+…+n=2+m(n-) 令n=1,所以a1=21→b=1, 所以6.-2+m0-山+1=(n≥2. 2 当n=1时，6=1符合上式，所以6，=n+n 2 所以片=2=2上-1) bx n+nn n+1) 所8=2-分+分++女)-2-) 1.11 =2 n+1 方法二：设a,}的公比为q,由a1=2,a4=16,得g2=4=8→ 9=2,所以am=2", 所以a1a,a3…an=2=2+2++"=20, 所以6， 所以、 所以8=21合+分青+…+中）21 2n = n+1 9.由a4a,=-512,知a3ag=-512. a3ag=-512, 解方程组 la3+ag=124, 得%=-4，D∫a=128, 或 las =128las =-4. -2，或q=， 5 所以g=√a 当9=-2时，a10=a39=-4×(-2)7=512; 当g=-分时，aa=4g=18x(-)=-1 10.方法一：设四个数依次为a-d,aa+d,a+d)(a≠0)， a-d+a+=16. 由条件得 a la+(a+d)=12. 5 当a=4,d=4时，所求四个数为0,4,8,16； 当a=9,d=-6时，所求四个数为15,9,3,1. 方法二：设四个数依次为20-a,日，a,ag(a≠0). q 2a-a+ag=16 1 由条件得 解得？=2或= 4+a=12. la=8 la=3. 当g=2,a=8时，所求四个数为0,4,8,16； 当g=了，a=3时，所求四个数为159,31 B组·能力提升 1B因为2=2b-g=gc=县a+gc=g4+gc= logx Ig x Ig x Ig x Ig x Ig x Ig x 1 1 logx log.x' 所以logx,logx,logx各项的倒数依次成等差数列. 2.C设等比数列{an}的公比为q, a1,2a,2a,成等差数列， .a3=a1+2a2,.a19=a1+2a19, ∴.92-2g-1=0,9=1±2. am>0,.9>0,9=1+2. 小a+a0=g=(1+2)2=3+22 a7 +as 3.D由题意可知1是方程之一根，若1是方程x2-5x+m=0 的根则m=4,另一根为4，设3，x4是方程x2-10x+n=0的 根，则x3+x4=10,这四个数的排列顺序只能为1，x3,4,x4,公 比为26=2=8，n=16,只=子：若1是方程-10x+n =0的根，另一根为9，则n=9,设x2-5x+m=0之两根为x1, x2则x+x2=5,无论什么顺序均不合题意。 4.4am-1am+1-2am=0, 由等比数列的性质可得，a-2am=0, am≠0，.am=2. T2m-1=a1a2··a2m-l=(a1am-l）·（a2am-2）·…·am =a2m-2an=a2-l=22m-1=128, ..2m-1=7,∴.m=4. 5.4.'a2·a4=4=a5,且a3>0,.a3=2. 又a1+a2+a3= 2+2+2=14, *9 =-3(舍去)或。=2，即g=7,a1=8 9 9 又a,=a,g=8×(分)=（合） .n的最大值为4. 6.(1)因为2Sn=3am+1-3, 所以2S+1=3a+2-3, 18 两式相减可得2an+1=3an+2-3aa+1, 即3aa+2=5aa+1, 所以等比数列a.}的公比g=3, 又因为2S1=3a2-3=5a1-3, 所以=1a-(引 (2)因为2Sn=3aa+1-3, 所以s=2a-)=2[(含-小 所以{Sn}的前n项和Tn=S,+S2+S+…+Sn =引号+(3)+(3)++（门]-2 -(] 2 13 5 C组·创新拓展 ABC由于等比数列{an}的各项均为正数，且a6+a,>a6a7 +1,所以(a6-1)(a,-1)<0,所以a6,a,中，一个大于1， 一个小于1，又a1>1,所以a6>1,a,<1,所以0<g<1,因为 a6a>1,所以T2=(a6a,)>1,T3=a<1. 练案[9] A组·基础自测 1.C由已知，S3=a1(1+g+92)=2(1+g+g2)=6, 即g2+g-2=0,解得q=-2或1. 2.A根据题意得q≠-1，由等比数列的性质可得，S2,S4-S2, S。-S4成等比数列， 所以(S4-S2)2=S2(S6-S4),解得S6=7. 3.A当n=1时，a1=22+2m(m∈R), 当n≥2时，an=5。-Sm-1=2"+1+2m-(2"+2m)=2", 因为数列{an}为等比数列， 所以a1=22+2m=2,得m=-1, 所以2.2子0 -2 4.A由已知{an}是首项为2，公比为2的等比数列，则a+a4 +a5+a6=8+16+32+64=120. 