1.3.1 第1课时 等比数列-【成才之路·练案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步新课程学习指导(北师大版)

-a12 =2S4-512=2×16-(-122+8×12)=80. 故选C. 9.(1)Sm=n2+n+1,∴.a1=S1=3,a2=S2-S1=7-3=4,a3 =S3-S2=13-7=6,a4=S4-S3=21-13=8,a5=S;-S4= 31-21=10. (2)由(1)可知，a2-a1=4-3=1,a3-a2=6-4=2, .a3-a2≠a2-a1,数列an}不是等差数列. (3)当n≥2时，an=S.-Sa-1, ∴am=n2+n+1-[(n-1)2+(n-1)+1] =2n(n≥2)，a1=S1=3, 数列a,的通项公式为a,三{2n,≥2 10.(I)设{a,的公差为d,则S,=na,+nn,-d 2 由已知可得[3a+3=0, l5a1+10d=-5, 解得a=1,d=-1 故数列{an}的通项公式为an=2-n. 2)期8-2a-2 1 从面数列{的前n项和为什+寸 1 1 ++2n-32n-)1-2n B组·能力提升 1c因为12+3t+。aa=2片中h） 1 1 2 2 所以该数列的前n项和为2(1-)+2（分号）+ 2分）*…*2日h-2-)0 2.B设等差数列{a.}的公差为d,因为Sm-1=16,Sm=25,a1= 1(m≥2，且m∈N), 所以am=Sm-Sm-1=25-16=9=1+(m-1)d,m+m(m-1d 25,联立解得m=5,d=2 「S1(n=1), 3.C方法一：由an= lSn-Sm-1(n≥2)， 解得an=5-4n. a1=5-4×1=1,.na1=n. .'na 5n -4n2. na1-Sn=n-(3n-2n2)=2n2-2n=2n(n-1)>0, Sm-nan=3n-2n2-(5n-4n2)=2n2-2n>0. .∴.na1>Sn>nam. 方法二：an=5-4n,.当n=2时，Sn=-2, na =2,na =-6,..na >S,na 412根据等差数列的求和公式，5。=6a,+6X54=12, 2 5.66因为Sn=n2-4n+2,当n=1时，a1=S1=1-4+2=-1; -18 当n≥2时，a.=S.-S-1=n2-4n+2-[(n-1)2-4(n-1) +2]=2n-5,所以a2<0,a3>0,a4>0,…. 故1a1l+la21+…+1aol=S10+2(1a11+1a21)=102-4× 10+2+2(1+1)=66. 6.(1)因为a1+3a2+…+(2n-1)an=2n, 故当n≥2时， a1+3a2+…+(2n-3)a-1=2(n-1), 两式相减得(2n-1)a.=2, 所以a22≥2) 又由题设可得a1=2,满足上式， 所以a.}的通项公式为a,=2n 2 (2)记{2+}的前n项和为s 由(1)知20 2 2n+1(2n+1)(2n-1) 1 1 =2n-12n+11 1 1 C组·创新拓展 (1)选①②，由aw+1-an=2可知数列an}是公差d=2的等 差数列，由a5=5得a1=-3,故an=-3+2(n-1)=2n-5; 选②③，由a+1-an=2可知数列{an}是公差d=2的等差数 列，由S2=-4可知a1+a2=-4,所以a1=-3,an=-3+ 2(n-1)=2n-5;选①③，无法确定数列. (2)因为an=2n-5,所以bn=1a.1=12n-51= 5-2n,1≤n≤2，其中meN, 2n-5,n≥3， 当1≤n≤2，neN,时，T.=-n2+4n: 当n≥3，n∈N,时，数列{bn}是从第3项开始，公差d=2的等 差数列， T.=4+1+2n-5)m-2）=n2-4n+8. 2 所以T.= 「-n2+4n,1≤n≤2， nEN.. n2-4n+8,n≥3， 练案[7] A组·基础自测 1.Ca4=a19=4,.a2·a6=a19·a19=a7g=(a193)2=42 =16. 2.C设等差数列an}的公差为d,(d≠0)， 因为a,a4,a6成等比数列，且a1=-2, 所以a=a3a6,即(-2+3d)2=(-2+2d)(-2+5d),解得d =2或d=0(舍去)， 所以a1o=a1+9d=-2+9×2=16. 故选C. 3.C因为a1·a2·a3·a4·a5=a1·a19·a192·a9·a19= a·q0=-g°，am=a19m-1=-g-1,所以-g°=-g"-1,所 以10=m-1,所以m=11. fa2+a5=8, 4.A由已知得 Las +as =162, 「a19+a19=8, 【a1g+a1g=16√2， 解得g=万bg时9=lg时万=g22*=-之 5.AD从第二项起，每一项与前一项之比均为同一非零常数的 数列，称为等比数列，所以等比数列任一项不能为0，且公比也 不为0，故A正确，B错误；若a=b=c=0,满足b2=ac,但a, b,c不成等比数列，故C错误；若一个常数列是等比数列，则 an=a+1≠0，所以q=1,故D正确. 1 1 1 6.