2.1.1 平均变化率&2.1.2 瞬时变化率-【成才之路·学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步新课程学习指导(北师大版)

第二章导数及其应用 §1平均变化率与瞬时变化率 1.1平均变化率 1.2瞬时变化率 必备知识探新知 知识点 (1)）-2 (2)之比(3)快慢 X2一X1 想一想： 函数代x)在区间[1，x2]上的平均变化率可以等于0，这时 f代x)=f(x2):平均变化率等于0，不能说f(x)在区间[x,名]上 一定为常数，例如f(x)=x2在区间[-1,1]上. 练一练： 1.BAg-3山-1,3=-1 △x 3-1 2D平均速度为1+△)-s_5-31+△)2-2 (1+△t)-1 △t -3△t-6. 知识点二 （1八+△-）(3)快慢 △x 想一想： 平均速度岩与路程和时间都有关系，它反陕的是物体在一 段时间内的平均运动状态；瞬时速度是物体在某一时刻的速度， 是在这一时刻附近时间差△t趋于0时平均速度的极限值. 练一练： 1.B因为A-33+△-3×3_8△4+3（△=18+34， △t △t △t 所以当△趋于0时是趋于18 27兰-2u+28-0+80=7a+1h.4趋于0 △t 时，会趋于14，即14=1，=话 1 关键能力攻重难 例1：(1)Bfx)=x2+2c,.该函数在区间[1,3]上的 平均变化率为Ay=f3）-山=(3+2c）,1+20=4,故 △x 3-1 3 选B. (2)A列车从开始运行到10秒时，列车距离的增加量为 s(10)-s(0)=100-0=100(米)，则列车运行10秒的平均速度 为(10）=0)=10（米/秒）. 10-0 对点训练1：2因为4y=专m×2-手×1-2 3 28T 所以A业 -3 例2：因为△=o（6+△)-方g(6+A)2 (6-7)-(-8%)a-743, 所以分=0--之s4 当4趋于0时，趋于-品， 故物体在时刻t。处的瞬时速度为，一go .16 对点训练2：设这辆汽车在t=2附近的时间改变量为△t,则 位移的改变量△s=[2(2+△t)2+3]-(2×22+3)=8△t+ 2(△)，则会=8+20.当△趋于0时，平均变化率会趋于8。 所以，这辆汽车在t=2时的瞬时速度为8/s. 例3：B由题可知，A机关单位所对应的图象比较陡峭，B 机关单位所对应的图象比较平缓，且用电量在[0，t。]上的平均 变化率都小于0，故一定有A机关单位比B机关单位节能效果 好.故选B. 课堂检测固双基 1.AAy-f11）=f=021=2.1. △x1.1-10.1 2.C Ay=f1+A）=1=2(1+△2-4+2 △x △x △x 2(△x)2+4Ax=2Ax+4 △ 3.(△x)2+6Ax+12因为△y=(2+△x)3-2-6=(△x)3+ 6(△x)2+12Ax,所以A=(Ax)2+6Ax+12 △x 4.1x+）=_2x+x=2x+1 .当x趋近于0时，2x+1趋近于1， y=f(x)在x=1处的瞬时变化率为1. §2导数的概念及其几何意义 2.1 导数的概念 2.2导数的几何意义 必备知识探新知 知识点一 (2)固定的值(3)瞬时变化率lim 八xo+△x)-f八xo) △x 想一想： f'(x)与f'(xo)不相同.f'(x)是函数f(x)的导函数， f'(xo)是函数f(x)在x=x处的导数值，是函数f'(x)在x=xo 时的函数值 练一练： 1.Cy=x2在x=1处的导数为 f'(1)=1im1+Ax)2-1=2 △x 2.4函数f(x)=ax+b在x=1处的导数为 f'(1)=lim1+4)-f1) △x -典a0+1-ab-器=a, △x 又f'(1)=2,得a=2,而f1)=2,有a+b=2,于是b=0, 所以f代x)=2x,所以f代2)=4. 知识点二 (2)相切(3)斜率 想一想： 不相同.曲线y=f(x)在某点处的切线只是在切点P。附近 区域上只有一个公共点，但该切线与这条曲线公共点可能不止 一个，因此，直线l是曲线y=f代x)在切，点P。处的切线，但在点A 处不是曲线的切线. 练一练： 1.D根据导数的几何意义：f'(-5)>0,f'(-4)>0, f(-2)=0,f'(0)<0,f'(1)f'(2)<0,判断可知D错误. 2.x+y-3=0切线的斜率为k=-1. 所以点A(1,2)处的切线方程为y-2=-(x-1), 即x+y-3=0.●057 第二章导数及其应用 §1平均变化率与瞬时变化率 1.1平均变化率 1.2瞬时变化率 素养目标定方向 学习目标 核心素养 1.理解函数的平均变化率和瞬时变化率的 1.通过对函数平均变化率、瞬时变化率等有关概 概念 念的学习，培养数学抽象素养 2.会求物体运动的平均速度并估计瞬时 2.借助求函数平均变化率、瞬时变化率，培养数学 速度。 运算素养 3.会求函数在某点附近的平均变化率 必备知识 探新知 知识点一平均变化率 函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率 1)定义 (2)实质：函数值的改变量与自变量的改变量 (3)作用：刻画函数值在区间[x1,x2]上变化的 [提醒](1)△x的值可正、可负，但不为0. (2)△y的值可正、可负，也可为0. 