1.2.1 第2课时 等差数列的性质及应用-【成才之路·练案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步新课程学习指导(北师大版)

练案[4] 第一章数列 §2[2.1第2课时 等差数列的性质及应用] 化组·基础自测 三、解答题 9.在等差数列{a.}中，a1+a3+a5=-12,且 一、选择题 a1·a·a5=80,求通项an 1.等差数列{an}中，a6+ag=16,a4=1,则a1= ) A.64 B.30 C.31 D.15 2.设{an},{bn}都是等差数列，且a1=25,b= 75,a2+b2=100,则a37+b7= A.0 B.37 C.100 D.-37 3.已知等差数列{an}单调递增且满足a1+ag= 6,则a6的取值范围是 A.(-∞，3) B.(3,6) C.(3,+0) D.(6,+0) 4.设{an}是公差为正数的等差数列，若a1+a2+ a3=15,a1a2a3=80,则a11+a12+a13等于 10.已知数列{an},an=2n-1,bn=a2m-1 (1)求{bn}的通项公式； A.120 B.105 C.90 D.75 (2)数列{bn}是否为等差数列？说明理由. 5.(多选)若{an是等差数列，则下列数列为等 差数列的有 ( A.{am+3} B.{a2} C.an+i+an D.2a +n 二、填空题 6.等差数列{an}中，a5=8,a10=14,则a15= 7.等差数列{an}是递增数列，若a2+a4=16, a1·a=28,则通项an= 8.已知在△ABC中，三内角A,B,C成等差数列， 则(1)∠B等于 ;(2)ac与b2的大小 关系是 —107 8组·能力提升 ; (2)求{an}的通项公式. 一、选择题 1.已知数列 份}是等差数列，且a-24=12, 则a5= A.10 B.30 C.40 D.20 2.已知数列{an}的首项为a1=1,a2=a,且am+1 +an=2n+1(n≥2，neN,),若数列{an}单调 递增，则a的取值范围为 A.{al1<a<2 B.{al2<a<3 ca<a<引 D.faisos 3.（多选)已知方程(x2-2x+m)(x2-2x+n) 组·创新拓展 0的四个根组成一个首项为子的等差数列，则 设数列a是等差数列，6=（分”，又6+ m-n的值等于 21 ,+6,=8,bb,6=g,求通项a A.、3 4 B. 2 c 0.2 1 二、填空题 4.在等差数列{an}中，若a+2a2ag+a6a1o=16, 则a4a6= .m 1112 13014 a21a22 23a24 5.已知实数矩阵 中，每行、每列 l31 032033 L34 a4a42 a43 a44 的四个数均成等差数列，如果矩阵中a12=2, a31=1,04=7,那么a2=,a2= 三、解答题 6.已知在递增的等差数列{an}中，a3a6=55, a4+a5=16. (1)求a3和a6; 108—=之，D正确 6.-2n+3设公差为d,由题意，得 a3=a1+2d,-3=1+2d.d=-2. .am=a1+(n-1)d=1-2(n-1)=-2n+3. 7.3n2点(a,√a-1)在直线x-y-5=0上， ∴√a,-√a-1-5=0,即a,-√a-i=5(n≥2). 则数列{√a,}是以5为首项，5为公差的等差数列， .√an=5+3(n-1)=3n, .数列{an}的通项公式为a.=3n2. 87设此等差数列为a,},公差为d,则 66 [a1+a2+a3+a4=3, La ag +ao=4, 13 [4a1+6d=3, 【a=22' 解得 l3a1+21d=4, 7 d=6 13 767 a=a+41=2+4×6666 9(1)证明：因为3a,a-1+a,-a-1=0(n≥2)，整理得1 a. 1=3(n≥2)， an 所以数列「】是以1为首项，3为公差的等差数列. (2)(1)可得动=1+3(a-1)=3m-2。 1 所以am=3n-2 B组·能力提升 1.A由已知a,}满足2a1-2a.=1,即a,1-a。=2,又由 a1=2,所以数列{a.}是首项为2，公差为)的等差数列，所以 aa=a1+10d=2+100×7=52 2.B依题意，金箠由粗到细各尺质量依次构成一个等差数列， 设首项为a1=4,则a5=2,设公差为d,则2=4+4d,解得d= -所以=4--子 3ABD设数列{。十}的公差为，则上1 a+1a+7=4h, 优人故据限后因此+2以：号 微a=吃o。*石女+石分解得4=山 4.+出设这两个等差数列公差分别是山，d,则a-a=d, m+1 6,-6=山，第-个数列共(m+2)项d=第二个数 列共(n+2)项，d,=Y二-a=4=n+1 n+i心2-6=d2m+ 5.an=2n-1由a-1+a1=2an,得a+1-a,=a-a-1(n≥2). -17 .数列{an}是等差数列. 又a1=1,a2=3,d=2,an=a1+(n-1)d=2n-1. 6.