-256 :a1=2a=a9=29=-4: g=方4=ag=3×(-)26 1 1 73因为正项等比数列a,3a,7,2,成等差数列。 f9>0 所以 2×(宁9）=3a+2a9 解得g=3.所以{an}的公比g=3. 8.-2设an}的公比为q(g≠0)，则a2a4a=a3a6=a29·a59, 显然an≠0， 则a4=g,即a193=q2,则a19=1,因为aa10=-8,则a19· a19’=-8, 则g5=(g)3=-8=(-2)3,则g3=-2,则a1=a19·g=g3 =-2. 9.(1)设公比为g,由题意得2a19+a192=30, ∴.4g+2g2=30. .92+2g-15=0, .q=3或-5. am>0,∴.9=3. an=a19”-1=2·3-1 (2)b1=a2,.b1=6. 又b.+1=b,+a,.bn+1=b.+2·3"- .b2=b1+2×3°=6+2=8， b3=b2+2×3=8+6=14, b4=b3+2×32=14+18=32, b5=b4+2×33=32+54=86. 10.(1)由条件可得a1=2n+a, n 将n=1代入得，a2=4a1,而a1=1,所以，a2=4. 将n=2代入得，a3=3a2,所以，a3=12. 从而b1=1,b2=2,b3=4. (2)数列{b.}是首项为1，公比为2的等比数列.理由如下： 由条件可得-24，即b1=2弘，又，=1， n+1=n 所以数列{b}是首项为1，公比为2的等比数列： 18 (3)由(2)可得=2"-1，所以a,=n·2”- B组·能力提升 1.B因为an+1=3a。+2, 所以a+1+1=3(an+1), 所以a,+1}是首项为3，公比为3的等比数列， 所以am+1=3,an=3"-1,a4=34-1=80, 2.C依题意可知第一年后的价值为a(1-b%),第二年后的价 值为a(1-b%)2,依此类推形成首项为a(1-b%),公比为1 -b%的等比数列，则可知n年后这批设备的价值为a(1- b%).故选C 3.ABC因为数列{an}中，a=1,a.an+1=2", 所以a1a2=2,解得a2=2, 又a102=21, 0,0-2,即22=2， 所以202=2 a 所以数列{a,}的奇数项和偶数项，分别是以2为公比的等比 数列，所以a2=2·2"-1=2“,a2-1=1·2"-1=2-1,a4=22= 4,a2-a2m-1=2-1,a2n+a-1=2"+2"-1=3·2-1 4.80,40,20,10设这6个数所成的等比数列的公比为g,则5= 1607,9=克9=分这4个数依次为80,40,20,10. 5.2m-1 ,可得1=2-1，于是1-1=2-2 由a+l=2-an an+l an -an+l an =2(- 上-1=1，且6，=-1，所以数列b,}是首 项为1，公比为2的等比数列， 所以bn=1×2"-1=2"-1. 6.(1)由题意，得2(1+a2)=a1+a3, 设数列a,}的公比为q,则2(1+4)=2+9，将4，=4 代人， 整理，得2对-59+2=0，解得9=或9=2 又g>1g=2则4号=2…0，=a9=2 (2)an=2,….bn=log22"=n,∴.b1=1,且b1-bn=1, ∴.{bn}是首项为1，公差为1的等差数列， S.=n(6+6-nn+ 2 2 1 n)=2×(1-n)-2-n子 neNa+1s20子s, 1≤2-子<2.即1≤.<2 C组·创新拓展 (1)证明：由题设an+1=4am-3n+1,得am+1-(n+1)=4(an -n),n∈N, 又a1-1=1, 所以数列{an-n是首项为1，且公比为4的等比数列. (2)由(1)可知an-n=4"-1, 于是，数列{an}的通项公式为a=4“-1+n. 练案[8] A组·基础自测 1.A根据题意得a=a2·a6,即(a1+2d)2=(a1+d)(a1+ 5d), 解得d=0(舍去)，d=-2, 所以数列a,的前6项和为s。=6a1+654=1×6+65, 2 2 (-2)=-24 2.A由an}为等比数列，得a2a6=a3a5=6,又a3+a5=5, .a3,a5为方程x2-5x+6=0的两个根， 解得a3=2,a5=3或a3=3,a5=2, 由{an}为递减数列得an>a+1.a3=3,a,=2, g2=%=2 a33 则9↓3 th= ，放选A. 3.Aa3a4=a2a5=32, 又.a2+a5=18, i 或=16， .9>1,∴.a2=2,a5=16,.9=2. a。=a29-2=2·2"-2=2"-1=128, ..n-1=7,..n=8. 4.AD由等比数列的性质，可得a=a1·a5=4,由于奇数项的 符号相同，可得a3=2,因此A正确； 若a1+a3>0,则a2+a4=g(a1+a3),其正负由q确定，因此B 不正确； 若a2>a1,则a(g-1)>0,于是a3-a2=a19(g-1),其正负 由g确定，因此C不正确； 若a>a1>0,则a19>a1>0,可得a1>0,9>1,所以1+q2> 2g,则a1(1+g2)>2a19,即a1+a3>2a2,因此D正确。 