想一想： 函数f(x)在区间[x1,x2]上的平均变化率可以等于0吗？若平均变化率等于0，是否说明f(x) 在[x1,x2]上一定为常数？ 058 练一练： 1.如图，函数y=f(x)在A,B两点间的平均变化率是 A.1 B.-1 C.2 D.-2 2.一质点的运动方程是s=5-3,则在一段时间[1,1+△]内相应的平均速 度为 () A.3△t+6 B.-3△t+6 C.3△t-6 D.-3△t-6 知识点二瞬时变化率 函数y=f(x)在x=x。处的瞬时变化率 (1)定义：当Ax趋于0时，平均变化率Ay= 趋于某个值，这个值就是f八x)在点x。的瞬 △x 时变化率 (2)实质：瞬时变化率是当自变量的改变量趋近于0时，平均变化率趋近的值. (3)作用：刻画函数在某一点处变化的 [提醒](1)函数f(x)在xo,xo+△x处有意义，x+△x是xo附近的任意一点，△x可正、可负， 但不能为0； (2)注意变量的对应，△x=(x+△x)-xo,△y=f(x+△x)-f(xo),而不是△y=f(x)- f(xo+△x). 想一想： 瞬时速度与平均速度有怎样的区别与联系？ 练一练： 1.若质点A按照规律s=3运动，则在t=3时的瞬时速度为 A.6 B.18 C.27 D.54 2.若一物体的运动方程为s=72+8,则其在t= 时的瞬时速度为1. 关键能力 攻重难 ●题型探究 题型一平均变化率的求法 规律方法： 例1.(I)函数)=+2(c∈R)在区间[1,3]上的平均变化率为 求函裁平均变化率的 步骤 (1)求自变量的玫变 A.2 B.4 C.2e D.4c 量△x=x2-x1 (2)设地铁在某段时间内进行调试，由始点起经过t秒后的距离为s= (2)求函裁值的改变 子-4+16（单位：米），则列车运行10秒的平均速度为 ( )量△y=f(x2) f(x) A.10米/秒 B.8米/秒 C.4米/秒 D.0米/秒 [规律方法] (3)求平均变化率 △x 》】对点训练1 f(x2)-f(x1) 球的半径从1增加到2时，球的体积平均膨胀率为 X2-x1 ●059 题型二瞬时变化率（瞬时速度）的求法 例2以初速度，（≥0）竖直上抛的物体，1秒时的高度，与1的函数关系 为：=，1一，求物体在时刻，处的瞬时速度， 规律方法： 求运动物体瞬时速度 的三个步骤 ·[规律方法] (1)求时间改变量△t 和位移改变量△s= 》对点训练2 s(to+△)-s(o); 辆汽车按规律s=2+3做直线运动，求这辆汽车在t=2时的瞬时速 (2)求平均速度 度.（时间单位：s,位移单位：m) 出 (3)求眸时速度，当 △t无限趋近于0时 合无限越近于常发 即为瞬时速度 ●易错警示 不能正确识图致误 例3.1，B两机关单位开展节能活动，活动开始后两机关的用叶 电量W(t),W2(t)与时间t(天)的关系如图所示，则一 W( 定有 ()0 A.两机关单位节能效果一样好 B.A机关单位比B机关单位节能效果好 C.A机关单位的用电量在[0，。]上的平均变化率比B机关单位的用 电量在[0，o]上的平均变化率大 D.A机关单位与B机关单位自节能以来用电量总是一样大 [错解]选C.因为在(0，o)上，W(t)的图象比W2(t)的图象陡峭，∴.在 (0,)上用电量的平均变化率，A机关单位比B机关单位大. [误区警示]从图上看，两机关单位在(0，)上用电量的平均变化率都 取负值 [正解] [点评]识图时，一定要结合题意弄清图象所反映的量之间的关系，特 别是单调性，增长（减少）的快慢等要弄清 060 课堂检测 固双基 1.设函数(x)=-1,当自变量x由1变为1.13.已知函数y=2-2,当x=2时，A= 时，函数的平均变化率为 △x A.2.1 B.1.1C.2 D.0 2.已知函数f(x)=2x2-4的图象上一点(1， 4.已知f(x+1)-f(1)=2x2+x,则y=f(x)在x -2)及邻近一点(1+A,-2+△y),则等于 =1处的瞬时变化率为 △x ( A.4 B.4x 夯基提能作业 C.4+2△x D.4+2(△x)2 请同学们认真完成练案[13] §己导数的概念及其几何意义 2.1 导数的概念 2.2导数的几何意义 素养目标定方向 学习目标 核心素养 1.了解导数的概念；理解导数的几何意义. 1.通过对导数的概念的学习，培养数学抽象素养. 2.会用导数的定义求导数 2.借助根据导数的几何意义求曲线上某点处的切 3.根据导数的几何意义，会求曲线上某点处 线方程，培养数学运算素养。 的切线方程 必备知识探新知 知识点一 导数的概念 设函数y=f(x),当自变量x从x,变到x,时： (1)平均变化率：Ay_八)-fo）_x+4x)-f】 △x X1一0 △x (2)瞬时变化率：4x趋于0时，A趋于一个 △x (3)导数：函数y=f(x)在xo点的 记作f'(xo)=lim （x1)-fx） %x1-X0 [提醒](1)导数是一个局部概念，它只与函数y=八x)在x=x处及其附近的函数值有关，与 △x无关 (2/'()是-个管数，即当4x0时，+△)-6】与这个固定常数无限接近.如果当 △x 山0时，四产不存花，则称西数在x=处不可票