因为当n≥2时，xn=f代x-1), 所以x,= +2n≥2)，即x-1+24=21(n≥2) 得22丝=1(n≥2).即-=分（≥2） XnXn-1 nxm-1 又=3，所以数列{}是以3为首项，号为公老的等老数 列.所以=3+(-1)x分”， X 21 所以无子5所以5写动 2 C组·创新拓展 BCD a,=√n,则a=n,{an}是等方差数列，但an}不是等差 数列，A错误； 若an=a,则a-a2-1=0,{an}是等方差数列，{an}也是等差 数列，B正确： am=（-1)“,则a7=1,a-a元-1=0，an-an-1=0,所以{an}为 等方差数列，C正确； 若{an}是等方差数列，则a+1-a=p是常数，因此a2+)- a2n=a2m+l)-an+1+a2m+1-a2n=p+p=2p是常数，所以 {a2m}也是等方差数列，D正确。 练案[4] A组·基础自测 [a6+ag=16 1.D方法一：. la4=1 r2a1+13d=16 la1+3d=1 ∫4=-5 d=2 a1=a1+10d=15. 方法二：a4+a1=a6+ag=16,又，a4=1,.a1=15. 2.C因为an},{bn}都是等差数列，所以{a+bn}也是等差数 列，因为a1+b1=100,又a2+b2=100,所以a7+b,=100.故 选C. 3.C因为a.}为等差数列，设公差为d, 因为数列{an}单调递增，所以d>0, 因为a1+ag=6,则a1+a1+7d=6,所以a1 _6-7d 2,a6=41+ 5d=3+弓>3，所以，的取值范围为(3.+) 4.Ba1+a2+a3=3a2=15,.a2=5, 又a1a2a3=80,.a1a3=16, 即(a2-d)(a2+d)=16, d>0,.d=3 则a1+a12+a13=3a2=3(a2+10d)=105. 5.ACD设等差数列{an}的公差为d,当n≥2时，an-an-1=d. 对于A,aml+3-(an+3)=ant1-an=d,为常数，因此an+ 3}是等差数列，故A正确；对于B,ai1-a=d(a.1+an)= d[2a1+(2n-1)d],不为常数，因此a}不是等差数列，故B 错误；对于C,(an+2+a+l）-(a+1+an)=an+2-an=2d,为 常数，因此an+l+an}是等差数列，故C正确；对于D,2an+1+ (n+1)-(2an+n)=2(a+1-an)+1=2d+1,为常数，因此 {2a.+n是等差数列，故D正确。 6.20a5=8,a10=14,.a10-a5=5d=6,.a15=a10+5d=14 +6=20. 7.3n-1设公差为d, 2+a4=a1+a5=l6, 六由+a=16解得=2或=4， 【a1·a5=28,la5=l4la5=2. :等差数列{an}是递增数列， ∴.a1=2,a5=14. d=54=2=3, 5-14 .am=a1+(n-1)d=2+3(n-1)=3n-1. &(1)号已知得84生2解得8=号 2 (2)b≥ac在△ABC中，b2=a+c2-2 accos-号=d2+c2- ac,所以b2=a2+c2-ac≥2ac-ac=ac. 9.因为a1+a5=2a3,所以 a1+a+a5=-12,所以3a3=-12,所以a3=-4, 又因为a1·a3·a5=80, 所以010=-20， 【a1+a5=-8, 解得a=-10,4=2或a=2,4=-10,因为d=二9所 以d=3或-3， 所以a.=-10+3(n-1)=3n-13 或am=2-3(n-1)=-3n+5. 10.(1)an=2n-1,bn=a2-1, .bn=a2m-1=2(2n-1)-1=4n-3. (2)由b.=4n-3,知bm-1=4(n-1)-3=4n-7(n≥2)， bn-b.-1=(4n-3）-(4n-7)=4(n≥2)， ∴.b,}是首项b1=1,公差为4的等差数列. B组·能力提升 1.B方法一：设数列a的公差为d n a3=2,a,=12,.6d=8-0=12 22 9 -3=9-3=3, d器号 9·15 +12d=2.故a15=30. 方法二：由于数列a是等差数列，故2× I n 9=3+15, 暗=2×号-号 2,故a15=30. 2.C当n≥2时，a4+1+an=2n+1①， 则am+2+am+1=2n+3②， ②-①得：a,+2-a.=2,所以该数列从第2项起，偶数项和奇 数项都成等差数列，且它们的公差都是2，由a.+l+an=2n+1 可得a3=5-a,a4=a+2, 18 因为数列{an}单调递增，所以有a1<a2<a<a4, 5 <a<5-a<a+2,解得号<a 所以a的取值范围为（子，） 3.BD设方程(x2-2x+m)(x2-2x+n)=0的四个根分别为 41,4,4,a,则数列a1,4,4,4是首项为4的等差数列，设 其公差为d, 由等差数列的性质可得a1+a4=a,+a3, ①若a1,a4为方程x2-2x+m=0的两个根，则a2,a为方程 x2-2x+n=0的两个根， 由根与系数的关系可得a+4=子+a=2,可得4=子d 1 35 4二a1=,则a2=a,a=4, 3 7 15 此时m=aa,=16n=aa=16 则m-n=-2 1 ②若a1,a,为x2-2x+n=0的两个根，a2,a3为方程x2-2x+ m=0的两个根， 同理可得m名A=石则m-n=宁 15 综上所述，m-n=±2 1 4.4等差数列{an}中，a+2a2ag+a6a10=16, ∴.a+a2(a6+ao）+a6a1o=l6, ∴.