5.BC当Sn=(n+1)2时，a1=S,=4;an=S。-Sm-1=(n+1)2 -n2=2n+1(n≥2)，a1=4不满足上式，所以数列an}不是 等差数列，选项A错误；当Sn=2"-1时，a1=S1=1,an=Sn- S.-1=2”-1-(2"-1-1)=2"-1,且a1=1满足上式，所以此时 数列a,}是等比数列，选项B正确；根据等差数列的性质可 知：5--202(a+a)=22.(2a,)=(2m-10a: 2 所以选项C正确；当a,=(-1)“时，{an}是等比数列，而S2= -1+1=0,S4-S2=0,S。-S4=0,不能构成等比数列，选项D 错误 6.3Sn为等比数列{an}的前n项和，且Sn=3"1-A,.a1= S1=32-A=9-A,a2=52-S1=(33-A)-(9-A)=18,a3= 66练案[8] 第一章数列 §3[3.1第2课时 等比数列的性质及应用] 化组·基础自测 7.若等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1= 一、选择题 6-1a=6=8,则2- 1.等差数列a.的首项为1，公差不为0.若a,4, 8.已知数列{an}和{bn}满足a1a2a3…an=2 a6成等比数列，则{an}前6项的和为( (n∈N),若数列{an}为等此数列，且a1=2, A.-24B.-3 C.3 D.8 a4=16,则{bn}的通项公式bn=.数 2.等比数列{an}为递减数列，若a2a6=6,a3+ a=5,则= 列6}的前a项和5= 三、解答题 C.o D.6 9.在等比数列{an}中，已知a4a7=-512,a3+ ag=124,求a1o的值， 3.已知等比数列{an中，a2+a5=18,a3·a4= 32,若an=128,9>1,则n= ( A.8 B.7 C.6 D.5 4.（多选)设{a,}是等比数列，则下列结论中正 确的是 A.若a1=1,a5=4,则a3=2 B.若a1+a3>0,则a2+a4>0 C.若a2>a1,则a3>a2 D.若a2>a1>0,则a1+a3>2a2 5.《九章算术》第三章“衰分”介绍比例分配问 题：“衰分”是按比例递减分配的意思，通常称 递减的比例（即百分比）为“衰分比”.如：甲、 乙、丙、丁分别分得100,60,36,21.6，递减的比 例为40%，那么“衰分比”就等于40%.今共有 粮m(m>0)石，按甲、乙、丙、丁的顺序进行 “衰分”，已知乙分得80石，甲、丙所得之和为 164石，则“衰分比”为 ( A.20% B.25%C.75%D.80% 二、填空题 6.各项为正的等比数列{an}中，a4与a14的等比 中项为2√2，则log2a7+log2au的值为 —116 10.有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个：二、填空题 数成等比数列，并且第一个数与第四个数的4.记等比数列{a,}的前n项积为T(neN),已知 和是16，第二个数与第三个数的和是12，求 am-1·0m+1-2am=0,且T2m-1=128,则m= 这四个数 5.已知各项都为正数的等比数列{an}中，a2· a4=4,a1+a2+a3=14,则满足an·an+1·an+2> )的最大正整数n的值为 三、解答题 6.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,且2Sn= 30n+1-3. (1)求{an}的通项公式； (2)求数列{Sn}的前n项和： 8组·能力提升 一、选择题 1.若正数a,b,c依次成公比大于1的等比数列， 则当x>1时，logx,logx,logx A.依次成等差数列 B.各项的倒数依次成等差数列 C.依次成等比数列 D.各项的倒数依次成等比数列 2.已知等比数列{an}中，各项都是正数，且a1, 24,2a,成等差数列，则%+a0等于( 1 a7 as A.1+√2 B.1-2 组·创新拓展 C.3+22 D.3-2√2 （多选)已知等比数列{an}的各项均为正数， 3.若方程x2-5x+m=0与x2-10x+n=0的四 公比为q,且a1>1,a6+a1>a6a+1>2,记 个根适当排列后，恰好组成一个首项为1的等 {a.}的前n项积为T.,则下列结论正确的是 比数列，则的值是 () A.0<g<1 B.a6>1 A.4 B.2 C.T2>1 D.T13>1 c D 117