5.A根据题意，设衰分比为x%,甲分到a石，0<x%<1, 又由今共有粮食m(m>0)石，按甲、乙、丙、丁的顺序进行“衰 分”， 已知乙分得80石，甲、丙所得之和为164石， 则a(1-x%)=80,a+a(1-x%)2=164, 解得a=100,x=20. 6.3由题意得a4a14=(22)2=8, 由等比数列性质，得a4·a14=a7·a1=8, .logaaz logaau =logz (a au)=log8=3. 7.1设等差数列{an}的公差为d,等比数列{bn}的公比为9，则 由a4=a1+3d, 得d=4a-8-（-山=3 3 3 18 由6=6秘：会：昌-8， 9=-2. 会 方”方法一设等比数列a,的公比为9，由a凸 2 …a.=2m,所以a1a2a…a-1=2a-1,两式相比可得an =2m-m-1. 由{a.}为等比数列，a1=2,a4=16, 所以-合=839=2。 所以aw=2",则b.-bn-1=n(n≥2)， 利用累加法可得6，-6，=2+3+…+n=2+m(n-) 令n=1,所以a1=21→b=1, 所以6.-2+m0-山+1=(n≥2. 2 当n=1时，6=1符合上式，所以6，=n+n 2 所以片=2=2上-1) bx n+nn n+1) 所8=2-分+分++女)-2-) 1.11 =2 n+1 方法二：设a,}的公比为q,由a1=2,a4=16,得g2=4=8→ 9=2,所以am=2", 所以a1a,a3…an=2=2+2++"=20, 所以6， 所以、 所以8=21合+分青+…+中）21 2n = n+1 9.由a4a,=-512,知a3ag=-512. a3ag=-512, 解方程组 la3+ag=124, 得%=-4，D∫a=128, 或 las =128las =-4. -2，或q=， 5 所以g=√a 当9=-2时，a10=a39=-4×(-2)7=512; 当g=-分时，aa=4g=18x(-)=-1 10.方法一：设四个数依次为a-d,aa+d,a+d)(a≠0)， a-d+a+=16. 由条件得 a la+(a+d)=12. 5练案[7] 第一章数列 §3[3.1第1课时等比数列] 化组·基础自测 三、解答题 9.已知数列{an}为等比数列，an>0,a1=2, 一、选择题 2a2+a3=30. 1.在等比数列{an}中，a4=4,则a2·a6等于 (1)求an; ( (2)若数列{bn}满足bn+1=bn+aa,b1=a2, A.4 B.8 C.16 D.32 求b5 2.(2025·北京卷)已知{an}是公差不为0的等 差数列，a1=-2,若a3,a4,6成等比数列，则 a10= A.-20 B.-18 C.16 D.18 3.等比数列{an}的公比为q,且lgl≠1，a1=-1, 若am=a1·a2·a3·a4·a5,则m等于( A.9 B.10 C.11 D.12 4.已知等比数列{an}的公比为q,若a2,a5的等 差中项为4，a5,ag的等差中项为82，则log9 的值为 C.-2 D.2 5.（多选)下列四种说法中正确的有 A.等比数列的所有项都不可以为0 B.等比数列的公比取值范围是R C.若b2=ac,则a,b,c成等比数列 D.若一个常数列是等比数列，则其公比是1 二、填空题 6已知等比数列前3项为分，子名，则其第8 项是 7.正项等比数列a.,若3a,2a3,2a成等差数 列，则{an}的公比g=一· 8.（2023·全国乙卷)已知{an}为等比数列， a2a4a5=a3a6,aga10=-8,则a7= —113 10.已知数列{an}满足a1=1,nan+1= 乃组·能力提升 2n+1a,设4=会 一、选择题 (1)求b1,b2,b3 1.已知数列{an}满足a1=2,an+1=3an+2,则a4 (2)判断数列{b}是否为等比数列，并说明 理由； 的值为 () (3)求{an}的通项公式. A.79 B.80 C.81 D.82 2.一批设备价值a万元，由于使用磨损，每年比 上一年价值降低b%,则n年后这批设备的价 值为 () A.na(1-b%) B.a(1-nb%) C.a(1-b%)" D.a[1-(b%)"] 3.(多选)已知数列{an}中，a1=1,anan+1=2”, n∈N,,则下列说法正确的是 () A.a4=4 B.a2n}是等比数列 C.azn-a2n-1=2-1 D.4m-1+a2n=2"+1 二、填空题 4.在160与5之间插人4个数，使它们同这两个数 成等比数列，则这4个数依次为 1 。,若 5.已知数列{a,}满足a1=2,a+1=2-a b.=上-1，则数列{6，的通项公式为b,= a 三、解答题 6.已知数列{an}是公比大于1的等比数列(n∈ N*),a2=4,且1+a2是a1与a3的等差中项. (1)求数列{a,}的通项公式 —114 (2)设bn=log2an,S.为数列{bn}的前n项和， 组·创新拓展 …+,证明：1≤Tn<2. 在数列{a.}中，a1=2,am+1=4an-3n+1, nEN,. (1)证明数列{a.-n是等比数列； (2)求数列{an}的通项公式 115