(a2+a6)(a2+a1o）=16,∴.2a4·2a6=16, ∴a4a6=4. 5.3)设第三行的四个数的公差为山，由41=1,44=7，得 2 4=2 所以a2=1+2=3. 因为第二列的四个数成等差数列， 所以a2是a12,a2的等差中项， 所以a2=+a2=2+3-5 2 2=2 6.(1)因为a4+a5=a3+a6=16, 所以44=55， 【a3+a6=16, 又因为a}递增，所以a3=5,a6=11. (2)设{an}的公差为d, 所以4+24=5：解得a,=1,d=2, la1+5d=11, 所以am=a1+(n-1)d=2n-1(neN*). C组·创新拓展 44=g又6.=(2)…(2》”·(2)°·(2) =8 0 (兮》=名+*a,=8 又{an}成等差数列.a2=1,a1+a3=2, 66=子4+6=是， 1 2,o8即。-3或=3. 1或 b=8lb3=2, a3=-1, .am=2n-3或am=-2n+5. 练案[5] A组·基础自测 1.C设am}的公差为d, a+3d+5a+54=2, 由 +79=4, 7a1+ 可得6a,+13d=2, la1+3d=2, 解得-4所以an=-4+9×2=14. ld=2. 2.BS5=S1o, 则S10-Ss=a6+a7+ag+,+ao=5as=0,解得as=0, 又因为4=1，所以公差d=子 放a,=4-71=子放选B 9(a1+ag） 3.D 8ata5a+a-器-号×3-3 2 9(a1+ag）9a5_9、 2 4.B设等差数列{an}的公差为d,项数为n,前n项和为S,因 为d=4,5奇=15，S=5,所以S-S将=2d=2m=40,所以 n=20,即这个数列的项数为20. 5.ABDS5<S4,.a5<0,S5=S6,.a6=0,S7>S6,a7 >0,由以上结论知A,B正确，C错误；对于D,Sg-S4=a5+a6 +a2+ag=2(a6+a7)>0,∴.S8>S4,D正确. 6.-3已知等差数列{an}的前5项和S,=25,所以S,= 5(a+a）=5a,=25,解得a=5.已知a4=3,则公差d=a, 2 a3=-2.所以a7=a3+4d=5-8=-3. 7.180因为a1+a1s=a2+a17=20, 所以Ss=18x(g+a）-18×(0+a=180 2 2 &2由等差数列的性质可得十=公 67+615 61+621 21(a+a2)_2521=3×21+1=8 21(6+b2)2T121+33' 爱安2论- 3(2n-1)+16n-2 2n+22n+2 -18 -03043- n+1 n+1 若公为整数，且n+1≥2，放4能被n+1整除，故m+1=2或 4,解得n=1或3， 所秋，使得受为整数的n值的个数为2 9.(1)根据题意，得 :+a=a++a+3=8,解得@=8， la2·a4=(a1+d)·(a1+3d)=12,1d=-2. (2)s。=10a,+10×)0-Dd=10x8+10,x9x(-2)= 2 2 -10. 10.（1)设{an}的公差为d,由已知， fa1=-7, 所以d=2, lS3=3a1+3d=-15, 所以an}的通项公式为an=2n-9. (2)由(1)得s.=-7m+m,Dx2=n2-8m=（n-42 2 16,所以当n=4时，S.取得最小值-16. B组·能力提升 1.C方法一：设等差数列{an}的公差为d,首项为a1,依题意 可得， a2+a6=a1+d+a1+5d=10,即a1+3d=5, 又a4ag=(a1+3d)(a1+7d)=45,解得d=1,a1=2, 所以S=5a+xd=5x2+10=20放选C 方法二：a2+a6=2a4=10,a4ag=45,所以a4=5,ag=9, 从面d=84=1,于是4=4-d=5-1=4, 所以S=5a3=20.故选C. 2.C因为在等差数列{an}中，=。 a。151 15(a1+a15） 所以、 2 15(a1+a1s)15×2ag S,17(a1+a17）17(a1+a17)17×2ag 2 =15.=1. 217 3.AC因为S6=S13,所以a,+ag+…+a3=0,所以a10=a1+ 9d=0,即a1=-9d,又a1<0,所以d>0,A对，B错；当Sn= m,+n)1d=n(-9+nn,1d>0,解得n>19,所以 2 2 nm=20,所以C对：56-S=16a+1615d-(2a,+d)= 2 14a1+119d=-7d<0,所以S6<S2,D错. 4.13设这个等差数列为an},由题意得 [a1+a2+a3=34, ① lam+am-1+am-2=146, ② ①+②得3(a1+an)=180,.a1+a=60. ÷S,=n(a+a）=30n=390n=13. 2